Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme

Transcripción

1 Descenso del paracaidista en una atmósfera uniforme Cuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es libre, el peso es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante, y las ecuaciones del movimiento son las estudiadas en la página caída de los cuerpos. Cuando abre el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. Caída libre antes de la apertura del paracaídas El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire se considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la del cuerpo. Por otra parte, consideramos que el rozamiento del paracaidista con el aire es pequeño. Las ecuaciones del movimiento serán (se toma como origen el lugar de lanzamiento y el eje X apuntando hacia arriba). a=-g v=-gt x=x0-gt 2 /2 Cuando se ha abierto el paracaídas El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. ma=-mg+kv 2

2 La constante de proporcionalidad k=?ad/2 ρ es la densidad del aire. Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.29 kg/m 3. A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire, δ es un coeficiente que depende de la forma del objeto En la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios objetos Forma del objeto Valor aproximado de d Disco circular 1.2 Esfera 0.4 Avión 0.06 Como el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más aerodinámico que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el promedio de los valores dados para estas dos formas en la tabla, es decir, δ=0.8. Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente su velocidad hasta alcanzar una velocidad límite constante vl, que se obtiene cuando el peso es igual a la fuerza de rozamiento, es decir, cuando la aceleración es cero. -mg+kv 2 =0 El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del paracaidista en el momento de abrir el paracaídas, tal como podemos ver en las figuras.

3 Ecuación del movimiento La ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos escribir de la forma Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v del móvil en cualquier instante t. Las condiciones iniciales son: v0 es la velocidad del paracaidista en el instante t0 en el que abre el paracaídas. Para integrar se hace el cambio v=z vl. Se deshace el cambio y se despeja v en función del tiempo (t-t0), Se llega después de algunas operaciones a la expresión. Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la velocidad, haciendo un cambio de variable La ecuación del movimiento se transforma en Que se puede integrar de forma inmediata La altura x del paracaidista en función de su velocidad v es Despejamos la velocidad v en función de la posición x del paracaidista.

4 Ejemplo: Masa del paracaidista de m=72 kg, Área del paracaídas A=0.6 m 2 El paracaidista parte del reposo desde la posición x=2000 m Abre el paracaídas en la posición x=1000 m, sobre el suelo. Calcular la velocidad con la que llega al suelo Los datos para calcular la velocidad límite vl son: Densidad del aire ρ=1.29 kg/m3 Coeficiente de forma δ =0.8 Aplicando las ecuaciones de caída de los cuerpos, calculamos la velocidad cuando el paracaidista alcanza la posición x=1000 m 1000= t 2 /2 v=-9.8 t v=-140 m/s Esta es la velocidad inicial para la siguiente etapa del movimiento, v0=-140 m/s en la posición x0=1000 m La velocidad del paracaidista en la posición x=0, cuando llega al suelo, es v=-47.7 m/s

5 Descenso de un paracaidista en una atmósfera no uniforme. Habremos comprobado que un paracaidista que abre el paracaídas en la posición de partida, su velocidad va creciendo con el tiempo hasta que alcanza la velocidad límite constante. Vamos a comprobar que en una atmósfera no uniforme el comportamiento es más complejo. La velocidad del paracaidista va creciendo hasta alcanzar una velocidad máxima y luego, decrece hasta que llega al suelo. Variación de la presión con la altura En una atmósfera isotérmica, la variación de la presión en función de la altitud x está dada por la ley de Laplace. P 0 es la presión de la atmósfera a nivel del mar M es el peso molecular del aire 28.8 g/mol= kg/mol g es la aceleración de la gravedad k= J/K es la constante de Boltzmann T es la temperatura de la atmósfera en kelvin N A = es el número de Avogadro, número de moléculas que caben en un mol Aunque la atmósfera no es isotérmica, la variación de presión con la altura se puede aproximar a una exponencial decreciente, para una temperatura efectiva de 254 K. donde P 0 = 1 atm es la presión a nivel del mar. La presión a una altura de x=10000 m es de solamente 0.26 atm. Ecuación del movimiento La ecuación del movimiento es

6 Podemos escribir esta ecuación de forma alternativa Donde k 0 es el valor de la constante de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento, al nivel del mar, donde la presión es P 0, y la constante?= m -1. Esta ecuación admite una solución en términos de una serie infinita, véase el artículo citado en las referencias. El programa interactivo la resuelve por procedimientos numéricos. Máxima velocidad alcanzada por el paracaidista. Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, alcanzando un máximo y luego, la velocidad disminuye hasta que llega al suelo. Cuando se alcanza la máxima velocidad dv/dx=0. La relación entre la velocidad máxima v m y la altura x m a la que se produce es donde v l es la velocidad límite que alcanzaría un paracaidista en una atmósfera uniforme. Ejemplo: Masa del paracaidista de m=72 kg, Área del paracaídas A=0.6 m 2 El paracaidista parte del reposo desde la posición x 0 =30000 m La velocidad límite v l que alcanzaría el paracaidista en una atmósfera uniforme es v l =47.7 m/s Observamos que a la altura de x m =23996 m se alcanza la máxima velocidad. De la ecuación que relaciona x m y v m obtenemos v m.

7 v m =237.3 m/s Tiro parabólico con rozamiento Aplicamos dos modelos de fuerza para describir la resistencia que opone el medio al movimiento del cuerpo. Una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, para bajos valores del número de Reynolds Una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad para altos números de Reynolds. En esta página, vamos a estudiar el movimiento de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con ángulos de tiro θ distintos. Como hemos visto en la página "Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad" el proyectil disparado en el vacío con un ángulo de θ =45º tiene un alcance máximo. Vamos a comprobar si esta afirmación se mantiene cuando el proyectil (por ejemplo, una pelota de golf) se mueve en un medio como el aire. Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son: El peso mg La fuerza de rozamiento F r, que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). F r =-mbv. Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

8 La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, vx=v0x, vy=v0y, son Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro θ. Las velocidades iniciales son v0x=v0 cosθ v0y=v0 senθ Alcance del proyectil El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=r del origen. R se denomina alcance del proyectil. En la primera ecuación ponemos x=r y despejamos t, sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0. Aproximaciones Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-br/v0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b.

9 Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R Donde R 0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire. Ejemplo: Sea v 0 =60 m/s. y?=45º Cuando no se considera rozamiento el alcance es Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son como hemos visto ya El peso mg La fuerza de rozamiento F r, que es de sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). F r =-bmv v. Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto. Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando procedimientos numéricos, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.