Algebra Lineal XV: Transformación Lineal Inversa.

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1 Algebra Lineal XV: Transformación Lineal Inversa. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Universidad de Guanajuato Transformación Lineal Inversa. En esta sección definiremos las transformaciones lineales inversas. Definición de una transformación lineal inversa. Una transformación lineal, T, de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K que es biyectiva es decir que es inyectiva y sobreyectiva se dice que es no-singular o invertible. Entonces existe una transformación, T, de V a V tal que T T v = v v V y TT v = v v V. () Recordando las definiciones de las transformaciones lineales idénticas y I V : V V I V ( v) = v v V I V : V V I V ( v ) = v v V Entonces, lascondicionesquesatisfacelatransformacióninversa, T, vealaecuación(), puedenescribirse como T T = I V y TT = I V Debe notarse que la ecuación () define de manera formal la transformación inversa, T. Puesto que se tiene que, v V T T v = v v V, T ( v ) = v donde v es el único elemento de V T( v) = v La figura () muestra las relaciones entre una transformación lineal, T, su transformación inversa, T, y las transformaciones lineales identidad I V y I V. Teorema. Sea T una transformación lineal biyectiva, no-singular o invertible, entonces la transformación inversa T es única. Prueba: Suponga que existen dos inversas T y T 2 que presumen ser diferentes. Entonces, aplicando la ecuación (), se tiene que T T = I V TT = I V y T 2 T = I V TT 2 = I V Entonces, se tiene que T T = I V

2 Figure : Transformación lineal, T, su inversa, y las transformaciones lineales idénticas. Postmultiplicando, ambos lados de la ecuación por T 2, se tiene que T = T I V = T (TT 2 ) = (T T)T 2 = I V T 2 = T 2. Teorema. Sea T una transformación lineal biyectiva, no-singular o invertible, entonces la transformación inversa T es también una transformación lineal. Prueba: Sean v, v 2 V y λ K arbitrarios. Suponga además que T ( v ) = v T( v ) = v y T ( v 2) = v 2 T( v 2 ) = v 2 (2) Entonces, probaremos que la transformación inversa es aditiva y homogénea.. Aditiva. Por las suposiciones indicadas en la ecuación (2), T( v + v 2 ) = v + v 2 donde, además v + v 2 es el único vector que satisface la condición. Por lo tanto T ( v + v 2) = v + v 2 = T ( v )+T ( v 2) 2. Homogénea. Por las suposiciones indicadas en la ecuación (2), T(λ v ) = λ v donde, además λ v es el único vector que satisface la condición. Por lo tanto T (λ v ) = λ v = λt ( v ) Por lo tanto, T es lineal, de ahora en adelante, la transformación lineal inversa de T, se denominará, T. Teorema. Sea T una transformación lineal sobreyectiva, de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:. T es invertible, no-singular o biyectiva. 2. N T = { 0} 2

3 3. ν(t) = ρ(t) = dimv, cuando V es finito dimensional. 5. Si { v, v 2,..., v n } es una base de V, entonces {T( v ),T( v 2 ),...,T( v n )} es una base de V, cuando V es finito dimensional. 6. Para cualesquiera v, v 2 en V, T( v ) = T( v 2 ) implica que v = v 2. Prueba: La prueba se hará circularmente.. implica 2. Si T es biyectiva, es entonces inyectiva, por lo tanto N T = { 0} implica 3. Si N T = { 0}, entonces ν(t) = dim(n T ) = implica 4. Si ν(t) = 0. entonces, de la ecuación ν(t)+ρ(t) = dimv, se tiene que ρ(t) = dimv 4. 4 implica 5. Puesto que { v, v 2,..., v n } es una base, entonces {T( v ),T( v 2 ),...,T( v n )} genera el rango de T. Sin embargo, ρ(t) = dimv, entonces {T( v ),T( v 2 ),...,T( v n )} debe ser linealmente independiente y por lo tanto una base implica 6. Suponga, por contradicción, que v a v b pertenecen a V y que T( v a ) = T( v b ), puesto que { v, v 2,..., v n } es una base de V, se tiene que v a = λ v +λ 2 v λ n v n y v b = ν v +ν 2 v ν n v n, Donde existe al menos un i, tal que λ i ν i, pues en caso contrario v a = v b. Entonces y Puesto que T( v a ) = T( v b ), se tiene que T( v a ) = λ T( v )+λ 2 T( v 2 )+ +λ n T( v n ) T( v b ) = ν T( v )+ν 2 T( v 2 )+...+ν n T( v n ) 0 = T( v a ) T( v b ) = (λ ν ) v +(λ 2 ν 2 ) v (λ n ν n ) v n, contradiciendo la suposición de que {T( v ),T( v 2 ),...,T( v n )} es una base de V 6. 6 implica. 6 implica que T es una transformación lineal inyectiva, de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V. Por otro lado, se asume que T es sobreyectiva, por lo tanto T es biyectiva, no-singular o invertible. Teorema. Dos espacios vectoriales V y V son isomórficos si y sólo si dimv = dimv. Prueba: Suponga que V y V son isomórficos, entonces existe una transformación lineal biyectiva Por lo tanto, N T = { 0} y ν(t) = 0, por lo tanto T : V V ν(t)+ρ(t) = dimv por lo tanto ρ(t) = dimv Pero T es también sobreyectiva, entonces R T = V, así pues, finalmente dimv = dimv. 3

4 en la dirección opuesta, suponga que dimv = dimv y sean B V = { v,..., v n } y B V = { v,..., v n} bases de V y V y considere la transformación lineal T( v ) = v,...,t( v n ) = v n Entonces T es evidentemente sobreyectiva, pues considere v = a v +...+a n v n un elemento arbitrario de V, entonces T(a v +...+a n v n ) = a v +...+a n v n = v Por otro lado, es inyectiva, sea v N T V, entonces v = a v +...+a n v n. Por lo tanto, 0 = T( v) = T(a v +...+a n v n ) = a T( v )+...+a n T( v n ) = a v +...+a n v n Entonces a =... = a n = 0 pues, en caso contrario, el conjunto B V = { v,..., v n} no puede ser una base, por lo tanto v = a v +...+a n v n = 0 v v n = 0. Así pues, N T = { 0} y la transformación es inyectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces T es un isomorfismo de espacios vectoriales y V y V son isomórficos. Teorema. Sea T : V V donde dimv = dimv. Entonces si T es inyectiva implica que T es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva. Similarmente si T es sobreyectiva implica que T es inyectiva y por lo tanto biyectiva. Prueba. Suponga que T es inyectiva, entonces ν(t) = 0 y se tiene que dimv = ν(t)+ρ(t) Por lo tanto dimr T = ρ(t) = dimv = dimv Puesto que dimr T = dimv, se tiene que R T = dimv y T es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva. Suponga que T es sobreyectiva, entonces ρ(t) = dimr T = dim V y se tiene que dimv = ν(t)+ρ(t) Por lo tanto ν(t) = dimv ρ(t) = dimv dimv = 0 Por consequencia T is inyectiva y por lo tanto sobreyectiva. Teorema. Sean S : V V y T : V V transformaciones lineales invertibles, entonces TS : V V es también invertible y su inversa está dada por (TS) = S T. Prueba: Puesto que S y T son invertibles, dimv = dimv = dimv Pruebe que efectivamente es una transformación lineal. N S = { 0}, N T = { 0}, R S = V, R T = V 4

5 Entonces, es unicamente necesario probar que TS : V V es inyectiva N (TS) = { v V (TS)( v) = 0} = { v V T[S( v) = 0} Entonces, S( v) debe satisfacer las dos siguientes condiciones: S( v) N T y S( v) R S y Pero, puesto que N T = { 0} entonces N (TS) = S [N T R S N T R S = { 0}, Además S es una transformación lineal biyectiva, entonces S [N T R S = S [ 0 = 0 La transformación lineal es inyectiva, además esta parte es redundante por el teorema anterior dimr (TS) = dimv dimn (TS) = dimv Por lo tanto la transformación lineal es sobreyectiva. De aquí que, T S es biyectiva, no singular o invertible. Finalmente, considere y Con lo que queda probado el resultado. (S T )(TS) = S (T T)S = S I V S = S S = I V (TS)(S T ) = T(SS )T = TI V T = TT = I V 2 Problemas Resueltos. Problema. Considere la transformación lineal T : P 3 (x) M 2 2 dada por [ T(a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a ) = 0 a +a 3 a a 2 2a 0 3a 2 a 3 3a +2a 2 +a 3 Pruebe que la transformación es biyectiva y encuentre la transformación lineal inversa. Solución: Debe notarse que dimp 3 (x) = dimm 2 2 Por lo que para probat que T es biyectiva es unicamente necesario probar que T es inyectiva. Sea p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 N T, entonces, se tiene que [ T(a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a ) = 0 a +a 3 a a 2 +0a 3 = 2a 0 3a 2 a 3 3a +2a 2 +a 3 Por lo tanto, es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones a 0 a +0a 2 +a 3 = 0 a a 2 +0a 3 = 0 2a 0 +0a 3a 2 a 3 = 0 3a +2a 2 +a 3 = 0 [

