Grado de Ingeniería de Materiales

Transcripción

1 Curso Hoja EJERCICIOS 1. Las componentes del ector posición de un cuerpo que se muee en el plano XY son: x = 16t + t, y = 18t 1,5t, en el SI. Para el instante t = 1 s, calcular: a) las componentes cartesianas y las componentes intrínsecas de la aceleración. b) los ectores unitarios u t y u n y comprobar que son perpendiculares. c) la posición del centro de curatura. Sol.: a) a x = 4 m/s ; a y = 3 m/s ; a t = 1,4 m/s ; a n = 4,8 m/s ; b) u t = (0,8, 0,6);u n = (0,6, 0,8); c) C.C.: x = 96,1 m, y = 87,67 m. La ley de moimiento de una partícula en el plano XY es r( t) (5 3 sent ) i (1 3 cos t) j m cuando t en s. a) Hallar la elocidad t () y la aceleración a (t). b) Cuánto ale () y a ()?. c) Hallar las componentes intrínsecas de la aceleración; d) Determinar la trayectoria de la partícula. Sol: a) ( t) 6 cos t i 6 sen t j m/s; a( t) 1 sen t i 1 cos t j m/s ; b) ( ) 3,9 i 4,54 j m/s; a( ) 9,08 i 7,84 j m/s ; c) a t = 0, a n = 1 m/s ; d) (x 5) + (y 1) = 3 Circunferencia de radio 3 m con centro en el punto (5, 1) 3. La aceleración de una partícula que se muee en el plano XY es: a x = 4 sent, a y = 3 cost, en el S.I. Sus condiciones iniciales son x 0 =, y 0 = 5, 0x = 4, 0y = 0. Hallar: a) la ecuación de la trayectoria; b) el alor de la celeridad y de la aceleración tangencial para t = π/4 s. Sol.: a) (x3) /4 + (y) /3 = 1; b) = 3,54 m/s, a t = 0,99 m/s 4. Se deja caer una bola de acero desde el balcón de un edificio y tarda 0,10 s en recorrer el último metro. a) Desde qué altura se dejo caer? b) Con qué elocidad llega la bola al suelo? Sol.: a) 5,5 m; b) 10,5 m/s 5.- Desde una torre de 10 m de altura se deja caer el cuerpo 1 y desde la base de la torre se lanza erticalmente hacia arriba el cuerpo con una elocidad de 40 m/s. g = 10 m/s. a) Si ambos cuerpos empiezan a moerse en el mismo instante, dónde se cruzan?, cuando se cruzan, el sube o baja? b) Si deseamos que se crucen a la mitad de la altura, qué cuerpo se ha de lanzar antes?, cuánto antes que el otro?. Sol.: a) h = 75 m, sube; b) en clase. 6. Un cuerpo lanzado horizontalmente con elocidad 0 desde una altura H cae a una distancia d de la ertical de lanzamiento. Comprobar que para que d = H, debe ser lanzado con 0 gh / y llega al suelo con 5 gh /. 7. Un cuerpo lanzado oblicuamente desde el suelo alcanza una altura máxima H y cae a una distancia L del punto de lanzamiento. Expresar en función de H y L: a) el alor de la elocidad de lanzamiento, b) el ángulo de eleación; c) el tiempo que está en el aire. Sol.: a) g (16 H L )/ 8H ; b) = arctg(4h/l); c) t 8H / g 0 8. En la figura de la derecha x = 50 m y h = 10 m. Si el mono se deja caer en el mismo instante que el cuidador dispara el dardo, cuál es la elocidad mínima inicial de dicho dardo para que choque contra el mono antes de que llegue al suelo situado a 11, m por debajo de su posición inicial?. Sol.: En clase 9. Guillermo Tell a a intentar ensartar con una flecha una manzana colocada en la cabeza de su hijo a cierta distancia horizontal d del punto de disparo y a 50 cm por debajo del punto de lanzamiento de la flecha. La flecha sale con una elocidad inicial de 50 m/s y una eleación de 30º sobre la horizontal. El iento produce una aceleración horizontal de m/s que frena la flecha. Considerando g = 10 m/s, calcular: a) la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para ensartar la manzana; b) la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. Sol.: En clase 10. La Luna gira alrededor de la Tierra describiendo una circunferencia de radio aprox. R = Km, y tarda 7,3 días en dar una uelta completa. a) Cuál es la aceleración de la Luna hacia la Tierra? Sol.:, m/seg 11. Un cuerpo que parte del reposo describe un m.c.u.a. y tarda t 1 s en dar la primera uelta. a) Cuánto tarda en dar la segunda uelta?; b) Y en dar la cuarta uelta?; c) Cuál es su elocidad angular al finalizar la primera uelta?; d) Y al finalizar la cuarta uelta?. Sol.: a) ( 1) t 1 ; b) ( 3) t1 ; c) 4 / t1 ; d) 8 / t1

