Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Transcripción

1 Ecaciones Diferenciales Ordinarias Cristian j. P. Castillo U.

2 ÍNDICE GENERAL PRESENTACIÓN CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4. Definición de ecación diferencial 5. Clasificación de ecaciones diferenciales 5.. Clasificación según s tipo 6.. Clasificación según s orden 6..3 Clasificación según s linealidad o no 7.3 Solción de na ecación diferencial 8.4 Problema de valor inicial.5 Modelos matemáticos 3

3 ÍNDICE GENERAL CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 5. Ecaciones diferenciales en variables separables 6. ecaciones diferenciales homogéneas.. Fnciones homogéneas.. Resolción de ecaciones diferenciales homogéneas 3.3 Ecaciones diferenciales eactas 8.4 Factores integrantes 35.5 Ecación diferencial lineal 4.6 Ecación diferencial de Bernolli 48 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Introdcción a las ecaciones diferenciales de orden sperior Principio de sperposición Dependencia e independencia lineal Wronskiano Ecación diferencial homogénea Ecación diferencial no homogénea Redcción de orden Ecación lineal homogénea con coeficientes constantes Ecaciones de segndo orden Ecaciones de orden sperior Método de coeficientes indeterminados Enfoqe de sperposición Enfoqe anlador 89

4 ÍNDICE GENERAL Operadores diferenciales Coeficientes indeterminados Método de variación de parámetros Ecaciones de segndo orden Ecaciones de orden sperior Ecaciones de Cach-Eler 3.6. Ecaciones homogéneas Ecaciones no homogéneas 0 CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 4 4. Traectorias ortogonales 5 4. Crecimiento decrecimiento eponencial Le de Newton del enfriamiento Mezclas Circitos eléctricos en serie Circitos RL Circitos RC Absorción de drogas en órganos o céllas Crecimiento logístico 5 APÉNDICE I. Números complejos 55 APÉNDICE II. Tabla de derivadas 6 APÉNDICE III. Tabla de integrales 63 BIBLIOGRAFÍA 75

5 PRESENTACIÓN En diferentes áreas de la ciencia, sobre todo en la ingeniería, se desarrollan modelos matemáticos para adar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general, peden ser epresados a partir de ecaciones qe contiene ciertas derivadas de na fnción desconocida. A na ecación de este tipo se le denomina ecación diferencial. La historia de las ecaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los matemáticos Newton, Leibniz los hermanos Bernolli resolvieron las primeras

6 PRESENTACIÓN ecaciones diferenciales sencillas a partir de nos problemas de Mecánica Geometría. De hecho, según Nápoles otros (00), a finales del siglo XVII James Johan Bernolli, introdcen término como el de Integrar na ecación diferencial, así como la técnica de variables separables para resolver na ecación diferencial. Estos primeros descbrimientos abrieron al mndo n niverso de ecaciones nevas, así como también a na serie de procedimientos qe nos permiten la resolción de algnos tipos de ecaciones diferenciales qe se presentan en problemas de modelado. Actalmente, las ecaciones diferenciales los modelos matemáticos se han convertido en n tema fndamental e indispensable para ser inclido en el pensm de estdio de calqier carrera de ingeniería a nivel mndial. Es por ello qe la asignatra Matemática IV ( ) qe crsan las carreras de ingeniería afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecaciones diferenciales, las técnicas como resolverlas modelos matemáticos qe las inclen. Este módlo de Matemática IV ( ) qe se presenta, se ajsta en s totalidad a las nidades de s programa vigente, tanto en el orden en qe son presentados los objetivos como en la profndidad con qe son tratados. En él, se ha qerido eponer todos los temas de este material en na forma m clara sencilla, de manera qe el lector peda comprenderlos en forma inmediata. Además no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lgar de ello se ha preferido crear n material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo

7 PRESENTACIÓN cal se han inclido na gran cantidad de ejercicios reseltos además se han propesto na serie de ejercicios con respestas al finalizar cada tema. Por lo tanto este módlo se ha estrctrado 4 capítlos, en los cales se estdiarán las ecaciones diferenciales ordinarias inclendo teoremas técnicas para la resolción de las mismas. El capítlo, es na introdcción al mndo de las ecaciones diferenciales, donde se darán definiciones, conceptos teoremas sobre estas ecaciones, además de inclir los problemas de valor inicial e introdcir la definición de los modelos matemáticos como formlarlos. En el capítlo, se desarrollan na serie de técnicas procedimientos para resolver ecaciones diferenciales de primer orden. En el capítlo 3, se presentan primero nas definiciones necesarias para el estdio de ecaciones diferenciales de orden sperior, para lego desarrollar técnicas qe permitan resolver ecaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes a sean homogéneas o no por último se presenta las ecaciones diferenciales de Cach-Eler cómo resolverlas. En el capítlo 4, se presentan na serie de problemas de aplicación qe se peden resolver mediante modelos matemáticos qe inclan ecaciones diferenciales tilizando las técnicas qe presentadas en los capítlos anteriores. 3

8 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Este capítlo es n preámblo a todo el mndo de las ecaciones diferenciales ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo de ecaciones, así como también na breve introdcción a como ennciar n modelo matemático a partir de n problema de la vida real.

9 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL. Una ecación diferencial es na igaldad qe contiene derivadas de na fnción desconocida con respecto a na o más variables independientes. Por ejemplo la ecación d k es na ecación diferencial, qe por cierto dt representa la desintegración radioactiva de na sstancia a través del tiempo. Así mismo, la ecación EI 4 d d 4 w, es na ecación diferencial qe modela la desviación qe eperimenta na viga con respecto a s eje de simetría. 4,, z Por último, la ecación z, también es na ecación diferencial, llamada ecación de Poisson, la cal satisface, por ejemplo, el potencial del campo electrostático. Como se ve, eisten diferentes tipos de ecaciones diferenciales, por lo qe se hace necesario realizar na clasificación de ellas. A continación se presentarán diferentes formas de clasificar las ecaciones diferenciales.. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES linealidad. Las ecaciones diferenciales peden clasificarse según s tipo, orden o 5

10 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.. Clasificación según el tipo Cando na ecación diferencial contiene na o más derivadas de na fnción desconocida con respecto a na sola variable, es decir solo derivadas ordinarias, entonces se está en presencia de na ecación diferencial ordinaria, por ejemplo: d cos d En cambio si la ecación posee na o más derivadas de na fnción desconocida con respecto a dos o más de na variables, entonces es na ecación diferencial en derivadas parciales, por ejemplo: z z 0 Cabe destacar qe en este módlo está basado solo en el estdio de ecaciones diferenciales ordinarias... Clasificación según s orden. El orden de na ecación diferencial es el orden de la derivada más alta qe tiene la ecación, por ejemplo: d d d, es de segndo orden d 6

11 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 0, es de tercer orden 4 3 d d tan 3, es de tercer orden d d De este último ejemplo, cabe destacar qe es importante no confndir el orden con el grado (potencia del término)...3 Clasificación según s linealidad o no. Una ecación diferencial es lineal, si se pede escribir de la forma: n n an an a a a0 g Esto implica qe debe cmplir con las sigientes condiciones: a. La fnción desconocida ss derivadas son a lo smo de primer grado, es decir, de potencia. b. Los coeficientes de la fnción desconocida ss derivadas dependen solo de la variable independiente. En caso de qe no se cmpla algna de estas condiciones, se dice qe la ecación diferencial es no lineal. Por ejemplo:, es lineal, es no lineal, a qe el coeficiente de depende de 7

12 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4 d d cos 0, es lineal 4 d d 3 d d 0 3 d, no es lineal, a qe el término, no es de primer grado. d.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Toda fnción qe al sstitirla en la ecación diferencial, cmple con la igaldad, es considerada como na solción de ella. Por lo tanto, se pede decir qe e es solción de ecación 0, a qe, como e, entonces e, por lo tanto al sstitir en la ecación diferencial se tiene: e e Por lo tanto podemos definir como solción de na ecación diferencial a toda fnción qe satisface a la ecación, es decir qe al sstitirla la redce a na identidad. Eisten varias formas de clasificar las solciones de las ecaciones diferenciales, na de ellas es en eplícitas e implícitas. Una solción eplícita, es aqella qe se pede escribir de la forma f, es decir qe la solción este epresada solo en fnción de la variable independiente constantes. Por ejemplo e es na solción eplícita de la ecación 8

13 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 0. Un tipo solción eplícita es la solción trivial o nla es aqella qe tiene la forma 0. Ahora, na solción implícita, es la qe tiene la forma f, C, es decir, toda solción qe involcre tanto a la variable dependiente como a la independiente. 3 3 Por ejemplo 4 3 d d 0., es na solción eplícita la ecación diferencial Otra manera de clasificar las solciones de las ecaciones diferenciales es en generales, particlares singlares. Una solción o relación qe satisfaga a na ecación diferencial además involcre en s estrctra na o más constantes arbitrarias, se denomina solción general. Cabe destacar, qe na ecación diferencial de orden n, tendrá na solción general compesta por n fnciones mltiplicadas por n constantes arbitrarias. Por C cos C sin es solción general de la ecación diferencial ejemplo 0. Geométricamente, na solción general de la forma C,, representa na familia de crva en el plano. Estas crvas se llaman crvas integrales. C. En la figra., se mestran las crvas integrales de la solción general 9

14 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 3 0-4,5-4 -3,5-3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4, Figra. Ahora bien, na solción particlar, es la qe no está en fnción de constantes arbitrarias, esto se logra particlarizando las constantes de la solción general, a partir de nas condiciones iniciales qe presenta el problema. Por ejemplo la fnción cos 3sin, es na solción particlar de 0. Más adelante veremos qe na solción particlar es la qe se obtiene de n problema de valor inicial. Por último na solción singlar, es aqella qe no se obtener a partir de la solción general de la ecación diferencial. Por ejemplo, la fnción C C es la solción general de la ecación C, sin embargo la fnción 8 0 también es solción de la ecación diferencial a qe la satisface, por lo tanto ésta es na solción singlar, a qe es imposible obtenerla a partir de la solción general. 0

15 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Un problema de valor inicial es toda ecación diferencial qe se encentra acompañada por nas condiciones iniciales. Es importante destacar qe en n problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser igal al orden de la ecación diferencial, es decir, na ecación diferencial de tercer orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, na ecación diferencial de orden n, debe estar sjeta a n condiciones iniciales, es decir: n n F,,,,, 0 sjeta a n,,, n Cabe destacar, qe la solción de n problema de valor inicial siempre genera na solción del tipo particlar. Ahora bien, cando se considera n problema de valor inicial, srgen las sigientes pregntas: El problema tiene solción? De eistir solción, es ésta la única solción del problema? La respesta a estas interrogantes viene dada en el sigiente teorema. Teorema de eistencia nicidad. Sea R na región rectanglar en el plano,, qe contiene al pnto, definida por a b, c d en s interior. 0 0

