Aproximación al MEF en el cálculo de estructuras: Resolución paso a paso de una estructura sencilla desde las funciones de forma.
|
|
|
- Víctor Duarte Ortiz
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Aproimación al MEF en el cálclo de estrctras: Resolción paso a paso de na estrctra sencilla desde las fnciones de forma. Enriqe David lácer. Resmen El Método de los Elementos Finitos MEF como sistema de modelización nmérica para problemas complejos es bien conocido en múltiples ramas de la ingeniería. Aplicado a la concepción y diseño de estrctras, reslta fndamental como técnica de redcción de n problema contino a n problema discreto, fácilmente manejable con las herramientas de cálclo al alcance de calqiera, tanto en hardare como softare necesarios. Para mchos estdiantes, la comprensión del método pasa por revisar, paso a paso, s adaptación a na sencilla estrctra como na barra de dos nodos. Índice El método de los elementos finitos... Desarrollo de n elemento finito paso a paso... Ennciado... as fnciones de forma: aproimaciones... Matriz de fnciones de forma... 8 Matriz de rigidez K del elemento... 8 Planteamiento del ejemplo de na estrctra de barras sobre la qe ensayar el MEF... Discretización de la estrctra... Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estrctra... Aplicación de las condiciones de contorno... Resolción de las ecaciones... 7 Postproceso de la estrctra... 8 Referencias...
2 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia El Método de los Elementos Finitos Es bien conocido el actal so generalizado del MEF desde qe a mitad del S. XX aparecieran ss primeros antecedentes matemáticos. Por tanto, resltaría ocioso insistir aqí en las bondades y virtdes del MEF, ampliamente aplicado tanto en el campo de la ingeniería como la arqitectra. Únicamente recordemos qe la idea base qe animó s aparición fe la conversión de n problema na estrctra, n cerpo, na sperficie contino en n problema discreto, y por tanto, fácilmente manejable. Es del todo evidente qe en s éito ha tenido mcho qe ver el desarrollo de la tecnología informática, qe permite la fácil introdcción de datos y s interpretación. En el cálclo de estrctras, las ferzas eteriores y las tensiones están relacionadas por ecaciones de eqilibrio. A s vez, las tensiones y las deformaciones están relacionadas por ecaciones constittivas. Finalmente, las deformaciones y los desplazamientos están relacionados por ecaciones cinemáticas. EQUIIBRIO COSTITUTIVAS CIEMÁTICAS Todas estas fnciones son campos continos para los qe el problema estrctral ha de resolverse en cada estadio. El MEF convierte el problema contino en n problema discreto, mediante la introdcción del concepto de elemento finito : Aqella región en la qe se aplica na misma interpolación. Donde C,y,z son polinomios predefinidos A: coeficientes a determinar, tanto incógnitas como grados de libertad. a continidad dentro de cada elemento está garantizada por el so de fnciones polinómicas para las fnciones de forma. os saltos en el comportamiento estrctral se prodcen en las fnciones de desplazamientos o deformaciones de n elemento a otro. Desarrollo de n elemento finito paso a paso Eiste en el mercado na amplísima bibliografía aplicada al ámbito de la Ingeniería de Edificación y la arqitectra, y entre ella se han indicado algnas referencias en
3 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia el apartado final de esta comnicación. Anqe las bases teóricas del método se peden entender a través de la lectra y el estdio de la bibliografía, qizá la mejor forma de entender la directa aplicabilidad del método es a través del planteamiento y cálclo de n elemento finito sencillo, como a continación se hace. Ennciado Para comprobar de forma práctica las calidades del MEF conviene definir n elemento finito bidimensional sencillo, qe en este caso se trata de na barra de nodos con grados de libertad por nodo. Dichos grados de libertad representan: Deformación aial, deformación transversal y rotación. Para ello emplearemos n polinomio de primer grado para la deformación aial y no cúbico para describir la fleión y el desplazamiento transversal. En el espacio bidimensional se desacoplan los ailes del resto de esferzos, ya qe podemos describir el comportamiento estrctral como sma del efecto ail por n lado y de la deformación transversal y giro por otro: U W d d a epresión indica qe el giro es igal a la pendiente de la deformada del eje. Figra : Esqematización del elemento barra y ejes de referencia Dichas ecaciones, definidas para cada no de los nodos:
4 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia d d d d Así el modelo para las deformaciones aiales será: U Epresado matricialmente: U Análogamente el modelo para las deformaciones transversales y crvatras: W 7
5 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia W 8 as fnciones de forma: aproimaciones as fnciones de forma se tilizan para aproimar na fnción en n dado intervalo, a través del polinomio de agrange. Para ello epresamos la geometría en fnción de las coordenadas de los ndos: d d d d U 9 Para calclar las constantes α i necesitamos establecer condiciones en los nodos. Si tomamos los valores para =- y =+ obtendremos las fnciones en las qe sólo qedará sstitir por simple proporcionalidad entre términos. Para =-tenemos: d d Análogamente para =+: d d Resolviendo el sistema de ecaciones, en, tomando primero y :
