PROYECTILES RESUMEN. Palabras Clave: Proyectil, Trayectoria, Resistencia del Aire, Coeficiente de Amortiguamiento, Gravedad.

Transcripción

1 PROYECTILES Guillermo Becerra Córdoa Área de Física Departamento de Preparatoria Agrícola Uniersidad Autónoma Chapingo Tel RESUMEN En el estudio del moimiento de un proectil se considera, además de la resistencia del aire, el efecto del iento, las ariaciones de la intensidad de la graedad con la altura, la rotación, la curatura de la tierra aún otros factores. En este trabajo se deduce se analiza la ecuación que describe la traectoria seguida por los proectiles, suponiendo únicamente la influencia de la resistencia del aire. Para la deducción de esta ecuación, hemos considerado que la resistencia que presenta el aire al moimiento del proectil, es proporcional a su elocidad. Con esta hipótesis con el hecho de que el moimiento se separa en dos componentes para su análisis, se establece un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las soluciones a la ecuaciones diferenciales describen la posición del objeto en cada dirección en función del. Al combinarlas, se obtiene la relación que establece la posición ertical del proectil en función de su posición horizontal. Si despreciamos la resistencia del aire, se obsera que las soluciones a las ecuaciones diferenciales se transforman en las ecuaciones correspondientes al Tiro Parabólico. El objetio del trabajo es que el usuario obsere, a traés del sistema, la influencia de los diferentes parámetros que interienen en el moimiento de los proectiles. Palabras Clae: Proectil, Traectoria, Resistencia del Aire, Coeficiente de Amortiguamiento, Graedad.

2 Teoría: El moimiento de un cuerpo en una superficie plana es un moimiento en dos dimensiones. Para localizar el cuerpo se requieren, en general, dos coordenadas. Los proectiles son un ejemplo de moimiento en dos dimensiones. Se llama proectil a cualquier objeto que es lanzado por algún agente continúa en moimiento en irtud de su propia inercia, siguiendo una traectoria determinada por la fuerzas que actúan sobre él. Una bola disparada por un cañón, una piedra lanzada al aire o una pelota que cae por el bordo de una mesa, son casos particulares de proectiles. El camino seguido por un proectil se denomina traectoria. Los proectiles describen traectorias curilíneas, las cuales pueden separarse en una componente horizontal en otra ertical. La componente horizontal del moimiento de un proectil es totalmente independiente de la componente ertical. Sus efectos combinados producen toda la gama de traectorias que describen los proectiles. La traectoria de un proectil se puede analizar considerando por separado sus componentes horizontal ertical. La traectoria que describe un proectil que sólo se acelera en la dirección ertical, moiéndose con elocidad horizontal constante, se llama parábola. Cuando un proectil se lanza sin rotación en el acío la traectoria es parabólica; si el proectil se lanza en el aire, la parábola se deforma en irtud de la resistencia del medio, sobre todo en su segunda mitad. El aire es un obstáculo de etraordinaria importancia para un proectil. Para un objeto que es lanzado con un ángulo de eleación de 45 una elocidad de 6 m/s, el objeto describiría un enorme arco de 1 km de altura su alcance sería cerca de 4 km. Pero en realidad, un proectil disparado con el ángulo de eleación la elocidad inicial anterior, describe un arco de cura relatiamente pequeño solo alcanza 4 km. Esto como resultado de la resistencia del aire. En realidad, en el estudio de la traectoria de un proectil, que tiene por objeto predecirla, que es de importancia enorme en la guerra, ha que tener en cuenta, además de la resistencia del aire, el efecto del iento, la rotación la curatura de la tierra las ariaciones de la intensidad de la graedad con la altura aun otros factores. Pero la misma traectoria en el acío, cuando se tiene en cuenta la acción terrestre, cambia de forma según aríe la elocidad inicial respecto a k = Rg, donde R es el radio de la tierra g es la aceleración de la graedad. Si la inclinación del tiro es diferente de cero k ; la traectoria es una elipse con su foco más distante en el centro de la tierra. Si la inclinación es nula = k, la traectoria es una circunferencia concéntrica con la tierra. Si la inclinación es diferente de cero la elocidad inicial crece, la traectoria es una elipse con su foco más próimo en el centro de la tierra, si = k, la traectoria es parabólica el proectil se escapa de la tierra. Si > k, la órbita es una hipérbola. Teoría: En un medio resistente como el aire, el moimiento de un proectil se basa en la siguiente ecuación diferencial: _ d d m + c + m g = (1) dt dt _ donde que es el ector que define la posición del proectil; t es el ; m es la masa del proectil; g es la aceleración de la graedad c es el coeficiente de amortiguamiento del aire. En el planteamiento de la ecuación, se supone que la resistencia que presenta el aire al moimiento, es proporcional a la elocidad del objeto. Separando la ecuación diferencial en sus componentes, obtenemos: _ d d m + c = () dt dt

