El Método de Coordenadas de Pares en la Dinámica de Maquinaria.

Transcripción

1 El Método de Coordenadas de Pares en la Dinámica de Maquinaria. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato Estas notas de la clase de Dinámica de Maquinaria tienen como objetivo presentar el método de las coordenadas de pares. Este método tiene características en común con la aplicación de la teoría de tornillos, al menos, en cuanto respecta a la cinemática de maquinaria. Además, la aplicacióndel método tiene muchos puntos en común con el método de lasecuaciones de clausura para determinar las ecuaciones de los análisis cinemáticos de mecanismos planos. Topología de Sistemas Mecánicos Abiertos y Cerrados. La topología de un sistema mecánico abierto es análoga a la de un árbol, consistente en una raiz, ramas y hojas. La raiz de un sistema mecánico abierto es siempre el eslabón fijo o base. Un sistema mecánico abierto puede tener una o mas ramas. las ramas del sistema son las cadenas cinemáticas, abiertas, que conectan la base con eslabones sucesivos a través de pares cinemáticos, hasta llegar a un eslabón que no está conectado a ninguno otro. Este último eslabón, se conoce como hoja o actuador final, vea la Figura. Figure : Sistema Mecánico Abierto. Existen muchas variaciones de sistemas mecánicos abiertos, por ejemplo:. Un sistema mecánico abierto puede tener mas de dos cadenas cinemáticas abiertas o arboles, vea la Figura.. Un sistema mecánico abierto puede no estar conectado a la base mediante un par cinemático, vea la Figura, estos sistemas se denominan flotantes. En estos casos, es siempre posible

2 Figure : Sistema Mecánico Abierto con Dos Cadenas Cinemáticas Abiertas. suponer que uno de los eslabones del sistema mecánico abierto está conectado al eslabón fijo mediante un par cinemático imaginario completamente general. En este caso un par plano. Figure : Sistema Mecánico Abierto Flotante. Considere dos eslabones conectados en una rama o cadena cinemática abierta. El eslabón mas cercano al actuador final, hoja, se denomina eslabón (i), mientras que el eslabón mas cercano a la base, raiz, se denomina ( i), coloquialmente se dice que el eslabón ( i) viene antes que el eslabón (i). Además, el par cinemático que conecta estos dos eslabones pertenece al eslabón (i). Esta notación implica que todos los eslabones excepto el eslabón fijo o raiz tienen o poseen un par cinemático. Las coordenadas asociadas a los pares cinemáticos que conectan dos eslabones de una cadena cinemática abierta del sistema mecánico se definen como se indica a continuación.. Para un par de revoluta, es posible definir como coordenada asociada al par, el ángulo relativo o el ángulo absoluto asociado al par cinemático. Si se define el ángulo relativo, el ángulo debe medirse de la extensión del eje longitudinal del eslabón ( i) al eje longitudinal del eslabón (i),vealafigura.. Para un par prismático, la coordenada asociada al par se define como la distancia mas adecuada entre dos puntos de los eslabones ( i) e(i),vealafigura. Finalmente, para un par flotante, es decir para un par plano, deben definirse tres coordenadas, usualmente (x i,y i,θ i ), que determinan la localización del eslabón respecto al

3 Figure : Dos Maneras de Medir la Coordenada Asociada a un Par de Revoluta. Figure : Medición de la Coordenada Asociada a un Par Prismático. eslabón fijo o raiz, vea la Figura. Una vez establecida esta notación, el proceso de análisis cinemático del sistema mecánico se reduce a aplicar sistemáticamente los siguientes pasos. Asigne un número a cada eslabón,eleslabón fijo o raiz siempre se le asigna el número. El orden de asignación es arbitario, sin embargo, parece lógico enumerar sucesivamente los eslabones de una cadena cinemática abierta o rama antes de iniciar la numeración de los eslabones en la siguiente, si existe, rama.. Asigne un sistema coordenado fijo en cada uno de los eslabones, frecuentemente se selecciona como origen de estos sistemas coordenados, el centro de masas del cuerpo.. Defina un conjunto de coordenadas, asociados a los pares cinemáticos, del sistema mecánico iguales al número de grados de libertad del sistema.. Escriba las expresiones que describen las coordenadas fijas en cada uno de los eslabones en términos de las coordenadas asociadas a los pares cinemáticos, partiendo del eslabón fijo, raiz, hasta los actuadores finales, hojas.. Obtenga las expresiones de las velocidades y aceleraciones derivando, respecto al tiempo, una y dos veces, las expresiones obtenidas en el paso anterior..obtengalamatrizdecoeficientes,b, conocida como la matriz de transformación de velocidades a partir de las expresiones de velocidad.

