El Método de Diferenciación de Vectores en la Cinemática.

Transcripción

1 El Método de Diferenciación de Vectores en la Cinemática. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km CP 36730, Salamanca, Gto., México jrico@salamanca.ugto.mx Alejandro Tadeo Chávez Departamento de Ingeniería Mecatrónica. Instituto Tecnológico Superior de Irapuato Carretera Irapuato-Silao Km CP 36614, Irapuato, Gto., México altadeo@itesi.edu.mx 1 Introducción. Existen diferentes métodos de enseñanza de la cinemática, uno de esos métodos involucra la escritura de ecuaciones vectoriales que relacionan los vectores de posición de diferentes puntos de los cuerpos rígidos, también llamados barras o eslabones, que forman un mecanismo. La primera derivada, respecto al tiempo, de esa ecuación vectorial proporciona las ecuaciones correspondientes al análisis de velocidad del mecanismo y la segunda derivada, respecto al tiempo, de esa ecuación vectorial proporciona las ecuaciones correspondientes al análisis de aceleración del mecanismo. Estas notas tienen por objetivo mostrar como este método de derivación de ecuaciones vectoriales puede reconciliarse de manera muy simple con los métodos de enseñanza que aparecen en los libros de texto mas usuales, [1, 2, 3]. El fundamento matemático de esta reconciliación está contenido en las derivadas de las funciones vectoriales respecto a diferentes sistemas de referencia, parte de estos resultados, se han mostrado ya en las notas tituladas Sistemas de Referencia Sujetos a Movimiento de Rotación. De hecho, excepto por los dos párrafos finales, la sección 2 es una copia a verbatim de la sección correspondiente en los apuntes antes mencionados. 1

2 2 Derivada de una Función Vectorial con Respecto a un Sistema de Referencia Fijo y a un Sistema de Referencia Sujeto a Movimiento de Rotación. En esta sección se analizan las relaciones entre la derivada de una función vectorial respecto a dos sistemas de referencia 1 1. Un sistema de referencia fijo, denominado OXY Z, 2. Un sistema de referencia sujeto a movimiento de rotación, denominado OX 1 Y 1 Z 1. Es importante notar que el origen de ambos sistemas coordenados es el punto O. Figure 1: Sistemas de Referencia Fijo y Sujeto a Movimiento de Rotación. La figura 1 muestra ambos sistemas de referencia y una función vectorial β, esta función vectorial, puede ser el vector de posición de una partícula que se mueve respecto a ambos sistemas, el vector velocidad de esa u otra partícula, el vector aceleración de esa u otra partícula, etc. Por ejemplo, la figura 2 muestra un sistema de referencia fijo, representado por el hombre que está colocado en la parte superior, y un sistema de referencia 1 Es importante recordar que un sistema de referencia es una persona con un reloj y una regla y que un sistema de referencia puede tener diferentes sistemas coordenados asociados, no necesariamente cartesianos. Sin embargo, en este análisis se supondrá, sin pérdida de generalidad, que los sistemas coordenados, asociados a ambos sistemas de referencia, son cartesianos. 2

3 móvil, sujeto a movimiento de rotación, representado por el hombre que está sobre el carrusel que gira respecto a un eje perpendicular al carrusel y que pasa por el centro del carrusel. Ambos hombres o sistemas de referencia observan el movimiento de una rata que sale del centro del carrusel y que, espantada, trata de escapar de la manera más rápida posible moviendose en línea recta con respecto al carrusel rotatorio. En esta situación, la función vectorial β puede ser el vector de posición de la rata, la velocidad de la rata o la aceleración de la rata, entre otras. Figure 2: Una Rata Moviendose Respecto a Dos Sistemas de Referencia, uno Fijo y otro Sujeto a Movimiento de Rotación. La función vectorial β puede escribirse como β β x î + β y ĵ + β z ˆk (1) donde los vectores unitarios î, ĵ, ˆk están fijos al sistema de referencia sujeto al movimiento de rotación, OX 1 Y 1 Z 1. Entonces, la derivada de la función vectorial, respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia sujeto a movimiento de rotación, OX 1 Y 1 Z 1,estádadapor d β d [ ] β x î + β y ĵ + β z ˆk OX dβ 1Y 1Z 1 OX x dβ 1Y 1Z 1 y dβ z î + ĵ + ˆk (2) 3

