BALANCE MACROSCOPICO DE ENERGIA MECANICA

Transcripción

1 BALANCE MACROCOPICO DE ENERGIA MECANICA -Existen numerosas aplicaciones de interés práctico donde resulta más importante ealuar magnitudes inculadas con la energía del sistema (por ejemplo la potencia W de una bomba necesaria para bombear un determinado caudal de fluido) que magnitudes dinámicas (como caudales, pérdidas de carga, etc). -Por esta razón es necesario realizar un estudio de las diferentes formas de energía y de interconersión de las mismas que pueden existir en un sistema. alida de masa Energía Mecánica Energía Interna W E Q E p Entrada de masa -Así, la energía puede acumularse como potencial, cinética e interna y puede transferirse como calor o trabajo. -La energía potencial es aquella asociada con la posición de la materia. -La energía cinética es aquella asociada con el moimiento de la materia.

2 -La energía interna incluye todas las formas de energía de un sistema, excepto las debidas a la posición (energía potencial) y al moimiento (energía cinética). -Cuando existe una transferencia de energía entre el sistema y los alrededores debido a la existencia de una diferencia de temperaturas, se dice que la energía se transfiere por medio de un flujo calórico o calor Q. -Todos las demás formas de transferir energía entre el sistema y los alrededores que no sean flujo calórico o por transferencia de masa se denominan trabajo W. -Por conención se adopta al trabajo como positio cuando el sistema lo realiza sobre los alrededores y negatio cuando los alrededores realizan un trabajo sobre el sistema. -Cuando al sistema ingresa o egresa masa se genera una transferencia conectia de energía cinética, potencial y/o interna. -Resulta útil agrupar las energías cinética y potencial bajo la denominación de energía mecánica diferenciándola de la energía interna. -La energía mecánica puede alterarse por la realización de trabajo o por el ingreso/egreso de masa. -La energía interna puede alterarse por la existencia de un flujo calórico o por el ingreso/egreso de masa. -Cuando se realiza esta "separación" de formas de energía es necesario considerar que parte de la energía mecánica puede transformarse de manera irreersible en energía interna por fricción, E. Y que ambas formas de energía pueden interconertirse por efectos de compresión/expansión, E p. -Con el próposito de poder ealuar magnitudes como la potencia de una bomba es que se realiza un balance parcial de energía, tomando únicamente en cuenta la energía mecánica del sistema.

3 -Objetio: obtener una expresión matemática para la ariación de energía mecánica de un olumen de control arbitrario. -uposiciones: )e considera que la posibilidad de interconersión de energía mecánica e interna es despreciable frente a la conersión irreersible de energía mecánica en interna (E >> E p ). Esta es una buena suposición para fluidos incompresibles. )Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al ector elocidad -Aplicando el principio de conseración: Velocidad de acumulación de energía cinética y potencial Velocidad de Velocidad de entrada de salida de energía cinética energía cinética y potencial y potencial Velocidad de Conersión realización de irreersible de trabajo sobre energía mecánica los alrededores en energía interna -Aplicando el principio de conseración de la energía mecánica a un olumen de control arbitrario: W Volumen de control: V a h Z Y h X 4

4 -e obtiene : d ( K Φ ) dt ρda ρda Φˆ ρda Φˆ ρda pda pda W E -Donde: K V a ρ dv Φ ρ Φ ˆ dv ( g x g y g z) Φˆ x y z Energía potencial por unidad de masa. -El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores se ha desdoblado en dos contribuciones: W representa el trabajo realizado por el sistema sobre partes móiles de los alrededores (por ejemplo moer una turbina) y luego está el trabajo necesario para introducir al fluido en el olumen de control a traés de y para sacarlo a traés de. -Este trabajo se denomina "trabajo de circulación" y está dado por los términos: pda pda -Recordando la definición de alor medio de una función, podemos definir: V a 5

5 da -i además, suponemos que ρ, Φ y p son constantes sobre y la expresión del balance queda: d ( K Φ ) dt ρ da ρ da da da ˆ ˆ Φρ Φ ρ p da p da W E -Utilizando las definiciones de alores medios: d ( K Φ ) dt ρ ρ Φˆ ρ Φˆ ρ p p W E -Esta ecuación es el balance macroscópico de energía mecánica y posee las siguientes restricciones: )La interconersión de energía mecánica e interna es despreciable frente a la conersión irreersible de energía mecánica en interna (E >> E p ). 6

6 )Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al ector elocidad )En las secciones de entrada y salida ρ, Φ y p son constantes. -Para régimen turbulento se deberá cumplir que: -Para régimen laminar o perfiles de elocidad muy distorsionados esta no es una buena aproximación y se utiliza un factor de corrección definido como: α -El alor de α tiende a 0.5 para régimen laminar (perfil de elocidad parabólico) y a para régimen turbulento (perfil de elocidad casi plano). -i el sistema de ejes se toma como en la figura con el eje "z" ertical y apuntando hacia arriba entonces: g x g y 0 y g z -g, por lo tanto: Φˆ gz -Con estas consideraciones el balance macroscópico de energía mecánica queda: d ( K Φ ) dt ρ α ρ α ρ gz ρ gz p p W E -Utilizando el operador Δ: 7

7 d ( K Φ ) dt ρ Δ α ρg Z p W E -Donde el primer término del miembro de la derecha representa la entrada neta de energía cinética al olumen de control, el segundo la entrada neta de energía potencial, el tercero el trabajo neto de circulación del fluido, el cuarto el trabajo que el sistema realiza sobre los alrededores y el quinto la conersión irreersible de energía mecánica en interna. -Para el caso particular en que el sistema opera en estado estacionario el balance macroscópico de materia conduce a: ρ -Además, en estado estacionario: ρ d ( K Φ ) dt 0 -Por lo tanto, es posible diidir todos los términos por balance se reduce a: ρ y el Δ α gz p Wˆ ρ Eˆ 0 -Donde: Wˆ W ρ Eˆ E ρ COEFICIENTE DE FRICCION -De manera análoga a lo que sucede con el balance macroscópico de cantidad de moimiento, el balance macroscópico de energía mecánica 8