6 Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumándola a la tercera ecuación, se tiene que en el primer paso de escalonamiento, el sistema se reduce a a 0 a +0a 2 +a 3 = 0 a a 2 +0a 3 = 0 2a 3a 2 3a 3 = 0 3a +2a 2 +a 3 = 0 Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumándola a la tercera ecuación y multiplicando la segunda ecuación por 3 y sumándola a la cuarta ecuación, se tiene que en segundo paso de escalonamiento, el sistema se reduce a a 0 a +0a 2 +a 3 = 0 a a 2 +0a 3 = 0 a 2 3a 3 = 0 5a 2 +a 3 = 0 Finalmente, multiplicando la tercera ecuación por 5 y sumándola a la cuarta ecuación, se tiene que el sistema en forma escalonada está dado por a 0 a +0a 2 +a 3 = 0 a a 2 +0a 3 = 0 a 2 3a 3 = 0 4a 3 = 0 De este resultado es evidente que la única solución del sistema de ecuaciones es la trivial y por lo tanto N T = { 0}. Por lo tanto, T es inyectiva y biyectiva. Para calcular la transformación lineal inversa considere [ [ T(a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a ) = 0 a +a 3 a a 2 m m = 2 2a 0 3a 2 a 3 3a +2a 2 +a 3 m 2 m 22 Entonces T : M 2 2 P 3 (x) debe satisfacer que [ T m m 2 = a m 2 m 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 22 El problema se reduce a expresar a 0,a,a 2,a 3, en términos de m,m 2,m 2,m 22. Este objetivo se obtiene resolviendo el sistema lineal de ecuaciones a 0 a +0a 2 +a 3 = m a a 2 +0a 3 = m 2 2a 0 +0a 3a 2 a 3 = m 2 3a +2a 2 +a 3 = m 22 Para el escalonamiento, de este sistema, se procede de manera semejante al sistema homogeneo, de modo que, en el primer paso, el resultado es a 0 a +0a 2 +a 3 = m a a 2 +0a 3 = m 2 2a 3a 2 3a 3 = m 2 2m 3a +2a 2 +a 3 = m 22 6

7 De manera semejante, en el segundo paso, el resultado es a 0 a +0a 2 +a 3 = m a a 2 +0a 3 = m 2 a 2 3a 3 = m 2 2m 2m 2 5a 2 +a 3 = m 22 3m 2 Finalmente, en el último paso de escalonamiento, el resultado es a 0 a +0a 2 +a 3 = m a a 2 +0a 3 = m 2 a 2 3a 3 = m 2 2m 2m 2 = 2m 2m 2 +m 2 4a 3 = 5m 2 0m 3m 2 +m 22 = 0m 3m 2 +5m 2 +m 22 De la última ecuación se obtiene que a 3 = 4 (0m +3m 2 5m 2 m 22 ) Sustituyendo este resultado en la tercera ecuación, se tiene que [ a 2 = 3 4 (0m +3m 2 5m 2 m 22 ) +2m +2m 2 m 2 = 4 ( 2m m 2 +m 2 +3m 22 ) Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, se tiene que a = a 2 +m 2 = 4 ( 2m m 2 +m 2 +3m 22 )+m 2 = 4 ( 2m +3m 2 +m 2 +3m 22 ) Finalmente a 0 = a a 3 +m = 4 ( 2m +3m 2 +m 2 +3m 22 ) 4 (0m +3m 2 5m 2 m 22 )+m = 4 (2m 0m 2 +6m 2 +4m 22 ) Resumiendo estos resultados parciales, resulta que la regla de correspondencia de la transformación lineal inversa está dada por [ T m m 2 = m 2 m 22 4 (2m 0m 2 +6m 2 +4m 22 )+ 4 ( 2m +3m 2 +m 2 +3m 22 ) x + 4 ( 2m m 2 +m 2 +3m 22 ) x (0m +3m 2 5m 2 m 22 ) x 3 Este resultado puede verificarse determinando la imagen bajo T de T(a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 ), es 7

