R 1 CN 3 CN 4. B.1.- Construir el cinema de aceleraciones del

Transcripción

1 N 1 En el mecanismo de la figura: w 1 = 2 rad/s Longitud de todas las barras = 30 mm, O 1 y O 2 inclinadas a 45º. alcular: 1.- La posición de los centros instantáneos de rotación de los elementos y. 2.- La velocidad del punto. 3.- La aceleración del punto. N 2 El mecanismo de la figura, es una biela de colisa que mueve la herramienta de corte en una limadora. El elemento 3 tiene un movimiento de vaivén guiado en dirección x. El elemento 1 se mueve con velocidad angular constante w en torno a su centro O alcular la velocidad del punto perteneciente al elemento alcular la velocidad del punto perteneciente al elemento alcular la aceleración angular del elemento 2. 1

2 N 3 En el mecanismo de la figura: R = 50 mm r = 40 mm w = 10 rad /s a = 20 rad /s 2 c = 100 mm - alcular la velocidad V - alcular la aceleración N 4 En el mecanismo de la figura el elemento 1 gira en torno al punto..1.- alcular la posición del centro instantáneo de rotación del elemento onstruir el cinema de velocidades del elemento 2 y representar de forma aproximada en el cinema la velocidad del punto E..3.- alcular la velocidad de deslizamiento en el punto de contacto..1.- onstruir el cinema de aceleraciones del E elemento 2. Representar de forma aproximada la posición del polo de aceleraciones del elemento 2. R 2 R 2 a V 3 w 1 = 2 rad/s R 1 = 2 m V 3 = 2 m/s a 1 = 4 rad/s 2 R 2 = 4 m a 3 = 4 m/s 2 N5 En el mecanismo de la figura la barra es un R 1 /2 o 1 R 1 1 " 1 2

3 único sólido rígido. Se conoce la velocidad V cuyo módulo es 17 m/s y la aceleración del punto cuyo módulo es 15 m/s 2 La escala del dibujo es aproximadamente 1: uantos grados de libertad tiene el mecanismo?. Justificar la respuesta. 2.- eterminar las posiciones de los centros instantáneos de rotación de todos los elementos del mecanismo. 3.- eterminar la velocidad del punto G. 4.- eterminar la aceleración del punto. E G 3 4 F 2 a 1 V 3

4 N P1.- uantos grados de libertad tiene el mecanismo de la figura?. Justificar la respuesta. P2.- El alumno se propondrá a sí mismo y resolverá gráficamente el problema. Para ello: - ebe formular NLÍTIMENTE las ecuaciones de excitación aplicadas a los elementos que estime más convenientes. Formulará ecuaciones de excitación en el número necesario y suficiente para que el mecanismo quede cinemáticamente determinado. Se recomienda formularlas de la forma más sencilla posible a la vista de P3. Indique de forma clara y precisa UNTS Y ULES son las ecuaciones de excitación. - Es condición obligatoria, sin embargo, que alguna de las barras del mecanismo se mueva. P3.- El alumno resolverá GRFIMENTE el problema que él mismo se ha propuesto en P2. alculando velocidades y aceleraciones en todos los puntos significativos del mecanismo así como velocidades angulares y aceleraciones angulares en los tres elementos del mecanismo. NOT: Se debe explicar de forma clara y completa toda la resolución gráfica, indicando claramente las ecuaciones que soportan las resoluciones gráficas, las posibles direcciones de vectores etc 4

5 SOLUIÓN N1 álculo de velocidades: V = w 1.O 1 = 2.30= 60 mm/s Resolviendo gráficamente mediante el método de las velocidades proyectadas: V P = V. cos 45º = 42,43 mm/s I = 42,55 mm I = 67,5 mm I = 42,426 mm I = 33,54 mm w = V /I = 1,41 rad/s V = w I = 95,2 mm/s w = V /I = 2,84 = w 3 V = w I = 120,4 mm/s w 2 = V /O 2 = 4 rad/s álculo de aceleraciones: a = a n = w 1 2.O 1 = 4.30 = 120 mm/s 2 a I = a n + a t + a In + a It a n = w = 480 mm/s 2 a In = w 2. I = 342 mm/s 2 a I = a n + a t + a In + a It a n = w = 242 mm/s 2 5

6 a In = w 2. I = 242 mm/s 2 Gráficamente se obtiene a I = 844 mm/s 2 a = a I + a In + a It a In = w 2. I = 270,5 mm/s 2 a = a + a t + a n a n = w = 59,6 mm/s 2 a = a + a n + a t a n = w 2.15 = 121 mm/s 2 a = a n + a t a n = w = 480 mm/s 2 a I a a 6

7 SOLUIÓN N2 1.- V = w. O 1 = 20 m/s 2.- sen a = 2/5 ; a = 23,57º V 2 = V. sena = 20. 2/5 = 8 m/s V 21 = V. cosa = =18,32 m/s w 2 = V 2 /O 2 = 8/5 = 1.6 rad/s V 1 V 12 V 2 V 32 V 3 V 2 = w 2. O 2 = 8/5. 8 = 12.8 V 2 7

