Introducción a la simulación de fluidos (III) Animación Avanzada

Transcripción

1 Introdcción a la simlación de flidos (III) Animación Avanzada Iván Aldán Íñigez de Abril de 4

2 Índice Gradiente de resión Constrcción del sistema de resiones Rejillas con comonentes deslazados

3 Esqema de n simlador básico en gráficos La idea es sar el conceto de método de aso fraccionado en la ecacion de Navier-Stokes ara n flido incomresible y viscosidad constante. Por cada aso de tiemo,. Integramos el término convectivo con n método semilagrangiano.. Integramos el término viscoso mediante diferencias finitas de manera exlícita. 3. Añadimos la contribción de la gravedad. 4. Calclamos las resiones necesarias de manera imlícita ara qe, tras alicar el término de resión el flido sea incomresible.

4 Esqema de n simlador básico en gráficos 4 3 v =?

5 4. Gradiente de resión Hasta ahora solo hemos tenido en centa la ecación de conservación del momento. Qé asa con la conservación de la masa? Es my imortante qe al final de n ste las velocidades de nestro flido cmlan la condición de incomresibilidad: v = Sino en el sigiente aso al transortar na cantidad or n camo no incomresible las cantidades no se conservan.

6 4. Gradiente de resión El aso qe nos qeda or resolver es el sigiente: n+ = t ρ Pero qé es exactamente? - La resión es na medida de la ferza ejercida sobre na nidad de área en los contornos de n elemento de flido. - Dicha ferza qe se oone a comresiones o estiramientos del contino, tratando de mantener na densidad niforme en el flido.

7 4. Gradiente de resión En termodinámica es na roiedad del flido directamente ligada a otras roiedades del flido (como la temeratra) y de s relación deende la conservación de la energía. - Nosotros no tenemos ecación de energía. Si lo qe qeremos es na ferza qe intente homogeneizar densidades, en n flido comresible odríamos modelarla mediante na fnción qe deenda de la densidad: - A esto se le llama na ecación de estado - Así lo haremos en SPH qe es n método ara flidos comresibles. = f (ρ)

8 4. Gradiente de resión En nestra aroximación el flido es incomresible. Vamos a ensar cal es el roblema qe qeremos resolver: - En nestra discretización qeremos calclar nos valores de qe tras alicarlos nos den n estado qe cmla exactamente la conservación de la masa. La resión es algo my arecido a los mltilicadores de Lagrange de las restricciones! - También nos hará falta resolver n sistema. Y nestra restricción es hacer qe el flido cmla la condición de incomresibilidad: v =

9 4. Gradiente de resión Vamos a dar forma al sistema a resolver. n+ = t ρ Alicamos el oerador divergencia a ambos lados de la ecación: n t + = ρ La condición qe qeremos cmlir es qe tras alicar las ferzas de resión se cmla: n+ =

10 4. Gradiente de resión No tenemos más qe nir ambas ecaciones ara obtener nestro sistema! Tras reordenar y oner el sistema en forma de Ax=b: = ρ = t t ρ ρ = t Sólo nos qeda aroximar en el sistema cada término or DF y resolverlo.

11 4. Gradiente de resión t ρ = Problema: la ecación tiene derivadas rimeras (velocidades) y derivadas segndas (resiones). - Cómo las aroximamos en el mismo nto del dominio? (El roblema está en la derivada rimera) - Las diferencias centradas dan roblemas ara cmlir la condición de incomresibilidad. - Las diferencias con bias hacia delante o atrás tamoco se comortan bien.

12 4. Gradiente de resión Solción: Utilizar na rejilla con comonentes deslazados (staggered grid): - Las resiones se qedan en los centros de celdas. - Las velocidades se searan en comonentes y se colocan sobre las caras.

13 4. Gradiente de resión Ahora odemos aroximar mediante diferencias centradas de segndo orden tanto la rimera derivada de las comonentes de la velocidad como la segnda derivada de las resiones. i+ /, j x x + i, j i+. j i, j i/. j + + i, j+ / y y i. j/ + i. j+

14 4. Gradiente de resión Ejemlo del sistema en D: = x t x ρ t = ρ Aire (=) Sólido (6=5)

15 4. Gradiente de resión Distribción de los elementos no cero en la matriz A ara n roblema de Poisson en D discretizado mediante DF: