Dinámica de Fluidos. 4.1 Dinámica elemental

Transcripción

1 43 Caítulo 4 Dinámica de Fluidos 41 Dinámica elemental Se analizará en ésta sección la ecuación de cantidad de movimiento lineal ara una artícula fluida que se deslaza sobre una línea de corriente Suondremos que el régimen es ermanente, or lo que las líneas de corriente son fijas en el tiemo Se utilizará un sistema coordenado ŝ, ˆn) coincidente con la línea de corriente, donde s es la osición de la artícula a lo largo de la línea de corriente La velocidad de la artícula en éste sistema coordenado estará dada or Partícula fluida sobre una línea de corriente V = V s, t) ŝ, dado que la velocidad es tangente a la línea de corriente El vector unitario ŝ es, sin embargo, una función tanto de s como n, es decir, ŝ = ŝs, n) La aceleración de la artícula esta dada, or lo tanto, or a = D V = DV ŝ) = DV ŝ + V Dŝ Como / t = 0 la ecuación anterior queda DV = V V ) ŝ + V s V ŝ ) s La derivada del vector unitario ŝ resulta ŝ s = lim δŝ δs 0 δs = ˆn R, donde ˆn es el vector normal a ŝ y R el radio de curvatura de la línea de corriente en el unto

2 41 Dinámica elemental 44 a = V V s ŝ V + }{{} R ˆn }{{} comonente comonente aralela a ŝ normal a ŝ El término de la aceleración normal a ŝ tiene su origen en el cambio de dirección de la velocidad de una artícula al moverse sobre una trayectoria curva Si la trayectoria es recta, es decir R, éste término desaarace Analizaremos a continuación la ecuación de cantidad de movimiento lineal F = ma) según una dirección de movimiento coincidente a la línea de corriente y según una dirección de movimiento normal a la línea de corriente Para determinar las fuerzas externas en ambas situaciones, es decir según ŝ y ˆn, se analizará el elemento diferencial de la figura Ecuación de movimiento según ŝ; Ecuación de Bernoulli La ecuación de cantidad de movimiento según ŝ es s ) δs δnδy + s ) δs δnδy γδsδnδy sin θ = ρδsδnδyv V s z y x s s ) n y g - - s s n W W n n n ) s y n s ) n + s y n ) s + n y s z n z Línea de corriente W s Figura 41: Balance de fuerzas sobre una artícula fluida γ sin θ V = ρv s s Se ve que ara que exista movimiento debe existir un desbalance entre las fuerzas causadas or la resión y el eso Analizaremos a continuación la ecuación anterior a lo largo de la línea de corriente El diferencial de la resión es d = ) ds + s ) dn n Sobre una línea de corriente se cumle que n = cte de donde resulta dn = 0, or lo que s = d ds

3 41 Dinámica elemental 45 Análogamente se tiene que y V V s = 1 dv ds sin θ = z s = dz ds Reemlazando en la ecuación de movimiento se obtiene γ dz ds d ds = 1 ρdv ) ds Eliminando ds obtenemos o γdz d = 1 ρdv ) d + 1 ρdv ) + γdz = 0 Integrando sobre la línea de corriente se obtiene d ρ + 1 V + gz = C, 41) donde C es una constante de integración Las ecuaciones anteriores son válidas sólo sobre una línea de corriente Se ve que ara oder integrar el rimer término de la ecuación anterior es necesario conocer la relación existente entre la densidad y la resión Fluido incomresible Si la densidad es constante se obtiene + 1 ρv + ρgz = C 4) La ecuación anterior se denomina ecuación de Bernoulli 1778) y tiene imlícitas las siguientes hiótesis efectos viscosos desreciable, flujo ermanente, flujo incomresible, alicable sólo a una línea de corriente La última de estas hiótesis significa que la constante de integración será diferente entre una línea de corriente a otra La ecuación de Bernoulli dice que ara un flujo sin roce la energía total, que es la suma de la energía cinética, la energía otencial y la energía de resión, se mantiene