2 AUTOEVALUACIÓN 1. El ector posición de una partícula en unidades del S.I. es r( t) 0t i (0t t ) j 1,5t k. Calcular para t = 5 s: a) las componentes intrínsecas de la aceleración; b) los ectores unitarios en la dirección de la tangente y de la normal; c) el radio de curatura y la posición del centro de curatura del móil. Sol.: a) a t =1,8 m/s ; a n = 4,66 m/s ; b) 0,8 i 0,6 k, 0,31 i 0,86 j 0,41 k ; c) = 134 m; C = (58,5; 65,; 17,4) u t u n 13. La elocidad y la aceleración de un móil en el instante que pasa por el origen de coordenadas son respectiamente 6 j m/s y a 4 i 3 j m/s. Realiza un dibujo e indica el alor correcto, en ese instante, de: i) La componente tangencial de la aceleración a t : a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 0 ii) La componente normal de la aceleración a n : a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 0 iii) El radio de curatura, : a) 4 m b) 9 m c) 3,6 m d) i) Las coordenadas del centro de curatura: a) (4, 0) m b) (0, 9) m c) (9, 0) m d) (, 0) 14. Una partícula se muee en el plano XY con aceleración: a x = 0, a y = 5 m/s. En el instante t = 0, la partícula se encontraba en x 0 = 0, y 0 = 8 m, y tenía una elocidad dada por 0x = 5, 0y = 0 m/s. Calcular: a) la ley de moimiento de la partícula; b) la ecuación de su trayectoria; c) las componentes intrínsecas de su aceleración para t= 1 s. Sol: x = 5t; y = 8 + (5/) t ; b) y = 8 + x /10; c) a t (1) = a n (1) = 5/ m/s 15. La aceleración de una masa puntual que se muee en el plano XY es a i 3 t j m s -, si en el instante inicial su elocidad es 0 6 i m/s y está en el punto (0, 4 m), calcular: a) la ley del moimiento; b) la elocidad y la posición de la masa para t = s; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en ese instante. 3 Sol:a) r( t) (6t t ) i (4 t / ) j m; b) ( ) i 6 j m/s; P()=(8 m, 8 m); c) a t () = 5,06 m/s ; a n () = 3,79 m/s. 16. Desde una altura de 5 m se lanza erticalmente hacia arriba una bola con una elocidad de 55 m/s. Tomando g = 9,8 m s -, calcular el tiempo que está en el aire y con qué elocidad llega al suelo. Sol.: t = 11,7 s; = 59,7 m/s 17. Desde la azotea de un edificio se lanza horizontalmente una pelota a 30 m/s y llega al suelo al cabo de,7 s. Despreciando el rozamiento con el aire, g = 10 m s -, calcular: a) distancia entre el edificio y el punto donde cae la pelota; b) altura del edificio; c) elocidad de la pelota al llegar al suelo. Sol.: a) 81m; b) 36,5 m; c) (30, 7) 18. Un niño desde un balcón de altura y 0 lanza una pelota en dirección horizontal con una elocidad 0. En el mismo instante, otro niño que está en la calle lanza erticalmente hacia arriba otra pelota con una elocidad 0, desde un punto que dista d del edificio. Cuánto ha que aler d para qué choquen las pelotas? Sol.: d = y 0 / 19. Desde el punto P de la ladera de una montaña que forma º con la horizontal, se lanza un cuerpo con una elocidad inicial 0 = 150 m/s formando un ángulo de 31º con la ladera. Calcule el tiempo que está el proyectil en el aire, a qué distancia d cae del punto P y la elocidad con que impacta con el suelo. g = 10 m s -. Sol.: t =16,8s; d = 168 m; x = 90 m/s, y = 48 m/s, = 10 m/s 0. Un aión baja en picado formando 45º con la horizontal. Cuando está a 400 m de altura y a a 700 km/h suelta un objeto. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar el objeto al suelo; b) la elocidad con que llega; c) el punto en donde cae (distancia a la ertical del aión en el instante de lanzarlo). Sol.: a),7 s; b) 13 m/s; 365,8 m. 1. Una grúa elea un objeto pesado a elocidad constante de 10 m/s. cuando el objeto se encuentra a 5 m sobre el suelo rompe el cable quedando aquél en libertad. Si g = 10 m/s : a) hasta que altura seguirá subiendo el objeto?; b) Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo desde que se rompió el cable? Sol.: a) 10 m; b),4 s.. Un ascensor de 3 m de altura sube con una aceleración de 1 m/s. Cuando está a cierta altura se desprende la lámpara del techo. Cuánto tiempo tarda la lámpara en llegar al suelo del ascensor?. g = 9,8 m/s. Sol: 0,745 s 3. Una partícula sigue una trayectoria circular de m de radio con una aceleración tangencial constante de 0,5 m/s. En un punto dado de su trayectoria, tiene una elocidad de 3 m/s. Determinar la elocidad angular y el módulo de la aceleración de la partícula en este punto. Sol: = 1,5 rad/s; a 4,53 m/s. 4. Una plataforma circular de m de radio, inicialmente en reposo, comienza a girar con aceleración angular constante de 1,5 rad/s, hasta que adquiere una elocidad angular de 6 rad/s, que mantiene constante durante medio minuto y a continuación frena deteniéndose en 3 segundos. Calcular: a) las ueltas dadas por la plataforma; b) el espacio recorrido por un punto de su periferia; c) los alores de la aceleración tangencial y de la aceleración normal de un punto de la periferia en los instantes, t 1 = s, t = 0 s y t 3 = 35 s, contados desde que se inició el moimiento. Sol.: a) 3 ueltas; b) 40 m; c) a t () =3 m/s, a n () = 18 m/s, a t (0) = 0, a n (0) = 7 m/s, a t (35) = -4 m/s ; a n (35) = 3 m/s P V 0 31 d