3 d d m + c + m g = (3) dt dt Al resoler la ecuación diferencial (), la posición del objeto en la dirección horizontal está dada por: m c( t t ) / m [ e ] c 1 = + (4) con = Cosθ (5) donde θ es la rapidez el ángulo inicial con el que es disparado el proectil, respectiamente; es la posición horizontal al t se le conoce como posición horizontal final; es la posición la elocidad horizontal al t se conocen como posición elocidad horizontal inicial, respectiamente. La ecuación 4 nos indica que la posición horizontal del proectil en función del crece asintóticamente al alor de + m / k. Esto nos indica que el moimiento del proectil en la dirección horizontal tenderá a frenarse debido a la resistencia del aire, con lo que finalmente su traectoria será eclusiamente ertical. Obsere la figura 1. el de uelo debido a la resistencia del aire. Obsere la figura. V Figura Al despreciar la resistencia del aire, el moimiento del proectil se conertirá en tiro parabólico. En esta clase de moimientos, la elocidad en la dirección horizontal de la traectoria seguida por el proectil es constante. Al despreciar la resistencia del aire el alor de c tiende a cero, por lo que la ecuación (4) se transformará en: = + ( t t ) (7) que corresponde con la ecuación del Moimiento Rectilíneo Uniforme a la posición horizontal del objeto en el tiro parabólico. Esta ecuación representa un línea recta, por lo que el proectil recorrerá en la dirección horizontal distancias iguales en s iguales. Figura 1 Deriando la ecuación (4) con respecto del, se obsera que la elocidad del objeto en la dirección es: c( t t m = e ) / (6) la cual nos indica que la elocidad no es constante, tiende a cero conforme transcurre Figura 3 Por otra parte, resoliendo la ecuación diferencial (3), la posición del objeto en la dirección ertical es igual a:

4 con m g m ( t t) + c c mg c + 1 t t m [ e ] c ( )/ = (8) = (9) Senθ al igual que en el caso anterior, θ son la rapidez el ángulo inicial con el que es disparado el proectil, respectiamente; es la posición ertical del cuerpo al t se le conoce como posición ertical final; son la posición la elocidad ertical del proectil al t se conocen como posición elocidad ertical inicial, respectiamente. Obsere en la figura 4 que si el proectil es lanzado hacia arriba, después de un cierto alcanzará la altura máima descenderá adquiriendo una elocidad de caída constante proocado por la fricción con el aire. La parte derecha de la gráfica se asemeja a una línea recta, la cual nos indica que la elocidad en ese interalo no cambia. Figura 4 Lo anterior también se puede comprobar al deriar la ecuación (8) con respecto del. Por definición esta deriada es igual a la elocidad del proectil en la dirección ertical. Por lo tanto, tenemos que la elocidad del objeto en la dirección es: m g mg c c la cual contiene una función eponencial con un argumento negatio, por lo que disminue a cero conforme transcurra el. La figura 5 muestra la gráfica c( t t / m = + + e ) (1) correspondiente con esta ecuación. En ella se obsera que el máimo alor de la elocidad del proectil en la dirección ertical es justo al comienzo del moimiento. V Figura 5 Igualando a cero la ecuación (1) despejando el, se obtiene: m c = t t + + ma ln 1 c mg (11) donde t ma es el que tarda en alcanzar el proectil la altura máima. Sustituendo esta ecuación en la ecuación (8) encontramos que la altura máima alcanzada, está dada por la siguiente relación: m g c m ma = ln (1) c mg c Así, si el ángulo de disparo es igual a cero, es decir =, la altura máima coincide con. Al despreciar la resistencia del aire, el alor de c tenderá a cero, por lo que la ecuación (8) se transformará en: = + ( t t ) g( t t ) / (13) que corresponde con la ecuación del Moimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado a su ez a la posición ertical final en el Tiro Parabólico. La figura 6 muestra la gráfica de la posición ertical en función del para este tipo de moimientos. Como la ecuación contiene términos cuadráticos, la gráfica es una parábola que abre hacia abajo debido a que