4 41 Dinámica elemental 46 constante Se ve que la ecuación de Bernoulli, escrita en esta forma, tiene unidades de resión La constante C de la ecuación de Bernoulli se denomina resión total T, es decir T = + 1 ρv + ρgz Por lo tanto, la resión total se mantiene constante sobre una línea de corriente en un flujo ideal µ = 0) Vemos además que la resión total esta comuesta or 1 ρv = resión dinámica, = resión estática y ρgz = resión hidroestática Dividiendo or ρg se obtiene ρg + z + V g = cte Se uede areciar que la ecuación de Bernoulli se uede escribir en términos de longitud El término de elevación z, que esta relacionado con la energía otencial se denomina altura toográfica El término P/ρg) se denomina altura de resión y reresenta la altura de la columna de líquido necesaria ara roducir una resión V /g) se llama altura de velocidad y reresenta la altura vertical necesaria ara que si el fluido cae libremente, adquiera la velocidad V Fluido comresible Si suonemos ahora que el fluido es un gas ideal odemos utilizar la ecuación de estado de los gases ideales ara exresar la deendencia de la densidad con la resión y la temeratura De la ecuación de estado se obtiene ρ = RT Reemlazando en la ecuación 41 se obtiene RT d + gz + 1 V = C, de donde se ve que debemos exlicitar la forma en que varía la temeratura a lo largo de la línea de corriente Para un flujo isotérmico, es decir T = cte, se obtiene, integrando entre dos untos sobre una línea de corriente 1 V 1 + gz 1 + RT ln 1 = 1 V + gz Para un flujo isoentróico se cumle que ρ k = cte

5 4 Cantidad de movimiento lineal 47 Reemlazando, integrando entre dos untos y reoordenando se obtiene ) k 1 + V 1 k 1 ρ 1 + gz 1 = k ) k 1 + V ρ + gz Esta ecuación es equivalente a la ecuación ara un flujo incomresible salvo or el factor k/k 1) que multilica la resión y or el hecho de que las densidades son distintas 41 Ecuación de cantidad de movimiento según ˆn Haciendo un desarrollo análogo al realizado en el unto anterior ero ahora según ˆn se obtiene γ dz dn n = ρv R Esta ecuación indica que la variación en la dirección del flujo de la artícula esta acomañada de una combinación aroiada del gradiente de resión y el eso en la dirección normal a la línea de corriente Si la artícula se mueve or una trayectoria recta R ) la resión varia en forma hidroestática Si or ejemlo desreciamos la gravedad o consideramos un flujo horizontal obtenemos n = ρv R, que nos dice que la resión aumenta si uno se aleja del centro de curvatura, dado que ˆn aunta hacia adentro del centro de curvatura y el término del lado derecho de la ecuación es ositivo Para un s constante se tiene que ds = 0 y or lo tanto / n) = d/dn Por lo tanto, si multilicamos la ecuación anterior or dn e integramos a través de las lineas de corriente con ds = 0 se obtiene d V ρ + dn + gz = cte normal a la línea de corriente R Si el flujo es incomresible se tiene además que V + ρ dn + ρgz = C R Esta ecuación nos dice que cuando una artícula viaja sobre una línea de corriente curva R < ) se requiere una fuerza neta adicional con dirección hacia el centro de curvatura ara vencer los efectos centrífugos asociados a la curvatura Esta fuerza o diferencial de fuerza adicional es roorcionada or la resión La resión será, or lo tanto, mayor en la arte externa que en la arte interna de la curvatura 4 Cantidad de movimiento lineal 41 Ecuación diferencial La segunda ley de movimiento de Newton ara un sistema diferencial queda exresada or d F = D dm V )

6 4 Cantidad de movimiento lineal 48 Como la masa de un sistema es constante se tendrá que df = dm D V = dm a = ρd a ) V ) = ρd t + V V Como se vió anteriormente las fuerzas externas que actúan sobre un elemento de fluido, en ausencia de esfuerzos de corte, esta dada or d F = ) γˆk d, de donde reemlazando y reordenando se obtiene γˆk = ρ ) V ) t + V V 1 ρ g z = V t + V ) V 43) Esta ecuación se denomina Ecuación de Euler y reresenta la forma diferencial de la segunda ley de movimiento de Newton ara un fluido ideal, donde no existen esfuerzos de corte Ecuación de Euler vs Ecuación de Bernoulli Una de las restricciones más fuertes en la ecuación de Bernoulli es que es alicable sólo a una línea de corriente, es decir, la constante es en general distinta entre una línea de corriente y otra Alicando la ecuación de Euler ara un flujo ermanente se obtiene 1 ρ g z = V ) V El término del lado derecho de la ecuación anterior se uede desarrollar de la siguiente forma ) ) V V V = V V Si se cumle que V = 0, es decir que el flujo es irrotacional, la ecuación de Euler queda 1 ) V ρ g z = Según una dirección arbitraria de movimiento d r, es decir, realizando un roducto unto entre la ecuación anterior y d r se obtiene ) d V ρ + d + gdz = 0