6 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Sstityendo en la epresión inicial: Epresión cartesiana, de donde: y si por proporcionalidad, donde =, podemos sstitir directamente por ξ. Así, como por otra parte ya era conocido. Por otro lado, en : d d d d d d d d
7 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia d d d d 7 d d d d d d d d d d d d d d,, d d d d d d d d d d 8 d d d d d d 9 d d d d d d Términos qe, sstityendo en la epresión inicial: d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d Con lo qe finalmente pede epresarse, en natrales: 7
8 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia 8 d d W d d Donde el término proviene de d d Matriz de fnciones de forma as deformaciones transversales y crvatras W se epresan como el prodcto: r W,, donde W d d d d W Matriz fnciones de forma Vector desplazamientos nodales a e Matriz de rigidez K del elemento. Para el cálclo de la matriz B de deformación, podemos considerar desacoplados los esferzos ailes, sigiendo el proceso anterior de cálclo, por lo qe se considerarán por separado las deformaciones ailes de las transversales y crvatras. En primer lgar, y por lo qe respecta a las tensiones y deformaciones ailes podemos epresar: e EA DBa y entonces podemos decir qe EA D a deformación ail en n pnto calqiera de cada elemento viene dada por:
9 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Con lo qe la matriz B pede epresarse: d d d d d d d d B, B,,, B d d Y por tanto la matriz de rigidez K qeda: K EA EA, En segndo lgar, en canto a las deformaciones transversales y las crvatras, sabemos por teoría de la elasticidad qe el giro es igal a la pendiente de la deformada en el eje: d,, d d z d Por tanto, las deformaciones en n pnto calqiera se obtienen por: d d z d d a tensión por fleión se relaciona con s correspondiente deformada por la epresión: d E ze 7 d Y, para calqier pnto de la barra, la epresión del momento es: Si recordamos qe la inercia es d M z da z E da A 8 A d M I z A, la epresión del momento qeda: d d 9 9
10 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Donde: I es el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje y d χ es la crvatra del eje de la viga: d Para el caso de las deformaciones y giros, habíamos llegado en a la epresión: Donde teníamos,,, e a y también a e d d,,, d d Al estar definida la transformación lineal del elemento de dos nodos por: Tenemos también Y también: m d d d d d d d d d d d d Por tanto, la deformación en n pnto calqiera del elemento de coordenada ξ se obtiene por la epresión: d d qe por la epesión anterior es igal a d d Así qe no hay más qe hacer las segndas derivadas de cada fnción de forma: d d d d d d d d d d d d T
11 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Qe, en epresión matricial: B B B B B,,,,,, a matriz de rigidez correspondiente a deformaciones transversales y crvatras, K viene dada por: d B B DBd B K T T Siendo D=, qe operando la integral definida obtenemos: l K Qe es la matriz de rigidez a fleión. Finalmente, sólo qeda componer la matriz de rigidez del elemento completo, es decir, sometido tanto a ail como a deformación transversal y giro. Para ello, hay qe proceder al ensamblaje de dicha matriz de rigidez, con la precación de haber definido previamente cada na de las sbmatrices en las coordenadas totales del vector a e : EA EA EA EA K K K 7 Qe es la matriz de rigidez del elemento finito.
12 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Este planteamiento cambiaría si las propiedades mecánicas del material y la sección no fesen constantes drante todo el proceso de carga y comportamiento de la estrctra. Planteamiento del ejemplo de na estrctra de barras sobre la qe ensayar el MEF. Definido el elemento finito barra, se pede tilizar directamente en el cálclo de na sencilla estrctra para poder probar el MEF. Se plantea la sigiente estrctra, con s nmeración de ndos y barras: Figra : Croqis del pórtico a calclar Tomamos como datos E= Gpa; el área de todas las secciones A= - metros y la inercia de la sección I= - m. Discretización de la estrctra. a discretización de la estrctra es la qe plantea el modelo: nodos y barras, con las coneiones qe indica la sigiente tabla: úmero del elemento odo i odo j Tabla : Correspondencia entre elementos y nodos de la estrctra a calclar En Matlab, introdcimos primero los valores de las constantes de los materiales de nestra estrctra:
13 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Figra : Introdcción de datos del módlo E, área e inercia, igales en todas las barras. Asignamos también las longitdes de cada na de las barras a las constantes, y. Estos valores los introdcimos directamente de la lectra del croqis acotado de la estrctra, anqe podríamos tilizar la fnción para Matlab ongitddebarraenporticoplano, qe calcla la longitd dando las coordenadas de los ndos de cada barra. Así tenemos: = = = A continación montamos las matrices de rigidez k, k y k tilizando para ello la fnción MatrizDeRigidezElementoBarra definida anteriormente en Matlab. Así, k : Para k : Figra : Matriz de rigidez k.