4 Figure : Flotante. Medición de la Coordenada Asociada a un Par Plano en un Sistema Mecánico Es importante notar que, en los pasos anteriores, no parece existir análisis de posición. El análisis de posición está formado por el paso, que describe las coordenadas de los cuerpos en términos de las coordenadas asociadas a los pares cinemáticos de la cadena cinemática. Ejemplo de Aplicación de un Sistema Mecánico Abierto. En esta sección se presenta un ejemplo de aplicación de un sistema mecánico abierto. Considere el sistema mecánico abierto mostrado en la Figura. Figure : Sistema Mecánico Abierto con Sistemas Coordenados en Cada uno de los Eslabones. La Figura muestra los vectores coordenados fijos asociados a cada uno de los eslabones del sistema mecánico y las coordenadas, θ, s y θ asociados a los pares cinemáticos del sistema mecánico. Suponga que el objetivo es determinar la velocidad y posteriormente la aceleración del punto O perteneciente al eslabon, vea la Figura 8, que muestra además otros parámetros necesarios para el cálculo de la velocidad y aceleración.

5 Figure 8: Parámetros Adicionales en un Sistema Mecánico Abierto.. Análisis de Velocidad del Sistema Mecánico. Los vectores necesarios para determinar la velocidad del punto O como parte del eslabón están dados, en términos del sistema coordenado OXY por r P/O r P/Ox,r P/Oy, (s Cθ,s Sθ, ) () r Q/P r Q/P x,r Q/P y, l C θ + π,l S θ + π, () r O/Q r O/Qx,r O/Qy, x C θ + π + θ y S θ + π + θ, x S θ + π + θ + y C θ + π + θ, () Entonces, las ecuaciones para determinar la velocidad del punto O como parte del eslabón son r O/Ox r P/Ox + r Q/P x + r O/Qx s Cθ + l C θ + π r O/Oy r P/Oy + r Q/P y + r O/Qy s Sθ + l S θ + π + x C + x S θ + π + θ y S θ + π + θ θ + π + θ + y C θ + π + θ () () Además, el ángulo que el semieje positivo x, asociado al sistema coordenado fijo al eslabón, forma con el semieje positivo X, del sistema coordenado fijo, está dado por Θ θ + π + θ. () Es importante notar que las dos expresiones siguientes pueden considerarse como una forma un cuanto tanto rebuscada de escribir el número.