16 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Si f df d son continas en R, entonces eiste n intervalo abierto I, con centro 0 contenido en ab, na única fnción, qe satisface el problema de valor inicial f,, sjeta a, 0 0 Para toda de I. (ver figra.) d R, o o c a I b Figra. A continación se presentarán nos ejemplos para aclarar el teorema anterior. Ejemplo. Demestre qe el problema de valor inicial sjeta a 3, tiene solción única. De acerdo al teorema de eistencia nicidad, primero se comprobará qe f,, cmple con la hipótesis. Como 3 df 3 d, ambas son continas en todo rectánglo R del plano. Ahora la condición inicial, implica qe

17 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 0, además 0. Es obvio qe, está contenido en algna región rectanglar R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cmplen, con lo cal se pede conclir qe eiste na solción única. Ejemplo. Verifiqe si la ecaciónl sjeta a, tiene solción única. Al igal qe el problema anterior, primero se comprobará qe cmple con la hipótesis del teorema de eistencia nicidad. Entonces se tiene qe, f, df d, sin embargo en, df d no es contina. Por lo tanto el pnto, no debe estar inclido en na región rectanglar R, donde las hipótesis qe satisfaga el teorema. Con lo cal no se pede conclir del teorema de eistencia nicidad qe eista na solción única. Esto no significa qe el problema no tenga solción o qe tenga varias solciones. Cabe destacar qe si n problema de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de eistencia nicidad, entonces las crvas integrales se interceptan..5 MODELOS MATEMÁTICOS. Un modelo matemático, es na descripción matemática de n sistema o fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, qe ocrre en la vida real. 3

18 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Para la formlación de n modelo matemático es necesario: Identificar las variables qe afectan al sistema, es decir, las qe prodcen cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajstado a la realidad, sin embargo mcho más complejo para resolver. Establecer n conjnto de hipótesis razonables acerca del sistema qe se trata de describir. Las hipótesis del problema implican con frecencia, la razón o tasa de cambio de las variables involcradas. El ennciado del modelo matemático de estas hipótesis, pede estar conformado por na o más ecaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecaciones diferenciales. Lego de formlado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir hallar na solción a la ecación diferencial o al sistema de ecaciones diferenciales, lo cal no es nada fácil. Al determinar la solción se deberá comprobar qe el modelo sea razonable, lo qe implica verificar si s solción es consistente con los datos eperimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Sin embargo, si las predicciones qe se basan en la solción son deficientes, se pede amentar el nivel de resolción del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado. En el capítlo 4 se desarrollarán ejemplos de algnos modelos matemáticos con ecaciones diferenciales de primer orden orden sperior. 4

19 CAPÍTULO ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En este capítlo por fin empezaremos a resolver ecaciones diferenciales, sin embargo por los momentos solo de primer orden. A pesar de qe veremos mchas técnicas, realmente son tres las fndamentales, variables separables, eactas lineales, el resto mediante na sstitción se transforman en algna de estas tres.

20 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES Una ecación diferencial ordinaria de primer orden se dice qe es separable o qe es en variables separables si se pede escribir de la forma: h d g d Donde h es na fnción contina qe depende solamente de la variable, g es na fnción qe depende solo de la variable. Los pasos necesarios para resolver ecaciones de este tipo son: Epresar la ecación diferencial de la forma: h d g d Integrar la ecación diferencial para encontrar la solción general, es decir: h d g d c De ser posible, escribir la solción en forma eplícita:, f c Ejemplos. Reselva Primero se escribe la ecación en forma diferencial, sabiendo qe d, d d d d d Integrando la ecación se obtiene, 6

21 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ln C, con 0 Donde C es na constante real, aplicando eponencial para escribir la solción en s forma eplícita, se tiene e C, entonces se tiene qe C e e De la igaldad anterior, se verifica qe no se anla, por lo tanto no cambia de signo, con lo cal, se concle qe la solción general de la ecación diferencial viene dada por: Ce C Donde C es na constante real qe es igal a e. Ejemplo. Reselva d 3 d Primero se reescribe la ecación separando las variables con ss respectivos diferenciales: d d 3 7

22 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Acomodando la ecación para lego integrar ambos miembros: 3 d d Con lo cal lego de integrar obtenemos: 3 C En este ejemplo se pede apreciar qe a veces no es posible o práctico epresar la solción en s forma eplícita. Ejemplo3. Reselva Primero se reescribe la ecación en forma diferencial, sabiendo qe d, d separando las variables con ss respectivos diferenciales a cada miembro de la ecación. d d d d Realizando división de polinomios en la fnción qe depende de la variable, se tiene, d d Integrando la ecación se obtiene la solción general, la cal viene dada por: ln arctan C 8

23 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3 Ejemplo 4. Reselva d d 0 con diferenciales: Primero se reescribe la ecación separando las variables con ss respectivos d 3 d Con lo cal lego de integrar la ecación, se obtiene la solción general ln ln C 3ln ln ln C C Lego como, si entonces, se tiene 3 C 3 C 4 Por lo tanto la solción particlar de la ecación diferencial es: Ejercicios Propestos.. Rta. C 4 4 d d 0. sin 0 Rta. cos C 9

24 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3. Rta. e cos d e sin d 0 con 0 sec e tan d e sec d 0 Rta. 3 e C tan 5. sin ln con e Rta. ln csc cot 6. d cot d 0 Rta. sin C 7. d 3 3 d 4 8 Rta. 3 Ce con Rta. ln ln 9. d d 0 Rta. ln C 0. K a b b a Rta. a Ce K b a 0

25 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Una ecación diferencial ordinaria de primer orden se dice qe es homogénea si se pede escribir de la forma: Donde M,, M, d N, d 0 N son fnciones homogéneas del mismo grado. Este tipo de ecación diferencial mediante n cambio de variable se transforma en na ecación en variables separables... Fnciones homogéneas. cmple qe: Se dice qe f, es na fnción homogénea de grado n, si para toda t, se, n, f t t t f Ejemplos. Verifiqe si las sigientes fnciones son homogéneas: a. f (, ) En este caso se tiene qe:, f t t t t t t Resolviendo las potencias, se obtiene: , 5 4 f t t t t t

26 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Factor común 3 t 3 3 3, 5 4 f t t t Y por lo tanto: 3,, f t t t f Con lo cal se concle qe f (, ) es na fnción homogénea de tercer grado. b f (, ) Aqí se tiene qe, f ( t, t) t t Con lo cal se obtiene, f ( t, t) 5 t Por propiedades de radicales, se tiene f ( t, t) t f ( t, t) t

27 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y por lo tanto,, t f, f t t Lo cal demestra qe f (, ) es na fnción homogénea de grado... Resolción de ecaciones diferenciales homogéneas Los pasos necesarios para resolver na ecación diferencial homogénea son: Epresar la ecación diferencial de la forma: M d Verificar qe M,, grado., N, d 0 N son fnciones homogéneas del mismo Transformar la ecación diferencial homogénea en na de variables separables, tilizando calqiera de las sigientes sstitciones:, con ss respectivos diferenciales. ó Resolver la ecación diferencial en variables separables, para lego regresar el cambio de variable realizado. d d 0 Ejemplos. Reselva Al eaminar M, fnciones son homogéneas de grado. N, se verifica qe las dos 3

28 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Si se tiliza el cambio de variable sstitendo en la ecación diferencial se obtiene: d d d 0, entonces d d d, Resolviendo se tiene, d d d d 0 Simplificando aplicando propiedades de radicales, se obtiene d d 0 Separando las variables con ss respectivos diferenciales, d d Con general, Lego de integrar ambos miembros de la igaldad, se obtendrá la solción arcsin ln C Pero como, implica qe, con lo cal se obtiene la solción general a la ecación diferencial, la cal viene dada por: arcsin ln c 4

29 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ejemplo 3. d d La cal es na ecación diferencial homogénea de grado. Por lo tanto se tilizará el cambio de variable ecación se obtiene:, además d d d. Sstitendo en la Resolviendo se tiene: d d d 3 d d d d Agrpando diferenciales aplicando factor común en ambos miembros, d 3 d Separando las variables con ss respectivos diferenciales, d d Integrando ambos lados de la ecación, se obtiene: ln ln ln C d Donde se resolvió tilizando la técnica de fracciones parciales. Aplicando las propiedades de logaritmo en la solción obtenida, se tiene: ln ln C 5

30 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Aplicando eponencial a la ecación, se obtiene: C Lego como, entonces, con lo cal se tiene, C Con lo cal lego de operaciones algebraicas se obtiene la solción general: C Ejercicios Propestos.. cot d d 0 Rta. cos C d d con. Rta. ln 4 3. cos d cos d 0 Rta. ln sin C 6

31 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4. d d Rta. 4 C 0 5. e d e d 0 Rta. ln ln con 0 6. e Rta. ln C e 7. 6 d d 0 4 con Rta d d 0 Rta. ln arctan c 9. ln ln C Rta. e 0. 3 Rta. tan 3 3 ln C 7

32 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. forma: Una ecación diferencial se dice qe es eacta si se pede escribir de la M, d N, d 0 Y además cmple con:, N, M Si se tiene na fnción de dos variables de la forma z f,, cas derivadas parciales son continas en na región rectanglar R del plano, entonces s diferencial total, se define como: f f df d d Ahora bien si f (, ) diferencial total, se tiene: C, donde C es na constante real, al aplicar el f f d d 0 Pero como bien se sabe f f son fnciones de dos variables, es decir, fnciones qe dependen de. Por lo tanto asmiendo qe: 8

33 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN M, f N, f Se tiene qe: M, d N, d 0 Lego: M f f N f f igales, Y como las derivadas crzadas de na fnción de varias variables son siempre f f Se concle qe:, N, M Los pasos necesarios para resolver na ecación diferencial eacta son: Lego de escribir la ecación de la forma: M d, N, d 0 se verifica qe cmpla con:, N, M Se determina f,, lego de integrar la relación f, M,, 9

34 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Donde,, f M d g g es la constante de integración debido a qe se está integrando con respecto a la variable. Se deriva la ecación (3) con respecto a la variable, con lo cal se tiene: f, M d g, Como f, N,, entonces sstitendo en la ecación anterior despejando g, se tiene: g N, M, d Lego se integra con respecto a. Es importante verificar qe esta ecación debe ser na fnción qe debe depender solo de la variable (o constante), entonces, g N, M, d d C Por último se sstite g en la solción f,, con lo cal se obtendrá la solción general de la ecación diferencial, recordando qe es del tipo implícita, es decir, f, C, por la solción es: 30

