X.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA

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1 X.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA X..- INTRODUCCIÓN Antes de entrar en la metodología qe permite determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección h C, examinaremos con cierto detalle el proceso y fenomenología de la convección, así como s relación con el movimiento del flido. Si a títlo de ejemplo se spone na placa plana sobre la qe flye na corriente flida, lo primero qe se observa es qe la velocidad del flido disminye a medida qe nos aproximamos hacia la sperficie de la misma, como consecencia de las ferzas de viscosidad. Como la velocidad de la capa de flido en contacto con la pared es cero, pf, la transferencia de calor entre la sperficie y esta capa de flido está originada únicamente por condcción, por lo qe: q C - k F dt dy y h C (T pf - T F ) y anqe ésto sgiere qe el proceso térmico pdiera considerarse como de condcción, lo cierto es qe el gradiente de temperatras en la sperficie dt dy y viene determinado por la velocidad a qe pede ser transportada la energía por el flido más alejado de la pared hacia el interior de la corriente principal, por lo qe el gradiente de temperatras en la sperficie del sólido depende del campo de fljo, de forma qe las velocidades más elevadas son las qe originan mayores gradientes de temperatra y mayores velocidades de transferencia de calor. No obstante, hay qe tener presente la condctividad térmica k F del flido qe está intervi Capas límites.x.-77

2 niendo directamente; para el caso del aga, el valor del coeficiente k F es de n orden de magnitd mayor qe el del aire, lo qe implica el qe el coeficiente de transferencia térmica por convección sea también mayor en el caso del aga, qe en el caso del aire. La sitación es my parecida cando se estdia la convección libre; la diferencia principal radica en qe en el caso de la convección forzada, la velocidad tiende hacia el valor de la corriente sin pertrbar impesta por na ferza exterior, mientras qe en la convección libre la velocidad crece al principio, a medida qe va amentando la distancia desde el plano, debido a qe el efecto de la viscosidad disminye más rápidamente qe la variación de densidades, qe lo hace más lentamente; sin embargo, la ferza ascensional disminye cando la densidad del flido se acerca al valor de la del flido qe lo rodea; ésta es la casa de qe la velocidad alcance n valor máximo y tienda a cero bastante lejos de la sperficie caliente. La distribción de temperatras en la convección forzada y libre tienen formas análogas y en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase (flido/sólido) es la condcción. El coeficiente de transferencia de calor por convección h C depende, en general, de algnas propiedades inherentes al fljo del flido, como son s densidad, viscosidad y velocidad, y de ss propiedades térmicas (condctividad y calor específico): h C f(ρ, η,, k F, c p ) Mientras qe en la convección forzada la velocidad del flido viene impesta normalmente por la acción de na bomba o n ventilador, y pede especificarse directamente, en la convección libre la velocidad depende de na serie de factores como son: - La diferencia de temperatras entre la sperficie y el flido, T pf - T F - El coeficiente de dilatación térmica del flido β (qe determina la variación de s densidad por nidad de diferencia de temperatras), por canto: v v F { + β (T - T F )} ; ρ F ρ + β (T - T F ) - El campo de ferzas exteriores qe actúan sobre el sistema qe, en la mayoría de las sitaciones, se redce únicamente al campo gravitatorio g. Para adqirir na cierta comprensión del significado de los parámetros qe intervienen en la convección forzada, se pede examinar con mayor detalle el campo de ferzas; así, para na placa plana inmersa en na corriente flida, el fljo a diversas distancias del borde de ataqe de la placa se desarrolla en na región en la qe las ferzas de viscosidad frenan al flido, disminyendo s velocidad. Las ferzas de viscosidad dependen de la tensión de corte τ η d dy Capas límites.x.-78

