Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales Parabólicas

Transcripción

1 Solción Nmérica de Ecaciones Diferenciales Parciales Parabólicas Diferencias Finitas En la discretización de las EDPs samos fórmlas de diferencias finitas para las derivadas qe se derivan de las fórmlas de Taylor con error. A continación resmimos las diferencias finitas qe estaremos sando, formladas para na fnción f de na variable. Más adelante las samos para las derivadas parciales de na fnción de varias variables.. Primera derivada Dos pntos hacia adelante, O(h: f (x = f(x + h f(x h + O(h Dos pntos hacia atrás, O(h: f (x = f(x f(x h h + O(h Tres pntos centrada (de pnto medio, O(h : f (x = f(x + h f(x h h + O(h. Segnda derivada Tres pntos centrada (de pnto medio, O(h : f (x = f(x + h f(x + f(x h h + O(h EDPs Parabólicas Consideramos como ejemplo la ecación de difsión del calor en na barra de longitd l. La temperatra (x, t como fnción del tiempo satisface la ecación diferencial parcial: t (x, t = α (x, t para 0 < x < l, t > 0 x

2 con condiciones iniciales y de frontera: (0, t = T 0, (l, t = T para t > 0 (x, 0 = f(x para 0 < x < l Esto significa qe la barra se mantiene con temperatras T 0 y T en los extremos drante todo el tiempo, y tiene na distribción de temperatra f(x a lo largo de la barra en tiempo t = 0. Por simplicidad, en lo qe sige asmimos T 0 = T = 0. Discretización La longitd l se divide en m intervalos de longitd h = l/m y los pntos qe los determinan son x i = ih para i = 0,,,..., m. Para el tiempo, el paso es y los tiempos discretos son t j = j donde j = 0,,, 3,. Entonces la ecación diferencial en (x i, t j es t (x i, t j = α x (x i, t j Estas derivadas se reemplazan entonces por diferencias finitas correspondientes. Diferentes posibilidades resltan en diferentes métodos.. Diferencias Progresivas La derivada temporal sa la aproximación de primer orden hacia adelante mientrás qe la derivada espacial sa la aproximación de segndo orden centrada: (x i, t j + h (x i, t j + O( = α (x i + h, t j (x i, t j + (x i h, t j h + O(h. Usamos la variable w para la aproximación de (x i, t j. El método reslta de reemplazar las variables w correspondientes en la ecación e ignorar el error O(h +. Así se obtiene w + w = α w i,j w + w i+,j h para i =,,..., m y j = 0,,,. Reemplazando = α /h y dejando la variable w + sóla en el lado izqierdo, obtenemos w + = w + (w i,j w + w i+,j = w i,j + ( w + w i+,j Las ecaciones para i = y i = m son especiales porqe involcran las variables w 0,j y w m,j en la frontera x = 0, l. En el caso de T 0 = T = 0, estas son cero y las ecaciones son w,j+ = ( w,j + w,j w m,j+ = w m,j + ( w m,j Se dice qe este es n método explícito porqe las ecaciones resltantes expresan na sóla variable en tiempo t j+ en términos de variables en t j. Para j = 0, las variables w i,0 están determinadas por la fnción f(x: w i,0 = f(x i.

3 0 x : Ejemplo de la ecación del calor con l =, α =, y f(x = sen (πx. El resltado de la izqierda para h = 0., = 0.0 es n ejemplo de estabilidad (tiene factor en la escala vertical, mientras qe el de la derecha para h = 0.05, = 0.05 es n ejemplo de inestabilidad (tiene factor 0 9 en la escala vertical. Estos ejemplos corresponden a = / y = 5 respectivamente. Con w (j = [w,j w,j w m,j ] T, se peden expresar las ecaciones de la sigiente forma vectorial: w (j+ = Aw (j para j =,, 3,..., donde A es la matriz tridiagonal (m (m : A = y con w 0 determinado por la condición inicial. El método con diferencias progresivas es condicionalmente estable porqe reqiere qe /, es decir = α h. para estabilidad. Esto se discte en la última sección. Tal restricción es indeseable porqe restringe los valores de h y para los cales se pede obtener estabilidad. En particlar, note qe si h se redce a la mitad, para mantener la condición se debe redcir a la carta parte, y así la comptación reqiere más tiempo.. Diferencias Regresivas Usando para la derivada temporal la diferencia finita de dos pntos hacia atrás, y reemplazando por las variables w, ignorando el error O(h + se obtienen las ecaciones w w = α w i,j w + w i+,j h 3