35 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN M, d N, M, d d C En caso de qe al iniciar este procedimiento, se halla decidido empezar por la relación f, N,, estos se deben segir estos mismos pasos pero en forma análoga, es decir, en vez de integrar con respecto a se hace con respeto a, en lgar de derivar con respecto a, se deriva con respecto a, así scesivamente, hasta llegar a la solción qe debe tener la forma: N, d M, N, dd C Cabe destacar, qe en calqiera de los dos casos, no se debe memorizar estas fórmlas, sino más bien segir los pasos antes descritos. 3 Ejemplo. Reselva d 4d 0 3 Como la ecación tiene la forma Md Nd 0, entonces implica qe:, N M 3 3, 4 De aqí se verifica si cmple con la condición de eactitd, es decir, M N 3

36 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN M N Lo cal implica qe la ecación diferencial es eacta, ahora se debe decidir con qe ecación comenzar, en este caso se hará con: f La cal al integrarla con respecto a, se obtiene: 3 f, 3 Lego se deriva con respecto a la variable. 3 f, 3 g Como f N, entonces se tiene: g 3 3 Se integra con respecto a, para obtener g g 4 g 4 C Con lo cal, por último se determina la solción de la ecación diferencial la cal viene dada por: 3

37 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN C Ejemplo. Reselva cos sin d d 0 con Se compreba qe la ecación diferencial es eacta, M, N, En este caso parece más sencillo comenzar con: f, La cal se integra con respecto a la variable. Se deriva con respecto a, f, f g, g Como f, M, entonces se tiene: cos sin g Se integra con respecto a, para obtener g g cos sin g cos C 33

38 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por lo tanto se determina la solción general de la ecación diferencial, la cal vienen dada por: cos C Lego como se tiene na condición inicial, tal qe, entonces: cos C C 4 Por último la solción particlar de la ecación diferencial es: cos 4 Ejercicios Propestos.. tan sin sin d cos cos d 0 Rta. cos sin ln cos C. d d 0 3 Rta. C 3 3. con Rta d d 0 Rta C 34

39 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 5. con d 0 Rta Rta. ln C d 3 d 0 e e 0 7. Rta. con e 0 8. cos d sin d 0 Rta. sin C 9. d d 0 Rta C 0. cos d sin d con Rta. sin FACTORES INTEGRANTES Si na ecación diferencial de la forma M d eacta, pede eistir na fnción,, N, d 0 no es, tal qe al mltiplicarla por la ecación 35

40 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN diferencial, esta se transforme en eacta. Esta fnción, integrante de la ecación diferencial. se denomina factor Es importante acotar qe la solción de la ecación diferencial lego de aplicar el factor integrante es la misma de la ecación diferencial inicial, así como también, recalcar qe no es fácil encontrar n factor integrante para na ecación diferencial no eacta. Sin embargo, si M,, N cmplen ciertas condiciones necesarias, es posible hallar de na manera sencilla el factor integrante. A continación se presentarán casos de factores integrantes, los cales son los más comnes, peden ser tilizados de acerdo a las características de la ecación diferencial. CASO I. Factor Integrante dependiente de. Ocrre si al resolver M N N Se obtiene na fnción qe depende solo de la variable. En este caso el factor integrante viene dado por: h d e Donde 36

41 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ln d 0 Ejemplo. Reselva la ecación diferencial d Esta ecación diferencial no es eacta, a qe: dm dn d d ln Por lo tanto, se verifica si es posible consegir n factor integrante qe transforme la ecación diferencial en eacta, por lo tanto se compreba si M N N es na fnción qe depende solo de la variable, M N M N M N ln ln N ln N ln N Con lo cal es posible determinar el factor integrante, qe viene dado por: e e d ln tiene: Entonces al mltiplicar la ecación diferencial por el factor integrante se d ln d 0 37

42 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En consecencia, d ln d 0 Ahora esta ecación diferencial es eacta, a qe M N Por lo tanto ahora es necesario resolver la ecación diferencial eacta, para ello comenzamos con: Entonces se tiene: Ahora derivando con respecto a, Como N, f, f f, ln f g, ln g, entonces se tiene: ln ln g Se integra con respecto a, con lo cal se obtiene g, g ln g ln C 38

43 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Con lo cal se determina la solción general de la ecación diferencial, ln ln C CASO II. Factor Integrante dependiente de. Ocrre si al resolver N M M Se obtiene na fnción qe depende solo de la variable. En este caso el factor integrante viene dado por: h d e Donde h N M M Ejemplo. Reselva la ecación diferencial d 3 4 d 0 Esta ecación diferencial no es eacta, a qe: dm dn d d 39

44 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN variable, Por lo tanto se verifica qe N M M es na fnción qe dependa solo de la N M N M N M M M M Con lo cal se determina el factor integrante, d e e ln tiene: Entonces al mltiplicar la ecación diferencial por el factor integrante se En consecencia, d 3 4 d 0 3 d 3 4 d 0 La cal ahora esta ecación diferencial es eacta, a qe: dm dn d d 40

45 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN La cal tiene como solción general: 3 C Problemas propestos.. d d Rta C e d e 3 d 0 Rta. e 3 C 3. d 3 3 d 0 Rta C d d 0 Rta. Ce d 3 6 d 0 Rta d d 0 Rta. C 4

46 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Una ecación diferencial lineal de primer orden es aqella qe tiene la forma: a a Q () 0 Sin embargo al dividir () por a, se obtiene na forma más útil de escribir la ecación diferencial lineal, llamada forma estándar, viene dada por: P Q () Donde P Q son fnciones continas definidas en n intervalo. orden son: Los pasos necesarios para resolver ecaciones diferenciales lineales de primer Lego qe la ecación diferencial este escrita como (), mltiplicarla por el factor integrante e P d, con lo cal se obtiene: P d P d P d e P e Q e La cal es eqivalente a la ecación: Pd d e Q e d P d Con lo cal al integrar se obtiene la solción general de la ecación diferencial, 4

47 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Pd Pd e Qe d C Es importante no tratar de memorizar la solción general, sino más bien segir paso a paso el procedimiento antes descrito. Ejemplo. Resolver la ecación e 3 3 La cal es na ecación lineal con P Q e De manera qe: e e e e Ke d C C Ahora se tiene na familia de factores integrantes, de la cal se escogerá a e, entonces mltiplicamos a ambos miembros la ecación diferencial, e e e e 3 En consecencia, d e e d 5 Lego integrando la ecación se tiene: 5 5 e e C 43

48 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por último la solción general es: e Ce 5 3 Ejemplo. Resolver la ecación diferencial cos Esta ecación diferencial es lineal con Q cos P De manera qe el factor integrante es: d e e ln Ahora se mltiplica el factor integrante por la ecación diferencial, de modo qe: cos En consecencia se obtiene: d cos d Lego de integrar con respecto a, se obtiene: sin cos C Con lo cal la solción general de la ecación diferencial es: cos sin C 44

49 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Cabe destacar qe es mchos casos es conveniente acomodar la ecación diferencial de tal manera qe f para qe esta sea lineal, es decir, de la forma: P Q La cal tendrá como factor integrante e P d, se resolverá igal qe los casos anteriores pero de forma análoga, tal como lo ejemplifica el sigiente ejercicio. Ejemplo 3. Resolver la ecación diferencial d d con 5 Primero debe mltiplicarse toda la ecación diferencial por, para qe tenga la forma de na ecación lineal, d d La cal es na ecación diferencial lineal con Q P De manera qe el factor integrante es: d e e ln Ahora se mltiplica el factor integrante por la ecación diferencial, 45

50 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En consecencia se obtiene: d d Lego de integrar con respecto a, se obtiene: C Con lo cal la solción general de la ecación diferencial es: C Pero como eisten nas condiciones iniciales tal qe 5 C5 C , entonces En consecencia la solción particlar a la ecación diferencial es: 49 5 Ejercicios Propestos.. 0 Rta. Ce. con e Rta. 0 5 e 3e 46

51 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN e 3. Rta. e C 4. con e d e d 0 Rta. 3 3 e C 3 Rta. d d e d d Rta. e C d d con Rta. 8 5 C 8. 3 Rta con 0 Rta. 47

52 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 0. d e d 0 Rta. e Ce 4.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI. forma: Una ecación diferencial de Bernolli es aqella qe se pede escribir de la n P Q Donde n, es n número real. Cabe destacar qe n debe ser distinto de 0, a qe si n 0 la ecación diferencial es lineal, pero si n es na ecación diferencial en variables separables. Toda ecación diferencial de Bernolli, mediante n cambio de variable se convierte en na ecación diferencial lineal. Los pasos necesarios para resolver na ecación diferencial de Bernolli son: n Lego de qe la ecación diferencial tenga la forma P Q, mltiplicarla por n - n n n n n n P Q P Q 48

53 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Realizar el cambio de variable de la forma z n, con lo cal al derivar también se tiene qe se obtiene,, al sstitir en la ecación diferencial n z n z P z Q z n P z n Q n Sponiendo qe P n P Q nq diferencial se transforma en na ecación lineal z P z Q, la ecación La cal al resolver se obtendrá la solción general de la ecación diferencial de Bernolli, recordando qe al final se debe sstitir n por z Ejemplo. Reselva n Se acomoda la ecación diferencial de la forma P Q Con lo cal se verifica qe es na ecación de Bernolli con n, entonces se procede a mltiplicar toda la ecación diferencial por, es decir, por. 49

54 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ahora se realiza el cambio de variable z, es decir, z con s respectiva derivada z, por lo tanto se tiene: z z z z La cal es na ecación diferencial lineal con Q P, ca solción general es: 3 z C Sin embargo como z, entonces la solción general es: 3 C 6 Ejemplo. Reselva Primero acomodando la ecación diferencial, se tiene qe: 6 Por lo tanto es na ecación de Bernolli con n, entonces se procede a mltiplicar la ecación diferencial por, es decir, por

55 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Lego se realiza el cambio de variable z, es decir, z 3 con s respectiva derivada z 3, por lo tanto se tiene: z z 6 z 6z 8 3 La cal es na ecación diferencial lineal con P 6 Q 8 ca solción general es:, z 3 Ce 3 Sin embargo como 3 z, entonces la solción general de la ecación diferencial es: Ce Ejercicios Propestos.. Rta. con Rta Ce 3. 3 Rta. Ce 5

56 CAPÍTULO. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Rta. 4 C Rta. con 3 cos Rta. 3sin 3cos C Rta. C Rta. ln C 9. 4 tan cos Rta. 3tan 3 C cos d d 0 Rta. 6 Ce 5

57 CAPÍTULO 3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Este capítlo está destinado a presentarnos las técnicas para resolver ecaciones diferenciales de orden sperior, no importando si son homogéneas o no homogéneas, pero si teniendo en centa qe siempre sean lineales.