4 Debe notarse que puesto que los vectores î, ĵ, ˆk son unitarios y están fijos al sistema de referencia sujeto al movimiento de rotación, OX 1 Y 1 Z 1,son,en este sistema de referencia, vectores constantes. Por lo tanto OX dî 1Y 1Z 1 OX dĵ 1Y 1Z 1 dˆk 0, y esas derivadas no aparecen en la ecuación (2). Por otro lado, es bien conocido que las derivadas de funciones escalares, como β x,β y y β z, son independientes del sistema de referencia con respecto al cual se observan, por lo tanto OXY dβ Z x dβ x OXY dβ Z y dβ y OXY dβ Z z dβ z Sustituyendo ecuaciones (3-5) en la ecuación (2), se tiene que dβ x, (3) dβ y, (4) dβ z, (5) d β dβ x î + dβ y ĵ + dβ z ˆk (6) Considere ahora, la derivada de la función vectorial, respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia fijo, OXY Z, queestádadapor OXY Z d β OXY Z d OXY Z dβ x + OXY Z dî [ ] β x î + β y ĵ + β z ˆk î + β x + OXY Z dβ y OXY Z dĵ dβ x î + dβ y ĵ + dβ z ˆk + ĵ + β y + OXY Z dβ z OXY Z dî ˆk OXY Z dˆk β z β x + OXY Z dĵ β y + OXY Z dˆk β z Debe notarse que los vectores î, ĵ, ˆk son unitarios y están fijos al sistema de referencia sujeto al movimiento de rotación, OX 1 Y 1 Z 1,porlotanto OXY Z dî OXY Z dĵ OXY Z dˆk ω î, ω ĵ, ω ˆk. (8) donde ω es la velocidad angular del sistema de referencia sujeto a rotación. 2 2 Un argumento para probar este resultado, es el siguiente: Suponga que r î es el vector de posición de una partícula localizada a una distancia de una unidad de longitud en la dirección del semi-eje positivo X, entonces, de acuerdo con los resultados del análisis de velocidad de (7) 4

5 Sustituyendo ecuaciones (6) y (8) en la ecuación (7), se tiene que OXY Z d β d β + β x ω î + β y ω ĵ + β z ω ˆk d β [ ] + ω β x î + β y ĵ + β z ˆk d β + ω β. (9) Este es el resultado principal de la relación entre las derivadas de una función vectorial como se observa desde los dos sistemas de referencia, este resultado nos permitirá relacionar las velocidades y aceleraciones de una partícula que se mueve respecto a un sistema de referencia sujeto a movimiento de rotación. Existe un caso especial de la ecuación (9), si la función vectorial β es una función constante respecto al sistema de referencia móvil OX 1 Y 1 Z 1, 3 entonces d β 0. Por lo tanto OXY Z d β ω β. (10) Esta ecuación indica una de las propiedades mas importantes de la velocidad angular de un cuerpo, en este caso OX 1 Y 1 Z 1, con respecto a otro cuerpo, en este caso OXY Z. Con estos fundamentos, es posible analizar la equivalencia de los diferentes métodos de análisis cinemático. 3 El Método de Derivación de Vectores Para el Análisis Cinemático de Mecanismos. Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura 3, de esta figura se puede escribir la siguiente ecuación vectorial a 2 + a 3 s + e, (11) un cuerpo rígido sujeto a movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, su velocidad estará dada por dî d r ω r ω î. Es importante hacer notar que este argumento está basado en el supuesto que el movimiento del cuerpo rígido y, por lo tanto, del sistema de referencia es de rotación alrededor de un eje fijo. Sin embargo, puede probarse que el resultado no cambia cuando el movimiento del cuerpo rígido y, por lo tanto, del sistema de referencia es rotación alrededor de un punto fijo. 3 El ejemplo mas importante de este caso es cuando la función β es el vector de posición de un punto del cuerpo rígido, o sistema de referencia OX 1 Y 1 Z 1, con respecto a otro punto del mismo cuerpo rígido. 5