7 4 Cantidad de movimiento lineal 49 Integrando ara un flujo incomresible se obtiene + ρgz 1 + ρv = cte, que es equivalente a la ecuación de Bernoulli Como la dirección d r del deslazamiento fue elegida en forma arbitraria, se uede decir que la ecuación obtenida es válida en cualquier arte del fluido Lo anterior indica que si el flujo es irrotacional V = 0) entonces la ecuación de Bernoulli es válida entre cualquier ar de untos del fluido y no sólo sobre una línea de corriente 4 Ecuación Integral Para un sistema no diferencial la cantidad de movimiento total P es P = V dm, sis Se ve que la cantidad de movimiento es una roiedad extensiva cuya roiedad intensiva asociada es la velocidad V Alicando el teorema del transorte de Reynolds se obtiene Fsis = D V ρdv sis F = V ρdv + t V ρv da Esta ecuación nos dice que la variación en el tiemo de la cantidad de movimiento lineal de un sistema es igual a la variación temoral de la cantidad de movimiento lineal del contenido del volúmen de control más el flujo neto de cantidad de movimiento a través de la suerficie de control y es además igual a las fuerzas externas que actúan sobre el volúmen de control Esta ecuación es válida ara un sistema inercial Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control se ueden subdividir en fuerzas de suerficie F s, como la resión y los esfuerzos de corte or ejemlo, y en fuerzas másicas F m como or ejemlo el eso F = F s + F m = V ρdv + t Si el flujo es ermanente se obtiene F = V ρv da V ρv da Se debe tener resente que las ecuaciones anteriores son ecuaciones vectoriales cuyas corresondientes comonentes escalares son Fx = t uρdv + u ρv da, 44)

8 4 Cantidad de movimiento lineal 50 Fy = t Fz = t vρdv + wρdv + v ρv da, w ρv da Considerando un volumen de control, que se deslaza con una velocidad constante V con resecto a una referencia inercial, se tiene que F = V ρdv + t Donde se cumle que V = W + V V ρw da Reemlazando se obtiene F = W t + V )ρdv + W + V ) ρw da Si dentro del volumen de control se cumle que el flujo es ermanente se obtiene W t + V )ρdv = 0 F = = W + V ) ρw da W ρw da + V ρw da La ecuación de continuidad ara un flujo ermanente relativa a un volumen de control en movimiento queda dada or ρ W d A = 0 Reemlazando obtenemos finalmente F = W ρ W d A

9 43 Cantidad de movimiento angular Cantidad de movimiento angular En esta sección se verá el momento que ejerce una fuerza con resecto a algún unto Para esto relacionaremos la cantidad de movimiento angular con el momento ejercido En articular nos interesará el momento que se ejerce sobre un eje Si r es el vector osición de un elemento diferencial de fluido, medido desde el origen de un sistema referencial inercial, el momento con resecto a éste origen será r δf = r D ) V ρdv Desarrollando el siguiente término y como D [ r V ] ρdv = D r V ρdv + r D V ρdv) D r = V se obtiene D [ r V ] ρdv = V V }{{ } =0 ρdv + r D V ρdv) D [ r V ] ρdv = r D V ρdv) Se cumle or lo tanto que D [ r V ] ρdv = r δf Integrando sobre el sistema se obtiene Sis D [ r V ] ρdv = r F Como D/) es la derivada temoral que sigue al sistema dm = cte) se uede sacar de la integral D Sis [ r V ] ρdv = r δf, es decir, la suma de momentos externos que actúan sobre el sistema es igual a la tasa de cambio temoral del momento de momentos del sistema