58 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Una ecación diferencial lineal de orden sperior qe tienen la forma: n n an an a a a0 g En donde sí g 0, la ecación diferencial se denomina homogénea, pero si g 0, entonces la ecación se llama no homogénea. Sin embargo, antes de estdiar cada na de estas ecaciones diferenciales, primero se desarrollará na teoría preliminar necesaria para comprender este capítlo. 3.. Principio de Sperposición,,,, solciones de na ecación diferencial homogénea Sean 3 n n de orden n, entonces la combinación lineal de estas, 3 3 C C C C C n n n n También es solción de dicha ecación diferencial. 3.. Dependencia e independencia lineal. Un conjnto de fnciones f, f, f,, f, f linealmente independiente si para 3 n n, es 54

59 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR C f C f C f,, C f C f n n n n Se cmple qe C C C3 C C 0. n n Si el conjnto de solciones no es linealmente independiente, entonces se dice qe es linealmente dependiente, es decir, si al menos algna de las constantes C, C,, Cn, Cn es no nla. Para entender mejor este concepto, spongamos qe, son fnciones linealmente dependientes, entonces eisten las constantes C C no nlas tale qe: C C 0 Entonces como C 0, es posible escribir la ecación de la forma: C C Por lo tanto si, son fnciones linealmente dependientes si solo si na fnción es múltiplo constante de la otra. Y por consigiente, esto nos lleva a conclir, qe dos fnciones son linealmente independientes, si ningna fnción no es múltiplo constante de la otra Wronskiano. Es na fnción, co nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene- Wronski, especialmente importante en el estdio de las ecaciones diferenciales. El 55

60 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Wronskiano se obtiene al resolver el determinante qe está conformado por n conjnto de fnciones ss derivadas. Spongamos qe las fnciones,,,, f f f f n wronskiano viene dado por: n poseen al menos n- derivadas, entonces el W f, f,, f, f n n f f f f f f n f f f n f f f n n n n f n n n n f f f n n Uno de los sos más importantes qe se le da al wronskiano en las ecaciones diferenciales, es el de verificar si n conjnto de solciones es linealmente independiente o no. Dado n conjnto de solciones,, 3, n, n de na ecación diferencial homogénea de orden n. Entonces dicho conjnto de solciones es linealmente independiente si solo si, en algún pnto de n intervalo se cmple qe W,,,,, 0 3 n n 3..4 Ecación diferencial homogénea. Como se dijo al principio del capítlo na ecación diferencial homogénea es aqella qe tiene la forma: n an a a a a n n

61 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Este tipo de ecación diferencial tiene como solción general: 3 3 C C C C C n n n n Donde,, 3, n, n es n conjnto fndamental de solciones linealmente independientes. Cabe destacar qe el número de fnciones qe conformarán el conjnto de solciones es igal al orden de la ecación diferencial homogénea, de este modo, na ecación diferencial de segndo orden tendrá n conjnto de solciones conformado por dos fnciones. Otra característica de las ecaciones diferenciales homogéneas, es qe la solción trivial siempre la satisface, sin embargo en el estdio de estas ecaciones la despreciaremos Ecación diferencial no homogénea. Una ecación diferencial lineal no homogénea tiene la forma: n n Con 0 an an a a a0 g g. La solción de este tipo de ecación está conformada por la sma de dos solciones, llamadas solción complementaria c solción particlar p. La solción complementaria, es la solción qe se obtiene lego de transformar la ecación diferencial no homogénea en na ecación homogénea. 57

62 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La solción particlar, es na solción dada de la ecación diferencial no homogénea, la cal dependerá de la acción de la fnción g sobre la ecación. En conclsión la solción general de na ecación diferencial no homogénea de orden n viene dada por: c p Una ecación diferencial no homogénea debe tener n conjnto de solciones formado por al menos n+ fnciones, las cales deben ser linealmente independientes entre sí. En este capítlo, más adelante, se presentarán técnicas para determinar la solción particlar de la ecación diferencial no homogénea. 3. REDUCCIÓN DE ORDEN El método de redcción de orden consiste en constrir na segnda solción de na ecación diferencial a partir de na solción conocida. Dada la ecación diferencial lineal homogénea de segndo orden, a a a

63 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con a 0, además a, a a0 continas en I, si se divide por a haciendo P a a Q a a 0, se tiene la forma estándar o canoníca 0 P Q Esta ecación tiene como solción general c c, donde, deben ser linealmente independientes, esto implica qe. Por lo tanto es posible hallar na segnda solción, a partir de na solción a conocida, para toda diferente de na constante. Entonces si se tiene como posible solción a, implica qe debe satisfacer a la ecación, por lo tanto primero se deriva dos veces a Se sstiten la derivadas de en la ecación diferencial P Q 0 Aplicando propiedad distribtiva agrpando en fnción de, se tiene: P P Q 0 59

64 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Pero de acerdo a la ecación diferencial de segndo orden, se tiene qe P Q, por lo tanto: 0 P 0 Como z, además z, entonces: z P z 0 La cal es na ecación diferencial de variables separables. Por lo tanto llevándola a s forma diferencial separando las variables se tiene: dz z P d Ahora integrando la ecación anterior se obtiene, ln z ln P d C ln z P d C Por consigiente z C e P d Despejando z, para lego regresar el cambio z Pd C e C e z P d 60

65 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Escribiendo la ecación en s forma diferencial volviendo a integrar: Pd e C d C Tomando a C 0 C, además como, entonces: Ejemplo. Sea sen ln Pd e d na solción de la ecación diferencial 0, halle na segnda solción qe satisfaga la ecación. Lo primero qe se debe hacer es escribir la ecación diferencial en s forma canónica, es decir, dividimos la ecación por : 0 Por lo tanto de acerdo a (3) na segnda solción para la ecación diferencial viene dada por: d e sen ln d sen ln Resolviendo la integral del nmerador, se tiene: 6

66 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ln e sen ln d sen ln d sen ln sen ln Ahora simplificando tilizando n cambio de variable, se obtiene: z ln d d sen ln d sen ln sen ln dz sen Acomodando e integrando, se tiene: sen ln csc d sen ln cot Por último regresando el cambio de variable z ln, sen ln cot ln Ejercicios propestos. Utilice el método de redcción de orden para obtener na segnda solción con Rta. 4 ln 6 0 con Rta

67 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3. 0 con ln Rta con sen ln Rta. cos ln 5. 0 con cosh Rta. sinh con 6. Rta. e con Rta. 3 3 ln con Rta. e con Rta. e 3 e ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTE CONSTANTE Se dice qe na ecación diferencial lineal es homogénea con coeficientes constantes si esta tiene la forma: 63

68 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR n n n a a a a a a n n n 0 0 Donde a0, a, a,, an, an son constantes reales con an 0. Este tipo de ecación diferencial tiene como característica fndamental qe todas ss solciones son fnciones eponenciales de la forma formadas a partir de fnciones eponenciales. m e o, al menos, están Para mostrar cómo se reselven las ecaciones diferenciales homogéneas de coeficiente constante, primero se comenzará por el caso especial de la ecación diferencial de segndo orden, para lego describir cómo resolver ecaciones de orden speriores en general Ecaciones de segndo orden. Una ecación diferencial de segndo orden viene dada por: a b c 0 Como se dijo antes, la solción de esta ecación tiene la forma m e, entonces al derivar dos veces dicha solción sstitirla en la ecación, se tiene: m m m m am e bme ce e am bm c 0 0 De esta última ecación, se sabe qe m e nnca pede ser cero, mientras tenga valor real, por lo tanto la única forma de qe peda ser cero es qe: am bm c 0 64

69 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Esta ecación se denomina ecación ailiar o ecación característica de la ecación diferencial. Ahora bien como se observa, esta ecación es cadrática, na forma de determinar las raíces (resolver), es a través de la ecación: m b b 4ac a De la cal, como a se sabe, se pede obtener tres casos, de acerdo al tipo de raíces qe tenga la ecación, los cales se analizarán a continación: CASO I. Raíces reales diferentes.b 4ac 0 Ocrre cando la ecación ailiar tiene dos raíces reales diferentes, es decir, m m m m con lo cal se obtienen las solciones e e. Como estas solciones son linealmente independientes, se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: m C e C e m Ejemplo. Reselva Como se sabe este tipo de ecación tiene como solción general e m, la cal al derivar sstitir en la ecación diferencial se tiene: m m m m m e me e e m m

70 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Entonces la ecación ailiar es m 3m0 0 ss raíces m 5 m, por lo cal se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: CASO II. Raíces reales igales. b 5 C e C e 4ac 0 m Ocrre cando la ecación ailiar tiene dos raíces reales igales, es decir, m b m con lo se obtendrá na sola solción e, donde al resolver m. a Sin embargo na ecación diferencial de segndo orden debe tener dos solciones, por lo tanto tilizando el método de redcción de orden, se pede determinar, a partir de la a conocida, esto es: Pd m e e d m e Como al escribir la ecación en s forma canónica se obtiene b c b 0, entonces P, además como m a a a P qe m, por lo tanto: b a, se pede conclir m d m m e m e e d e d m m e e 66

71 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con lo cal se obtiene: e d e m m Por lo tanto la solción general viene dada por: m C e C e m Ejemplo. Reselva Como la solción general e m, la cal al derivar sstitir en la ecación se tiene: m m m m m e me e e m m Entonces la ecación ailiar es m 6m 9 0 ss raíces m 3 m 3, por lo cal se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: 3 3 C e C e CASO III. Raíces complejas conjgadas. b 4ac 0. m Ocrre cando la ecación ailiar tiene dos raíces complejas, es decir, i m i, donde son números reales con 0 además qe i. Por lo tanto la solción general de la ecación diferencial es: 67

72 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR k e k e i i Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con fnciones reales no con eponenciales complejas. Por lo tanto: i i i i k e e k e e e k e k e Lego tilizando la formla de Eler, la cal viene dada por: e i cos isen Se tiene: i i e cos isen e cos isen Entonces: cos sen cos sen e k i k i Con lo cal: cos e k k k k sen general es: Lego asmiendo qe C k k C k k, conclimos qe la solción cos sen e C C 68

73 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo 3. Reselva 0 Como la solción general e m, la cal al derivar sstitir en la ecación se tiene: m m m m m e me e e m m 0 0 Entonces la ecación ailiar es m 6m 9 0, con lo cal lego de 3 3 aplicar la ecación (5), se obtienen las raíces: m i m i, por lo tanto se tiene qe 3, por consigiente se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: 3 3 e Ccos Csen 3.3. Ecaciones de orden sperior. Ahora, de manera más general, se estdiará la ecación diferencial homogénea de orden sperior, n n n a a a a a a n n n 0 0 Qe, como se dijo antes, tiene como solción general la fnción e m, por lo tanto s ecación ailiar, viene dada por: 69