4 y de aqí qe w i,j + ( + w w i+,j = w para i =,,..., m y j = 0,,,. De nevo, las ecaciones para i =, m son especiales porqe involcran la frontera ( + w,j w,j = w,j w m,j + ( + w m,j = w m,j Se dice qe este es n método explícito porqe para determinar las variables para t j se necesita resolver na sistema lineal entre ellas, en términos de las variables para t j. Vectorialmente tenemos qe Bw (j = w (j para j =,, 3,..., donde A es la matriz tridiagonal (m (m : B = + + y con condición inicial w 0. Este método es incondicionalmente estable (ver última sección..3 Diferencias Centradas (Método de Richardson Con el objetivo de obtener n método con error O(h + se sa para la derivada temporal la fórmla de diferencias finitas de tres pntos centrada. Se obtiene la sigiente ecación ya reescrita en términos de las variables w : y de aqí qe w + w = α w i,j w + w i+,j h w + = w + (w i,j w + w i+,j para i =,..., m y j =,,,. Note qe es n método explícito, y de segndo orden en canto w + depende de las variables en t j y t j. Esto significa qe además de los valores de w i,0 determinados por la condición inicial, el método necesita los valores de w i, para determinar scesivamente los w i,, w i,3, etc. Así qe se debe sar otro método para obtener los w i,. Se pede sar, por ejemplo, no de los métodos descritos, pero entonces se perjdica el error O(h +. Vectorialmente estás relaciones se peden escribir como w (j+ = Cw (j + w (j donde 4 C = Este método reslta ser incondicionalmente inestable (esto no lo jstificamos aqí. 4.

5 .4 Método de Cran-Nicolson El sigiente método logra error O(h +, estabilidad incondicional y sistemas tridiagonales. Se basa en formlar la ecación no en n pnto de la malla sino en no intermedio (x i, t j +. Usamos la aproximación con n promedio de pnto medio f(x = (f(x + h + f(x h + O(h la cal se obtiene de la aproximación de Taylor. Entonces, aproximamos las derivadas de la sigiente manera. La temporal con na diferencia finita centrada de segndo orden: ( x i, t j + = (x i, t j + (x i, t j + O( t (/ = (x i, t j + (x i, t j + O( y la temporal con n promedio de diferencias finitas centradas de segndo orden ( x x i, t j + = = ( x (x i, t j + x (x i, t j + + O( = ( (xi, t j (x i, t j + (x i+, t j h + (x i, t j+ (x i, t j+ + (x i+, t j+ h + O( Entonces pasando a las variables de aproximación w, ignorando el error O(h +, reemplazando el parámetro como antes, w + w = ((w i,j w + w i+,j + (w i,j+ w + + w i+,j+ y separando los términos con tiempo t j+ de los términos con tiempo t j, obetenemos w i,j+ + ( + w + w i+,j+ = w i,j + ( w + + w i+,j La formlación matricial correspondiente es E = Dw (j+ = Ew (j donde D y E son las matrices tridiagonales (m (m : , E = Para comptación esta formlación como n sistema tridiagonal es ventajoso. Para el propósito de analizar la estabilidad podemos escribir w (j+ = D Ew (j y así la estabilidad depende del radio espectral de D E. El método reslta incondicionalmente estable (ver última sección. 5