14 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Y para k : Figra : Matriz de rigidez k. Figra : Matriz de rigidez k. Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estrctra. Paso : Inicializamos el número de elementos n e de la estrctra como el número de filas de la matriz de conectividad, el número de nodos n n del sistema se obtendrá como el máimo valor de la matriz de conectividad n n =má c ij. En nestro caso, dado qe la estrctra tiene catro nodos, el tamaño de la matriz global de rigidez de la estrctra será de. Paso : Inicializamos la matriz de rigidez del sistema con dichas dimensiones y todo ceros. Paso : Para el ensamblaje de los elementos tilizamos la fnción EnsamblajeDe- PorticoPlano definida previamente en Matlab. El procedimiento consiste en recorrer todas las matrices de rigidez de los elementos k nm-elementos y obtener las sbmatrices de cada nodo, matrices qe tienen las dimensiones de los grados de libertad de cada nodo cyos índices de fila y colmna varían de la sigiente manera: k ng : kn, : n g l n n g l n n g 8 n Donde k varía desde hasta el número de nodos por elemento ;
15 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia ng n es el número de grados de libertad por nodo ; Y l varía desde hasta el número de nodos por elemento. os elementos así obtenidos son smados en cada sb-bloqe c c, c de la n, k n, l matriz global de rigidez K cyos índices de fila y colmna varían de la sigiente manera: cn k ng : cn, k ng, cn, l ng : cn, l ng 9 el, n el n el n el n el el Figra 7: Matriz inicial de ceros. Ensamblando la primera barra, entre los ndos y : Figra 8: Matriz tras el ensamblaje de la primera barra. Ensamblando la segnda y tercera barras:
16 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Figra 9: Matriz tras el ensamblaje de la segnda barra. Figra 9: Matriz tras el ensamblaje de la tercera barra. Aplicación de las condiciones de contorno. as condiciones de contorno de na estrctra son las restricciones qe se dan en la estrctra estdiada. El vector de desplazamientos nodales viene dado por los tres grados de libertad, para los nodos del problema:
17 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia 7 y y y y U y el vector ferzas aplicadas en los nodos es M F F M F F M F F M F F F y y y y as condiciones de contorno en nestro caso son: = y =θ = = y =θ = los empotramientos en el selo F = - M = ferza y momento aplicados El resto de ferzas son cero: F y =M =F =F y = Resolción de las ecaciones. Para este caso, podemos resolver el sistema parcialmente a mano, eliminando las filas y colmnas,,,, y qe son aqellas en las qe en el vector de desplazamientos nodales eisten ceros. Qedará entonces na matriz configrada por las filas y colmnas a 9, cadrada: Figra : Matriz simplificada de la estrctra.
18 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Sólo qeda resolver el sistema de ecaciones de Gass, qe atomáticamente lo reselve Matlab: Figra : Resltado del sistema de ecaciones, vector desplazamiento en los ndos. Qe nos proporciona el desplazamiento de los ndos. En particlar, comprobamos qe el desplazamiento horizontal en el ndo es de -,8 metros, y qe el vertical es. En el ndo, el desplazamiento horizontal es de -,8 metros; y las rotaciones de los ndos y son,8 rad y, rad respectivamente, en el sentido de las agjas del reloj. Postproceso de la estrctra. Una vez conocidos los desplazamientos nodales de la estrctra, podemos calclar las reacciones, y calesqiera otros datos de la misma. Asi, primero calclamos los esferzos sobre los nodos de la estrctra vector F completo, a partir del vector desplazamientos nodales también completo: 8
19 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Figra : Vector completo, desplazamientos nodales. El vector F lo calclamos como el prodcto de la matriz de rigidez de la estrctra por los desplazamientos nodales calclados: Figra : Vector F completo, esferzos sobre los nodos de la estrctra. Por lo tanto, las reacciones en el ndo son,897 K hacia la derecha, y vertical de 8,8 K. En el ndo, la reacción horizontal es 7,8 K hacia la derecha, y vertical de 8,8 K. El sigiente paso es obtener los vectores de desplazamientos nodales para cada elemento barra, y, y tras ello y con la fnción FerzasEnosElementosBarra, obtener las ferzas aplicadas en cada elemento, paso previo al cálclo seccional, es decir, el dimensionado de las barras según la teoría de la elasticidad. 9
20 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Figra : Vectores, desplazamientos nodales para cada barra. Figra : Resltado ferzas aplicadas en el elemento barra.