74 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR a m a m a m a m a m a n n n n n n 0 0 Este tipo de ecación pede general mchas combinaciones de solciones, sobre todo combinaciones de los casos qe se vieron para ecaciones homogéneas de segndo grado, por ejemplo na ecación diferencial de carto orden, pede tener catro raíces diferentes, catro raíces igales, dos raíces reales igales dos complejas, dos complejas dos reales diferentes, o calqier otra combinación, sin embargo a continación se presentarán tres casos qe adarán en la resolción de las ecaciones diferenciales de orden sperior: Caso I. Múltiples raíces diferentes. Si todas las raíces de la ecación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir m m mn mn, entonces la solción general tiene la forma: m m 3 n C e C e C e C e C e m m mn 3 n n Caso II. Múltiples raíces igales. Si todas las raíces de la ecación diferencial homogénea son reales e igales, es decir m m mn mn, entonces la solción general tiene la forma: n n C e C e C e C e C e m m m m m 3 n n 70

75 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Caso III. Múltiples raíces complejas conjgadas igales. Si todas las raíces de la ecación diferencial son conjgadas complejas igales, es decir, si m conjgada m i es na raíz compleja de mltiplicidad k, s raíz i también es na raíz de mltiplicidad k, entonces con base en las k solciones complejas, se tiene como solción general: C cos C sen C3 cos C4 sen e n Cn cos Cnsen Ejemplo 4. Reselva Esta ecación diferencial tiene como ecación ailiar: 3 m m m La cal lego de factorizar se hallan ss raíces: m 0 mm 5m 0 m 5 m3 Por lo tanto la solción general de la ecación diferencial es: 5 C C e C e 3 Ejemplo 5. Reselva La cal tiene como ecación ailiar: 3 m m m

76 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por lo tanto lego de factorizar se hallan ss raíces: m 3 m m m3 0 Entonces la solción general de la ecación diferencial es: C e C e C e 3 Ejemplo 6. Reselva Esta ecación diferencial tiene como ecación ailiar: m 4m Con lo cal lego de factorizar se hallan ss raíces: m m3 0 i 0 0 m m4 0i m m m Por lo tanto la solción general de la ecación diferencial es: cos sen 3 cos 4 sen C C C C Ejemplo 7. Reselva La cal tiene como ecación ailiar: m 8m 0 6 Por lo tanto lego de factorizar se hallan ss raíces: 7

77 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR m m m m m3 m4 m m , 3 m5 0 i3, m6 0 i3 Entonces la solción general de la ecación diferencial es: 3 3 C C C e C e C cos3 C sen Ejemplo 8. Reselva 0 con 0 0 La cal tiene como ecación ailiar: m 0 Y ss raíces son: m 0 i m 0 i, por lo tanto la solción general de la ecación diferencial es: cos C C sen Lego como 0, entonces se tiene: C cos 0 C sen 0 C Y además como, entonces: C sen C cos C sen C cos C Con lo cal podemos determinar la solción particlar, la cal viene dada por: 73

78 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR cos sen Ejercicios propestos C e C e 3 Rta con 0 0, e C e 3 Rta C e C e 3 3 Rta con 0 e e Rta Rta. e C cos C sen C e C e C cos C sen Rta C C C e C e C cos3 C sen Rta C cos C sen C cos C sen Rta

79 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3.4. MÉTODOS DE COEFICIENTES INDETERMINADOS El método de coeficientes indeterminados es tilizado para determinar la solción particlar p de ecaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficiente constante, es decir para ecaciones qe tengan la forma: n n an an a a a0 g a, a,, a, a, a constantes reales. Con n n 0 Sin embargo este método solo es posible tilizarlo si la fnción g es del tipo: n Polinómica a0 a a an Eponencial e Seno ó coseno cos o sen Smas /o prodcto finito de las anteriores. Algnos ejemplos de fnciones para g permitidas en este método son: g 5, g 4 8, g 4, g 5 e, g 4 e g 4 e, g sen 5, g 6 cos 4, g e sen e

80 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR permitidas: Caso contrario, algnos ejemplos de fnciones qe para g no están g ln, g, g, 3 4 g, g, g arccos cos sen Este método lleva el nombre de coeficientes indeterminados debido a qe inicialmente la solción particlar qe se determina tiene coeficientes desconocidos, lego parte de este método es determinar el valor de dichos coeficientes. El método de coeficientes indeterminado presenta dos enfoqes, no llamado sperposición otro anlador. A continación se describirá cada no de estos enfoqes MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoqe de sperposición. Este enfoqe consiste en proponer na solción particlar p, qe contenga no o más coeficientes desconocidos. Esta solción particlar debe ser de forma semejante a la fnción g de la ecación diferencial no homogénea. Es importante resaltar, na vez más, qe la solción general de na ecación diferencial no homogénea debe contener fnciones linealmente independientes entre 76

81 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR sí. Por lo tanto se debe verificar qe la solción particlar propesta no sea múltiplo de ningna de las fnciones qe conforman la solción complementaria, de así serlo, la solción particlar debe ser mltiplicada por n, donde n indica el número de repeticiones qe presente p. Además, si la fnción g, está conformada por na sma de fnciones g g g g, la solción particlar también estará conformada n por na sma de solciones p p p pn, donde p es la posible solción particlar de g, así scesivamente. En este caso se debe verificar qe sean linealmente independientes pero de forma individal. En la tabla 3., se presentan algnos ejemplos de posibles solciones particlares a partir de na fnción g dada. Cabe destacar qe en esta tabla se asme qe no eiste repetición de fnciones entre el p asmido la solción complementaria. A continación se presenta los pasos necesarios para resolver na ecación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, sando el enfoqe de sperposición: Se verifica qe la fnción contenida en g, se encentre entre las permitidas por el método de coeficientes indeterminados. Se determina la solción complementaria c. 77

82 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Se escribe na posible solción particlar p, de acerdo a la fnción g Se verifica qe la solción particlar planteada sea linealmente independiente con respecto a las fnciones qe conforman la solción particlar. Se sstite la solción particlar en la ecación diferencial, para de este modo determinar los coeficientes desconocidos de p Se escribe la solción general de la ecación diferencial no homogénea. g p Sgerida A A+B A B C 3 A B C D e Ae sen 4 Asen 4 Bcos4 cos3 Asen 3 B cos3 4e 5 e sen3 A B C e 5 e Asen 3 B cos3 sen 4 cos A B C D cos 3 4 e sen sen 3 3 A B C e D E F e cos Tabla 3. 78

83 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo. Reselva Primero se determina la solción complementaria, transformando la ecación diferencial en homogénea, es decir: S ecación ailiar es: m m m m Con lo cal las raíces de la ecación ailiar son: m 3 m Por lo tanto la solción complementaria viene dada por: C e C e c 3 Ahora se asme na solción particlar de acerdo a la fnción contenida en g, entonces como g 7 p A B, se propone como solción particlar a: Inmediatamente debe verificarse si A B es linealmente independiente con respecto a las fnciones qe conforman la solción complementaria, es decir, si es múltiplo de 3 e o e. En este caso, como no ha mltiplicidad, se concle qe la solción particlar a tilizarse es la asmida, por lo tanto se confirma qe p A B. 79

84 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Se deriva p dos veces debida a qe es na ecación diferencial de segndo orden: A B A 0 p p p se tiene: Sstitendo la solción particlar ss derivadas en la ecación diferencial A 3 A B 7 En consecencia 4A3A 3B 7 3A 4A3B 7 Con lo cal 3A 7 4A3B Por lo tanto se tiene qe: 7 A 3 B 9, entonces la solción particlar es: p Por último se concle qe la solción general de la ecación diferencial es: 3 7 c Ce Ce

85 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo. Reselva Se determina la solción complementaria de 0, primeo se constre la ecación ailiar se determinan ss raíces: m 0 3 m m m m m m3 Lo qe implica qe la solción complementaria de la ecación dada es: C C C e p 3 g Ahora se asme na solción particlar de acerdo a la fnción qe contiene Como g entonces se asme p A B Sin embargo al verificar si p es linealmente independiente con respecto a c, se compreba qe si ha mltiplicidad, por lo tanto se mltiplica la solción particlar por, con lo cal se tiene qe la neva solción particlar es: A B p 3 Es importante cotejar qe si se hbiese mltiplicado la solción particlar por, todavía segiría siendo linealmente independiente. 8

86 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Entonces se deriva la solción particlar tres veces porqe es na ecación diferencial de tercer orden, con lo cal se tiene: A B 3A B 6A B 6A 3 p p p p se tiene: Sstitendo la solción particlar ss derivadas en la ecación diferencial, 6A 6A B En consecencia 6A6A B 6A 6A B Con lo cal 6A 6A B Por lo tanto se tiene qe: A B, entonces la solción particlar 6 es: p 6 3 Con lo cal se concle qe la solción general de la ecación diferencial es: C C C3e 6 3 8

87 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo 3. sen Se determina la solción complementaria de 0, constrendo primero la ecación ailiar determinando ss raíces: m m 0 0 m i 0 i Lo qe implica qe la solción complementaria de la ecación dada es: C cos C sen c g Ahora se asme na solción particlar de acerdo a la fnción qe contiene Como g sen entonces se asme cos A B C D sen p Sin embargo al verificar si p es linealmente independiente con respecto a c, se compreba qe si ha mltiplicidad, por lo tanto se mltiplica la solción particlar por, con lo cal se tiene qe la neva solción particlar es: cos A B C D sen p Entonces se deriva la solción particlar dos veces porqe es na ecación diferencial de segndo orden, con lo cal se tiene: A B C D cos A B C D sen p 83

88 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR A A B 4C D cos 4A B C C D sen p se tiene: Sstitendo la solción particlar ss derivadas en la ecación diferencial, A Bcos C Dsen sen A A B 4C D cos 4A B C C D sen En consecencia A 4C D cos 4A B C sin sen 4C cos A D cos 4A sen B C sen sen Con lo cal 4C 0, A D 0, 4A, B C 0 Por lo tanto se tiene qe: solción particlar es: A, B 0, C 0 D, entonces la p cos sen Con lo cal se concle qe la solción general de la ecación diferencial es: Ccos Csen cos sen 84

89 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo 4. e Se determina la solción complementaria de 4 4 0, constrendo primero la ecación ailiar determinando ss raíces: m 0 3 m m 4m mm m m m3 Lo qe implica qe la solción complementaria de la ecación dada es: C C e C e c 3 contiene Ahora se asme qe na solción particlar de acerdo a la fnción qe g. g e Como 4, se verifica qe está compesta por la sma de dos fnciones, es decir, g g g, con g g e implica qe la solción particlar tendrá la forma: p p p. 4. Lo qe Entonces, para g se asme A B C además para g e se asme 4 De, con lo cal la solción particlar a priori seria: A B C De p 85