6 .5 Método ADI para D Para el caso de dos dimensionales espaciales x y y, la ecación del calor qe consideramos es ( (x, y; t = α t x (x, y; t + (x, y; t para 0 < x < l x x, 0 < y < l y, t > 0 Igal qe con el caso D, se obtienen diferentes esqemas dependiendo de las diferencias finitas empleadas en la aproximación. Podemos derivar esqemas correspondientes a todos los disctidos para el caso D, pero todos con el defecto de qe los sistemas lineales resltantes no son tridiagonales. El método qe disctimos a continación, llamado ADI (por el nombre en inglés, alternating-dimension implicit divide cada paso en dos pasos, y alterna en estos cal de las dimensiones espacial cya derivada está formlada en forma implícita. En canto a la discretización, samos longitdes de intervalo h x y h y en las direcciones x y y, y en la el tiempo. Además m x = l x /h x y m y = l y /h y. Con esto cada pnto de la malla es de la forma (x i, x j, t l donde x i = ih x, y j = jh y y t l = l. Está también basado en na formlación en n pnto medio: ( x i, y j ; t l + ( = α ( t x x i, y j ; t l + Para la derivada temporal se sa: t ( x i, y j ; t l + + x = (x i, t j ; t l+ (x i, y j ; t l ( x i, y j ; t l + + O(, para la derivada espacial con respecto a x se sa n promedio de las derivadas en t l y t l+ (como en el método de Cran-Nicolson: ( x x i, y j ; t l + = = ( (xi, y j ; t l+ (x i, y j ; t l+ + (x i+, y j ; t l+ h x +O(h x + + (x i, y j ; t l (x i, y j ; t l + (x i+, y j ; t l h x (donde el término de error O( aparece por el promedio y para la derivada espacial con respecto a y na diferencia centrada sal en t l + /, sando la convención t l+/ = t l + /: ( y x i, y j ; t l + = (x i, y j ; t l+/ (x i, y j ; t l+/ + (x i, y j+ ; t l+/ h + O(h y y Pasando a las variables de aproximación w (l (x i, x j ; t l, ignorando el error obtenemos, y tomando h x = h y = h por simplicidad, obtenemos la ecación de aproximación w (l+ w (l [ ( (l+ = α w i,j w(l+ h + w(l+/ + w (l+ i+,j + w (l i,j w(l + w(l i+,j w (l+/ h h + w (l+/ + ] 6

7 884 FINITE DIFFERENCE: PARABOLIC EQUATIONS Explicit Implicit t l + y j + y j y j xi x i x i + t l + / y j + FIGURE 30.0 The two half-steps sed in implementing the alternating-direction implicit scheme for solving parabolic eqations in two spatial dimensions. y j y j x i x i x i + (a First half-step (b Second half-step t l : Ilstración de los dos pasos con la formlación implícita alternando dimensión para EDP s parabólicas en dos increment dimensiones is exected espaciales in two steps (tomada (Fig del libro For the S. first Chapra step, Eq. and(30.8 R. Canale, is approximated by 6th Ed. 009 Nmerical Methods for Engineers, T l+/ [ i, j Ti, l j T l i+, j Ti, l j = + T i, l j + T l+/ l+/ i, j+ Ti, j + T l+/ ] i, j t/ ( x ( y (30.9 la cal tiene error O(h +. Esta ecación es la sma de las sigientes dos ecaciones: Ths, the approximation of T/ x is written explicitly that is, at the base point t l where w (l+/ vales w of (l [ (l temperatre are w nown. Conseqently, only the three temperatre terms in the approximation of α i,j w(l + w(l i+,j = / T/ y are nnown. h + w (l+/ w (l+/ + w (l+/ ] + For the case of a sqare grid ( y h = x, this eqation can be expressed as w (l+ w (l+/ [ (l+ w T l+/ l+/ i, j = + α( i,j + T w(l+ + w (l+ i, j T l+/ i, j+ = i+,j T i, l l j + ( Ti, j + T i+, l j / h + w (l+/ w (l+/ + w (l+/ ] + h (30.0 Note qe si estas which, dos ecaciones when written se for satisfacen, the system, entonces reslts in la a tridiagonal ecación set anterior of simltaneos también eqations. se satisface y por lo tanto el método obtenido For the second estas step from dostecaciones l+/ to t l+, tiene Eq. (30.8 erroris local approximated O(h + by. La ventaja de tener dos pasos es qe cada no de estos reslta T l+ i, j T l+/ [ en sistemas tridiagonales: i, j T l+ l+ i+, j Ti, j + T l+ i, j = + T l+/ l+/ i, j+ Ti, j + T l+/ ] i, j w (l+/ + ( + w (l+/ t/ w (l+/ + ( x = w (l i,j + ( w(l ( y + w(l i+,j w (l+ i,j + ( + w(l+ w (l+ i+,j = w (l+/ + ( w (l+/ + w (l+/ (30. + In contrast to Eq. (30.9, the approximation of T/ x is now implicit. Ths, the bias La figra ilstraintrodced como se alternan by Eq. (30.9 las variables will be partially x y y en corrected. el método. For a Si sqare definimos grid, Eq. w (30. (l i, = [w can (l i, be w(l i,n ]T written as y w (l,j = [w(l,j w(l m,j ]T, con las consideraciones sales en la frontera entonces podemos escribir esto T l+ l+ i, j + ( + Ti, j T l+ i+, j = T l+/ l+/ vectorialmente como i, j + ( Ti, j + T l+/ i, j+ (30. Fw (l+/ i, = w (l i, + ( w(l i, + w (l i+, Again, when F w written (l+ for a two-dimensional grid, the eqation reslts in a tridiagonal system,j = w (l+/,j + ( w (l+/,j + w (l+/,j+ (Fig As in the following example, this leads to an efficient nmerical soltion. para i =,,..., m y j =,,..., n, donde F es la matriz tridiagonal (m (m, ( + ( + ( + F =. ( + ( + 7

