Transmisión de Movimiento de Rotación Uniforme.

Transcripción

1 Transmisión de Movimiento de Rotación Uniforme. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica. División de Ingenierás, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato 1 Introducción y Motivación. Existen dos métodos fundamentales para la transmisión de movimiento de rotación uniforme. El primero es mediante rodadura pura y el segundo es mediante deslizamiento. Cada uno de esos métodos tiene sus ventajas y características particulares. Las presentes notas tienen como objeto discutir las características de cada uno de esos métodos. Principios Fundamentales. Considere dos cuerpos rígidos 1 y que rotan alrededor de ejes fijos perpendiculares al plano del papel, que intersectan el plano del papel en los puntos M = O 10 y N = O 0 respectivamente, vea la Figura 1, el eslabón fijo se denota por 0. Suponga además que los cuerpos están permanentemente en contacto y que, en el instante considerado, el contacto ocurre en el punto P. De manera mas específica, existen dos puntos coincidentes, P 1 que pertenece al cuerpo 1 y P que pertenece al cuerpo. En ese punto P los límites geométricos de los dos cuerpos determinan una línea tangente común, que pasa por el punto P y determinada por el vector unitario ˆt y una línea normal común, que también pasa por el punto P y que está determinada por el vector unitario ˆn. Obviamente, la tangente común y la normal común son perpendiculares. El objetivo del dispositivo es transmitir movimiento de rotación de un cuerpo al otro; en principio no es necesario que la transmisión del movimiento de rotación sea uniforme. Sin embargo, en la parte final del análisis, nuestro interés se centrará en las condiciones necesarias para que la transmisión del movimiento de rotación sea uniforme. Figure 1: Dos Cuerpos Rígidos en Contacto Transmitiendo Movimiento de Rotación. La transmisión del movimiento de rotación puede realizarse de dos diferentes maneras. 1

2 1. Mediante rodadura; es decir, sin deslizamiento o velocidad relativa entre los puntos de contacto.. Mediante deslizamiento; es decir con velocidad relativa entre los puntos de contacto. Para determinar de manera más formal cuales son las condiciones bajo las cuales se transmite movimiento de rotación mediante rodadura o mediante deslizamiento, es necesario realizar un sencillo análisis. Las velocidades de los puntos P 1 y P están dadas por v P1 = r P1/M y v P = r P/N (1) donde and son las velocidades angulares, absolutas, de los cuerpos 1 y respectivamente. Puesto que los puntos P 1 y P están en contacto y los cuerpos 1 y son rigídos y permanecen en contacto, las componentes de las velocidades v P1 y v P a lo largo de la normal común ˆn deben ser iguales tanto en magnitud como en sentido; 1 es decir v n P1 = v P1 ˆn = v P ˆn = v n P. () Los vectores velocidad se pueden descomponer en sus componentes normales y tangenciales v P1 = v n P1ˆn+v t P1ˆt y v P = v n Pˆn+v t Pˆt (3), la velocidad relativa entre los puntos está dada por v P1/P = v P1 v P = (v n P1ˆn+v t P1ˆt) (v n Pˆn+v t Pˆt) = ( v t P1 v t P)ˆt (4) De esa manera, se ha probado el siguiente resultado. Proposición 1. Considere dos cuerpos rígidos 1 y que rotan alrededor de ejes fijos perpendiculares ocurre en el par de puntos coincidentes P 1 y P. Entonces, la velocidad relativa entre los puntos P 1 y P tiene la dirección de la tangente común. Con la proposición 1, es posible determinar un sencillo resultado que proporciona las condiciones bajo las cuales la transmisión de movimiento de rotación se lleva a cabo mediante rodadura pura o mediante deslizamiento. Proposición. Considere dos cuerpos rígidos 1 y que rotan alrededor de ejes fijos perpendiculares ocurre en el par de puntos coincidentes P 1 y P. Entonces, la transmisión de movimiento de rotación se realiza mediante rodadura pura cuando v t P1 = v t P. (5) En caso contrario; es decir cuando v t P1 v t P, por lo tanto v P1 v P (6) la transmisión de movimiento de rotación se realiza mediante deslizamiento. Prueba: Si la transmisión de movimiento de rotación se realiza mediante rodadura pura, entonces por definición v P1 = v P (7) Entonces, sustituyendo la ecuación (7) en la ecuación (4), se tiene que ( v t P1 vp t )ˆt = 0 por lo tanto vp1 t vp t = 0 1 Si la componente v P1 > v P un instante después los cuerpos ya no estarán en contacto y el par de leva ha desaparecido, contradiciendo la definición de un par cinemático. Si la componente v P1 < v P el eslabón deformaría al eslabón 1, contradiciendo las condiciones de rigidez de los eslabones.