90 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sin embargo, todavía falta verificar si la solción particlar qe se está asmiendo es linealmente independiente con las fnciones qe conforman la solción complementaria. En este caso, se debe hacer en forma individal, por consigiente: Primero se compara A B C con C C e C e, con lo c 3 cal se compreba qe eiste mltiplicidad, a qe en la solción complementaria ha na fnción polinómica constante representada por C, por lo tanto debe mltiplicarse p por, de esta manera se tendrá como primera solción particlar a: 3 p A B C Ahora se compara, De con C C e C e, se verifica c 3 qe también eiste mltiplicidad pero esta vez, debe mltiplicarse p por, con lo cal se tendrá como segnda solción particlar a: D e Por consigiente se tiene qe la solción particlar a tilizarse es: A B C D e p 3 Derivando la solción particlar tres veces, se tiene: A B C D e 3A B C De p 3 p 86

91 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con lo cal al sstitir en la ecación diferencial se tiene: A B C De e 6A 6 4 De 4 6A B 4 De Acomodando n poco la ecación qeda: A 8B 4A 6A 4C 8B 4De 4e Con lo cal A, 8B 4A 0, 6A 4C 8B 0, 4D 4 En consecencia: A, B, 4 3 C, D la solción particlar es: 8 3 p e Con lo cal se concle qe la solción general de la ecación diferencial es: 3 C C e C e e

92 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejercicios propestos. Reselva sando el enfoqe de sperposición del método de coeficientes indeterminados Rta. 4cos 5sen C e C e. e Ce Ce e Rta. 3. Rta. e Ccos Csen 4. cos e 5 C Ce e sen cos Rta e 9 50sen Ce Ce e 4sen 3cos Rta. 6. C C C3e Rta e Ce Ce C3 cos C4 sen e Rta. 88

93 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR sen 5 C cos5 C sen 5 cos5 Rta con 5 Rta. 0 0, e e 40e con 0, 0 5, 0 9 e 9e e e Rta MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoqe de anlador. Este enfoqe al igal qe el de sperposición es tilizado para resolver ecaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficientes constantes, sin embargo en este caso se tiliza operadores diferenciales Operadores diferenciales El operador diferencial, denotado por na D maúscla, está definido por: d D d Si se desea escribir na derivada de orden enésimo tilizando operadores diferenciales, se tendría: 89

94 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR n d n d n D Donde la potencia del operador diferencial indica el orden de la derivada. Por lo tanto na ecación diferencial de la forma: n n an an a a a0 g Pede escribirse como: n n and an D ad ad a0 g O también de la forma: a n n nd an D ad ad a0 g P D a D a D a D a D a, se llama n n La epresión operador diferencial de orden n. n n 0 El operador diferencial de orden n, presentan las sigientes características: PD se pede factorizar como el prodcto de operadores diferenciales de primer orden operadores diferenciales de segndo orden qe no son posibles redcirlos a primer orden. Los factores de PD peden conmtarse. PD f g PD f PD g, para calqier fnción f g siempre qe sean derivables al menos n veces. 90

95 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por ejemplo la ecación diferencial 3 4 0, se pede reescribir con operadores diferenciales de la forma: 3 D D D Y por consigiente 3 D 3D 4D 0 D D 4 D 0 Cando n operador diferencial anla na fnción f, la cal es sficientemente diferenciable, se denomina operador anlador. Por ejemplo si se tiene la fnción f 4, s operador anlador sería D, a qe: D 4 4 D 4 0 A continación se presentará en forma general, na serie de operadores anladores qe podrán ser tilizados en este enfoqe. a. El operador diferencial n D, anla a calqier polinomio de la forma: n n an an a a a0 b. El operador diferencial D, anla a calqier eponencial de la forma: e c. El operador diferencial D n, anla a calqier fnción de la forma: n n an an a0 a a e 9

96 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR d. El operador diferencial D, anla calqier fnción de la forma: asin ó acos e. El operador diferencial D D de la forma: n n e a sen n 0 a a a ó n e a cos n 0 a a a, anla calqier fnción anladores. En la tabla 4. se presentan algnas fnciones con ss respectivos operadores g Operador anlador 4 3 D 4 3 D 4 D e D sen 4 D 6 4 e D 3 5 e sen3 4 cos D 0D 36 D e sen D 6D 3 3 Tabla 4. 9

97 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR tiene la forma: Ahora mchas veces se pede presentar qe la fnción qe se desea anlar g g g g n Es decir, la fnción a anlar, está compesta por dos o más fnciones. En este caso, el operador anlador de g, será el prodcto de todos los operadores anladores de las fnciones qe componen g, por lo tanto, si L D es el operador qe anla a g, L D es el operador qe anla a g así scesivamente hasta Ln D qe es el operador qe anla gn, entonces: L D L D L D g n Coeficientes indeterminados. Dada la ecación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes: g P D P D a D a D a D a D a como se dijo n n Donde anteriormente para este método la fnción n n 0 g es del tipo: n Polinómica a0 a a an Eponencial e Seno ó coseno cos o sin 93

98 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Smas /o prodcto finito de las anteriores. Entonces eiste n operador diferencial P D qe anle a se tiene: g, con lo cal P D PD 0 Con lo cal, la ecación diferencial no homogénea se transforma en na homogénea, de ella se podrá obtener la solción particlar p de la ecación diferencial no homogénea. A continación se presentan los pasos necesarios para resolver na ecación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes sando el enfoqe anlador: Determinar la solción complementaria. Escribir la ecación diferencial tilizando los operadores diferenciales. Determinar el operador anlador de g, mltiplicarlo por toda la ecación diferencial. Determinar la ecación ailiar, factorizarla determinar ss raíces Escribir la solción general con los coeficientes indeterminados. Etraer de la solción general la solción particlar p, verificando no haber inclido n término qe pertenezca a la solción complementaria c 94

99 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sstitir la solción particlar p en la ecación diferencial para determinar ss coeficientes desconocidos. Escribir la solción general definitiva. Ejemplo 5. Reselva 4 4 Primero tal como se especificó en el procedimiento, se hallará la solción complementaria, para ello primero transformamos la ecación en homogénea 4 4 0, para lego determinar s ecación ailiar con ss respectivas raíces m m m m m Con lo cal la solción complementaria es: C e C e c Ahora se reescribe la ecación diferencial tilizando operadores diferenciales, D 4D 4 D 4D 4 Lego como g s operador anlador es 3 D, entonces: D D D D D D D

100 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por consigiente se tiene: m m m 0 m4 m m m Por lo tanto na aproimación a la solción general sería: C C C C e C e Sin embargo como C e C e pertenecen a la solción complementaria, 4 5 entonces la solción particlar viene dada por: C C C A B C p 3 p Ahora para consegir los coeficientes desconocidos, primero derivamos la solción particlar para lego sstitirla en la ecación diferencial dada: A B C B C C p p p C 4 B C 4 A B C 4C 8C 4B C 4B 4A Con lo cal 4C, 8C 4B, 4A C 4B 0 En consecencia: A, 8 B 4 C la solción particlar es: 4 96

101 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR p Con lo cal se concle qe la solción general de la ecación diferencial es: Ce Ce Ejemplo 6. Reselva e Primero se hallará la solción complementaria, para ello primero transformamos la ecación en homogénea 0, para lego determinar s ecación ailiar con ss respectivas raíces m 3 m m m m m m m 0 0 m3 Con lo cal la solción complementaria es: C e C e C e c 3 Reescribiendo la ecación diferencial con operadores diferenciales, D D D e D D D e Lego como g e, entonces s operador anlador es debido a qe para es 3 D, por lo tanto: e el operador anlador es D para D D,, el operador anlador 97

102 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3 3 D D D D D D D D D D D D e 0 Por consigiente se tiene: m m m m m m m 0 m4 m5 m, m 6 7 Por lo tanto na aproimación a la solción general sería: C C C C e C e C e C e Sin embargo como C e C e C e pertenecen a la solción complementaria, entonces la solción particlar viene dada por: C C C C e A B C Ee 3 5 p Esta vez, no se ha tilizado la letra D, para no confndirlo con el operador diferencial. Entonces, lego de derivar sstitir en la ecación diferencial, tal como se ha realizado en todos los ejercicios anteriores, se obtiene qe: 5 A, B, C, E 4 6 En consecencia la solción particlar es: p e 98

103 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con lo cal se concle qe la solción general de la ecación diferencial es: 5 C e C e C e e Ejercicios propestos. Reselva sando el enfoqe anlador del método de coeficientes indeterminados. e Ce Ce e Rta e Ce Ce 4e 4 e 6 e 3 Rta. 3. C cos C sen sen cos Rta. 4. sen 3 3 e Ccos Ccos cos cos sen Rta sen C cos5 C sen 5 4sen Rta e sen C e cos C e sen 3e sen Rta. 99

104 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 7. 5 con 0 0, e Rta con 0, e cos e sen Rta e 40e con 0, 0 5, Rta. e 9e e e 3.5 MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS Hasta ahora se han reselto ecaciones diferenciales no homogéneas de coeficiente constante sando el método de coeficientes indeterminados, sin embargo como se dijo antes este método solo es efectivo para algnas fnciones contenidas en g. Debido a esto, es necesario conocer otro método qe ade a resolver ecaciones qe no tengan esa restricción. Afortnadamente el matemático Joseph Lagrange, descbrió n método m ingenioso poderoso para resolver ecaciones diferenciales no homogéneas, sin importar el tipo de fnción qe se encentre del lado derecho de la igaldad en la ecación diferencial. Es importante aclarar, qe éste método es posible tilizarlo tanto en ecaciones diferenciales con coeficiente constante como variable. 00

105 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al igal qe en el método para resolver ecaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes, primero se realizará el estdio con las ecaciones de segndo orden lego se generalizará para ecaciones diferenciales de orden n Ecaciones de segndo orden. Dada ecación diferencial no homogénea de segndo orden: a a a f 0 Al dividirla por a, se obtiene s forma redcida o canónica: P Q g La cal tiene como solción complementaria C C c Con fnciones linealmente independientes. Entonces el método de variación de parámetros indica qe la solción particlar p, tendrá la misma forma de la solción complementaria pero sstitendo las constantes arbitrarias por dos fnciones, es decir, p p Por lo tanto para poder obtener la solción particlar es necesario determinar las fnciones. 0

106 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR tilizada: Antes de comenzar a trabajar se debe establecer na condición qe lego será 0 Ahora, comencemos primero derivando dos veces la solción particlar, p p tiene: Entonces sstitendo en la ecación diferencial en s forma redcida se P Q g Agrpando términos se tiene: P g P Q P Q Como, son fnciones qe conforman la solción complementaria, significa qe satisfacen la ecación diferencial homogénea en s forma redcida, por lo tanto: P Q 0 P Q 0 0

107 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Entonces se tiene qe: P g entonces: d d Pero, del mismo modo d, d tanto: d d d d P g d d d, por lo d d d Además por diferenciación d P g d Como a se había establecido la condición 0, entonces qeda: g Con lo cal se formará n sistema de dos ecaciones con como incógnitas 0 g 03