6 donde el vector a 2 es el vector de posición del punto A 2 A 3 4 con respecto al punto M 1 M 2 ; el vector a 3 es el vector de posición del punto B 3 B 4 con respecto al punto A 2 A 3 ; el vector s es el vector de posición del punto C 4, con respecto al punto M 1 M 2 ; finalmente el vector e es el vector de posición del punto B 3 B 4 con respecto al punto C 4. Concluyendo, a 2 es un vector fijo o constante en el sistema de referencia formado por el eslabón 2, el a 3 es un vector fijo o constante en el sistema de referencia formado por el eslabón 3, el e es un vector fijo o constante en el sistema de referencia formado por el eslabón 4, finalmente, el vector s es un vector variable en el sistema de referencia formado por el eslabón 1. Figure 3: Un Mecanismo de Biela Manivela Corredera. Derivando la ecuación (11) con respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia fijo, representado por el eslabón 1, se tiene que 1 d a 2 ω 2 a 2. 1 d e ω4 e 0 e 0 1 d a 3 ω 3 a 3. 1 d s s. (12) Donde ω i representa la velocidad angular absoluta del eslabón i respecto al eslabón 1. Por lo tanto, la primera derivada de la ecuación (11), con respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia o eslabón 1, está dadapor Sin embargo, es necesario reconocer que ω 2 a 2 + ω 3 a 3 0+ s s (13) ω 2 a 2 v A ω 3 a 3 v B/A s vb. (14) 4 Los subíndices indican los eslabones a los cuales pertenece el punto. Es importante señalar que puntos coincidentes que pertenecen a diferentes cuerpos unidos mediante un par de revoluta, y que yacen a lo largo del eje de la revoluta, digamos A 2 A 3 satisfacen la propiedad r A2 (t) r A3 (t) paratodotiempot. 6

7 Por lo tanto, la ecuación (13) puede reescribirse como v A + v B/A v B. (15) Esta es la expresión que los libros de texto de Dinámica propondrían para resolver el análisis de velocidad del mecanismo de biela manivela corredera. La equivalencia de ambos métodos a nivel de velocidad queda ilustrada. Para el análisis de aceleración, derive respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia 1 la ecuación (13), correspondiente al análisis de velocidad del mecanismo de biela manivela corredera, para tal fín, se tiene que 1 d ( ω 2 a 2 ) 1 d ( ω 3 a 3 ) 1 d ( s) 1 d ω 2 a 2 + ω 2 1 d a 2 α 2 a 2 + ω 2 ( ω 2 a 2 ) (16) 1 d ω 3 a 3 + ω 3 1 d a 3 α 3 a 3 + ω 3 ( ω 3 a 3 ) (17) s (18) De manera que la derivada, con respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia 1, de la ecuación (13), que es equivalente a la segunda derivada, con respecto al tiempo y respecto al sistema de referencia 1, de la ecuación (11), está dadapor α 2 a 2 + ω 2 ( ω 2 a 2 )+ α 3 a 3 + ω 3 ( ω 3 a 3 ) s. (19) Sin embargo, los términos de la ecuación (19), tienen una interpretación muy sencilla dada por a ta α 2 a 2 a na ω 2 ( ω 2 a 2 ) (20) a tb/a α 3 a 3 a nb/a ω 3 ( ω 3 a 3 ) (21) a B s, (22) donde el subíndices n y t representan las componentes normal y tangencial de la aceleración del punto considerado. Por lo tanto, la ecuación (19) puede escribirse como a ta + a na + a tb/a + a nb/a a B (23) Esta es la expresión que los libros de texto de Dinámica propondrían para resolver el análisis de aceleración del mecanismo de biela manivela corredera. La equivalencia de ambos métodos a nivel de aceleración queda ilustrada. References [1] Hibbeler, R. C. [2004], Mecánica Vectorial Para Ingenieros, Dinámica. Décima Edición. ISBN Ciudad de México: Pearson. 7

8 [2] Beer, F. y Johnston, [2007], Mecánica Vectorial Para Ingenieros, Dinámica. Octava Edición. ISBN Ciudad de México: Mc Graw-Hill Latinoamericana. [3] Kraige, L. G. y Meriam, J. L. [2006], Engineering Mechanics: Dynamics. Sixth Edition ISBN New York: John Wiley and Sons Inc. 8