6 Derivando estas últimas tres ecuaciones respecto al tiempo, se tiene que v Ox dr O/Ox dt v Oy dr O/Oy dt s Sθ θ +ṡ Cθ l S y C θ + π + θ θ + θ s Cθ θ +ṡ Sθ + l C y S θ + π + θ θ + θ θ + π θ x S θ + π + θ θ + θ θ + π θ + x C θ + π + θ θ + θ () (8) ω z θ + θ (9) Si se recolectan estas ecuaciones en términos de las velocidades de las coordenadas asociadas a los pares, denominadas velocidades articulares, se obtiene que ω z θ +ṡ + θ () h v Ox s Sθ l S θ + π x S θ + π + θ y C θ + π i + θ θ i h + hcθ ṡ + x S θ + π + θ y C θ + π i + θ θ () h v Oy s Cθ + l C θ + π + x C θ + π + θ y S θ + π i + θ θ i h + hsθ ṡ + x C θ + π + θ y S θ + π i + θ θ () Es fácil reconocer en los diferentes términos de las tres ecuaciones anteriores a las componentes de vectores de posición entre dos puntos. De manera que las ecuaciones pueden reducirse a ω z θ +ṡ + θ () v Ox r O/Oy θ + Cθ ṡ r O/Qy θ () v Oy r O/Ox θ + Sθ ṡ + r O/Qx θ () Mas aún, incluyendo las componentes de velocidad angular en las direcciones X y Y yla componente de velocidad lineal en la dirección Z que son nulas, las ecuaciones pueden escribise como V O ω v O ω x ω y ω z v Ox v Oy v Oz ω z v Ox v Oy r O/Oy r O/Ox El vector columna asociado a θ puede escribirse como $ û û r O/O ˆk ˆk r O/Ox î + r O/Oy ĵ θ +» Cθ Sθ ṡ + ˆk r O/Oy î + r O/Ox ĵ r O/Qy r O/Qx donde û ˆk es un vector unitario en la dirección del eje de rotación del par de revoluta asociado al par que conecta los eslabones y, punto O, y r O/O es el vector de posición que va desde un punto a lo largo del eje de la revoluta, punto O, hasta el punto de interés, en este caso el punto O. θ () ()

7 De manera semejante, el vector columna asociado a ṡ puede escribirse como» $ û» Cθ î + Sθ ĵ (8) donde û Cθ î + Sθ ĵ es un vector unitario en la dirección del movimiento de traslación del par prismático que conecta los eslabones y Finalmente, el vector columna asociado a θ puede escribirse como $ û û r O/Q ˆk ˆk r O/Qx î + r O/Qy ĵ» ˆk r O/Qy î + r O/Qx ĵ (9) donde û ˆk es un vector unitario en la dirección del eje de rotación del par de revoluta asociado al par que conecta los eslabones y, punto Q, y r O/Q es el vector de posición que va desde un punto a lo largo del eje de la revoluta, punto Q, hasta el punto de interés, en este caso el punto O. Los términos $, $ y $ se denominan los tornillos infinitesimales asociados a los paresdel sistema mecánico. Es importante notar las diferencias entre los tornillos infinitesimales asociados a los pares de revoluta y a los pares primáticos. De esa manera la ecuación () puede escribirse en forma matricial como V O $ $ $ θ ṡ θ J θ ṡ θ J Θ () donde, el vector Θ, se define como Θ θ ṡ θ, ysedenominaelvector de las velocidades articulares. Por otro lado, la matriz J, dada por J $ $ $ () se denomina la matriz Jacobiana del sistema mecánico. La ecuación () permite resolver el análisis de velocidad del sistema mecánico, tanto en su versión directa, Determinado el análisis de posición del sistema mecánico abierto, y dado el vector de las velocidades articulares, determine la velocidad del actuador final, como en su versión inversa Determinado el análisis de posición del sistema mecánico abierto, y concida la velocidad del actuador final, como cuerpo rígido, determine las velocidades articulares del sistema mecánico. Es importante notar que el vector V O, denominado estado de velocidad del eslabón, proveé de suficiente información para determinar la velocidad de cualquier partícula del cuerpo oeslabón. Efectivamente, si se conoce V O ω v O, () Entonces, la velocidad de cualquier otro punto M queformepartedeleslabón estará dado por v M v O + ω r M/O. () Finalmente, las expresiones de los tornillos infinitesimales mostrados en las ecuaciones anteriores constituyen un caso partícular de una formulación mas general para un par cinemático