108 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al resolver este sistema por la regla de Cramer, se obtiene lo sigiente: 0 g 0 g Como, es el wronskiano de las solciones, tilizando las notaciones de la regla de Cramer, se pede escribir como W W W W Con lo cal se pede definir las fnciones incógnitas, de la solción particlar como: W d W W d W Es importante recordar qe como son las fnciones qe conforman la solción complementaria, ellas son linealmente independientes, por lo tanto, s wronskiano siempre es diferente de cero. Por último la solción general viene dada por: W W C C d d W W 04

109 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En resmen los pasos necesarios para resolver na ecación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros son: Escribir la ecación diferencial en s forma redcida Determinar la solción complementaria c C C Determinar las fnciones W d W W d W, de acerdo a Sstitir, en la solción particlar p Escribir la solción general de la ecación diferencial, qe viene dada por: c p Ejemplo. Reselva tan Como la ecación a está en s forma redcida, entonces procedemos a determinar la solción complementaria, de 0, constrendo primero la ecación ailiar determinando ss raíces: m m 0 0 m i 0 i Lo qe implica qe la solción complementaria de la ecación dada es: C cos C sin c 05

110 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por lo tanto como cos sen, entonces la solción particlar es: cos sen p Ahora se determina los valores de W, W W : cos sen W W W sen cos cos sen 0 sen sen W W tan sen W tan cos cos cos o W W cos tan W sen sen tan Con lo cal ahora se pede determinar las fnciones incógnitas: sen cos d d ln sec sen cos cos sen d cos Por lo tanto la solción particlar viene dada por: ln sec sen cos cos sen cos ln sec p p Entonces se pede conclir qe la solción general a la ecación dada es: C cos C sen cos ln sec 06

111 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo. Reselva 3 e Como la ecación a está en s forma redcida, entonces procedemos a determinar la solción complementaria, la cal viene dada por: C e C e c 3 Por lo tanto como 3 e e, entonces la solción particlar es: e e p 3 Ahora se determina los valores de W, W W : 3 e e W W e e 3e e W 4e 3 3e e e W W e e W e e e e 0 W W e e W e e 3e e Con lo cal ahora se pede determinar las fnciones incógnitas: e d e e d e e 4e

112 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR e e d e e d e e 4e Por lo tanto la solción particlar viene dada por: 3 3 p e e e e e e p e Entonces se pede conclir qe la solción general a la ecación dada es: 3 Ce Ce e 4 3 Nótese qe cada vez qe se resolvieron las integrales para hallar las fnciones, se obvió la constante de integración, esto se debido a qe si se tilizará, al mltiplicarla por las solciones se repetiría la solción complementaria Ecaciones de orden sperior. Este método de variación de parámetros es posible generalizarlo para ecaciones diferenciales no homogéneas de orden n. Para ello primero se debe escribir la ecación en s forma redcida: n n P P P g n 0 La cal tiene na solción complementaria de la forma: C C C C c 3 3 n n 08

113 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Entonces s solción particlar es: p 3 3 n n ecaciones: Qe al sstitir en la ecación diferencial, generaría el sigiente sistema de 3 3 n n n n 0 n n n n 3 3 n n g Con lo cal, lego de emplear la regla de Cramer e integrar se tiene: W W W3 Wn d, d, 3 d, n d W W W W Ejemplo 3. Reselva e Como la ecación a está en s forma redcida, entonces procedemos a determinar la solción complementaria, la cal viene dada por: C e C e C e c 3 Por lo tanto como 3 e, e 3 e, entonces la solción particlar es: e e e p

114 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ahora se determina los valores de W, W, W W 3 : e e e 3 W 3e e e W e e 6e W 6e 3 9e e e 3 0 e e W 0 e e W e e e e e W e e e e 3 e 0 e W 3e 0 e W e e e 3e e W e e e e 3 e e 0 W 3e e 0 W e e e 3e e W 4e e e e Con lo cal ahora se pede determinar las fnciones incógnitas: e d e d e 6e e 3 3 d e d e 6e e d e d e 6e 3 3 0

115 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por lo tanto la solción particlar viene dada por: 0 p e e e e e e e p Entonces se pede conclir qe la solción general a la ecación dada es: 0 C e C e C e e Problemas propestos.. sen cos C cos C sen ln sen Rta e sec tan Ce Ce e tan 3 Rta. 3. e ln Rta. 3 C e C e e e 4 ln 4. 6 csc 4 Rta. Ccos 4 Csen 4 cos 4 sen 4ln sen sec C cos C sen sen cos ln cos Rta.

116 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 6. 5 e sec e C cos C sen sen cos ln cos 4 Rta. 7. sen e e cos e Rta. Ce C e e sen e 8. C cos C sen sec 3 sec Rta. 9. sen Rta. C Ce C3e cos 0. con 0, e e 4 5 e e e e Rta ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER. Hasta ahora hemos visto técnicas para resolver, con relativa facilidad, ecaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Ahora cando en na ecación diferencial ss coeficientes son variables es realmente complicado obtener na solción para ello se tilizan las series de potencia. Sin embargo eiste na ecación diferencial de coeficientes variables qe es posible aplicarle las técnicas qe hemos visto hasta ahora, se llama ecación diferencial de Cach-Eler.

117 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La ecación de Cach-Eler, es toda ecación diferencial qe tenga la forma: n n n d n d d d n n n 0 an a a a a f d d d d Donde an, an,, a, a, a0 son coeficientes constantes. Así como las ecaciones diferenciales de coeficiente constante tenían como solción general a e m, las ecaciones de Cach-Eler tienen como solción general a m. Para aprender a resolver ecaciones diferenciales de Cach-Eler, primero realizaremos el estdio cando las ecaciones son homogéneas Ecaciones homogéneas Para aprender a resolver ecaciones de Cach-Eler homogéneas primero empecemos analizando las de segndo orden para lego generalizar a calqier orden. Una ecación de Cach-Eler homogénea de segndo orden tiene la forma: 0 a b c Como la solción general de esta ecación tiene la forma m, entonces al derivar dos veces dicha solción sstitirla en la ecación, se tiene: m m m m am m bm c 0 am b a m c 0 3

118 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con lo cal se obtiene la ecación ailiar de la ecación diferencial. am b a m c 0 Ahora bien como se observa, qe esta es na ecación cadrática, de la cal, como a se sabe, se pede obtener tres casos, de acerdo al tipo de raíces qe tenga la ecación, los cales se analizarán a continación: CASO I. Raíces reales diferentes. Ocrre cando la ecación ailiar tiene dos raíces reales diferentes, es decir, m m m m con lo cal se obtienen las solciones. Como estas solciones son linealmente independientes, se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: m m C C Ejemplo. Reselva Como se sabe este tipo de ecación tiene como solción general m, la cal al derivar sstitir en la ecación diferencial se tiene: m m m m m m m m m

119 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Entonces la ecación ailiar es m m8 0 ss raíces m m 4, por lo cal se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: 4 C C CASO II. Raíces reales igales. Ocrre cando la ecación ailiar tiene dos raíces reales igales, es decir, m m m con lo se obtendrá na sola solción, donde m b a a. Sin embargo na ecación diferencial de segndo orden debe tener dos solciones, por lo tanto tilizando el método de redcción de orden, se pede determinar, a partir de la a conocida, esto es: Pd m e d m Como la ecación en s forma canónica se obtiene b c 0, a a entonces P b, además como a b ln a b ln a b a e e se tiene: b b b d ln a a a m e m e m d d m d m m 5

120 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Lego como b a m entonces a b a m, por lo tanto: a b b ba bba m a m m a a m a d d d Por consigiente: m m m d d ln Por lo tanto la solción general viene dada por: m m C C ln Ejemplo. Reselva Como la solción general m, la cal al derivar sstitir en la ecación se tiene: m m m m m m m m m Entonces la ecación ailiar es m 4m 4 0 ss raíces m m, por lo cal se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: C C ln 6

121 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR CASO III. Raíces complejas conjgadas. m Ocrre cando la ecación ailiar, tiene dos raíces complejas, es decir, i m i, donde son números reales con 0 además qe i. Por lo tanto la solción general de la ecación diferencial es: i i k k Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con fnciones reales no con eponenciales complejas. Por lo tanto: i i i i k k k k Lego como e ln, entonces se tiene: i ln ln i k e k e Ahora tilizando la formla de Eler, la cal viene dada por: e i cos isen Se tiene: i ln cos ln sen ln e cos ln isen ln i ln e i Entonces: cos ln sen ln cos ln sen ln k i k i 7

122 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con lo cal: cos ln sen ln k k k k general es: Lego asmiendo qe C k k C k k, conclimos qe la solción cos ln sen ln C C Ejemplo 3. Reselva 9 0 Como la solción general m, la cal al derivar sstitir en la ecación se tiene: m m m m m m m 9 0 m 9 0 Entonces la ecación ailiar es m 9 0, ss raíces: m 0 3 i m 0 3i, por lo tanto se tiene qe 0 3, por consigiente se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: cos 3ln sen 3ln C C Ahora bien de manera más general, na ecación diferencial de Cach-Eler homogénea de orden sperior tiene la forma: n n n n an an a a a0 0 8

123 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Para esta ecación se presentará tres casos qe adarán en s resolción: Caso I. Múltiples raíces diferentes. es decir, Si todas las raíces de la ecación diferencial homogénea son reales diferentes, m m m m, entonces la solción general tiene la forma: n n m m mn C C C C n n mn Caso II. Múltiples raíces igales. Si todas las raíces de la ecación diferencial homogénea son reales e igales, es decir m m mn mn, entonces la solción general tiene la forma: m m m ln m ln ln 3 n C C C C n Caso III. Múltiples raíces complejas conjgadas igales. Si todas las raíces de la ecación diferencial son conjgadas complejas igales, es decir, si m conjgada m ies na raíz compleja de mltiplicidad k, s raíz i también es na raíz de mltiplicidad k, entonces con base en las k solciones complejas, se tiene como solción general: cos ln sen ln ln 3 cos ln 4 sen ln n ln Cn cos ln Cnsen ln C C C C 9

124 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ejemplo 4. Reselva Como la solción general m, la cal al derivar sstitir en la ecación se tiene: m m m m m m m m m m m m m m Entonces se tiene como ecación ailiar a 3 m m m 4 8 0, ss raíces: m, m 0 i m3 0 i, por consigiente se pede conclir qe la solción general de la ecación diferencial es: cos ln sen ln C C C Ecaciones no homogéneas. Debido a qe el método de coeficientes indeterminados solo se aplica a las ecaciones diferenciales de coeficiente constante, no es posible emplearlo en las ecaciones de Cach-Eler, por lo tanto el método qe se tilizará para resolver ecaciones diferenciales no homogéneas será el de variación de parámetros. Ejemplo 5. Reselva Sabiendo qe la solción general es m, entonces derivando sstitendo en la ecación diferencial lego de transformarla en homogénea, se tiene: 0

125 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR m m m m m m m m m Por lo tanto la ecación ailiar ss raíces de la ecación diferencial son: m m m m m m 3 Entonces la solción complementaria de la ecación diferencial es: C C c 3 Ahora se determina la solción particlar por medio del método de variación de parámetros. Sin embargo, es importante antes de empezar a tilizar este método, verificar qe la ecación diferencial esté escrita en s forma redcida, con lo cal en este caso, primero se debe dividir la ecación diferencial por Lego, como las fnciones 3 conforman a la solción complementaria, entonces se tiene qe la solción particlar viene dada por: p 3 Ahora se determina los valores de W, W W : 3 W W 4 3 W

126 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 0 W W 0 W 3 0 W W W Con lo cal ahora se pede determinar las fnciones incógnitas: d d d d Por lo tanto la solción particlar es: p p dada es: Con lo cal se concle qe la solción general de la ecación diferencial C C Ejercicios propestos.. ln C cos ln C sen ln ln Rta.

