TIROS (Tratamiento vectorial) v N = velocidad del nadador v R = velocidad de la corriente (río)

Transcripción

1 TIROS (Tratamiento ectorial) IES La Magdalena. Ailés. Asturias Puede ocurrir que un cuerpo esté sometido, simultáneamente, a dos moimientos. Un ejemplo típico de esto es el nadador que trata de alcanzar la orilla opuesta de un río nadando en dirección perpendicular a la corriente (er esquema). La elocidad resultante (suma de ectores) será: N R j N = elocidad del nadador R = elocidad de la corriente (río) i N R Las ecuaciones para este moimiento serían (considerando el origen situado en el punto de partida del nadador sentido positio hacia la derecha hacia abajo): i j R N r t t i t j R N Ejemplo 1. V N =,8 m/s. V R =, m/s,i,8 j r t, t i,8 t j La elocidad es constante (MRU). El ector de posición tiene la misma dirección que el ector elocidad a que se obtiene multiplicando este por el escalar t (tiempo). Posición elocidad al cabo de,5 s:,i,8 j ;,,8,15 s m s m r t, t i,8 t j 5, i, j 5, m hacia la derecha, m hacia abajo del punto de partida. Si el río tiene 1 m de ancho En qué punto alcanzará la orilla opuesta? Cuando alcance la orilla opuesta la componente del ector de posición aldrá 1 m j i : Por tanto:,8 t = 1; t =1,5 s. Se encontrará a una distancia del punto de partida de: =, t =, 1,5 =5, m. r 5, 1, m 6,9 m Distancia recorrida: 1

2 F Q 1.º Bachillerato. IES La Magdalena. Ailés. Asturias Tiros (ectores) Tiro horizontal Tiene lugar cuando un objeto (sometido a la acción de la graedad) es lanzado con determinada elocidad en dirección paralela al suelo. El moimiento es uniformemente acelerado (MUA), a que la aceleración es constante. Ecuaciones (generales) del MUA: g t 1 r r t g t Constantes del moimiento (origen: el de coordenadas): j i g r hj, i, g gj Ejemplo 1. Desde una entana situada a m sobre el suelo se lanza horizontalmente un objeto con una elocidad de 15 m/s. Determinar: a) Las ecuaciones que describen el moimiento del objeto. b) El punto en que toca el suelo. c) La elocidad con que llega al suelo. Solución: a) 15 m / s g1m/ s Tomado como origen el de los ejes coordenados considerando positio hacia la derecha hacia arriba: r j, 15 i, g 1 j g t 15 i 1t j 1 1 r r t gt j 15 t i 1t j 15t i 5t j b) Cuando toca el suelo =. Luego : = - 5 t. t 5 s Tiempo que el objeto tarda en llegar al suelo solamente se considera el resultado con signo positio). Para calcular la distancia a la que toca el suelo se calcula el alor de la componente para t = s. (t = ) = 15. = 3 m.

3 F Q 1.º Bachillerato. IES La Magdalena. Ailés. Asturias Tiros (ectores) c) Cuando toca el suelo el ector elocidad aldrá: 15 i 1t j ; 15 i j (t,) m / s 15 m / s Módulo: m 15 5 s También se puede calcular el ángulo que el ector elocidad forma con la horizontal en el momento de llegar al suelo: m / s 15 m / s tg 1,333 ; 53,1 15 Para calcular el ángulo correspondiente a la tangente usar la función in tan ó tan 1 de la calculadora. Tiro oblicuo Tiene lugar cuando un objeto (sometido a la acción de la graedad) es lanzado con una elocidad que forma un ángulo con la horizontal. El moimiento es uniformemente acelerado (MUA), a que la aceleración es constante.. g La diferencia que eiste con respecto al tiro horizontal es que ahora la elocidad inicial tiene componente tanto en el eje ( ) como en el eje ( ). Realmente el tiro horizontal se puede considerar un caso particular del oblicuo haciendo = Ecuaciones (generales) del MUA: g t Constantes del moimiento (origen: el de coordenadas): 1 r r t g t r, i j, g gj 3

