Pauta Control N o 2. 2 do Semestre Mecánica de Fluidos. a) Encuentre la velocidad del líquido en el agujero en función de los datos entregados.

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1 Pauta Control N o 2 2 do Semestre 2014 Mecánica de Fluidos Problema 1 (50 ptos.) La figura 1 muestra un estanque abierto con agua hasta una altura H. Se perfora un agujero muy pequeño en una pared a una profundidad bajo la superficie del agua. a) Encuentre la velocidad del líquido en el agujero en función de los datos entregados. b) Calcule el tiempo que se demora en salir toda el agua por el agujero. c) A qué distancia R del pie de la pared tocará el piso el primer chorro que sale? d) A qué distancia sobre la base del tanque debería hacerse un segundo agujero de manera que el primer chorro que salga por él tenga el mismo alcance que el que calculó en c)? Figura 1: Problema 1 SOLUCIÓN: a) Para poder encontrar la velocidad del líquido en el agujero en función de los datos entregados, se debe plantear la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, tal como aparecen en la figura 1.a., tomando como punto de referencua la base del estanque. P 1 + ρgh ρv2 1 = P 2 + ρg(h h) ρv2 2 Física General III FIS-130 / / 12

2 Donde ρ es la densidad del agua. Pero tanto en el punto 1 y 2, como el agua se encuentra en contacto con la Atmósfera, ambos puntos presentan la misma presión, que es la presión atmosférica. Por otro lado si como el agujero presenta una sección mucho más pequeña que el área trnasversal del estanque, se puede aproximar v 1 0. Por lo que, reordenando la ecuación de Bernoulli anterior se obtiene la velocidad de salida en al punto 2 (v 2 ) con los datos entregados: Figura 1.a.: Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 ρgh = ρg(h h) ρv2 2 ρgh = 1 2 ρv2 2 = v 2 = 2gh b) Consideremos las áreas A e y A o como las áreas de las secciones transverales del estanque y del orificio respectivamente. Por otro lado el caudal de salida del estanque está definido como: Q s = A o v 2 Por lo que si no entra caudal al sistema la variación del volumen de éste en función del tiempo queda definida como: En donde el volumen V total que sale por el orificio se define como: dv dt = Q s (1) V = A e h = dv dt = A dh e dt Por lo que reemplazando igualando las ecuaciones 1 y 2 se obtiene: (2) Física General III FIS-130 / / 12

3 A e dh dt = Q s A e dh = A o v 2 dt A e A o dh = 2gh dt A e dh = dt A o 2g h Integrando ambos en ambos lados, se obtendrá el tiempo t que demora toda el agua en salir por el agujero (Cabe mencionar que el único volumen de agua que puede sair del estanque es alquiel que se encuentra sobre dicho agujero: A e A o 2g h H dh = h = t = t 0 dt A [ ( e H )] 2 h A o 2g c) El movimiento que presenta el chorro de agua al salir por el orificio del estanque es del tipo parabólico (lanzamiento de proyectil), en donde la componente horizontal de la velocidad no cambia con el tiempo. La distancia R quedará determinada por el tiempo en que el agua permanece en el aire, denominado tiempo de vuelo t v. El movimiento que vertical que experimenta el chorro de agua es de caida libre, por lo que t v queda determinado por este movimiento. Ocupando la función de posición con respecto al tiempo en el eje vertical (y) se tiene que al momento de llegar el chorro de agua al suelo: y(t v ) = 0 = y o 1 2 gt2 v Donde y o = H h o con h o la altura inicial del agua en el estanque medida desde el orificio. Entonces: 1 2 gt2 v = H h o = t v = 2(H ho ) g Luego la distancia R inicial queda definifa como: R = v 2t v Física General III FIS-130 / / 12

4 Donde v s corresponde a la velocidad inicial del chorro, cuando el agua del estanque presnta una altura H. Por lo tanto: R = 2 h o (H h o ) d) Este problema puede ser abordado desde dos puntos de vista 1. Ambos orificios funcionan en conjunto desde el instante inicial Figura 1.d.1: Ambos orificios funcionando simultaneamente Por el Teorema de Torricelli se obtiene que la velocidad de salida del flujo en el orificio 2 será de: v 2s = 2g(H h 2 ) Luego ocupando la función de posición con respecto al tiempo en el eje vertical (y), el tiempo de vuelo del chorro de agua inferior (t 2 v) es: t 2v = Por lo tanto, al igual que el caso anterior, la distancia R alcanzada por el chorro de agua inferior es: 2h 2 g R = V 2s t 2v = 2 h 2 (H h 2 ) Entonces igualando el valor de R obtenido en éste caso con el caso c) se tiene: 2 h o (H h o ) = 2 h 2 (H h 2 ) h o (H h o ) = h 2 (H h 2 ) = h 2 = h o Física General III FIS-130 / / 12