8 de tornillo, del cual los pares de revoluta y prismáticos constituyen casos partículares. Para el caso de un par cinemático de tornillo, el tornillo infinitesimal está dado por $ ŝ s O () donde ŝ está dadopor. Si el par es de revoluta o tornillo, ŝ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación asociado al par.. Si el par es prismático, ŝ. De manera semejante, s O se conoce como el momento y está dadopor. Si el par es de revoluta o tornillo, s O ŝ r O/P + h ŝ donde r O/P es el vector de posición del punto de interés, O, respecto a un punto, P,a lo largo del eje de rotación del par de revoluta o de tornillo, y h es el paso del par de tornillo, h si el par es de revoluta.. Si el par es prismático, s O ŝ, donde ŝ es un vector unitario en la dirección del movimiento de la traslación asociada al par prismático.. Análisis de Aceleración del Sistema Mecánico. Una vez establecida la ecuación del an alisis de velocidad en cualesquiera de las dos formas equivalentes V O θ $ +ṡ $ + θ $ J Θ () la solución del análisis de aceleración es inmediata. Para el análisis de aceleración, es necesario definir el estado de aceleración reducida del eslabón como A OR α a O ω v O. () De nueva cuenta, puede probarse que si se conocen el estado de velocidad, V O, y el estado de aceleración reducida, A OR, de un cuerpo, es posible determinar la aceleración de todos los puntos del cuerpo, pues a M a O + α r M/O + ω ω r M/O. Además, la ecuación () resuelve el análisis de aceleración del sistema mecánico está dada por A OR θ $ + s $ + θ $ + θ $, ṡ $ + θ $ + ṡ $, θ $ () donde los términos [, ] se denomina el producto de Lie, también llamado, producto dual de vectores o producto motor, que se define como [$, $ ] θ ŝ s O, θ ŝ s O θ θ ŝ ŝ ŝ s O ŝ s O (8) 8

9 Si se define el tornillo de Lie, $ L,como $ L θ $, ṡ $ + θ $ + ṡ $, θ $ La ecuación del análisis de aceleración del sistema mecánico abierto está dado por A OR $ $ $ θ s θ +$ L. (9) o en forma matricial, donde A OR J Θ+$L. () Θ θ s θ Ejemplo. Considere el sistema mecánico abierto, constituido por un manipulador plano P R R, mostrado en la figura 9, suponga que para el instante considerado θ π, s u.l., l u.l. y θ π, determine. El estado de velocidad del eslabón, suponiendo que θ rad/s, ṡ ul/s, θ rad/s.. El estado de aceleración reducida del eslabón, suponiendo que θ. rad/s, s. ul/s, θ. rad/s. Figure 9: Manipulador Plano R P R. El primer paso consiste en la determinación de los vectores de posición de los puntos asociados a los pares de revoluta de la sistema dinámico, con respecto al punto de interés, en este 9

10 caso, el punto O. Estos vectores de posición vienen dados por r O/O r Q/O + () Además es necesario determinar los vectores unitarios asociados a los pares de revoluta y prismáticos del sistema mecánico. Estos vienen dados por û û û () Con esta información es posible determinar los tornillos asociados a cada uno de los pares cinemáticos. Los tornillos infinitesimales están dados por $ $ y la matriz Jacobiana del sistema mecánico está dadapor J $ $ $. Análisis de Velocidad. V O $ + + Para realizar el análisis de velocidad es necesario realizar los cálculos indicados en la ecuación (), el resultado es de manera que la velocidad angular del eslabón respecto del eslabón fijo,, está dadapor ω, () () () y la velocidad del punto O, como parte del eslabón, o fijo en el eslabón, está dadapor 9 v O ().

11 . Análisis de Aceleración. Para realizar el análisis de aceleración es necesario realizar los cálculos indicados en la ecuación (), el resultado es A OR , () de manera que la aceleración angular del eslabón respecto del eslabón fijo,, está dadapor α (8) yeltérmino asociado a la aceleración del punto O, como parte del eslabón, o fijo en el eslabón, está dadapor a O ω v O (9). De modo que la aceleración del punto O, como parte del eslabón, o fijo en el eslabón, está dada por.8 ( a O ω v O )+ ω v O.88 (). Con estos resultados finaliza el análisis de aceleración.