8 m/s V 3 = V 2 / cosa = 12.8 / = m/s 3.- celeraciones. onsideramos un sistema de referencia móvil situado en 2 de forma que la aceleración relativa es paralela a O 2. a 1 = a rel + a arr + a cor = a 1n a arr = a 2 = a 2n + a 2T a 2n = w 2 2. O 2 = 12.8 m/s 2 a cor = 2 w 2 x V 12 a cor = 2. 1,6. 18,32 =58,62 m/s 2 a 1n = w 1 2. O 1 = = 200 m/s 2 a 2T = a 2. O 2 = 123 m/s 2 en el cinema a 2 = 24.6 rad/s 2 V 12 a cor w a cor a 2n a 2t a rel a 1 8

9 SOLUIÓN N3. V = w.i = ,03 = 640,3 mm/s V = 400 mm/s I = 64,03 mm w = V / = 500/100 = 5 rad/s a I = w 2. R = = 5000 mm/s 2 OI / O' I' = O/O'' a O = a.r = = 1000 mm/s 2 O'' = O. O' I' / OI = 40.51/50 = 40,8 mm a = a + a n + a t a = 3200 mm/s 2 a n = w 2. = = 2500 mm/s 2 a = 3400 mm/s 2 9

10 SOLUIÓN N4.1 V V V 3 3 V 3 4m 4m I 2 V I Puesto que la distancia entre los puntos y permanecerá invariable para cualquier posición del mecanismo, se puede considerar el sólido imaginario con lo que el mecanismo equivalente resulta ser un cuadrilátero articulado cuyo extremo 3 puede deslizarse horizontalmente. V = w 1. R 1 /2 = 2.2/2 = 2 m/s.2 INEM E VELOIES E elemento 2. La figura muestra el cinema de velocidades del V Utilizamos un factor de escala igual a 2. V.3.- Para el cálculo de la velocidad de deslizamiento en P V 3 10

11 el punto, utilizamos el centro instantáneo de rotación del elemento 2 calculado anteriormente. La velocidad de deslizaiento, tendrá una dirección tangente al contacto entre los dos elementos. V 12 V 1 V 2 I 2 V 2 = V 3 = 2 m/s dirección y sentido indicados. Los módulos de V 2 y V 3 son iguales porque sus distancias a I 2 son iguales. La dirección de V 1 es perpendicular a la recta. El factor de escala utilizado ahora es aproximadamente 1..- ELERIONES a 3 a N a N a T a a T a N a a a T 11

12 alculamos en primer lugar la aceleración a mediante sus componentes normal y tangencial. a N = w 1 2. R 1 /2 = 4.2/2 = 4 m/s 2 a T = a. R 1 /2 = 4.2/2 = 4 m/s 2 Pasamos ahora a calcular a a = a + a N + a T a = a 3 + a 3N + a 3T a N = w 2. = 1/9. 6 = 2/3 m/s 2 a 3N = w 2 2. R 2 = 1/4. 4 = 1 m/s 2 w = V / I = 2/6 = 1/3 rad/s w 2 = V 3 / R 2 = 2/4= 1/2 rad/s INEM E ELERIONES a 3 Q a E 12

13 SOLUIÓN N 5: 1.- n = 4 +1 = 5 elementos Restricciones = 3 + 2x4 + 3x1 = 14 k= 5x3-14 = 1 gdl 2.- E I 3 G 3 4 I 2 F I I 1 13

14 E I 3 3 G V G 4 V F I 2 F I I 1 V V 3.- álculo de V G w 1 = V / I 1 = 17/23 = 0.74 rad/s V = w 1. I 1 = 0.74 * 71 = 52.5 m/s dirección perpendicular a I 1, sentido indicado. w 2 = V / I 2 = 52.5/35 = 1.5 rad/s V F = w 2 * I 2 F = 1.5 * 16 = 24 m/s w 4 = V F / I 4 F = 24/14 = 1.71 rad/s V G = w 4 * I 4 G = 1.71 * 32 =54.8 m/s V = w 2 * I 2 = 1.5 * 39 = 58.5 m/s w 3 = V / E = 58.5 / 32 = 1.82 rad/s 14

15 4.- álculo de a E G 3 4 F 2 a 1 a n a V a a a t a a a = a + a n + a T a n = w 1 2 * = * 36 = m/s 2 La dirección de a es obligatoriamente horizontal debido a su restricción. Obtenemos a mediante el cinema de aceleraciones del elemento 1 a = a + a n + a t a n = w 2 2. = * 35 = m/s 2 a = a n + a t a n = w 3 2. E = *32 = 106 m/s 2 a = 145 m/s 2 aproximadamente a escala en el cinema. 15