21 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Figra : Resltado ferzas aplicadas en el elemento barra. Figra 7: Resltado ferzas aplicadas en el elemento barra. Finalmente, sólo qeda llamar las fnciones DiagramaAilesPortico, DiagramaCortantesPortico y DiagramaMomentosPortico para dibjar los diagramas correspondientes a cada na de las barras.
22 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Figra 8: Diagramas de ailes, cortantes y flectores para la barra.
23 º COGRESO EMIE 8-9 Jlio ETSIE, Universidad Politécnica de Valencia Referencias. Baker AJ. Finite elements: Comptational engineering sciences. West Ssse: Willey;. Celigüeta izarza JT. Método de los elementos finitos para análisis estrctral. San Sebastián;. Chaves EWV, Míngez R. Mecánica comptacional en la ingeniería con aplicaciones en MATAB. : Universidad de Castilla-a Mancha, Escela Técnica Sperior de Ingenieros de Caminos, Canales y Pertos;. Fish J, Belitschko T. A first corse in finite elements. West Ssse: Willey; 7. Kattan PI. MATAB gide to finite elements: an interactive approach. : Springer; 8. Rao SS. The finite element method in engineering. Oford;. 7 Zienkieicz O, Taylor R. El Método de los Elementos Finitos: Vol. : Formlación Básica y Problemas ineales. CIME, Barcelona, España, 99.
INTEGRALES DE SUPERFICIE.
INTEGALE DE UPEFICIE. 31. Encontrar el área de la sperficie definida como intersección del plano x + y + z 1 con el sólido x + y 1. olción La sperficie dada se pede parametrizar por x cos v : y (/ ) sen
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS ÍNDICE. Concepto de límite. Propiedades de los límites 3. Definición de continidad 4. Tipos de continidad 5. Concepto de derivada 6. Tabla de derivadas 7. Crecimiento y
NOMBRE: VECTORES EN EL PLANO. Ángel de la Llave Canosa
NOMBRE: VECTORES EN EL PLANO Ángel de la Llave Canosa 1 VECTORES EN EL PLANO VECTOR FIJO Un vector fijo AB es n segmento orientado, qe está definido por dos pntos: Un pnto origen y n pnto extremo. Los
MÉTODO MATRICIAL. La expresión que relaciona las fuerzas con los desplazamientos es de la forma: F=KU
MÉTODO MATRICIA Introdcción Utiliaremos el ejemplo de la figra como referencia para la exposición del Método Matricial. Anqe se trata de n caso bidimensional (D), es sficiente para la explicación de los
Método de identificación de modelos de orden reducido de tres puntos 123c
Método de identificación de modelos de orden redcido de tres pntos 123c Víctor M. Alfaro, M.Sc. Departamento de Atomática Escela de Ingeniería Eléctrica Universidad de Costa Rica valfaro@eie.cr.ac.cr Rev:
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE CUALQUIER BASE Y DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE CUALQUIER BASE Y DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL Sgerencias para qien imparte el crso: Se deberá concebir a la Matemática como na actividad social y cltral, en la
3.2 EL PRODUCTO ESCALAR Y LAS PROYECCIONES EN R 2
34 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 ais sqare a=ais; ais([min(a([1,3])),ma(a([,4])),min(a([1,3])),ma(a([,4]))]) % hold off Una ez qe se haa escrito la fnción en n archio con nombre lincomb.m, dé el comando
VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 VECTORES EN EL PLANO Vector fijo. Es n segmento orientado. Lo representamos por AB o por. El pnto A es el origen y el pnto B
4. Espacios Vectoriales
4. Espacios Vectoriales 4.. Definición de espacio, sbespacio ectorial y ss propiedades n ector es na magnitd qe consta de módlo, dirección y sentido. Algnos sin embargo; más teóricos, explicarían qe n
GEOMETRÍA ANALÍTICA AB CD CD AB CD
GEOMETRÍA ANALÍTICA.- Vectores..- Vectores fijos en el plano Llamaremos ector fijo a todo par ordenado de pntos del plano. Si los pntos son A y B conendremos en representar por AB el ector fijo qe determinan;
Magnitudes escalares, son aquellas que quedan definidas por una sola cantidad que denominaremos valor del escalar.