8 decir T [ a 0 a +a 3 a a 2 = 2a 0 3a 2 a 3 3a +2a 2 +a 3 4 [2(a 0 a +a 3 ) 0(a a 2 )+6 (2a 0 3a 2 a 3 )+4(3a +2a 2 +a 3 ) + 4 [ 2 (a 0 a +a 3 )+3(a a 2 )+(2a 0 3a 2 a 3 )+3(3a +2a 2 +a 3 ) x + 4 [ 2 (a 0 a +a 3 ) (a a 2 )+(2a 0 3a 2 a 3 )+3(3a +2a 2 +a 3 ) x [0 (a 0 a +a 3 )+3 (a a 2 ) 5 (2a 0 3a 2 a 3 ) (3a +2a 2 +a 3 ) x 3 = 4 [a 0(2+2)+a ( 2 0+2)+a 2 (0 8+8)+a 3 (2 6+4) 4 [a 0( 2+2)+a (2+3+9)+a 2 (2 +9)+a 3 ( 2 +3) x 4 [a 0( 2+2)+a (2 +9)+a 2 ( 3+6)+a 3 ( 2 +3) x 2 4 [a 0(0 0)+a ( 0+3 3)+a 2 ( 3+5 2)+a 3 (0+5 ) x 3 = a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3. Este resultado muestra que T (T) = I P 3 (x). 3 Ejercicios. Problema. Para cada una de las siguientes transformaciones, T, pruebe que son lineales, invertibles y determine la transformación lineal inversa.. T(x,x 2,x 3 ) = (x 3x 2 2x 3,x 2 4x 3,x 3 ). 2. T(x,x 2,x 3 ) = (x +x 3,x x 3,x 2 ). 3. T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = (a a 2,a 2, a 0 ). 4. T(x,x 2,x 3 ) = (x 3x 2 2x 3,x 2 4x 3,x 3 ). 5. T(x,x 2,x 3 ) = (x x 3,x x 3,x 2 ). [ a 6. T(a,a 2,a 3,a 4 ) = a +a 2 a 2 +a 3 a +a 4 3. Solución de la parte 3 del problema. Problema. Para cada una de las siguientes transformaciones, T, pruebe que son lineales, invertibles y determine la transformación lineal inversa. T : P 2 R 3 T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = (a a 2,a 2, a 0 ). Determinación del espacio nulo de la transformación. Sea a 0 +a x+a 2 x 2 N T, entonces T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = (a a 2,a 2, a 0 ) y T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = (0,0,0). 8

9 por lo tanto, se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones 0a 0 +a a 2 = 0 0a 0 +0a +a 2 = 0 a 0 +0a +0a 2 = 0 Es evidente que la única solución está dada por a 0 = a = a 2 = 0. Por lo tanto, Por lo tanto T es inyectiva y ν(t) = 0. N T = {0+0x+0x 2 } 2. Determinación del rango de la transformación lineal. Sustituyendo este resultado en la ecuación se tiene que ν(t)+ρ(t) = dimp 2, 0+ρ(T) = 3 o dimr T = ρ(t) = dimp 2 = 3 Puesto que R T R 3, pero dimr T = 3 = dimr 3, se deduce que R T = R 3. Por lo tanto, la transformación lineal T es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva, o no singular o invertible. 3. Finalmente, se determinará la transformación inversa. Por definición, T T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = T (a a 2,a 2, a 0 ) = a 0 +a x+a 2 x 2 Suponga que entonces T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = (b,b 2,b 3 ) a a 2 = b a 2 = b 2 a 0 = b 3 Entonces, el problema se reduce a encontrar a 0,a y a 2 como función de b,b 2 y b 3. Entonces a 0 = b 3, a 2 = b 2 y a b 2 = b o a = b +b 2. Por lo tanto, la transformación inversa es T (b,b 2,b 3 ) = b 3 +(b +b 2 )x+b 2 x Solución del problema 3. La transformación está dada por T(a 0 +a x+a 2 x 2 ) = (a a 2,a 2, a 0 ) Primeramente probaremos que es lineal. Sean p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 q(x) = b 0 +b x+b 2 x 2 P 2 (x) y λ R. entonces p(x)+q(x) = (a 0 +b 0 )+(a +b ) x+(a 2 +b 2 ) x 2 y λp(x) = (λa 0 )+(λa ) x+(λa 2 ) x 2 9

