Ecuación de Bernoulli

Transcripción

1 Ecuación de Bernoulli Ejercicio 7.1. Hallar una relación entre la velocidad de descarga V y la altura de la superficie libre h de la figura. Suponer flujo estacionario sin fricción, salida de velocidad unidimensional en la descarga. Ejercicio 7.. Una constricción en un conducto produce un aumento de velocidad y y una disminución de presión en la garganta. La disminución de presión da una medida del caudal o flujo volumétrico en el conducto. El sistema con variaciones suaves de la figura se denomina tubo Venturi. Hallar una expresión que relacione el flujo másico con la disminución de presión de (1) a (). Ejercicio 7.3. Una manguera de 10 cm de diámetro tiene una tobera de 3 cm por donde se descargan 1, 5m 3 /min. Suponiendo flujo sin fricción, hallar la fuerza F B que se ejerce sobre los tornillos que sujetan la tobera a la manguera. Ejercicio 7.4. El fluido del manómetro del tubo pitot de la figura es mercurio. Al introducir dicho tubo en una corriente de agua, la altura manométrica es 1,336cm. Despreciando efectos de desalineación y otros errores, cuál es la velocidad V del flujo? 1

2 67.18 Mecánica de Fluidos Ejercicio 7.5. La bomba esquematizada, de dimensiones características pequeñas respecto de las alturas H 0 y H i, bombea fluido incompresible a través de una cañería (de sección A, longitud L i y L 0 ). La velocidad del pistón u p está dada por la geometría (radio del cigüeñal r, biela de largo l) y la velocidad angular ω: u p (t) = ωr [sin(ωt) + r ] l sin(ωt) (7.1) a. Hallar la velocidad de entrada u i y de salida u 0 como función del tiempo durante un ciclo. b. Determinar la presión p (t) en la posición [] inmediatamente por encima de la válvula anti-retorno en el lado de presión de la bomba. c. Determinar la presión p 1 (t) en la posición [1] inmediatamente por debajo de la válvula anti-retorno en el lado de succión de la bomba. d. Hallar el máximo valor H i para A p r 1 tal que la presión en [1] permanece A L i por encima de la presión de vapor p v Ejercicio 7.6. El esquema muestra la sección de corte de una bomba radial. El fluido que circula se supone que lo hace bajo un régimen incompresible y sin fricción. Las velocidades c, c 3 y c 4, asi como también la velocidad circunferencial

3 Problemas de la ecuación de Bernoulli c u3, se suponen conocidas. La presión en la entrada es p 1 y la velocidad allí vale c 1. El flujo de entrada relativo al impulsor se considera que no sufre rotaciones. Las fuerzas volumétricas son despreciables. Determinar la presión en [], [3] y [4]. Calcular la potencia de entrada P D requerida para utilizar la bomba en las condiciones de diseño. (Pista: usar la ecuación de conservación de energía.) Verificar la ecuación de Euler para turbinas: Torque= ṁ(r 3 c u3 r c u ). (3 salida, entrada ) Figura 7.1: Bomba radial Datos: R, R 3, R 4, c 1, c, c 3, c 4, c u3, Ω, p 1, ρ. Cálculo de presiones Se usará como notación la velocidad absoluta c = w + v + Ω X. w Es un problema estacionario, luego = 0. Las diferencias de altura son ψ t pequeñas por lo que ρgz ρc p. Entre (1) y (), la terna es fija y la ecuación de Bernoulli se reduce a: p 1 + ρ c 1 = p + ρ c p = p 1 + ρ (c 1 c ) entre () y (3), hay movimiento relativo y resulta más fácil resolver con la terna 3

4 67.18 Mecánica de Fluidos Figura 7.: Velocidades relativas. Volumen de Control solidaria con el rotor. Luego Ω 0, velocidad angular del rotor y v = 0 ya que no hay traslaciones. w 3 + p 3 ρ 1 ( Ω X 3 ) = w + p ρ 1 ( Ω X ) w 3 + p 3 ρ 1 Ω R 3 = w + p ρ 1 Ω R p 3 = p + ρ (w w 3) + ρω (R 3 R ) (7.) Nos faltan conocer las velocidades relativas, luego se describirán en el sistema de referencia elegido. Se adoptan e r y e u como versores radial y circunferencial 4

5 Problemas de la ecuación de Bernoulli respectivamente. c = w + v + Ω X v = 0 w = c Ω X Para hallar el módulo, usamos el producto interno w w = ( c Ω X) w = ( c Ω X) ( c Ω X) +( Ω X) ( Ω X) w = c c ( Ω X) }{{} ΩR e u Llamando c u = c e u w = c c u ΩR + Ω R Entonces, para la posición () y para (3) w = c c }{{} u ΩR + Ω R = c + Ω R =0(Dato) w 3 = c 3 c 3u ΩR 3 + Ω R 3 Luego, reemplazando en la expresión para estimar la presión 7., p 3 = p + ρ (w w 3) + ρω (R 3 R ) p 3 = p 1 + ρ (c 1 c ) + ρ (c + Ω R c 3 + c 3u ΩR 3 Ω R3) + ρω (R 3 R) p 3 = p 1 + ρ (c 1 c ) + ρ ( c + Ω R c 3 + c 3u ΩR 3 Ω R 3) ρω + (R 3 R) p 3 = p 1 + ρ ( c 1 c 3 + c 3u ΩR 3 ) Entre (3) y (4) usamos la ecuaciónde Bernoulli para terna fija: p 3 + ρ c 3 = p 3 + ρ c 3 p 4 = p 3 + ρ ( c 3 c4) p 4 = p 1 + ρ ( ) c 1 c 3 + c 3u ΩR 3 + ρ ( ) c 3 c 4 p 4 = p 1 + ρ ( c 1 c 4 + c 3u ΩR 3 ) (7.3) 5

6 67.18 Mecánica de Fluidos Cálculo de la potencia Podemos considerar al conjunto como un problema de conservación de la energía en terna fija. Debe cumplirse: D(K + E) = P + Q K = 1 V ρu dv E = ρe V intdv P = ρ g vdv + t vds V S Q = rdv q nds V S No hay flujos de calor ni reacciones químicas, Q 0 Sin fricción e incompresible DE = 0 La energía interna varía según: ρ D(e int) = σ : E + r div( q) σ = p I + P σ : E = p I : E = pdiv( v) = 0 por ser no viscoso e incompresible. ρ D(e int) = 0 DK = P DK = ρ ρ t V c dv + S c ( c n)ds ( ) DK c = ṁ 4 c 1 P = c tds = p c nds + S S i +S o P = ṁ ρ (p 1 p 4 ) + P T S T c tds }{{} P T 6

7 Problemas de la ecuación de Bernoulli ( ) c ṁ 4 c 1 = ṁ ρ (p 1 p 4 ) + P T ( c P T = ṁ 4 c 1 + p ) 4 p 1 ρ reemplazando con nuestro resultado para p Verificamos la ecuación de Euler para turbinas: P T = ṁωr 3 c u3 (7.4) T = ṁ(r 3 c u3 R c u siendo (3) la salida y () la entrada, en nuestro caso c u = 0 luego, T = ṁ(r 3 c u3 P = T Ω = ṁωr 3 c u3 Ω T = ṁωr 3 c u3 Ejercicio 7.7. Determinar el tiempo necesario para que el líquido en el recipiente cilíndrico de la figura llegue al nivel h 1 en función del caudal de entrada Q 1 constante en el tiempo, si en el instante inicial se encuentra vacío. 7