3 Curso Hoja.1 El ector posición de una partícula que se muee en el plano XY es r( t) (3 3 cos t ) i (3 3 sent ) j. en unidades del S.I. a) Calcular en cualquier instante t: a1) el ector elocidad y su módulo. a) el ector aceleración y su módulo a3) las componentes intrínsecas de la aceleración. a4) los ectores unitarios u t y u n. a5) el alor del radio de curatura a6) las coordenadas del centro de curatura. a7) la ecuación de la trayectoria b) Comprobar que: b1) el móil pasa por el origen de coordenadas b) los ectores u t y u n son perpendiculares b3) a a t a b4) a n d b5) ut un dt

4 Curso Hoja. Desde el suelo se lanza un cuerpo con una elocidad de 50 m/s y una eleación con la horizontal. A una distancia horizontal de 00 m del punto de lanzamiento hay un muro ertical de altura 40 m. Despreciamos el rozamiento con el aire y tomamos g = 10 m/s. Determinar para que alores del ángulo de inclinación: a) el proyectil cae en el suelo delante del muro b) el proyectil impacta contra el muro c) el proyectil sala el muro y cae en el suelo detrás de él.

5 Curso Hoja.3 Un automóil recorre una pista horizontal, en un determinado instante el elocímetro indica 108 km/h, el eje longitudinal del ehículo forma 36,87º con la dirección ESTE, que tomaremos como el semieje X positio, y un péndulo suspendido del techo se separa 45º de la ertical en dirección ESTE. Calcula, para ese instante: a) la aceleración del ehículo. b) las componentes intrínsecas de la aceleración. c) el radio de curatura