Algebra Lineal -I: Álgebra Vectorial en R3, Aplicaciones

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1 Algebra Lineal -I: Álgebra Vectorial en R, Aplicaciones José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato En estas notas se presentan diferentes aplicaciones geométricas y físicas del álgebra vectorial en R. Estás aplicaciones serán de interés en este mismo curso y en los cursos de Física y Estática de los diferentes programas de la división. 1 Aplicaciones Geométricas. En esta sección se presentarán algunas aplicaciones geométricas del álgebra vectorial. 1.1 Ecuación de una línea recta en el espacio. Considere la línea mostrada en la Figura 1, un punto, P, a lo largo de línea, con respecto al sistema coordenado OXY Z, está dado por el vector p, y un vector paralelo a la línea es b. Entonces, si el vector de posición del punto P está dado por r P = p x,p y,p z ) y el vector de posición q de cualquier otro punto Q a lo largo de la línea está dado r Q = x,y,z). Entonces, la relación entre los vectores de posición está dada por la ecuación vectorial q = p + t b x,y,z) = p x,p y,p z ) + t b x,b y,b z ) 1) Las ecuaciones escalares están dadas por Figure 1: Una Línea en el Espacio Tridimensional. x = p x + tb x y = p y + tb y z = p z + tb z ) 1

2 Las ecuaciones 1) y ) se denominan las ecuaciones parámetricas de la línea, donde t es el parámetro de la línea. Las ecuaciones algebraicas de la misma línea se obtiene despejando el parámetro t en una de las tres ecuaciones y sustituyéndolo en las restantes dos ecuaciones. De esa manera, se tiene que si b x 0, 1 se tiene que t = x p x b x de modo que y = p y + x p x b x b y y b x x b y = p y b x p x b y ) z = p z + x p x b x b z z b x x b z = p z b x p x b z 4) Las ecuaciones ) y 4) representan las ecuaciones algebraicas de una línea en el espacio. 1. Ecuación de un plano en el espacio. En esta sección, se muestran dos diferentes formas de obtener la ecuación de un plano en el espacio. 1. Determine la ecuación de un plano cuando se conoce el vector de posición de un punto P que pertenece al plano y un vector n normal al plano. Considere el plano mostrado en la figura, donde P es un punto que yace en el plano y n es un vector normal al plano y Q es un punto arbitrario del plano. Si además, los vectores de posición de los punto P está dados por r P = p x,p y,p z ) y el vector de posición q de cualquier otro punto Q que yace en el plano está dado r Q = x,y,z). Finalmente, el vector n perpendicular al plano está dado por n = n x,n y,n z ). Figure : Un Plano en el Espacio Tridimensional Caso 1. Es evidente que el vector que va del punto P a un punto arbitrario del plano Q, yace en el plano y por lo tanto es perpendicular al vector n. Entonces la ecuación del plano está dada por r Q r P ) n = 0 [x,y,z) p x,p y,p z )] n x,n y,n z ) 5) o x n x + y n y + z n z = p x n x + p y n y + p z n z 6) de 0. La ecuación 6) representa la ecuación general de un plano en el espacio tridimensional. De este resultado, se tiene que la ecuación ) y 4) representan, la primera un plano cuya normal yace 1 Si b x = 0, debe emplearse otra ecuación para despejar t, puesto que b 0 al menos existe una componente de b diferente