5 2. El segundo orificio se hace una vez que se haya vaciado el agua contenida sobre el orificio superior Figura 1.d.2: Solo el orificio inferior funcionando En este caso utilizando el teorema de Toricelli, se tiene que la velocidad de salida del agua por el orificio 2 es: v 2s = 2g(H h o h 2 ) Luego el tiempo de vuelo t 2v es exactamente el mismo que el calculado en la consideración 1: Entonces la distancia R alcanzada es: t 2v = 2h 2 g R = V 2s t 2v = 2 h 2 (H h o h 2 ) Finalmente igualando el valor R obtenido en éste caso con el caso c) se tiene: 2 h 2 (H h o h 2 ) = 2 h o (H h o ) h 2 (H h o h 2 ) = h o (H h o ) 0 = h 2 2 h 2(H h o ) + h o (H h o ) = h 2 = (H h o) ± (H h o ) 2 4h o (H h o ) 2 Reordenando la última expreción obtenida se llega a: h 2 = (H h o) 2 (H ho ) ± H 5h o 4 Por lo tanto, h 2 toma el valor de ésta solución deducida, si: Física General III FIS-130 / / 12

6 h o H 5 h 2 H h o h 2 0 PUNTAJE: a) 2 ptos. : Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2. 3 ptos. : Expreción de la velocidad de salida del chorro de agua v 2. b) 2 ptos. : Definición de caudal de salida Q s 3 ptos. : Expresión de la variación volumetria del agua dentro del estanque dv dt 5 ptos. : Expresión de dt 2 ptos. : Definición de los límites de las integrales 6 ptos. : Tiempo de vaciado hasta el nivel del agujero t. c) 4 ptos. : Tiempo de Vuelo t v 6 ptos. : Distancia R d) Punto de vista 1 4 ptos. : Velocidad de salida del chorro de agua por el segundo agujero. 4 ptos. : Tiempo de vuelo del segundo chorro de agua. 8 ptos. : Altura al cual debe ubicarse el segundo orificio h 2. Punto de vista 2 3 ptos. : Velocidad de salida del chorro de agua por el segundo agujero. 3 ptos. : Tiempo de vuelo del segundo chorro de agua. 8 ptos. : Altura al cual debe ubicarse el segundo orificio h 2. 2 ptos. : Condiciones de validez de la solución. Física General III FIS-130 / / 12

7 Problema 2 (50 ptos.) Una cuerda anclada al fondo de un recipiente lleno de agua sostiene una esfera hueca bajo la superficie. La cuerda presenta un valor de tracción límite, es decir, para una carga igual o superior X[N], la cuerda se rompe (En condiciones iniciales la cuerda soporta perfectamente la tensión generada en ella). El volumen de la esfera es V E, su masa m E y su densidad ρ E. Suponga que se adiciona sal (m sal, ρ sal, V sal ) al recipiente generando variaciones en la densidad del agua (homogénea a lo largo del recipiente) a) Hallar la expresión para la masa mínima de sal que se debe disolver en el agua para que la cuerda se corte. Una vez que se corte la cuerda la esfera subirá: b) Encuentre el volumen de la esfera que quedará sumergido en agua cuando la esfera esté completamente en equilibrio. c) Encuentre la frecuencia a pequeñas oscilaciones cuando la esfera es ligeramente perturbada de su posición de equilibrio (considere que el radio de la esfera es R). SOLUCIÓN: Figura 2: Problema 2 a) Cuando se adiciona sal al sistema, la densidad promedio del fluido aumentará. Considerando que el volumen de la sal V s se mantiene constante, se define la densidad resultante ρ o, después que se agrega sal como: ρ o = M total V total = M s + M a V s + V a Física General III FIS-130 / / 12

8 Donde V a es eñ volumen del agua contenido en el estanque. Expresando la masa, en función de su densidad y volumen (M = ρv ), se tiene que la expresión de ρ o queda de la siguiente forma: ρ o = ρ s V s + ρ a V a V s + V a (3) En esta expresión V s también es desconocida por lo cual se debe encontrar otra ecuación que encuentre esta incógnita. El problema solicita el valor de la masa mínima de sal para que la cuerda se rompa, ya que al modificar la densidad ρ o (que aumenta), también aumentará el valor de la fuerza de empuje (E), por lo tanto la tensión de la cuerda tiende a su valor máximo límite X[N]. Basado en esto se tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre: Donde: E : Fuerza empuje Mg : Peso T : Tensión de la cuerda Luego como el sistema está en equilibrio se tiene: Fy = E T Mg = 0 (4) Y se sabe que la fuerza empuje corresponde al peso del volumen desplazado del fluido del sistema: Figura 2.a.: DLC de Esfera sumergida atada la la cuerda E = ρ o Y que el peso de la esfera está dado por: Mg = V E ρ E g Reemplazando la expresión del peso y el empuje en la ecuación (4) se tiene: ρ o V E ρ E g = T En la rotura se cumple que T = X[N], por lo que se tiene: (ρ o ρ E ) = X Obteniéndose así: Física General III FIS-130 / / 12