10 Por lo tanto T (p(x)+q(x)) = T [ (a 0 +b 0 )+(a +b ) x+(a 2 +b 2 ) x 2 = [(a +b ) (a 2 +b 2 ),(a 2 +b 2 ), (a 0 +b 0 ) = (a a 2,a 2, a 0 )+(b b 2,b 2, b 0 ) = T (p(x))+t (q(x)) y la transformación es aditiva. De manera semejante T (λp(x)) = T [ (λa 0 )+(λa ) x+(λa 2 ) x 2 = [(λa ) (λa 2 ),(λa 2 ), (λa 0 ) = λ(a a 2,a 2, a 0 ) = λt (p(x)) y la transformación es homogenea y por lo tanto lineal. Ahora se determinará que la transformación es biyectiva. Como ambos espacios P 2 (x) y R 3 tienen dinensión 3. Es suficiente probar que es inyectiva. Sea p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 P 2 (x) un elemento del espacio nulo de T, entonces Pero además, se tiene que T (p(x)) = T ( a 0 +a x+a 2 x 2) = (a a 2,a 2, a 0 ) T (p(x)) = (0,0,0) Por lo tanto, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones Que en forma escalar está dada por (a a 2,a 2, a 0 ) = (0,0,0) a a 2 = 0 a 2 = 0 a 0 = 0 De la tercera y segunda ecuación se tiene que a 0 = 0, a 2 = 0 y sustituyendo este último resultado en la primera ecuación se tiene que a = 0. Por lo tanto { } N T = 0 Por lo tanto la transformación es inyectiva y por lo tanto biyectiva e invertible. Finalmente, es necesario determinar la transformación lineal inversa. Puesto que T T = I P 2 (x) Entonces se tiene que ( T T ) p(x) = T [Tp(x) = T [ T ( a 0 +a x+a 2 x 2) = T (a a 2,a 2, a 0 ) = a 0 +a x+a 2 x 2 Denomine (a a 2,a 2, a 0 ) = (b,b 2,b 3 ) Entonces, la última parte de la secuencia de ecuaciones resulta T (a a 2,a 2, a 0 ) = T (b,b 2,b 3 ) = a 0 +a x+a 2 x 2 Entonces, el problema se reduce a resolver las incógnitas a 0,a,a 2, en términos de b,b 2,b 3. Igualando los vectores (a a 2,a 2, a 0 ) = (b,b 2,b 3 ) 0

11 Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones a a 2 = b a 2 = b 2 a 0 = b 3 Entonces, se tiene que a 0 = b 3 a 2 = b 2 a = b +a 2 = b +b 2 Entonces, se tiene que la transformación inversa está dada por 3.3 Solución del problema 6. T (b,b 2,b 3 ) = ( b 3 )+(b +b 2 ) x+(b 2 ) x 2 Aquí solo nos concentraremos en el cálculo de la transformación inversa; por tanto, se deja la resolución de la primera parte del ejercicio al alumno. [ Sea: T : R 4 M 2 2 a T(a,a 2,a 3,a 4 ) = a +a 2, entonces: a 2 +a 3 a +a 4 [ [ a T(a,a 2,a 3,a 4 ) = a +a 2 b b = 2 a 2 +a 3 a +a 4 b 2 b 22 Por tanto: Además: T : M 2 2 R 4 T T : I R 4 y TT : I M 2 2 Igualando los elementos de las matrices establecidas anteriormente, se obtiene: a = b a +a 2 = b 2 a 2 +a 3 = b 2 a +a 4 = b 22 Resolviendo el sistema, resulta: a = b a 2 = b 2 b a 3 = b 2 b 2 +b a 4 = b 22 b Substituyendo: Finalmente T [ T : M 2 2 R 4 T [ b b 2 b 2 b 22 a a +a 2 a 2 +a 3 a +a 4 = (b,b 2 b,b 2 b 2 +b,b 22 b ) T T(a,a 2,a 3,a 4 ) = T [T(a,a 2,a 3,a 4 ) = (a,a +a 2 a,a 2 +a 3 a a 2 +a,a +a 4 a ) = (a,a 2,a 3,a 4 )