4 F Q 1.º Bachillerato. IES La Magdalena. Ailés. Asturias Tiros (ectores) Ejemplo. Un saltador de longitud llega a la tabla de batida con una elocidad de 8,5 m/s e inicia el uelo con un ángulo de 4. Determinar: a) Las ecuaciones del moimiento. b) El alcance del salto. c) La altura máima alcanzada. d) Altura elocidad a los,75 s. Solución: a) g t 6,5 i 5,5 j 1t j 6,5 i 5,5 1t j b) Para calcular el alcance imponemos la condición de que el saltador llegue en el suelo. Es decir =: = 5,5 t 5 t 5,5 ; t 1,1. stiempo que el saltador está en el aire. 5 Para calcular la distancia se calcula el alor de la componente para t = 1,1 s (t= 1,1) = 6,5. 1,1 = 7,15 m c) d) g En el punto de altura máima ocurre que la componente de la elocidad ( ) es nula (er esquema). Por tanto: =. = 5,5 1 t; t =,55 s. El tiempo obtenido es el que tarda en alcanzar la altura máima (en este caso es justamente la mitad del tiempo de uelo, pero no siempre ocurre esto. Ver ejemplo 3). El ector de posición para la altura máima será: r 6,5.,55 i 5,5.,55 5(,55) j 3,58 i 1,51j má Tomado como origen el de los ejes coordenados, considerando positio hacia la derecha hacia arriba: r, i j, g gj = 8,5. cos 4= 6,5 m/s = 8,5. sen 4= 5,5 m/s g = 1 m/s r, 6,5 i 5,5 j, g 1 j 1 1 r r t gt 6,5 t i 5,5 t j 1t j 6,5t i 5,5 t 5t j En el punto de altura máima el ector elocidad (que es siempre tangente a la traectoria) es paralelo al suelo, luego =. h ma Luego la altura máima má = 1,51 m se alcanza justamente a la mitad de la traectoria = 3,58 m. A los,75 s de iniciado el salto: (t,75) 6,5 i 5,5 1.,75 j 6,5 i, j m Como se puede comprobar por 6,5, 6,8 s el signo de, el saltador se encuentra en la parte descendente de la r(t,75) 6,5.,75 i 5,5.,75 5.,75 j 4,88 i 1,31j parábola. 4

5 F Q 1.º Bachillerato. IES La Magdalena. Ailés. Asturias Tiros (ectores) Ejemplo 3 Desde una entana de un edificio situada a 1 m del suelo se lanza una pelota con una elocidad de 15 m/s formando un ángulo de 3 con la horizontal. Determinar: a) Las ecuaciones que describen el moimiento de la pelota: Si se toma como origen el de coordenadas. Si se toma como origen el lugar de lanzamiento. b) Cuánto tiempo tardará en chocar con el suelo? c) Cuánto tiempo tardará en pasar por delante de un balcón situado m por encima del lugar de lanzamiento? d) Cuál es la altura máima alcanzada? Solución a) 1 m =15, m/s 3 h = 1, m =15,. cos 3= 13, m/s =15, sen 3= 7,5 m/s g = 1 m/s Tomado como origen el de los ejes coordenados, considerando positio hacia la derecha hacia arriba: r h j, i j, g g j r 1, j, 13, i 7,5 j, g 1 j g t 13, i 7,5 j 1t j 13, i 7,5 1t j 1 1 r r t gt 1, j 13, t i 7,5 t j 1t j 13,t i 1, 7,5 t 5t j Tomado como origen el punto de lanzamiento, considerando positio hacia la derecha hacia arriba: r, i j, g g j r, 13, i 7,5 j, g 1 j g t 13, i 7,5 j 1t j 13, i 7,5 1t j 1 1 r r t gt 13, t i 7,5 t j 1t j 13,t i 17,5 t 5t j 5

6 F Q 1.º Bachillerato. IES La Magdalena. Ailés. Asturias Tiros (ectores) b) Si consideramos el origen situado en el suelo, cuando la pelota choque con él, = = 1, +7,5 t 5 t ; resoliendo la ecuación de segundo grado seleccionando el resultado positio que es el que tiene significado físico ( qué significado tiene el resultado negatio?) se tiene como tiempo que la pelota tarda en caer: t =,47 s. Si consideramos el origen situado en el punto de lanzamiento, cuando la pelota llegue al suelo se cumple que = -1 m. Luego: -1 = 7,5 t - 5t ; = 1 + 7,5 t 5t que es una ecuación idéntica a la anterior que, en consecuencia, tiene la misma solución. 1 m c) Balcón m Punto de lanzamiento Primer paso t =,35 s. 14 m Segundo paso t = 1,16 s. Considerando el origen situado en el suelo, cuando pase por el balcón =14 m. Luego: 14 = 1+ 7,5 t - 5 t ; 5t - 7,5 t + =. Resoliendo: se obtienen dos resultados positios t 1 =,35 s ; t =1,16 s. Ambos resultados pueden considerarse álidos. El primero es el tiempo que tarda en pasar por el balcón cuando aún está ascendiendo el segundo cuando está en la zona de descenso. Si consideramos el origen situado en el punto de lanzamiento, cuando pase por el balcón = m. Luego: = 7,5 t -5 t ; 5 t 7,5 t + =, que es la misma ecuación. d) Para calcular la altura máima alcanzada imponemos la condición (er ejemplo ) = : = 7,5 1 t ; t =,75 s. Tiempo que tarda en alcanzar la altura máima. Obserar que en este caso al no estar el punto de lanzamiento sobre el eje, el tiempo que tarda en alcanzar la altura máima no es la mitad del tiempo de uelo. Para calcular la altura máima calculamos el alor de : Origen suelo: (t =,75) = 1+ 7,5.,75 5.,75 = 14,81 m. Origen punto de lanzamiento: (t=,75) = 7,5.,75-5.,75 =,81 m. Obserar que sale signo positio. Lo que indica que la altura máima se encuentra,81 m por encima del punto de lanzamiento. Esto es a, = 14,81 m del suelo. 6