5 la aceleración de la graedad le precede el signo negatio. Figura 6 El cruce de la parábola con el eje ertical corresponde al en que es lanzado el proectil el cruce con el eje horizontal es el al que llega al suelo. Al deriar la ecuación (13) se transforma en la ecuación de la elocidad en la dirección ertical en función del : ( ) = senθ g t t (14) por medio de esta ecuación podremos calcular la elocidad del proectil en la dirección ertical con sólo conocer el de uelo, al igual que la rapidez ángulo inicial. Igualando a cero esta ecuación, obseramos que el que tarda el proectil en alcanzar la altura máima es: senθ tma = t + (15) g La altura máima alcanzada por el proectil, se calcula sustituendo la ecuación (15) en la ecuación (13), obteniéndose la siguiente epresión: sen θ ma = + (16) g El máimo alor de ma es cuando el proectil se lanza erticalmente a que θ = 9, senθ = 1 ma = + / g. Si se lanza horizontalmente, θ = la altura máima sería igual a. Las ecuaciones (4) (6) determinan a a en función del parámetro común ( t t ) que es el de uelo. Combinándolas eliminando a ( t t ), obtenemos: m g c( ) mg = (17) c ln 1 m c que corresponde a la ecuación de la traectoria descrita por el proectil para un moimiento en el cual el cuerpo se desplaza dentro de un medio resistente como el aire. La figura 7 muestra la gráfica correspondiente con esta ecuación. Obsere en la gráfica que el proectil es lanzado hacia arriba, alcanza su altura máima finalmente desciende. En el descenso la elocidad en la dirección horizontal es cero, por lo que a no ha desplazamiento en esa dirección. En la dirección ertical, después de cierto de iniciado el moimiento, la elocidad de descenso será constante como anteriormente se demostró. En la figura se puede apreciar que la forma de la gráfica depende esencialmente del coeficiente de amortiguamiento. Si el coeficiente es mu pequeño, la gráfica será mu similar a una parábola. Figura 7 Al despreciar la resistencia del aire, el alor de c tenderá a cero, por lo que la ecuación (17) se transformará en: g (18) = + (tanθ )( ) ( ) ( cosθ ) que relaciona a con es la ecuación de la traectoria del proectil para el tiro parabólico. Como,, θ, g son constantes, la ecuación anterior corresponde a la ecuación de una parábola cuo eje es paralelo al eje. Es prudente aclarar que en