3 en el plano X Y y la segunda un plano cuyo normal yace en el plano X Z. Este resultado es consistente con la noción que una línea recta puede considerarse como la intersección de dos planos.. Determine la ecuación de un plano cuando se conocen los vectores de posición de tres puntos L, M y P que pertenecen al plano. Suponga que los vectores de posición de los puntos L, M y P están dados por r L = l x,l y,l z ), r M = m x,m y,m z ) y r P = p x,p y,p z ) y el vector de posición q de cualquier otro punto Q que yace en el plano está dado r Q = x,y,z). Entonces un vector perperdicular al plano está dado por el producto vectorial n = n x,n y,n z ) = r M r L ) r P r L ) = m x l x,m y l y,m z l z ) p x l x,p y l y,p z l z ) = m y l y )p z l z ) p y l y )m z l z ), m z l z )p x l x ) p z l z )m x l x ), m x l x )p y l y ) p x l x )m y l y )) 7) El único requisito es que los puntos L, M y P no sean colineales, pues en ese caso, el vector n sería el vector 0. Figure : Un Plano en el Espacio Tridimensional Caso. Una vez que se ha encontrado un vector normal al plano, cualesquiera de los vectores r Q r L, r Q r M o r Q r P están contenidos en el plano, por lo tanto, la ecuación del plano está dado por r Q r L ) n = 0 r Q r M ) n = 0 r Q r P ) n = 0 Aplicaciones Físicas. En esta sección se presentarán algunas aplicaciones físicas del álgebra vectorial..1 Equilibrio de Partículas en el Plano y en el Espacio. La primera Ley de Newton establece que: Una partícula permanece en reposo o en movimiento rectilinio a velocidad uniforme si la resultante es decir la suma de las fuerzas aplicadas a la partícula es cero. Cuando una partícula satisface la primera Ley de Newton se dice que se encuentra en equilibrio. Dependiendo si las fuerzas aplicadas a la partícula yacen en un plano que de manera usual se supone el plano X Y o existen fuerzas fuera del plano formado por las restantes fuerzas, la ecuación Σ F = 0 se descompone en dos o tres ecuaciones escalares; es decir 1. En el plano, Σ F = 0 ΣF x = 0 ΣF y = 0

4 . En el espacio, Σ F = 0 ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣF z = 0 Con estas ecuaciones es posible determinar las fuerzas que permiten que una partícula se encuentre en equilibrio. Ejemplo 1. Dos cables unidos en C se sujetan a las fuerzas mostradas en la Figura 4. Sabiendo que Q = 60Lb, determine la tensión a) en el cable AC, b) en el cable BC. Figure 4: Equilibrio de una Partícula en el Plano. Solución: Las tensiones en los cables AC y BC y las fuerzas Q y P están dadas en términos de sus componentes escalares como T AC = T AC sen0 î + T AC cos0 ĵ = 1 T AC î + T AC ĵ T BC = T BC sen60 î T AC cos60 ĵ = T BC î 1 T BC ĵ P = 75Lbf cos0 î + 75Lbf sen0 ĵ = 75 Lbf î + 75 Lbf ĵ Q = 60Lbf ĵ El equilibrio de la partícula C está dada por es decir Σ F = 0 T AC + T BC + P + Q = 0 ΣF x = 0 ΣF y = 0 1 T AC T BC + 75 Lbf = 0 1 T AC 1 T BC + 75 Lbf 60Lbf = 0 El determinante de la matriz de coeficientes está dada por 1 = = = 1 1 de manera que la solución del sistema está dada por T AC = 1 75 Lbf 45 = Lbf 1 4 T BC = 75 Lbf T AC + T AC 1 T BC = 45 Lbf 4 45 ) Lbf = 0 Lbf. 4

5 y T AC = Lbf Lbf = ) Lbf = 45Lbf. 4. El torque o momento de una fuerza con respecto a un punto. Figure 5: Determinación del Torque o Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto. Considere una fuerza f aplicada en un punto P y deseamos determinar el momento de esta fuerza con respecto a un punto O como se muestra en la figura 5. El momento de una fuerza determina la capacidad de la fuerza para inducir movimiento de rotación de un cuerpo. Si la fuerza está dada por f = f x,f y,f z ) y el vector de posición del punto P con respecto al punto O está dada por r P/O = r x,r y,r z ) El momento de la fuerza con respecto al punto O está dado por M = r P/O f = î ĵ ˆk r x r y r z f x f y f z = îr y f z r z f y ) + ĵr z f x r x f y ) + ˆkr x f y r y f x ) 8) Los momentos que actuan sobre un cuerpo serán de especial importancia en el equilibrio de los cuerpos.. Trabajo realizado por una fuerza constante sobre un cuerpo rígido sujeto a movimiento rectilíneo. Considere la fuerza constante f que actúa sobre un cuerpo que se desplaza con un movimiento rectilíneo mostrado en la Figura 6. De manera mas específica, se supondrá que el cuerpo se desplaza un vector s en una dirección horizontal. Debe notarse que el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento s está dado por θ. Figure 6: Determinación del Trabajo Realizado por una Fuerza sobre un Cuerpo Sujeto a Movimiento Rectilíneo. 5