3 o En caso contrario, es decir si Entonces, es evidente que v t P1 = v t P v t P1 v t P. v P1 v P y la transmisión de movimiento de rotación se realiza mediante deslizamiento. 3 Transmisión de Movimiento de Rotación Mediante Rodadura. En esta sección se analizan las carcaterísticas de la transmisión de movimiento de rotación mediante rodadura. En la seción anterior se indicó que por definición la transmisión del movimiento de rotación es mediante rodadura cuando v P1 = v P (8) La condición dada por la ecuación (8) es equivalente a requerir que el punto P es el centro instantaneo de velocidad del movimiento relativo del eslabón 1 respecto del eslabón. Sin embargo, el teorema de Aronhold-Kennedy asegura que los tres centros instantaneos de velocidad, asociados a los eslabones 0, 1 y, O 10, O 0, O 1 están localizados en una línea recta. De esa manera, se obtiene el siguiente resultado, vea la Figura. Figure : Dos Cuerpos Rígidos en Contacto Transmitiendo Movimiento de Rotación Mediante Rodadura. Proposición 3. Considere dos cuerpos rígidos 1 y que rotan alrededor de ejes fijos perpendiculares ocurre en el punto coincidente P. Entonces, si la transmisión del movimiento de rotación se lleva a cabo mediante rodadura, entonces el punto P es el centro instantaneo O 1 y una condición necesaria para que la transmisión del movimiento de rotación sea mediante rodadura es que el punto P = O 1 esté localizado a lo largo de la línea M N = O 10 O 0. Finalmente se realizará un análisis más detallado de la transmisión de movimiento de rotación uniforme mediante rodadura. 3.1 Transmisión de Movimiento de Rotación Uniforme Mediante Rodadura. En esta sección se encontrarán condiciones para transmitir movimiento de rotación uniforme mediante rodadura. La suposición fundamental es que la distancia entre centros M N = O 10 O 0 es constante. 3

4 Igualando la velocidad del centro instantáneo de velocidad O 1 como parte de los eslabones 1 y, se tiene que, definiendo el vector unitario î horizontal y a la derecha, se tiene que denotando O 10 O 1 = r 1 O 0 O 1 = r O 10 O 0 = C = r 1 +r r O1/O 10 = ˆk r1 î = v O1 = v O1 = ˆk ( r )î = r O1/O 0 r 1 ĵ = r ĵ o r 1 = r El signo negativo en la ecuación unicamente indica que los sentidos de las velocidades angulares son opuestos. La relación de velocidad está dado por = r 1 r Si se supone que se conoce la relación de velocidad / y la distancia entre centros es constante, se tiene que y O 10 O 0 = C = r 1 +r r 1 = r C = ω [ r +r = r 1 ω ] r 1 = C 1 ω r = C 1 ω [ ω ] = C ω ω 1 1 Puesto que hemos supuesto que la relación de velocidad, ω, y la distancia entre centros, C, entonces, r 1 y r son constantes. La conclusión de estos resultados, es que si se desea transmitir movimiento de rotación uniforme mediante rodadura, los cuerpos en contacto deben ser cílindros, de manera que su sección transversal sea círculos, como se muestra en la figura 3 Figure 3: Dos Cilindros Rígidos en Contacto Transmitiendo Movimiento de Rotación Uniforme Mediante Rodadura, Sentidos Opuestos. 4