8 puede utilizarse de manera directa para calcular E o para calcular magnitudes de mayor interés aplicado, por ejemplo la potencia necesaria para bombear un determinado fluido. -Cuando se desea calcular alguna magnitud diferente a E, también de manera análoga a lo que ocurre con F en cantidad de moimiento, es necesario utilizar una ía independiente para ealuar E. -La metodología utilizada consiste, nueamente, en definir un coeficiente de fricción adimensional "e " que deberá ser ealuado experimentalmente. -Para ello se define la siguiente ecuación: Eˆ e, donde es una elocidad característica del sistema. -Por lo tanto, la siguiente etapa consiste en realizar las ealuaciones experimentales de "e " para diferentes sistemas de flujo: conductos rectos, accesorios de tuberías, flujo en orificios, sistemas de agitación, etc. COEFICIENTE DE FRICCION EN CONDUCTO RECTO -Puesto que el fenómeno que origina a los coeficientes "f" y "e " es el mismo y que existe una al analogía en el tratamiento de los balances macroscópicos de cantidad de moimiento y de energía mecánica, se puede pensar que debe existir alguna relación entre "f" y "e ". -Así, por ejemplo, en conductos rectos F incluye arrastre de forma y fricción de piel, mientras que E corresponde a las pérdidas irreersibles de energía mecánica en interna debidas al roce proocado por estos dos mismos fenómenos. -Con el objetio de encontrar la inculación existente entre "f" y "e " para conductos circulares y rectos plantearemos simultáneamente los balances macroscópicos de materia, cantidad de moimiento y energía, aplicándolos a un mismo olumen de control: un tramo del conducto circular y recto. 9

9 -uponiendo que por el conducto circula un fluido newtoniano de ρ y μ constantes en estado estacionario y con flujo desarrollado, los balances simplificados resultan: Plano "" L Plano "" z Plano de referencia -Balance macroscópico de materia: -Balance macroscópico de cantidad de moimiento: F ( p p ) ρlg -Balance macroscópico de energía mecánica: -En estado estacionario: Δ α gz p Wˆ ρ Eˆ 0 -Como el flujo es desarrollado α α y el sistema no realiza trabajo sobre los alrededores, por lo tanto W0, se obtiene: 0

10 ( p p ) ( p p ) p Eˆ Δ gδz g( 0 L) ρ ρ ρ gl -Reemplazando: ˆ E F ρ -i se reemplaza por las definiciones de F y E en función de "f" y "e " se obtiene: 4L e D -Esta ecuación puede generalizarse para conductos de sección no circular en régimen turbulento utilizando el radio hidráulico 4R h D f e L R h f -Nótese que para conductos no es necesario realizar una nuea ealuación experimental para obtener "e " ya que es posible utilizar la ealuación de "f" y luego calcular "e " con cualquiera de las dos ecuaciones anteriores. COEFICIENTE DE FRICCION EN ACCEORIO DE TUBERIA -En las conducciones para fluidos no sólo existen partes rectas sino que además hay diferentes tipos de accesorios: codos, álulas, contracciones, expansiones, bifurcaciones, etc que contribuyen de manera significatia a las pérdidas irreersibles de energía mecánica. -Para estos accesorios no es posible utilizar la ecuación deducida antes que incula a "f" y "e " ya que ésta sólo es álida para conductos rectos. Por esta razón se han realizado ealuaciones experimentales para cada tipo de accesorio. -Por lo tanto, las pérdidas ales de energía mecánica por fricción pueden ealuarse sumando las pérdidas producidas en los tramos rectos y en cada uno de los accesorios existentes en la conducción:

11 Eˆ tramos rectos L Rh f accesorios e -Para las pérdidas en cada tramo recto se utiliza la elocidad media correspondiente a ese tramo, mientras que en el caso de los accesorios si se producen cambios de sección es necesario saber si en la ealuación experimental de "e " se utilizó como elocidad característica la elocidad aguas arriba o aguas abajo del accesorio. -En expansiones bruscas la mayor parte de las pérdidas por fricción se deben a los torbellinos que se producen por desprendimiento de la capa límite al pasar de una zona de baja presión (alta elocidad en el conducto mas estrecho) a una de alta presión (debido a la disminución de elocidad al producirse la expansión). -Por este motio cuando se desean disminuir las pérdidas de energía en una conducción se utilizan difusores en los lugares donde es necesario realizar cambios de diámetro en la conducción. En ellos el cambio es gradual, con lo que se eita el desprendimiento de la capa límite y se reducen sustancialmente las pérdidas de energía. Un fenómeno similar existe en las contracciones. LONGITUD EQUIVALENTE DE CAÑERIA -Una forma alternatia de ealuar "e " en accesorios consiste en utilizar la denominada "longitud equialente". -La longitud equialente se define como: "la longitud de tubería recta y lisa de igual diámetro que el accesorio que produce igual pérdida de energía que éste".

12 -Cuando existen contracciones o expansiones la longitud equialente se expresa adoptando el diámetro de la conducción de menor sección. -Existen tablas y nomogramas en los cuales están ealuadas las longitudes equialentes de distintos tipos de accesorios. -Llamando L e a la longitud equialente, las pérdidas ales de energía mecánica por fricción pueden ealuarse de acuerdo con la siguiente ecuación: Eˆ tramos rectos L Rh f accesorios Le Rh f -El cálculo de E utilizando "e " o "L e " es equialente.