6 En ese caso, el trabajo,w, realizado por la fuerza f sobre el cuerpo que se desplaza s está dado por el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento; es decir, Existen tres casos especiales que deben considerarse W = f s = f s cosθ 9) Si la fuerza y el desplazamiento son colineales y tienen el mismo sentido, se tiene que θ = 0 y W = f s cos0 = f s Si la fuerza y el desplazamiento son colineales y tienen sentidos opuestos, se tiene que θ = 180 y W = f s cos180 = f s Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, se tiene que θ = ±90 y W = f s cos±90 ) = 0 Si la magnitud de la fuerza o el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento varian, es necesario recurrir al cálculo integral para calcular adecuadamente el trabajo realizado. Ejercicio. Considere la fuerza f = 50N que actua sobre un bloque que se desplaza horizontalmente m, como se muestra en la Figura 7. Determine el trabajo realizado por la fuerza cuando a) el ángulo θ = 0, b) el ángulo θ = 10. Figure 7: Ejemplo de la Determinación del Trabajo Realizado por una Fuerza sobre un Cuerpo Sujeto a Movimiento Rectilíneo. Solución: Para el inciso a), el trabajo realizado se calcula como ) W = f s cosθ = 50N)m)cos0 = 150N m = 75 N m = 75 Joules. Para el inciso b), el trabajo realizado se calcula como W = f s cosθ = 50N)m)cos10 = 150N m 1 ) = 75N m = 75Joules. Fuerzas Electrostáticas, Ley de Coulomb. A finales del siglo XVIII, el físico e ingeniero frances Charles-Augustine de Coulomb determinó que la fuerza generada por cargas electrostáticas obedecia la regla F 1 = k e q 1 q r 6

7 Donde F 1 es la fuerza que actuab entre las partículas, k e se conoce como Constante de Coulomb y en el sistema internacional está dada por k e = N m C r es la distancia que separa las partículas cargadas electrostáticamente y q 1 y q son las cargas electrost ticas asociadas a cada una de las partículas. Las cargas electrostáticas de las partículas pueden ser positivas o negativas. Si las cargas de dos partículas son del mismo signo, las partículas tienden a repelerse, de manera que la fuerza F 1 tiende a apartar las partículas. Si las cargas de dos partículas son de signos contrarios, las partículas tienden a atraerse, de manera que la fuerza F 1 tiende a acercar las partículas. Ejercicio. Tres cargas electrostáticas puntuales se colocan en los vértices de un triángulo equilatero mostrada en la Figura 8. Calcule la fuerza electrostática neta que actua sobre la carga de +7.0µC. Figure 8: Ejemplo de la Determinación de la Fuerza que Actua sobre una Carga Electrostática. Solución: Primeramente se calcularán las magnitudes de las fuerzas electrostáticas que actúan sobre la carga de +7.0µC. 1. Fuerza producida por la carga de +.0µC F 1 = k e q q 1 r. Fuerza producida por la carga de 4.0µC F = k e q q r = N m C C) 10 6 C) 0.5m) = 0.50N = N m C C) C) 0.5m) = N Ahora determinaremos las características vectoriales de las fuerzas 1. Fuerza producida por la carga de +.0µC, denotada por F 1. Puesto que ambas cargas son positivas, la fuerza tiene a repeler las cargas, de manera que û 1 = cos60 î + sin60 ĵ = 0.5î ĵ ) F 1 = F 1 û 1 = 0.50N 0.5î ĵ = ) î î N. Fuerza producida por la carga de 4.0µC, denotada por F. Puesto las cargas son opuestas, la fuerza tiene a atraer las cargas, de manera que û = cos60 î sin60 ĵ = 0.5î 0.866ĵ ) F = F û = N 0.5î 0.866ĵ N = ) 0.50î î N La resultante de las fuerzas que actúan sobre la carga de +7.0µC estará dada por F R = F 1 + F ) ) ) = î î î î = î ĵ N 7