+34 9 76 056 - Fa: +34 9 78 477 Vectores: Vamos a distingir dos tipos de magnitdes: Magnitdes escalares, son aqellas qe qedan definidas por na sola cantidad qe denominaremos valor del escalar. Ej: Si decimos
6 La semejanza en el plano
TIVIS MPLIIÓN 6 La semejanza en el plano 1. alcla las medidas de los segmentos,, z, t en la sigiente figra, sabiendo qe las medidas de los segmentos conocidos están epresadas en metros. 4 G z t. ibja n
3. Método de cálculo.
Método de cálculo 7. Método de cálculo. Como método de cálculo vamos a seguir el método de los desplazamientos, en el que las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura. Y para estudiar
Lección 3. Cálculo vectorial. 4. Integrales de superficie.
GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II 4 Integrales de sperficie Nestro último paso en la etensión del concepto de integral es el estdio de las integrales de sperficie,
Aplicación del Principio de las Fuerzas Virtuales a la resolución estática de estructuras hiperestáticas
Aplicación del Principio de las Fuerzas Virtuales a la resolución estática de estructuras hiperestáticas Apellidos, nombre asset Salom, Luisa (lbasset@mes.upv.es) Departamento Centro Mecánica de Medios
Introducción a la simulación de fluidos (II) Animación Avanzada
Introdcción a la simlación de flidos (II) Animación Avanzada Iván Aldán Íñigez 7 de Marzo de 014 Índice Flidos en el contino Leyes de conservación Método de paso fraccionado Advección Viscosidad Ferzas
Series aritméticas. ó 4 6 8 10 La suma de los primeros n términos en una serie se representa por S n. .Por ejemplo, S 6
LECCIÓN CONDENSADA 11.1 Series aritméticas En esta lección Aprenderás la terminología y la notación asociada con las series Descbrirás dos fórmlas para la sma parcial de na serie aritmética Una serie es
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecaciones Diferenciales Ordinarias Cristian j. P. Castillo U. ÍNDICE GENERAL PRESENTACIÓN CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4. Definición de ecación diferencial 5. Clasificación de
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
INODUCCIÓN AL MÉODO DE LOS ELEMENOS FINIOS. INODUCCIÓN El método de los elementos finitos (MEF) ha adqirido na gran importancia en la solción de problemas ingenieriles, físicos, etc., a qe permite resoler
Capítulo 3 El Método de los Elementos de Contorno y la Formulación Hipersingular.
Capítulo 3 El Método de los Elementos de Contorno y la Formulación Hipersingular. 3.1. Introducción El Método de los Elementos de Contorno (MEC) se ha implantado firmemente en numerosos campos de la ingeniería
1.2 TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN.
. TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN... DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Generalmente la derivación se lleva acabo aplicando fórmlas obtenidas mediante la regla general de la derivación y qe calclaremos a continación,
Anexo 1 ( Momentos de segundo orden )
.1 neo 1 ( Momentos de segundo orden ) 1. Momento de inercia En muchas de las fórmulas empleadas en ingeniería aparecen epresiones analíticas de la forma ρ d, siendo ρ la distancia de un elemento diferencial
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Análisis de cerchas Método de las uniones
Seminario de Modelación Matemática em Arquitectura Análisis de cerchas Método de las uniones Determinar las fuerzas internas de cada uno de los miembros de la siguiente cercha: /2 500 lb 250 lb Y 3/2 X
Solución: (esfuerzos en KN) 200 kn. 400 kn. 300 kn. 100 kn. 5 m A C. 2 x 5m = 10 m. 1 cm 1,2 cm 1 cm
Problema 1. n la celosía de la figura, calcular los esfuerzos en todas las barras y reacciones en los apoyos, debido a la actuación simultánea de todas las acciones indicadas (cargas exteriores y asientos
Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS
ALBERTO RUIZ-CABELLO LÓPEZ EJERCICIO 4 1. Matriz de masas concentradas del sistema. La matriz de masas concentradas para un edificio a cortante es una matriz diagonal en la que cada componente no nula
Límite de una Función
Cálculo _Comisión Año 06 Límite de una Función I) Límite Finito Muchas veces interesa analizar el comportamiento de los valores de una función, para valores de la variable independiente cercanos a uno
CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS
Capítulo 9 Cargas no aplicadas en los nudos 9.1- Cargas en el interior de un tramo Hasta ahora sólo se consideraron casos en que las cargas eteriores están aplicadas sobre los nudos; en el caso que actúen
TEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN... 2 2. VECTORES EN EL ESPACIO.... 3 2.1. CONDICIONES INICIALES.... 3 2.2. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO.... 3 2.3. VECTORES UNITARIOS.... 3
Tercera Parte: Producto Vectorial y Producto Mixto entre vectores
Tercera Parte: Prodcto Vectorial Prodcto Mito entre ectores Introdcción Retomemos el caso los dos pintores: Carlos Jan. Finaliada la tarea de moer el escritorio, el arqitecto qe coordina la obra, indica
III. Análisis de marcos
Objetivo: 1. Efectuar el análisis de estructuras de marcos. 1. Introducción. Aquellas estructuras constituidas de vigas unidimensionales conectadas en sus extremos de forma pivotada o rígida son conocidas
UNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:
UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la
Ecuaciones Lineales en Dos Variables
Ecuaciones Lineales en Dos Variables Una ecuación lineal en dos variables tiene la forma general a + b + c = 0; donde a, b, c representan números reales las tres no pueden ser iguales a cero a la misma
63 Polilóbulos y competencias básicas
Febrero 010, pp. 1-8 63 Polilóblos y competencias básicas Se presenta n ejemplo de desarrollo de las competencias básicas en el almnado de edcación secndaria a través del estdio geométrico de polilóblos.