6 todo el desarrollo de la simulación, hemos considerado que el alor de la aceleración de la graedad es igual a 9.8 m/s. La figura 8 muestra la traectoria seguida por un proectil en un moimiento en el que se desprecia la resistencia del aire. Como se puede obserar, la traectoria es parabólica en la que su concaidad se dirige hacia abajo, debido al signo negatio que se antepone al alor de la graedad. El cruce de la parábola con el eje ertical representa la posición a la que fue lanzado el proectil el cruce con el eje horizontal es el punto al cual el proectil llega al suelo. El ector elocidad es tangente a la traectoria del proectil en todos sus puntos. Finalmente debemos mencionar que en la implementación de la simulación, hemos hecho uso de las ecuaciones establecidas en esta sección. Descripción del Sistema: En esta sección describiremos el programa que llea a cabo la simulación del moimiento de los proectiles. La simulación consiste en gráficas que muestran simultáneamente el moimiento de dos objetos. La figura 9 muestra la distribución de las diersas opciones con las que cuenta el sistema. Figura 8 La rapidez del proectil al instante t o rapidez inicial es igual a la magnitud de la elocidad inicial, es decir: = + (19) el ángulo θ que forma el ector elocidad inicial con la horizontal en dicho instante está dado por: tanθ = () La rapidez del proectil al instante t o rapidez final es igual a la magnitud del ector elocidad, es decir: = + (1) el ángulo θ que forma el ector elocidad final con la horizontal en dicho instante está dado por: tanθ = () Figura 9 Las barras de desplazamiento que se encuentran en la parte superior de la pantalla, están diseñadas para que el usuario introduzca a traés de ellas los alores que caracterizan al moimiento de los proectiles, como la masas los coeficientes de amortiguamiento; de los alores iniciales de la posición, del, de la rapidez del ángulo inicial,, t, θ. De igual forma, eiste una barra de desplazamiento para seleccionar el de duración de la simulación. Este es el mismo para ambos cuerpos, a que hemos considerado que los moimientos terminen simultáneamente. Las cajas de teto colocadas en la parte inferior izquierda, son empleadas para desplegar en ellas, al final de la simulación, los alores de las posiciones, ertical horizontal, del ángulo que forma el ector elocidad de la rapidez de los

7 objetos. La figura 1 muestra, a manera de ejemplo, algunos alores introducidos por el usuario su respectia simulación. Se han introducido las mismas condiciones iniciales para los dos cuerpos, con la diferencia de que uno de ellos se muee en un medio resistente. Figura 1 Obsere en la figura que las traectorias seguidas por ambos objetos son diferentes debido a la influencia del medio. El usuario podrá comprobar, a traés de las ecuaciones presentadas en la parte teórica, que los alores de la posición, tanto horizontal como ertical, de la rapidez del ángulo final que forman las traectorias, corresponden con los desplegados en la simulación. De igual forma, podrá encontrar, a traés del programa, el la altura alcanzada por alguno de los cuerpos, ariando el la simulación. Obsere en la figura que el programa ajusta el tamaño de la gráfica a la caja de dibujo, logrando con ello que las gráficas sean desplegadas íntegramente. También el sistema calcula automáticamente las escalas en ambos ejes. El objetio que se persigue es que el usuario pueda obserar simultáneamente las traectorias descritas por ambos objetos al ariar los parámetros que rigen sus moimientos. Conclusiones: El sistema: 1. Presenta una interfase gráfica de fácil manejo.. Es un medio efectio que permite la interacción entre la computadora el usuario. 3. Apoa la labor docente. 4. Conduce a un mejor entendimiento del fenómeno que es simulado. 5. Permite identificar el papel que juegan las ariables que interienen en la simulación. 6. Propicia a que el usuario construa sus propias conceptualizaciones. 7. Ajusta, por medio de máimos mínimos, las gráficas de las traectorias seguidas por los proectiles a la entana de imagen. Bibliografía: 1. Beltrán, V; Braun, Eliezer. Principios de Física. Trillas. Méico, Blanchard. P; Deane, Robert L; Hall, Glen R. Ecuaciones Diferenciales. International Thomson Editores. Méico Ceballos, Francisco Jaier. Enciclopedia de Visual Basic 4. Alfaomega Grupo Editor Haaser, Norman B; LaSalle, Joseph P; Sullian, Joseph A. Análisis Matemático, Curso de Introducción. Trillas. Méico, Pobes, José Carlos. El Ordenador la Enseñanza. Alhambra Resnick, Robert; Hallida, Daid. Física. Vol. I. CECSA. Méico, Sears, Francis W; Zemansk, Mark; Young, Hugh D. Física Uniersitaria. Addison-Wesle Iberoamericana Talor, T; Balintf, J; Burdick, S; Chu, Kung. Técnicas de Simulación en Computadoras. Noriega Editores Wooton, William; Beckenbach, Edwin F; Fleming, Frank J. Geometría Analítica Moderna. Publicaciones Cultural S.A. Méico