8 4 Ejemplos Propuestos. Ejercicio 1. Determine la ecuación de un plano que es perpendicular al vector a = 1,,) y pasa por el punto P = 5,6, ). Ejercicio. Determine la ecuación de un plano que pasa por los siguientes tres puntos, M = 1,,5), N =,,7) y P =, 5,1). Ejercicio. Sabiendo que las porciones AC y BC del cable ACB de la Figura 9 deben ser iguales, determine la longitud mínima del cable que puede usarse para soportar la carga mostrada si la tensión en el cable no debe exceder 870 N. Figure 9: Equilibrio de una Partícula en el Plano. Ejercicio 4. Dos cables unidos en el punto C se cargan como se muestra en la Figura 10. Si se sabe que la máxima tensión permisible en cada cable es 800N, determine a) la magnitud de la fuerza más grande P que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente del ángulo α. Figure 10: Equilibrio de una Partícula en el Plano. Este es el problema.60 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E. R. [009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill. Este es el problema.61 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E. R. [009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill. 8

9 Ejercicio 5. Una caja se soporta por tres cables como se muestra en la Figura 11. Determine el peso de la caja si la tensión en el cable AB es de 750 Lbf. 4 Figure 11: Equilibrio de una Partícula en el Espacio. Solución: Se iniciará determinando los vectores de posición de los puntos A,B,C y D, respecto al origen del sistema coordenado cuyo origen es el punto O, donde las unidades están en pulgadas in). r A = 0, 60,0) r B = 6,0, 7) r C = 0,0,) r D = 40,0, 7) De manera que los vectores de posición de los puntos B,C y D, respecto del punto A, están dados por r B/A = r B r A = 6,60, 7) r C/A = r C r A = 0,60,) r D/A = r D r A = 40,60, 7) La magnitud de estos vectores está dada por r B/A = 6) + 60) + 7) = 75 r C/A = 0) + 60) + ) = 68 r D/A = 40) + 60) + 7) = Finalmente los vectores unitarios en la dirección y sentido de los vectores r B/A, r C/A y r D/A están dados por r B/A 6,60, 7) 1 û B/A = = = r B/A 75 5, 4 5, 9 ) 5 r C/A û C/A = r C/A = 0,60,) = 0, , 8 ) 17 r D/A 40,60, 7) 40 û D/A = = = r D/A, 60, 7 ) Por lo tanto, las fuerzas que actuan sobre el punto A son W = 0, W,0) T AC = T AC û C/A = T AC 0, 15 17, 8 ) 17 TAB 1 = T AB û B/A = T AB 5, 4 5, 9 ) 5 40 T AD = T AD û D/A = T AD, 60, 7 ) 4 Este es el problema.10 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E. R. [009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill. 9

10 Por lo tanto, la ecuación de equilibrio de la partícula A está dada por 1 0, W,0) + T AB 5, 4 5, 9 5 ΣF = 0 W + TAB + T AC + T AD = 0 ) 40 + T AD, 60, 7 ) = 0. ) + T AC 0, 15 17, 8 17 donde T AB = 750Lbf. El sistema de ecuaciones escalares correspondientes es Lbf T 40 AD W + 750Lbf T 15 AC 17 + T 60 AD Lbf T 8 AC 17 + T 7 AD = 0 = 0 = 0 De la primera ecuación del sistema de ecuaciones permite determinar T AD, de la siguiente manera T AD = 750Lbf = 69Lbf. Sustituyendo este resultado en la última ecuación del sistema de ecuaciones es posible determinar T AC T AC = Lbf 9 ) 7 69Lbf = Lbf. 8 5 Finalmente, sustituyendo en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones, se obtiene el peso W = 750Lbf Lbf + 69Lbf 17 = Lbf. Ejercicio 6. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres cables tensados unidos a un perno en A y están anclados por tensores en B, C y D, como se muestra en la Figura 1. Si la tensión en el cable AB es de 60 Lbf, determine la fuerza vertical P ejercido por la torre sobre el perno en A. 5 Figure 1: Equilibrio de una Partícula en el Espacio. 5 Este es el problema.109 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E. R. [009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill. 10

11 Ejercicio 7. En la Figura 1, las partículas numeradas del 1 al 4 tienen cargas eléctricas q 1 = q = 100nC y q = q 4 = 00nC y la distancia a = 5.0cm. Cuales son las componentes x y y de la fuerzas electrostáticas netas sobre la partícula. Figure 1: Fuerzas entre Cargas Eléctricas. 11