10 43 Cantidad de movimiento angular 5 Utilizando el teorema de transorte de Reynolds se tendrá, ara un volúmen de control inercial coincidente con el sistema, la siguiente relación D Sis M VC = t [ r V ] ρdv = r V ρdv + r F = t r V ρv da r V ρdv + r V ρv da Esta ecuación es muy utilizada ara resolver roblemas que involucran turbomáquinas como bombas, turbinas, ventiladores, comreseores, etc En la mayoría de los roblemas rácticos se requiere sólo la comonente escalar de la ecuación anterior, que entrega el momento con resecto a un eje de rotación Las coordenadas cilíndricas resentan en éste caso una ventaja si se coinsidera el eje z coincidente con el eje de rotación Según z se tiene que r V = rv θ, donde r es la distancia al eje y V θ es la comonente tangencial de la velocidad La comonente escalar requerida es or lo tanto M z = t rv θ ) ρdv + Si el flujo es ermanente se obtiene M z = rv θ ) ρ V d A rv θ ) ρ V d A El torque ejercido sobre el eje de rotación o torque resistivo, es la reacción al momento entregado or la ecuación anterior, es decir T eje = M z La ecuación anterior se uede desarrollar ara encontrar la siguiente relación T eje = ṁ e )±r e V θ,e ) + +ṁ s )±r s V θ,s ), donde ṁ es el flujo másico, r la osición desde el eje, y los subindices e, s reresentan la entrada y salida resectivamente El signo que acomaña a ṁ será ositivo si el flujo sale del volumen de control y negativo si el flujo entra al volumen de control El signo que acomaña al roducto rv θ será ositivo si V θ y U, que es la velocidad de rotación del volumen de control, tienen la misma dirección y negativo en caso contrario La otencia resistiva o la otencia en el eje T eje con la velocidad de rotación ω Ẇ eje = T eje ω Reemlazando T eje se obtiene Ẇeje se obtiene de multilicar el torque en el eje Ẇ eje = ṁ e ±r e ωv θ,e ) + ṁ s ±r s ωv θ,s )

11 44 Turbomáquinas 53 Como rω = U Ẇ eje = ṁ e ±U e V θ,e ) + ṁ s ±U s V θ,s ) En la mayoría de los casos se cumlirá además que ṁ e = ṁ s = ṁ 44 Turbomáquinas Las turbomáquinas son elementos mecánicos que extraen turbinas) o entregan bombas) energía de o a un fluido resectivamente, como resultado de una interacción dinámica entre el fluido y la máquina Una característica de las turbomáquinas es que el fluido nunca esta confinado en el equio Las máquinas en las cuales el fluido se encuentra confinado or un tiemo determinado dentro de ellas, se denominan máquinas alternativas Dentro de los elementos que entregan energía al fluido se ueden citar las bombas, los ventiladores y los comresores or ejemlo Dentro de las turbomáquinas que extraen energía de un fluido se encuentran las turbinas hidráulicas, las turbinas a vaor y a gas La interacción dinámica entre el fluido y la turbomáquina se lleva a cabo en los álabes Los álabes se encuentran unidos al eje de rotación mediante el rodete De acuerdo a la dirección del flujo dentro de la turbomáquina, éstas se ueden clasificar en axiales, radiales, mixtas o tangenciales Además de la clasificación mencionada anteriormente la turbinas se clasifican en turbinas de acción o imulsión y en turbinas de reacción: Las turbinas de imulsión son accionadas or uno o más chorros libres de fluido a elevada velocidad La transformación de energía de resión en energía cinética se realiza fuera de la turbina y no en los álabes de ésta La variación de resión del fluido, a través de los álabes, es or lo tanto nula Si no se considera la fricción y la gravedad el chorro de fluido no sufrirá variaciones de la velocidad con resecto al álabe Un ejemlo de éste tio de turbinas es la turbina Pelton Fig 43a)) En las turbinas de reacción el fluido entra a la turbina a una resión elevada La transformación de energía de resión en energía cinética se roduce dentro de la turbina La velocidad no se mantendrá constante resecto de los álabes Ejemlo de éste tio de turbina son las turbinas a vaor y gas En la figuras 4 y 43b) se ueden observar una turbina de a gas y una hidráulica, del tio Kalan, que corresonden a turbinas de reacción Triángulo de velocidades La reresentación gráfica de la relación vectorial V = W + V VC, que relaciona la velocidad absoluta del fluido V ) con la velocidad relativa a los álabes W ) y la velocidad de rotación de la turbina U = V VC ), se denomina triángulo de velocidades V U W V V r Triángulo de velocidades

12 44 Turbomáquinas 54 a) b) Figura 4: a) Turbina a gas Al lado derecho se ve el comresor y al lado izquierdo las tres etaas de exansión de la turbina b) Acercamiento a la última etaa de exansión de la turbina a) Turbina de acción Pelton b) Turbina de reacción Kalan Figura 43: Turbinas hidráulicas