5 Figure 4: Dos Cilindros Rígidos en Contacto Transmitiendo Movimiento de Rotación Uniforme Mediante Rodadura, Mismos Sentidos. Es importante hacer notar que es posible transmitir movimiento de rotación uniforme mediante rodadura donde las velocidades angulares tienen el mismo sentido. Considere la situación mostrada en la figura 4 Nuevamente, igualando la velocidad del centro instantáneo de velocidad O 1 como parte de los eslabones 1 y, se tiene que, definiendo el vector unitario î horizontal y a la derecha, se tiene que denotando O 10 O 1 = r 1 O 0 O 1 = r O 10 O 0 = C = r r 1 r O1/O 10 = ˆk r1 î = v O1 = v O1 = ˆk r î = r O1/O 0 r 1 ĵ = r ĵ o r 1 = r El signo positivo en la ecuación unicamente indica que los sentidos de las velocidades angulares son iguales. La relación de velocidad está dado por = r 1 r Si se supone que se conoce la relación de velocidad / y la distancia entre centros es constante, se tiene que y O 10 O 0 = C = r r 1 r 1 = r C = r ω [ r = r 1 ω ] r 1 = C 1 ω r = C 1 ω [ ω ] = C ω 1 ω Puesto que hemos supuesto que la relación de velocidad, ω, y la distancia entre centros, C, entonces, r 1 y r son constantes. La conclusión de estos resultados, es que si se desea transmitir movimiento de rotación uniforme mediante rodadura con los mismos sentidos, los cuerpos en contacto también deben ser cílindros, de manera que su sección transversal sea círculos, como se muestra en la figura 4 5

6 4 Transmisión de Movimiento de Rotación Mediante Deslizamiento. En esta sección se analizan las características de la transmisión de movimiento de rotación mediante deslizamiento. En la seción 1 se indicó que por definición la transmisión del movimiento de rotación es mediante deslizamiento cuando v P1 v P (9) Mas aún, la ecuación 4 indica que la velocidad relativa del punto P con respecto al punto P 1 tiene la dirección de la tangente común, por lo tanto el centro instantaneo de velocidad O 1 debe estar en una línea que pasa por el punto P y perpendicular a la dirección de la velocidad relativa v P/P1 ; es decir a lo largo de la normal común. Por otro lado, el teorema de Aronhold-Kennedy asegura que los tres centros instantaneos de velocidad, asociados a los eslabones 0, 1 y, O 10, O 0, O 1 están localizados en una línea recta., el centro instantaneo O 1 está localizado en la intersección de la normal común y la línea M N = O 10 O 0, también conocida como la línea de centros, vea la Figura 3. Figure 5: Dos Cuerpos Rígidos en Contacto Transmitiendo Movimiento de Rotación Mediante Deslizamiento. La relación de las velocidades angulares ω puede calcularse fácilmente. Por definición v 1 O 1 = v O 1 (10) r O1/O 10 = v 1 O 1 = v O 1 = r O1/O 0 (11) En términos del vector unitario û mostrado en la figura 3, se tiene que r O1/O 10 = MSû y r O1/O 0 = NSû o ˆk MSû = ωˆk NSû (1) MSˆk û = NS ˆk û De aquí que MS = NS o = MS (13) NS En general, la transmisión de movimiento de traslación mediante deslizamiento no es uniforme; es decir, la relación de las velocidades angulares ω no es constante. Sin embargo puesto que MS = MN +NS 6

7 se prueba el siguiente resultado. Proposición 4. Considere dos cuerpos rígidos 1 y que rotan alrededor de ejes fijos perpendiculares ocurre en el par de puntos coincidentes P 1 y P. Entonces, la transmisión de movimiento de rotación mediante deslizamiento es uniforme; es decir la relación ω es constante si y sólo si la localización del centro instantaneo de velocidad O 1, a lo largo de la línea de centros, permanece fija. Esta proposición se conoce como la ley fundamental del engranaje. Prueba. Suponga que la relación de velocidad debe ser uniforme; es decir = Cte. La distancia entre centros MN también es constante., se tiene que Sustituyendo se tiene que de manera que De manera que, finalmente = MS NS MS = MN +NS MN +NS = NS [ ] ω NS = MN +NS o NS 1 = MN NS = [ MN ] (14) 1 Este resultado implica que la localización del punto S, la intersección de la línea de centros con la normal común debe permanecer fija. Es importante señalar que esta proposición no requiere que el ángulo, φ, entre la línea de centros y la normal común sea constante. Lo único que requiere es que la intersección de ambas líneas sea siempre la misma. Sin embargo, si los cuerpos transmiten fuerza considerable, cambios en el valor del ángulo φ, aún cuando la magnitud de la fuerza entre ambos cuerpos sea constante, producen variaciones en la magnitud de las componentes de la fuerza que provocan vibraciones indeseables. En esas situaciones es conveniente que el ángulo φ sea constante, en la teoría de los engranes, este ángulo se denomina el ángulo de presión del engranaje. Finalmente dos perfiles de diente de engrane que satisfacen la ley fundamental del engranaje se denominan perfiles conjugados. Existe una gran variedad de perfiles conjugados entre los más importantes son los perfiles de involuta y los hipocicloidales. 7