Equilibrio y cinemática de sólidos y barras (2)
Equilibrio y cinemática de sólidos y barras (2) Fuerzas aiales distribuidas y sección variable Índice Ejercicios de recapitulación Fuerzas aiales distribuidas Equilibrio Deformación Ejemplos Barras de
**********************************************************************
13.1.- Representar las leyes de variación del momento flector, el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal en la viga de la figura, acotando los valores más característicos. Hallar además la epresión analítica
Pórticos espaciales. J. T. Celigüeta
Pórticos espaciales J. T. Celigüeta Pórtico espacial. Definición Estructura reticular. Barras rectas de sección despreciable. Cualquier orientación en el espacio. Barras unidas rígidamente en ambos extremos.
VECTORES. Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:
a c VECTORES Página REFLEXIONA Y RESUELVE Mltiplica vectores por números Copia en n papel cadriclado los catro vectores sigientes: d Representa: a a c Expresa el vector d como prodcto de no de los vectores
1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie: z = y con el plano y=2, en el punto (2,1, 6 )
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la cra de intersección de la sperficie: z = 1 con el plano =, en el pnto (,1, 6 Solción La pendiente bscada es: z 1 (,1 1 z (,1 6 (,1.
Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago
Guía dinámica. En general, los problemas de dinámica se resuelven aplicando 3 pasos: 1º Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo involucrado en el sistema. Es decir, identifique todas las fuerzas
Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas
Solción Nmérica de Ecaciones Diferenciales Parciales Parabólicas Diferencias Finitas En la discretización de las EDPs samos fórmlas de diferencias finitas para las derivadas qe se derivan de las fórmlas
EJERCICIOS REPASO 2ª EVALUACIÓN
MATRICES Y DETERMINANTES 1.) Sean las matrices: EJERCICIOS REPASO 2ª EVALUACIÓN a) Encuentre el valor o valores de x de forma que b) Igualmente para que c) Determine x para que 2.) Dadas las matrices:
Elementos Uniaxiales Sometidos a Carga Axial Pura
Elementos Uniaiales Sometidos a Carga ial ura Definición: La Tensión representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área en diferentes puntos de una sección del sólido aislada (Fig. 1a).
TEMA 1. MAGNITUDES FÍSICAS
TEMA 1. MAGNITUDES FÍSICAS 1. Definición de magnitd física 2. Magnitdes físicas fndamentales deriadas. Sistema Internacional de Unidades (SI) 3. Cambio de nidades: Método de las fracciones nitarias 4.
1 er Problema. 2 Problema
Facultad de Contaduría Administración. UNAM Lugares geométricos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS LUGARES GEOMÉTRICOS Eisten dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica:.
PUENTES II PRÁCTICA Nº6. PUENTES COLGANTES
PRÁCTICA Nº6. PUENTES COLGANTES Enunciado Se pretende averiguar la geometría de los cables principales de Storebælt durante las fases de construcción y en estado de servicio sabiendo que para peso propio
Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
Función Cuadrática: Es toda función de la forma: f() = a ² + b + c con a, b, c números Reales Puede suceder que b ó c sean nulos, por ej: f() = ½ ² + 5 f() = 5 ² ¾ Pero a no puede ser = 0, de los contrario
Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una
5.- Problemas de programación no lineal.
