Vector Un vector se define como todo segmento de recta dirigido que tiene un punto inicial, un punto final, dirección, sentido y magnitud.

Transcripción

1 Cálculo ectorial Unidad II.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica M.C. Ángel León Unidad II - Álgebra de ectores.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica p i p f p i Figura 1. Segmento de recta dirigido p f Muchas cantidades en geometría y física, como el área, olumen, temperatura, masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un solo número real. A estas cantidades se les denomina escalares, y al número real que lo representa escalar. De manera general, todo número real será un escalar. Pero también existen cantidades que tienen magnitud (representada por un escalar) y que además tienen la característica de tener dirección, estas cantidades como la fuerza aplicada sobre un objeto, la elocidad (no la elocidad instantánea) y la aceleración requieren de ser expresadas por alguna cantidad que represente la magnitud y la dirección. Para representarlas se una un segmento de recta dirigido. Un segmento de recta dirigido, es la sucesión infinita de puntos, partiendo de un punto inicial un punto final se muestra en la Figura 1. p i hasta p f. La magnitud (o modulo) del segmento de recta se expresa como pp i f tal y como A partir de lo anterior podemos definir a un ector como: Vector Un ector se define como todo segmento de recta dirigido que tiene un punto inicial, un punto final, dirección, sentido y magnitud. El sentido del ector es una punta de flecha situada en el extremo del ector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el ector, mientras que la dirección del ector es la orientación en el plano o espacio. Todos los ectores que tengan la misma dirección, sentido y magnitud iguales, sin importar sus puntos iniciales y finales son ectores equialentes, como se muestra en la Figura. Figura. Segmento de recta dirigidos equialentes 1 de 6

2 Cálculo ectorial Unidad II.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica M.C. Ángel León Un ector se acostumbra representar por letras minúsculas en negrita, por ejemplo: u,, w, x, y, m, l son representaciones de ectores. En diersa literatura también los representan por PQ, OA, MN donde se especifica su punto inicial (primera letra) y su punto final (segunda letra). Nosotros podremos usarlas indistintamente. Ejemplo 01: Dados los segmentos de recta dirigidos, mostrados en la Figura. Determine si son equialentes. S Los segmentos de recta tienen como punto inicial y final: P(0,0), Q(,) R(1,), S (,) R Q De acuerdo a la definición de la longitud entre dos puntos, tenemos que: PQ RS 1 1 P 1 Figura. Segmento de recta dirigidos del ejemplo 01. Y tienen la misma longitud. Para que sean equialentes deben de tener también la misma dirección. Aparentemente tienen la misma dirección (apuntan hacia arriba), sólo queda erificar si tienen la misma inclinación. Para demostrarlo, calculemos las pendientes de cada segmento de recta ayudados de la Figura : m m PQ RS y x y x Por lo tanto, se concluye que los dos segmentos de recta son equialentes. 1 1 Figura. Segmento de recta del ejemplo 01 mostrando de 6

3 Cálculo ectorial Unidad II.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica M.C. Ángel León El segmento de recta dirigido que tenga un punto inicial en el origen 0,0 y punto final fuera del origen xy, se considera la representación más adecuada como lo muestra la Figura 5. A esta posición se le denomina posición canónica o estándar Q( 1, ) Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen se puede representar de manera única por medio de las Q, como se muestra en la coordenadas del punto final Figura 5. 1 De esta manera tenemos la definición de un ector a traés de sus componentes Figura 5. Segmento de recta en posición canónica Definición de un ector a traés de sus componentes Si es un ector en el plano cuyo punto inicial es el origen y su punto final tiene las coordenadas 1,, entonces el ector queda expresado mediante sus componentes de la siguiente manera: 0, 0, 1 1 Las coordenadas 1 y son las componentes de. si el punto inicial y final están en el origen, entonces el ector será el ector nulo o ector cero. Esta definición implica que dos ectores 1, w w1, w son equialentes sí y sólo sí w y w 1 1 Y de aquí se desprende la definición formal para el módulo o norma de un ector: 1 En el caso en que la norma del ector sea 1, al ector se le llamará ector unitario. Para que un ector tenga norma de cero, debe de cumplirse que 0,0. Más adelante eremos cómo crear un ector unitario a partir de un ector que no tiene una norma igual a 1. de 6

4 Cálculo ectorial Unidad II.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica M.C. Ángel León Ejemplo 0: Encontrar las componentes y la longitud de un ector que tiene como punto inicial, 7 Q,5 P y como punto final Q Las componentes del ector son: Por lo tanto, el ector estará descrito por sus componentes como: 5,1 1 1 Y la longitud del ector es: Figura 6. Definición de un ector a traés de sus componentes P de 6

5 Cálculo ectorial Unidad II.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica M.C. Ángel León Definición de un ector en R y R Hasta ahora, hemos manejado ectores ubicados en un plano y sus características geométricas. Cuando un ector está sobre un plano tendrá dos componentes, y cada una de esas componentes se considera una dimensión, por lo tanto un ector de la forma 1, se dice que está en R o lo que es lo mismo en una región de dos dimensiones. A medida que el número de componentes de un ector aumenta, las dimensiones también. Geométricamente sólo es posible representar ectores hasta una región de tres dimensiones. Un ector de tres dimensiones tendrá la forma x, y, z se dice que está sobre el espacio y cada una de las componentes representa una posición en cada uno de los ejes como lo muestra la Figura 7: 0 y z x Figura 7. Representación geométrica de un ector en R 5 de 6

6 Cálculo ectorial Unidad II.1. Definición de un ector en R, R y su interpretación geométrica M.C. Ángel León La definición de un ector en R a traés de sus componentes se realiza de la siguiente manera: Definición de un ector en R a traés de sus componentes Sea un ector en el espacio que tiene como punto inicial 1, 1, 1 P x y z y como punto final Q x, y, z, será representado a traés de sus componentes 1,, donde: De manera que el ector es: x x 1 1 y y 1 z z 1 x x, y y, z z Y la norma o longitud está dada por: x x y y z z 6 de 6