Métodos y técnicas de integración

Transcripción

1 Métodos y técnicas de integración (º) Integración por sstitción o cambio de variable En mchas ocasiones, cando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer n cambio de variable adecado; este procedimiento se conoce como integración por sstitción o cambio de variable. Si f ( ) d,la Integración por sstitción consta de los sigientes pasos : ) Elegir o cambiar na neva variable : n cambio común es considerar como la fnción interna,en términos de na composición de fnciones ) Calclar = d d ) Reemplace ( o cambie) todos los términos en el integrando original por las epresiones y ) Evalar los resltados de la integral en fnción de. Si todavía no pede evalar la integral, es posible qe necesite probar o cambiar por na opción diferente de. 5) Reemplace cada epresión de en la antiderivada por la correspondiente epresión de Jstificación del método de sstitción o cambio de variable: El sigiente teorema pede ser sado para jstificar el método de sstitción o cambio de variable. Teorema. Spongamos qe: h ( ) = H ( ) Entonces, si g es na fnción diferenciable. Demostración: Se dece qe: [ g( ) ] g ( ) d H[ g( ] h = ) Porqe h ( ) = H ( ) H ( ) = h( ) Necesitamos mostrar qe la derivada de H [ g() ] con respecto a es el integrando h [ g( ) ] g ( ). Por la regla de la cadena [ g( ) ] = H [ g( ) ]. g ( ) h[ g( ) ]. g ( ) D H = Y la demostración estará completada.

2 Ahora spongamos qe qeremos evalar f ( ) d por el método de sstitción. Según el paso º de nestro procedimiento, cambiemos na porción del integrando f() y la denominamos = g() ; en el paso, procedes a calclar el diferencial: = d = g ( ). d d En el paso º, samos la ecación anterior para reescribir f() y d en términos de y f ( ) d = h( ) () Donde h na fnción apropiada. Qedándonos la ecación anterior () f ( ) = h( ) d Es decir: Lego el paso º procimos na ecación de la forma h ( ) = H ( ) Y el 5º paso dará el resltado f ) d [ g( ) ]. g ( ) f ( ) = h ( = en conformidad con el teorema ( = h [ g ) ] g ( ) d H[ g( ) ] f ( ) Teorema Para calqier fnción contina f entonces d f ( ) ln f ( ) + c, Siempre qe f ( ) 0 = Demostración: Sea = f (). Entonces = f () d y f ( ) d f ( ) =. f ( ) d f ( ) = = ln + c = ln f ( ) + c Veamos nos ejemplos sando los pasos antes descritos

3 Ejemplo Nº 7 + d Paso :Hacemos = 7 + Paso : = 7 d Paso : Como = 7 d ; reslta qe : = d de aqi : d =. = 7 7 Paso : 7 + =. = 7 7 = + 7 / / = Paso 5:Como = 7 +, tenemos: 7 + = / / d C + + = ( + ) / d (7 ) C 7 Ejemplo Nº sin9d Paso : Hacemos = 9 Paso : = 9 d Paso : Como = 9 d ; reslta qe: = d de aqi: 9 sin 9d = sin. = sin. 9 9 Paso : sin 9d = sin. = sin. ( cos ) 9 9 = 9 = cos 9 Paso 5: Como = 9, tenem os: sin 9 d = (cos 9) 9 Ejemplo Nº d ( + ) 5

4 Paso : Hacemos = + Paso : = d Paso : Como = d ; reslta qe : = d de esta manera será igal a la epresión del nmerador, de aqi: Paso : d = 5 = = 5 ( + ) d 5 ( + ) Paso 5:Como 5 5 = = = = + C, tenemos: = = ( ) d = ( + ) = 5 ( + ) ( + ) Ejemplo : d

