2. Movimiento Relativo: Sistemas de Coordenadas en Traslación (SCT)

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1 2. Moimiento Relatio: Sistemas de Coordenadas en Traslación (SCT) Ultima reisión 26/05/2005 En este documento se presentan uno de los conceptos más importantes de la cinemática, como lo es el del moimiento relatio. Sus aplicaciones an desde el entendimiento de los fenómenos de moimiento a niel terrestre espacial hasta su aplicación a la cinemática de cuerpos rígidos. En las secciones 1 a la 4 se había estudiado el moimiento de partículas utiliando como base un sistema de referencia que se consideraba en reposo. Esta clase de sistemas, denominados como absolutos son en la práctica imposibles de encontrar a que cualquier elemento que deseemos fijar como referencia se encuentra en moimiento. Piense por un momento, usted se encuentra sentado leendo este documento podría decir que se encuentra en reposo, pero eso puede decirlo porque está usando como referencia el mueble donde se encuentra sentado. Pero usted no está en reposo de hecho se encuentra moiéndose a una gran elocidad si tiene encuentra que se encuentra sobre la superficie terrestre que como todos sabemos esta gira completando una uelta completa en alrededor de 24 h. su e el centro de la tierra da ueltas respecto al Sol, este a su e se muee junto con el conjunto local de estrellas dando ueltas alrededor de la Vía Láctea esta a su e (si creemos en la Teoría del ig ang) se encuentra alejándose del punto del Unierso donde se inició toda esta historia. Esta pequeña obseración nos reela una erdad incuestionable nada es absoluto esto aplica con maor raón a las ariables cinemáticas Todo moimiento es relatio en los siguientes apartados encontraremos las epresiones matemáticas que nos permitan encontrar la relación entre sistemas de referencia absolutos relatios Sistemas de Coordenadas en Traslación continuación desarrollaremos una ecuación ectorial que nos permitirá relacionar ariables cinemáticas medidas desde un sistema coordenado en moimiento de traslación respecto a un sistema absoluto. Un sistema de coordenadas en traslación se caracteria por que sus ejes no cambian de orientación respecto a un sistema de referencia absoluto a diferencia de los Sistemas de Coordenadas en Rotación (SCR) que estudiaremos más adelante. En la siguiente figura se aprecia una partícula que se muee siguiendo una traectoria que podríamos llamar absoluta respecto a un obserador en el sistema. U su e el moimiento de esta partícula es seguido desde un obserador en el sistema en moimiento. Para epresar la posición de la partícula respecto a ambos sistemas se utilian los ectores r r / que epresan la posición absoluta de la relatia de respecto al obserador en. De igual manera la posición del obserador en se mide respecto al sistema absoluto usando el ector r. Es importante recordar que las cantidades ectoriales aquí mencionadas son funciones del tiempo además se aprecia que cumplen la siguiente relación: Ing.Joann Pacheco. 2-1 jpacheco2002@gmail.com

2 r / r r r = r + r [2.1] / Por lo que sus deriadas cumplirán las siguientes relaciones: = + [2.2] / Donde d = r dt / / lo llamaremos elocidad relatia de isto desde. Ing.Joann Pacheco. 2-2 jpacheco2002@gmail.com

3 / Obsere que la elocidad relatia no es tangente a la traectoria absoluta de la partícula, pero si es tangente al lo que llamaremos Traectoria Relatia o la traectoria de la particula ista por el obserador en moimiento. Vemos que en general la traectoria relatia absoluta son diferentes pero están relacionadas por el moimiento del obserador plicación al moimiento bidimensional de cuerpos rígidos Esta es una de las aplicaciones mas importantes de las ecuaciones de moimiento relatio a que nos permitirá relacionar ariables cinemáticas en dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido. Esto es particularmente útil a que el moimiento de un cuerpo rígido en el plano puede definirse completamente utiliando dos puntos. Un cuerpo rígido en el plano posee tres grados de libertad como se aprecia en la figura: Ing.Joann Pacheco. 2-3 jpacheco2002@gmail.com

4 Estas corresponden a dos ariables de posición (coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo) una ariable de orientación (ángulo medido respecto un eje fijo). En la siguiente figura eremos cómo relacionamos las ariables cinemáticas con la ecuación 2.1. Del cuerpo rígido mostrado en la figura anterior hemos escogido dos puntos cualquiera se tomo como sistema de referencia en moimiento el punto. r / Para los puntos aplica la ecuación 5.1. Pero como nos interesa establecer más que todo relaciones entre elocidades aceleraciones nos interesa hallar las deriadas: d = r dt / / a d r dt 2 / / = 2 Para ello, se hará uso de los ectores unitarios e 1 e 2 de sus deriadas. Este par de ectores le añadiremos un tercer ector unitario e 3 paralelo a k para completar el sistema. hora podemos epresar r / en términos de estos ectores unitarios de la siguiente manera: Ing.Joann Pacheco. 2-4 jpacheco2002@gmail.com

5 r = r e [2.3] / / 1 Donde r / es constante por tratarse de un cuerpo rígido. Entonces: ( e ) dr d r de = = = r = r dt dt dt / / 1 1 / / / 2 θ & e [2.4] Donde θ& = ω lo llamaremos elocidad angular del cuerpo rígido. demás, el sistema formado por los ectores unitarios e 1, e 2 e 3 es un sistema derecho, por lo que se cumple que: e e = e e e = e e e = e [2.5] De estas, aproecharemos la última relación para epresar / en términos de cantiedades ectoriales: ( ) = r ωe = r ω e e = ωe r e / / 2 / / 1 Lo que puede escribirse como: r = ω r / / [2,6] Donde emos que la elocidad angular de un cuerpo rígido es también una cantidad ectorial el término ω es la magnitud de dicha cantidad. Por lo anterior, la ecuación 2.2 para un cuerpo rígido puede epresarse de la siguiente forma: = + ω r r / [2.7] Se puede esquematiar en la siguiente gráfica donde se aprecia que cuando un cuerpo rígido se muee en el plano, su ector elocidad angular queda alineado con el eje. Ing.Joann Pacheco. 2-5 jpacheco2002@gmail.com

6 r / ω θ La elocidad relatia de isto desde es un ector perpendicular a la línea que une a con. De acuerdo con la Ecuación 2.8. un cuerpo rígido en el plano puede tener tres tipos de moimientos: Traslación Pura: cuando ω es cero en el interalo de moimiento analiado Rotación Pura o rotación con eje fijo. cuando eiste un punto donde es cero en el interalo de moimiento analiado Moimiento Plano General (MPG): Cuando no se presenta ninguno de los dos casos anteriores. Una forma de identificar que tipo de moimiento tiene un cuerpo cualquiera es obserar las formas de las traectorias de dos puntos cualesquiera de éste: Para un cuerpo en traslación, las traectorias de dos puntos cualesquiera de éste son idénticas. Para un cuerpo en rotación las traectorias son circulares concéntricas. Un cuerpo en MPG las traectorias son diferentes. Ing.Joann Pacheco. 2-6 jpacheco2002@gmail.com