16 a n a a a a t a a n a t 16

17 SOLUION N6 P1.- onsideramos juntas compuestas revolución-traslación en y. Nº de elementos del mecanismo = 3 móviles + tierra = 4 GL si no hubiese restricciones = 4 * 3 = 12 Restricciones 2 en cada junta de revolución y 1 en cada junta revolución-traslación y 3 del elemento tierra restricciones totales = 2x2 + 2x1 + 3 = 9 GL del mecanismo = 12-9 = 3 GL Si hubiésemos considerado las correderas como sólidos y cada una de las juntas y como suma de una junta de revolución más una de traslación, tendríamos: Nº de elementos del mecanismo 5 móviles + tierra = 6 GL si no hubiese restricciones = 6 * 3 = 18 Restricciones 2 en cada junta de revolución,, y 2 en cada junta de traslación y 3 del elemento tierra restricciones totales = 2x4 + 2x2 + 3 = 15 GL del mecanismo = = 3 GL. El resultado evidentemente es el mismo. P2. ebemos añadir tantas ecuaciones de excitación como GL tiene el mecanismo, es decir 3 ecuaciones de excitación. P3. Se pueden proponer las expresiones que se deseen para estas ecuaciones de excitación, algunos ejemplos son: ES: f 1 = k 1 f 2 = k 2 f 3 = k 3 onde evidentemente las aceleraciones angulares son nulas f 1 = f 2 = f 3 = 0 y las posiciones angulares que formulan correctamente las ecuaciones de excitación son: f 1 = k 1 t + f 1 f 2 = k 2 t + f 2 f 3 = k 3 t + f 3 17

18 w 1 = 0 w 3 = 0 w 3 = k 3 w 2 = k 2 w 2 = 0 w 1 = 0 w 3 = 0 w 1 = k 1 w 2 = 0 Los valores de ki no podrían ser nulos para los tres elementos porque se impediría el movimiento, pero si podrían ser nulos en dos de ellos con lo cual los mecanismos equivalentes en cada caso serían: Se observa como en este caso, para valores nulos de k, las ecuaciones de excitación se convierten en ecuaciones de restricción. Las ecuaciones de restricción son un caso particular por lo tanto de las de excitación. También podríamos haber propuesto ecuaciones de excitación en desplazamientos a algún punto P cualquiera del elemento2 por ejemplo. ES: f 1 = k 1 x P = k 5 y P = k 6 onde evidentemente la aceleración angular f 1 = 0 y el punto P resulta ser el polo de aceleraciones del elemento 2 aunque no sea su centro instantáneo de rotación: x P = y P = 0 Los desplazamientos y giros que formulan de manera formal las ecuaciones de excitación son 18

19 en este caso: f 1 = k 1 t + f 1 0 x p = k 5 t + x p 0 y p = k 6 t + y p 0 En el caso particular de que k 5 = k 6 = 0, el punto P resultaría ser centro instantáneo de rotación y polo de aceleraciones, las ecuaciones serían entonces de restricción y el mecanismo equivalente sería: w 1 = k 1 P V P x = V P y = 0 omo sería muy largo resolver todos los mecanismos propuestos, resolveremos solamente el caso general más complicado f 1 = k 1 f 2 = k 2 f 3 = k 3 Es decir el problema propuesto es: w 3 = k 3 w 1 = k 1 w 2 = k 2 19

20 álculo de velocidades: V w 3 = k 3 V w 1 = k 1 w 2 = k 2 irección de V V V V V irección de V y pertenecen al elemento 2; pertenece al elemento 1; pertenece al elemento 3 nalizando el movimiento relativo en la junta tenemos: V = V + V donde la dirección de V es la. Por otro lado como es un sólido indeformable se cumplirá: V = V + V onde V tiene módulo conocido = w2. La dirección de V es perpendicular a y su sentido es descendente congruente con w 2. Sustituyendo tenemos: V = V + V = V + V + V Por otro lado analizando el movimiento relativo en la junta tendremos: 20

21 V = V + V donde la dirección de V es la. omo conocemos el valor de V resolvemos gráficamente estas dos últimas ecuaciones vectoriales obteniendo el cinema mostrado en la figura anterior. Los valores de los módulos son supuestos. álculo de aceleraciones: a a cor. w 2 V a a a. a Q a cor a V a cor a cor a n Sabemos que las tres aceleraciones angulares son nulas por definición en las ecuaciones de excitación. Por lo tanto las aceleraciones de y son conocidas, sus módulos serán: a = w 3 2. a = w 1 2. Las direcciones y sentidos son los mostrados en la figura anterior. nalizando el movimiento relativo en la junta tendremos. 21

22 a = a + a + a cor La aceleración de oriolis a cor se puede calcular según se muestra en el cinema de aceleraciones a partir de V y de w 2. El módulo de a cor será: a cor = 2 V. w 2 e la misma forma, analizando el movimiento relativo en la junta tendremos: a = a + a + a cor La aceleración de oriolis a cor se puede calcular según se muestra en el cinema de aceleraciones a partir de V y de w 1. El módulo de a cor será: a cor = 2 V. w 1 omo y pertenecen al msmo sólido rígido, podemos expresar a en función de a a = a + a n + a t = a + a n por lo tanto: a = a + a + a cor = a + a n + a cor + a = a + a + a cor + a n + a cor + a en la ecuación anterior, los términos en negrita son conocidos. La resolución gráfica de la misma se muestra en el cinema de aceleraciones de la figura anterior. Evidentemente, los demás casos planteados que el alumno podría haber propuesto, tienen resoluciones más sencillas que este. 22