127 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. C C ln ln 0 3 ln Rta ln C C ln C3 ln 7 Rta C C ln ln Rta C C Rta C C ln C3 ln 7 Rta sen 3 ln Rta. C C cos 3 ln C3 sen 3 ln ln sen 3 ln con 0, 4 Rta. 3

128 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Este capítlo está destinado a la presentación de diferentes problemas de aplicaciones qe pedan epresarse a través de modelos matemáticos en los qe estén involcradas ecaciones diferenciales. Estos modelos podrán ser reseltos con las técnicas vistas en los capítlos anteriores.

129 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4. TRAYECTORIAS ORTOGONALES. Dada dos familias niparamétricas de crvas, f,, C 0 g,, C 0 Se dicen qe son traectorias ortogonales, si todas las crvas de na familia cortan perpendiclarmente a todas las crvas de la otra familia. Con lo cal si f g son ortogonales, entonces deben cmplir con la condición de perpendiclaridad entre dos crvas, la cal viene dada por: f, g, En la figra 4. se observa como en ese caso la familia de crvas de la elipse son ortogonales a la familia de crvas de la hipérbola. Figra 4. 5

130 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Los pasos necesarios para calclar la familia de traectorias ortogonales a la familia niparamétrica f,, C 0, son: Se deriva la fnción f,, C 0 Si la derivada de f también está en fnción de C, despejar de f,, C 0 la constante C, sstitirla en f. Constrir la ecación g, el paso anterior., con la f encontrada en f, Por último, al integrar la ecación obtenida se determinará la fnción g,, C 0, cas crvas son ortogonales a las crvas de f,, C 0. Ejemplo. Determinar las traectorias ortogonales a la familia de crvas C Primero de la ecación dada se obtiene: C con 0 Lego se deriva la ecación dada: C 6

131 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Entonces según la condición de perpendiclaridad, se tiene: Por consigiente, resolviendo por variables separables d d d d k Por lo tanto la familia de crvas ortogonales a C es: C Ejercicios propestos.. Hallar las traectorias ortogonales de la familia Rta. 3 C C. 3. Hallar las traectorias ortogonales de la familia de hipérbolas eqiláteras C Rta. C 3. Determinar las traectorias ortogonales de Rta. C C 7

132 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL Qizás no de los problemas sobre los cales se han realizados mas estdios son aqellos qe involcran la predicción del crecimiento o decrecimiento de na población. Este tipo de problema se consige comúnmente en las ciencias de la sald, con el estdio de crecimiento de bacterias, céllas, plantas, entre otros, pero también los demógrafos al estdiar la cantidad de población en na zona determinada. Es obvio qe se trata de na predicción, qe para ello se peden tilizar diferentes modelos, sin embargo en este apartado se desarrollará el crecimiento eponencial, por ser el más sencillo versátil. Todo problema de crecimiento decrecimiento eponencial, tiene como ecación diferencial d k, t dt 0 0 Donde es la población por nidad de tiempo, t representa el tiempo k es na constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los qe intervienen crecimiento, decaimiento o desintegración por último 0 es la población eistente en cierto instante inicial t 0. Entonces como: d k dt 8

133 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Resolviendo mediante el método de variables separables, se tiene: d ktc kt k dt ln kt C e Ce Ahora como se tiene nas condiciones iniciales tal qe t, entonces: 0 0 e e kt0 0 0 kt 0 Ce C e kt0 kt0 Sponiendo, como en casi todos los problemas, qe t0 0, entonces se tiene la solción general: e 0 kt Cabe destacar qe si k 0, el problema es de crecimiento, del mismo modo si k 0, el problema será de decrecimiento, tal como lo mestra la figra 4. k 0 e kt k 0 Figra 4. 9

134 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo. Crecimiento poblacional. Se sabe qe la población de cierta comnidad amenta con na rapidez proporcional a la cantidad de personas qe tiene en calqier momento t. Si la población se dplicó en 5 años, En cánto tiempo se triplicará cadrplicará? La ecación diferencial a tilizar es: d k dt Ca solción general a sabemos qe es: e 0 kt De acerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales 5 0 Por consigiente se tiene: k5 0 0e k ln 5 Con lo cal obtenemos la solción: t e ln t 5 0 Ahora se determina en canto tiempo se triplicará la población, es decir 30 t 30

135 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Entonces: ln t ln t ln3 3 e 3 e t t 7,9 ln Y para determinar en canto tiempo se cadrplicará la población, es decir 40 t, se tiene: ln t ln t ln 4 4 e 4 e t t 0 ln Por consigiente se concle qe se necesitan 7,9 años para triplicar la población 0 años para cadrplicarla. Ejemplo. Crecimiento bacteriano. La población de na comnidad de bacterias crece a razón proporcional a s población en calqier momento t. Al cabo de 3 horas se observa qe ha 400 individos. Pasadas 0 horas, ha 000 bacterias. Cál era la cantidad inicial de bacterias? por: Como este problema es de crecimiento, a se sabe qe s solción viene dada 0 t e kt 3

136 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES En este caso las condiciones iniciales son , con lo cal: 000 e 400 e 0k 0 3k 0 Del sistema anterior se obtiene k 0, Por lo tanto se concle qe la población inicial de bacterias era de 00. Ejemplo 3. Antigüedad de n fósil. Lego de analizar n heso fosilizado, se verificó qe poseía la centésima parte de la cantidad original de C-4. Determine la edad del fósil sabiendo qe el período medio (tiempo en desintegrarse la mitad del compesto) del C-4 es aproimadamente 5600 años. Como se sabe la ecación a tilizar para este tipo de problema es: 0 t e kt De acerdo a lo planteado en el problema , por lo tanto se tiene: k 5600k 0e e k 0,

137 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Por consigiente se obtiene la solción general: 0, e t 0 t Ahora como actalmente se tiene na centésima parte de la cantidad inicial de C-4, entonces 0 t, por lo tanto: ,000378t 0,000378t 0e e t 3704, Con lo cal se concle qe el fósil tenía na edad aproimada de Ejercicios propestos.. Cando se prodce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de na cierta clase presentes en el paqete. Al cabo de 60 días el número N ha amentado a 000N. Sin embargo, el número 00N es considerado como el límite saldable. A cantos días, despés de elaborado, vence el alimento. Rta días. Se ha determinado qe el 0,5 por ciento del radio desaparece en años. Determine: Qé porcentaje desaparecerá en 000 años? Cál es la vida media del radio? Rta. 43,%;.660 años 33

138 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4.3 LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO. Según la le de Newton, en n cerpo qe esta enfriándose, la tasa de cambio de la temperatra con respecto al tiempo, es proporcional a la diferencia de la temperatra del cerpo (T) la temperatra del medio ambiente qe lo rodea T, esto se tradce en: m dt k T Tm dt con T 0 T0 del cerpo. Donde k es la constante de proporcionalidad, T 0 es la temperatra inicial Este tipo de ecación diferencial pede ser reselta por la técnica de variables separables, con lo cal se tiene: dt kdt ln T Tm kt C T T m Como el problema es de enfriamiento siempre se cmple qe T T entonces m T T T T m m Por consigiente se tiene qe: ktc kt T Tm e T Tm Ce Cabe destacar qe si el cerpo se enfría entonces siempre k 0, pero caso contrario si el cerpo se calienta entonces k 0. 34

139 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo. Una cabilla de acero es sacada de n horno a na temperatra de 000 C, es llevaba a n espacio ca temperatra ambiente es de 30 C. Si lego de horas la temperatra de la cabilla es de 60 C. Determine, Qé temperatra tendrá la cabilla lego de 30 mintos de haber salido del horno? en cánto tiempo la temperatra de la cabilla será de 40 C? De acerdo a los datos del problema se tiene qe la temperatra del medio ambiente es de 30 C, con lo cal de acerdo a la solción de todo problema de enfriamiento se tiene: kt 30 T t T Ce T t Ce m kt se tiene: Además de acerdo a las condiciones iniciales del problema T C, kt k T t 30 Ce Ce C Por lo tanto se obtiene: e kt T t Ahora como lego de hora la temperatra qe eperimenta la cabilla es de 60 C, entonces T 60 C, se tiene: k e k 3,476 35

140 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Entonces la solción general del problema es: 3,476t e T t Para determinar la temperatra de la cabilla lego de 30 mintos (0,5 horas) de haber salido del horno, se tiene: 3,476 0,5 T 0, e T 0,5 33, 46 C Por último, el tiempo transcrrido para qe la cabilla esté a 40 C, es: 3,476t e t,36 h. Ejercicios propestos.. Un cerpo se calienta a 00 C se epone al aire libre a na temperatra de 00 C. Si al cabo de na hora s temperatra es de 600 C. Cánto tiempo adicional debe transcrrir para qe se enfríe a 300 C? Rta. ln 5 t ln. Un cerpo a na temperatra desconocida se pone en n refrigerador a na temperatra constante de F. Si despés de 0 mintos la temperatra del cerpo es de 40 F 40 mintos mas tarde la temperatra del cerpo es de 0 F. Determinar la temperatra inicial de este. Rta. 8 F 36

141 CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4.4 MEZCLAS. Una mezcla o solción es la nión de n solto (gaseoso, líqido o sólido) con n solvente (líqido o gaseoso). Se tienen dos tipos de mezclas: Gaseosas, cando se diselve n gas en otro gas Líqidas, cando se diselve n sólido o líqido en n líqido o gas. No importando el tipo de mezcla qe se presente, todo problema de mezclado viene dado por la ecación diferencial: da R R e s dt determinado, Donde A(t) es la cantidad de solto presente en la mezcla en n tiempo R e la tasa de entrada de la mezcla R s la tasa de salida de la mezcla. Entrada Mezcla Figra 4.3 Salida 37