La física de la chimenea solar

Transcripción

1 La física de la chimenea solar Víctor Romero Rochín Instituto de Física, Uniersidad Nacional Autónoma de México. Apartado Postal , México, D.F, Mexico. Electronic address: 1

2 D chimenea colector solar (plexiglass) h h = 195 m R = 120 m D = 10 m d = 2 m d R FIG. 1: Esquema de una chimenea solar. I. LA CHIMENEA SOLAR La chimenea solar es una alternatia para producir energía sustentable y limpia usando la energía solar combinada con el principio básico del efecto chimenea (stack effect). Existen ya arios prototipos construidos, entre los más notorios, el de Manzanares, España, con una chimenea de altura h = 195 m y un diámetro D = 10 m. El radio promedio del colector de energía solar es de R =120 m, con una altura desde el suelo de d = 2 m. Vea la Figura 1. El incremento típico de la temperatura del aire dentro del colector con respecto a la del ambiente es de 20 K. El flujo de aire resultante se usa para moer unas turbinas (colocadas en la cercanía de la base de la torre) que, a su ez, generan electricidad. Aqui nos olidaremos de las turbinas. El propósito es entender el flujo del aire dentro del sistema y su elocidad como función de las características de la chimenea. En lo que sigue presentaremos el desarrollo más sencillo e idealizado del problema. 2

3 p h C T 0 ρ 0 h = 0 T ρ A B = 0 p 0 presión en A es p(0) presión en C es p(h) FIG. 2: Los puntos A, B y C están dentro del aire caliente con densidad ρ y temperatura T. El aire en el ambiente tiene densidad ρ 0 y temperatura T 0. La presión ambiente del aire en el piso es p 0 y a la altura h es p h. II. LA FÍSICA DEL PROBLEMA Y UNA SOLUCIÓN SENCILLA 1. El aire dentro del colector (debido a la radiación solar) se calienta a una temperatura T mayor que la temperatura ambiente T 0. A su ez, la densidad ρ del aire dentro del colector disminuye con respecto a la densidad ρ 0 del aire en el ambiente. Esto es, T > T 0 a la ez que ρ < ρ 0. Mientras no haya flujo, la presión del aire dentro del colector es similar a la del ambiente p 0 a niel del suelo, ea la Figura 2. 3

4 2. El aire caliente al ser menos denso que el del ambiente, tiende a elearse dentro de la chimenea por efecto de boya. Este es un transitorio que ocurre por un cierto tiempo, durante el cual el flujo se comporta de manera complicada, hasta que se genera una cierta elocidad en el colector en la cercanía de la entrada a la chimenea. Esta posición está marcada con A en la Figura Una ez que el aire alcanza esa elocidad (por efecto Bernoulli) la presión del aire caliente en la ecindad de la entrada de la chimenea, se reduce con respecto a la presión p 0 del aire caliente en la entrada al colector; esta posición está marcada con B en la Figura 2. Sea p(0) la presión del aire caliente en la entrada de la chimenea, punto A. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene p 0 = p(0) ρ2. (1) Es decir, p(0) < p 0, y es esta diferencia de presiones la que sostiene el flujo. La ecuación (1) supone que la densidad del aire caliente ρ es constante dentro del colector. Supone también que la presión el aire caliente en la entrada del colector es igual a la del aire en el ambiente, a niel de piso. Aclaramos también que hemos despreciado, y seguiremos despreciando, cualquier efecto de iscosidad o fricción. 4. Se alcanza entonces un estado estacionario, sostenido por la diferencia de presiones p = p 0 p(0). Notamos que la elocidad del aire caliente en el punto A es y que esa es la misma elocidad del aire caliente al entrar en la chimenea. Si ahora hacemos la suposición razonable que el aire caliente mantiene su misma densidad ρ a lo largo de la chimenea, que es de sección transersal constante πd 2 /4, entonces, por conseración de masa, la elocidad del flujo también permanece constante, con el alor, dentro de la chimenea. La suposición que la densidad del aire se mantiene constante dentro de la chimenea no puede aplicarse a una chimenea arbitrariamente alta. 5. El flujo, pues, está en un estado estacionario entrando con elocidad cero en el punto B, acelerándose hasta el alor en el punto A, y permaneciendo con elocidad a lo largo de la chimenea hasta su salida en la altura h, punto C en la Figura 2. 4

5 6. Existe una suposición adicional. El aire al salir en C lo hace con cierta presión p(h), dada también por la ecuación de Bernoulli, aplicada entre el punto A y el punto C, p(h) = p(0) ρgh. (2) Esta presión, en principio, no tiene por qué ser igual a la del ambiente p h a la altura h. Sin embargo, puede suponerse que en una distancia ertical δh medida desde la salida de la chimenea, con δh h, las presiones se igualen pues el aire caliente de salida se dispersa en el ambiente. Esto permite suponer que p(h) p h. (3) 7. Con las consideraciones y suposiciones preias, podemos calcular el alor del flujo en A y a lo largo de la chimenea. Para esto, aplicamos una ez más la ecuación de Bernoulli al flujo del aire caliente, desde el punto B hasta el punto C. El resultado es, p 0 = p(h) + ρgh ρ2. (4) Usando la aproximación (3), p(h) p h, la ecuación puede reescribirse como 1 2 ρ2 = p 0 p h ρgh. (5) Ahora notamos que p 0 p h es la diferencia de presiones del aire ambiente entre el piso y la altura h. Si suponemos que la densidad del aire ambiente ρ 0 permanece constante también, consistente con la misma suposición del aire caliente, entonces p 0 p h = ρ 0 gh. (6) Combinando las ecuaciones (5) y (6), llegamos a una expresión para la elocidad, = 2gh ρ 0 ρ. (7) ρ 8. Resulta que experimentalmente es difícil medir la densidad del aire caliente ρ, sin embargo, su temperatura sí se puede determinar. Lo que deseamos entonces es expresar las densidades en términos de las temperaturas. Esto puede estimarse comparando las correspondientes densidades en la ecindad del punto B, en el cual ambos gases están a la misma presión. Si ahora recordamos que el aire puede aproximarse por un gas ideal, tenemos (M es la masa molar del aire) p 0 = R M ρt y p 0 = R M ρ 0T 0, (8) 5

6 de donde obtenemos la relación ρ 0 ρ = T T 0. (9) 9. Usando (9) en (7), llegamos a la expresión deseada de la elocidad en el punto A y a lo largo de la chimenea, = 2gh T T 0 T 0. (10) 10. Haciendo una estimación numérica, suponiendo T T 0 = 20K con T 0 = 300K, hallamos, 16 m/s 57 km/h, una elocidad nada despreciable... Agradezco a mis colegas, en particular a Raúl Espejel y Carlos Málaga, por ayudarme a entender este problema y soportar mis diagaciones al respecto. 6