5 Paso : Hacemos = Paso : = d Paso : Como el integrando contiene tres factores, y d La sstitción de = qedando com o, = d ; : com o = despejando, nos qeda = ( ) lego: 9 = ( ) = ( ) = + de aqi: reslta qe = d, solam ente qeda reescribir en term inos de, 9 d = +. 9 = / / 5 / = / / 5 / Paso : d = / / 5 / = / 5 / 7 / 9 = + 8 / 5 / 8 7 / / 5 / 7 / = Paso 5 : Como =, tenemos: d = ( ) + ( ) ( ) 0 8 / 5 / 7 / sin 7d Ejemplo Nº 5 ( + cos 7 ) Solción : 5

6 Paso :Hacemos = + cos 7 Paso : = 7 sin 7 d Paso : Como = 7 sin 7 d ; reslta qe: = sin 7 d 7 de esta manera será igal a la epresión del nmerador, de aqi: Paso : sin 7 d 7 7 = = ( + cos 7 ) sin 7 d ( + cos 7 ) = Paso 5: Como = + cos 7, tenemo s: Ejemplo Nº 6 ( + cos 7 ) = = = sin 7 d = ( cos 7 ) e.cose d Por sstitción o e.cos e d = e = e d + + cambio de variable C cos e. e d = cos. = sin = sin( e ) e.cos e d = sin e C Ejemplo Nº 7 (ln ) d POR SUSTITUCIÓN Ó CAMBIO DE VARIABLE = ln ( ln ) (ln ) (ln ) d d = = = = d (ln ) (ln ) d = cos(ln ) Ejemplo Nº 8 d 6

7 Ejemplo Nº 9 Solción Por Sstitción o Cambio de Variable ln cos(ln ) = d = d cos(ln ) d = cos sin C sin(ln ) C = + = + cos(ln ) d = si n( ln ) sin.cos d Por sstitción o Cambio de Variable = cos d = d = sin d sin.cos sin. sin.cos d = (cos ) = = = 8 8 sin.cos d = (cos ) 8 d Ejemplo Nº 0 + ln Por Sstitción = ln d d ln + = d = Arc sin C Arc sin(ln ) C = + = + + ln + d = Arc sin(ln ) + ln 7

8 Ejercicios propestos (problem set.) En los problemas al 50, se el método de sstitción o cambio de variable para evalar cada antiderivada (integral indefinida). (En algnos casos se sgiere na posible sstitción). ( + ) d, = +. t.(t + 7), = t d, = + 5. d, = 8 (8 ) 8 s 8t + 5. ds = 5s s + 6 (t + t + 6) 5 / / 7. / / ( ). d, = 8. ( 6 + 9). d, = 9. d, = + 7 ( + ) + 0. d +. (5t + ). 5t + t.. (6 9 + ) / d + /(t). t +.. d, = d, = (5 / ) + 6. ( d d 9) 6 / 7 d t. *9., z = t + t + y + 0 dy y. d ( ). ( + ). +. d Mnem M.A. Folis D.J. (98) Calcls with Analytic Geometry. II edicion.edit. Worth Pblishers, Inc. USA. Pag 6-6 8

9 . + / 5 ( 5). d. +. d t. 5. t + y. dy 6. y 7..sin 5d 8. ( 7sin 5 + cos7) d 9. 8.cos(6 ) d 0. 5 cos(8 ) d. sec d. csc 5d dy.. sin t cos 5y 5. sec( y + ) tan(y + ) dy 6. tan (t + 7) 7. t t sec.tan csc 0z.cot0z. dz 0. sec 0.tan0 d 9. cos.cos(sin ) d, = sin. csc 7 d, = 7. d ++ sin. d. ( + cos ) sin sec. ( + tan 5. cos y 5 + sin ydy 6. tan t sect + sect ) d cot csc 7. d secθ.tan θ. dθ 9. 5secθ 8. (sin ) /.cos d cot( / ) csc( / ) d 50. Mnem M.A. Folis D.J. (98) Calcls with Analytic Geometry. II edicion.edit. Worth Pblishers, Inc. USA. Pag 6-6 9

10 0