8 y F es similar pero (n (n. El método ADI es incondicionalmente estable (no se jstifica aqí. 3 Estabilidad En la mayor parte de los casos qe consideramos se obtiene na ecación de avance de la forma cya solción es w (j = Aw (j para j y con condición inicial w (0 = w 0, w (j = A j w 0 Si se tiene n error e 0 en la condición inicial de tal manera qe w (0 = w 0 + e 0, entonces w (j = A j (w 0 + e 0. Así qe el error en el paso j es A j e 0, el cal se pede acotar de la sigiente manera, A j e 0 A j e 0 A j e 0. Para obtener estabilidad, es decir limitar el efecto del error, reqerimos entonces qe A Para el caso de A simétrica (lo qe scede en nestros ejemplos, sando la norma vectorial eclideana, la norma matricial natral correspondiente es A = ρ(a T A = ρ(a donde ρ( es el radio espectral. Así qe la condición de estabilidad es entonces ρ(a. 3. Valores propios de matrices tridiagonales En nestros casos de interés A es tridiagonal con n valor constante en cada na de las tres diagonales principales. En este caso, los valores propios tienen expresiones cerradas sencillas dadas por la sigiente proposición (la verificación es n ejercicio sencillo pesto qe se dan los vectores propios también. Proposición Sea A = d 0 d d d 0 d d d 0 d d d 0 d d d 0 na matriz m m tridiagonal donde d, d 0, d R, d, d 0. Entonces los valores propios de A son, ( pπ µ p (A = d 0 + d d /d cos para p =,, 3,..., m. m + 8

9 El vector propio v p (A correspondiente a µ p tiene componentes ( ( j pjπ v p,j (A = d /d sen, m + para j =,,..., m. Si la matriz es simétrica, d = d, entonces los valores propios son ( pπ µ p (A = d 0 + d cos para p =,, 3,..., m. m + Como caso particlar, sea U la matriz U = De acerdo con la proposición, los valores propios de U son µ p (U = cos(pπh = 4 sen ( para p =,,..., m. 3. Ejemplos pπ (m + Como aplicación de lo anterior, analizamos la estabilidad de varios de los métodos para EDPs parabólicas descritas. En cada caso podemos escribir las matrices correspondientes en términos de la matriz U y dedcir ss valores propios basados en los valores propios de U. Método con diferencias pogresivas: w (j+ = Aw (j con A = I U. Los valores propios de A son entonces (note qe la matriz aqí es (m (m ( µ p (A = 4sen pπ m donde p =,,..., m. Pesto qe 0 < sen ( pπ m < pero tiende a cando m y p = m, para obtener µ p (A se reqire qe / (condicionalmente estable. Método con diferencias regresivas: Bw (j+ = w (j con B = I + U. Entonces los valores propios de B son ( µ p (B = + 4sen pπ. m con p =,,..., m. Así qe µ p (B > y por lo tanto 0 < µ p (B <. Conclímos qe el método con diferencias regresivas es siempre estable (incondicionalmente estable. Método de Cran-Nicolson: Dw (j+ = Ew (j con D = I + U y E = I ( U. Entonces µ p (D = + sen pπ (, µ p (E = sen pπ m m con p =,,..., m. Pesto qe estos tienen los mismos vectores propios, podemos conclir qe µ p (D E = sen ( pπ m + sen ( pπ m Pero entonces < µ p (D E < y por lo tanto el método es incondicionamlemente estable. 9,

10 Referencias - R. L. Brden y J. D. Faires, Análisis Nmérico, 9a ed. Cengage, 0. - S. Chapra y R. Canale. Nmerical Methods for Engineers, 6 ed. Mcgraw-Hill, E. Isaacson y H. B. Keller, Analysis of Nmerical Methods. Dover, 994 (original de R. Leveqe, Finite Diferences methods for Ordinary and Partial Differential Eqations. SIAM,