Programación Matemática para Economistas 7 5.- Problemas de programación no lineal..- Resolver el problema Min ( ) + ( y ) s.a 9 5 y 5 Solución: En general en la resolución de un problema de programación
3. Sistema Por Unidad Ejemplos
Anexo. istema Por Unidad Ejemplos Ejemplo.1 Dos generadores conectados en paralelo a la misma barra poseen reactancias sbtransitoria de 10%. El generador número no posee na capacidad de 500 KA, y el número
(b) (a) (c) (d) CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. 1.1 Introducción.
CPÍTUO. ESTUCTUS ESTÁTICMENTE ETEMINS.. Introdcción. a maoría de las estrctras actales están diseñadas para soportar sólo deormaciones peqeñas linealmente. Este es el caso de las estrctras metálicas, en
DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES
CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. donde OP y OP
RECTAS Y ANOS EN E ESACIO A RECTA EN R Ecacines de la recta En el espaci R se determina na recta si se cnce n pnt de ella dirección representada pr n ectr n nl Figra a Recta en R Cm se bsera en la Figra
12.2 Vectores Algunos de los factores que medimos están determinados simplemente por sus magnitudes. Por
. Vectores 665. Vectores Algnos de los factores qe medimos están determinados simplemente por ss magnitdes. Por ejemplo, para registrar la masa, la longitd o el tiempo sólo necesitamos escribir n número
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico
LÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
PREDIMENSIONADO DE VIGAS
PREDIENSIONADO DE VIGAS Introdcción La viga es el elemento estrctral tilizado para cbrir espacios, capaz de soportar el peso colocado de forma perpendiclar al elemento transportarlo lateralmente a lo largo
EJERCICIO 1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada m. 0.
EJERCICIOS DE APLICACION EJERCICIO 1. razar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada. θ.8 m y x 15. m p.1 m θ.1 m La carga axial
Fórmulas generales III FÓRMULA DE LA POTENCIA
III FÓRMULA DE LA POTENCIA Las fórmlas vistas en el capítlo anterior feron my específicas para integrales de x elevada a calqier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo qe está elevado
4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
Volumen de Sólidos de Revolución
60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido
ACTIVIDADES INICIALES. b) ( 1, 6) d) (0, 3) (0, 1) (0, 2) f) ( 8, 4) (24, 6) (16, 2) h) ( 5, 3) (2, 2) ( 3, 1) EJERCICIOS PROPUESTOS
Solcionario 4 Vectores TIVIDDES INIILES 4.I. Efectúa las sigientes operaciones: a) (5, 3) (, 4) c) 5(3, ) (, 4) e) (7, 4) (, ) g) (3, 6) 3 (, ) b) (6, 4) (7, ) d) 3(0, ) (0, 3) f) 4(, ) 6(4, ) h) (5, 3)
14 Corte por Fricción
14 Corte por Fricción CONSIDERCIONES GENERLES Cando se pblicó el docmento CI 318-83, el artíclo 11.7 fe rescrito completamente para ampliar el concepto de corte por fricción de manera qe inclyera aplicaciones
Derivadas Parciales (parte 2)
40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene
Segunda Parte: Producto escalar de vectores
Segnda Parte: Prodcto escalar de ectores Constrcciones ectores En el diseño del techo de na galería se emlea n semicílindro, qe se sostiene a traés de igas qe se cran en distintos ntos sobre el techo.