9 ρ o = X + (ρ E ) (5) Igualando la ecuación (3) con la ecuación (5) se obtiene el volumen de la sal V s : ρ s V s + ρ a V a = X + (ρ E ) V s + V a [ ] X + (ρe ) ρ s V s + ρ a V a = (V s + V a ) [ ] [ ] X + (ρe ) X + (ρe ) ρ s V s V s = V a ρ a V a Para facilitar el cálculo, se realiza un cambio de variable: Reemplazando λ en la ecuación anterior: [ ] X + (ρe ) λ = ρ s V s λv s = λv a ρ a V a = V s = V a λ ρ a ρ s λ De esta forma basta con usar la expresión M = ρv para obtener el valor de la masa. [ ] λ ρa M s = V s ρ s M s = V a ρ s ρ s λ Entonces reemplazando λ se tiene: Donde V a = H A V E : Reordenando los términos se llega a: [ ] X + (ρe ) ρ a g V M s = V E a [ ] ρ s X + (ρe g V E ) ρ s [ ] X + (ρe ) ρ a g V M s = (H A V E ) ρ E s [ ] X + (ρe g V E ) ρ s Física General III FIS-130 / / 12

10 { } X + (ρe ) ρ a M s = (H A V E ) ρ s ρ s [X + (ρ E )] b) La densidad requerida por el estanque se encuentra dada por la ecuación (5): ρ o = λ En el equilibrio, las únicas fuerzas actuando sobre la esfera son el peso y la fuerza de empuje, por lo que se tiene: Mg = E Donde ahora E = ρ o g V sum con V sum como el volumen de la esfera que queda sumergida. Mg = ρ o g V sum ρ E V E g = λ g V sum = V sum = ρ E λ V E Reemplazando la expresión λ en la última ecuación: V sum = ρ E [ ] V E X + (ρe ) = V sum = ρ E g V 2 E X + (ρ E ) c) En este caso, la esfera presentará un movimiento oscilatorio, producto de una pequeña perturbación que desvía la esfera de su posición de equilibrio provocando que la fuerza de empuje aumente o disminuya según en la posición que se encuentre ésta. Definamos el siguiente sistema de referencia, que aparece en la figura 2.c., donde el sistema de ejes X e Y tiene su origen en el centro de la esfera. En este caso el sistema inercial corresponde a la esfera y el agua se mueve con respecto a ésta. Física General III FIS-130 / / 12

11 Figura 2.c.: Sistema de referencia de la esfera en Movimiento La ecuación de movimiento queda definida como: mẍ = E mg Para conocer el valor de la fuerza de empuje E debemos conocer el volumen sumergido de la esfera. Para ello se realiza el siguiente análisis: La ecuación de la circunferencia se define como x 2 + y 2 = R 2 donde R es el radio. Luego se puede despejar la variable y y obtener y 2 = R 2 x 2. Por otro lado consideremos cilíndos de volumen dv, que presentan un radio igual a y y un espesor dx, tal como se observa en la figura 2.c., por lo que la porción de volumen que queda sumergida puede ser calculada como la suma de todos estos pequeños cilindros desde x = R hasta x = x: V s = = dv i = i=1 x R πy 2 dx Física General III FIS-130 / / 12

12 x R πy 2 dx = x R π(r 2 x 2 )dx ) = π (R 2 x x R3 3 = πr3 3 ( ) 3x R x3 R Por lo tanto la ecuación diferencial del movimento queda expresada como: ρ E V E ẍ = ρ g πr3 3 ẍ ρ g π R3 3ρ E V E ( 3x R x3 R ( 3x R x3 R ) ρ E V E g ) = g (6) La ecuación (6) corresponde a la ecuación diferencial del movimiento normalizada, de la cual se puede obtener la frecuencia del movimiento, conociendo previamente las codiciones iniciales del problema y expresando la ecuación en función de la velocidad. PUNTAJE: a) 3 ptos. : Expresión de ρ o con respecto a las masas M s, M a y los volúmenes V s, V a. 2 ptos. : Diagrama de Cuerpo Libre. 2 ptos. : Expresión del Empuje y de la masa de la esfera en función de sus dencidades y volúmenes. 5 ptos. : Expresión de ρ o en función de los parámetros conocidos. 6 ptos. : Volumen de sal V s necesario para la mezcla. 9 ptos. : Masa de sal M s necesaria para la mezcla. b) 5 ptos. : Ecuación de equilibrio 8 ptos. : Volumen sumergido. c) 5 ptos. : Volumen sumergido V s en función de x. 5 ptos. : Ecuación Diferencial del Movimiento. Física General III FIS-130 / / 12