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
30 Hormigón estructural simple
30 Hormigón estrctral simple ACTUALIZACIÓN PARA EL CÓDIGO 2002 El cambio más significativo introdcido en el Capítlo 22 srgió como resltado de la modificación de otro capítlo. En el artíclo 9.3.5 el factor
TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II 2º Bach. 1
TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO 5. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEINICIÓN Un ector es n segmento orientado. Un ector extremo B. Elementos de n ector:
= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
Viga sobre Base Elastica
ees namentales e la mecánica el meio contino Viga sobre Base Elastica PRINCIPIO DE VAOR ESTACIONARIO DE A ENERGÍA POTENCIA TOTA a energía potencial total Π e n sistema elástico viene compesto por os partes:
2. Determinar el dominio de las siguientes funciones de variable real. a) f ( x ) = 4 2x b) f ( x ) =x 2 4x + 3
Ejercicios para practicar. Dado los conjntos A = {, 4, 6, 8,0,,4} B = {,, 5, 7, 9,,,5}; Constra la sigiente relación de A en B R = {(, ) / = + }. Adicionalmente determine el dominio el rango de cada na
08 Losas delgadas Teoría de Kirchhoff. Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales
08 Losas delgadas Teoría de Kirchhoff Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1 Introducción Elementos laminares delgados Losas o placas (son elementos
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Eveln Dávila Contenido TEMA: Ecuaciones Lineales En Dos Variables... Solución
2.004 MODELISMO, DINÁMICA Y CONTROL II Primavera Soluciones del boletín de problemas 6
2.004 MODELISMO, DINÁMICA Y CONTROL II Primavera 2003 Soluciones del boletín de problemas 6 Problema 1. Varilla deslizándose por una pared. Dado que los extremos de la varilla están forzados a permanecer
VIGAS Y TABLEROS DE MADERA PARA ENCOFRAR
VIGAS Y TABLEROS DE MADERA PARA ENCOFRAR Calidad para las más altas exigencias de obra Tablero ULMA Trimax Descripción del prodcto El tablero tricapa como sperficie encofrante ofrece nmerosas ventajas:
Curso de Procesamiento Digital de Imágenes
Crso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Comptación IIMAS UNAM cbíclo 408 http://tring.iimas.nam.mx/~elena/teaching/pdi-mast.html elena.martinez@iimas.nam.mx
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones
Prueba etraordinaria de septiembre. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones.- Un sastre dispone de 8 m de tela de lana y m de tela de algodón. Un traje de caballero requiere m de algodón
GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones
FLUJOS EXTERNOS. José Agüera Soriano
FLUJOS EXTERNOS José Agüera Soriano 011 1 José Agüera Soriano 011 FLUJOS EXTERNOS CAPA LÍMITE RESISTENCIA DE SUPERFICIE RESISTENCIA DE FORMA RESISTENCIA TOTAL VELOCIDADES SUPERSÓNICAS José Agüera Soriano
Resistencia de Materiales 1A. Profesor Herbert Yépez Castillo
Resistencia de Materiales 1A Profesor Herbert Yépez Castillo 2014-2 2 Capítulo 5. Torsión 5.4 Ángulo 3 Un par es un momento que tiende a hacer girar respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés
Resistencia de Materiales 1A. Profesor Herbert Yépez Castillo
Resistencia de Materiales 1A Profesor Herbert Yépez Castillo 2015-1 2 Capítulo 5. Torsión 5.4 Ángulo 3 Un par es un momento que tiende a hacer girar respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés
Departamento de Matemáticas http://matematicasiestiernogalvancom 1 Desigualdades e inecuaciones de primer grado Hemos visto ecuaciones de 1º y º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre
TEMA 5: INTERPOLACION NUMERICA
Lino Alvarez - Aurea Martinez METODOS NUMERICOS TEMA 5: INTERPOLACION NUMERICA 1 EL PROBLEMA GENERAL DE INTER- POLACION En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una
Teorema de la Mínima Energía Potencial Total
ESTABIIDAD III acultad de Ingeniería Introducción: Teorema de la ínima Energía Potencial Total El teorema de la mínima energía potencial total es otra poderosa herramienta que permite resolver una serie
b) Con sus máquinas actuales tiene una producción anual máxima de 500 unidades.
Aplicaciones de máimos y mínimos. Criterio de la segunda Derivada: Sea f una función tal que f eiste en un intervalo ]a, b[, que contiene al número crítico c. a) Si f (c) > 0, entonces la función tiene
Algebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO
Profesora: María José Sánchez Qeedo TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO El estdio del Análisis Vectorial se remonta al siglo XVII, cando el ingeniero holandés Steen (1548-160), formló el principio del paralelogramo
CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Diseño o de Entradas. Autor: Dr. Juan Carlos Gómez ISIS 2
Identificación n de SIStemas Diseño o de Entradas Ator: Dr. Jan Carlos Gómez Un reqisito fndamental de las entradas para n experimento de identificación es el de persistencia de excitación de las mismas.
UNIDAD 12. ECUACIONES DE RECTA Y PLANO
Unidad. Ecaciones de la recta el plano UNIDD. EUIONES DE RET Y PLNO. Introdcción. Espacio fín... Vector en el espacio. Vector libre fijo... Operaciones con ectores.. Dependencia e independencia de ectores.
f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta
página 1/14 Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta Índice de contenido Base canónica en dos dimensiones como sistema referencial...2 Ecuación vectorial de la recta...4 Ecuación paramétrica de la recta...6
UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
ECUACIÓN DE LA RECTA
MATEMÁTICA SEMANA 2 ECUACIÓN DE LA RECTA Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar,
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Pobre del estudiante que no aventaje a su maestro. LA LÍNEA RECTA Leonardo da Vinci DESEMPEÑOS Identificar, interpretar, graficar