3 La región del fljo próxima a la placa, en donde la velocidad del flido se ve frenada por las ferzas de viscosidad, se denomina capa límite, siendo s espesor igal a la distancia existente entre la placa y la región del flido donde éste tiene na velocidad igal al 99% de la correspondiente a la corriente libre; la región de flido qe se encentra más allá de esta región se denomina régimen de fljo potencial o régimen no pertrbado. Inicialmente el fljo de n flido dentro de la capa límite es completamente laminar; el espesor de la capa límite va creciendo a medida qe amenta la distancia respecto al borde de ataqe, llegándose así a qe a na cierta distancia x C el efecto de la ferzas de inercia llega a ser lo sficientemente importante, en comparación con la acción amortigadora de la viscosidad, qe en el fljo empiezan a aparecer y a crecer peqeñas pertrbaciones; a esta distancia se la conoce como distancia crítica. Cando comienzan a amplificarse estas pertrbaciones, la reglaridad del fljo viscoso se ve alterada y tiene lgar na transición, de forma qe el fljo pasa de laminar a trblento. En la región del fljo trblento, las partíclas de flido se meven a través de líneas de corriente qe transportan con más o menos violencia tanto la energía térmica, como la cantidad de movimiento. El coeficiente de transferencia de calor por convección h C varía con la posición, respecto al borde de entrada para na placa plana o desde la entrada de n tbo o condcto cerrado. El parámetro qe describe la variación espacial es el coeficiente de transferencia de calor local h Cx, siendo x la distancia qe hay desde el borde de ataqe de la placa o entrada del tbo a la sección considerada. Si se desea calclar en el intervalo ( x L) el coeficiente medio de transferencia térmica por convección h C, hay qe conocer el coeficiente de transferencia de calor local h Cx, siendo la relación existente entre ellos de la forma: h C L xl h Cx dx h Cx xl x en la qe L es la longitd de la placa o del tbo considerada. X..- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA TRANSMISIÓN DE CALOR EN UN MEDIO EN MOVIMIENTO Cando se hace el estdio de la convección forzada hay qe tener en centa qe los fenómenos qe inflyen en ella son, n transporte de materia y la condctividad térmica. Para s comprensión vamos a considerar n paralelepípedo de flido elemental, de volmen nidad, Fig X., de dimensiones dx, dy, dz, teniendo en centa qe en el proceso intervienen tanto la temperatra T F como la velocidad V F V(,v,w) del flido, y qe el calor prodcido por rozamiento interno es despreciable. Capas límites.x.-79

4 Mediante n balance de energía se obtiene: Calor qe penetra según Ox en la nidad de tiempo debido a la velocidad: Q x m c F T (ρ dy dz) c F T ρ ( T) c F dy dz Calor disipado según Ox: Q x ρ c F ( T + ( T) x dx) dy dz habiendo reagrpado y T porqe ambas intervienen en el interior del paralelepípedo elemental. El calor qe se almacena en el paralelepípedo según Ox, en la nidad de tiempo, debido a las masas entrantes y salientes es: Q x - Q x - ρ c F ( T) x dx dy dz Teniendo en centa el conjnto de las tres direcciones, se obtiene la expresión del calor total almacenado dentro del paralelepípedo elemental, debido a las variaciones de velocidades y temperatras de las masas de flido circlante: Q - Q - ρ c F dx dy dz { (T) x + (vt) y + (wt) z } - ρ c F dx dy dz { T x + v T y + w T z + T ( x + v y + w z )} - ρ c F dx dy dz { T x + v T y + w T z + T div V} El calor qe se almacena en el volmen elemental debido a la condcción en la nidad de tiempo, según el eje Ox, es: Q* x - k (dy dz) T x Q* x Q* x + Q * x x dx - k T (T + x x dx) dy dz - k ( T x + T x dx) dy dz lego en la dirección Ox se tiene: Q* x - Q* x k T x dx dy dz Smando los calores almacenados por condcción en las tres direcciones y en la nidad de tiempo, se obtiene: Q * - Q * k ( T x + T y + T z ) dx dy dz k ( T) dx dy dz Capas límites.x.-8

5 Finalmente, el calor total almacenado en el elemento de volmen considerado en el tiempo dt, será el mismo qe la sma de los calores almacenados, anteriormente dedcidos: En el tiempo t : Q t ρ dx dy dz c F T En el tiempo t + dt : Q t+dt ρ dx dy dz c F (T + T t dt) por lo qe el calor almacenado en dt es: Q t+dt - Q t ρ dx dy dz c F T t dt El balance térmico es de la forma: k ( T) dx dy dz - ρ c F dx dy dz ( T x + v T y + w T z + T div V) ρ dx dy dz c F T t dt α ( T) - ( T x + v T y + w T z + T div V) T t dt Si se considera flido incompresible: div V régimen permanente, tanto térmico como dinámico: T t dt, se obtiene: α ( T) T x + v T y + w T z qe es na ecación diferencial con 4 incógnitas T,, v, w, por lo qe serán necesarias otras ecaciones, qe son las de Navier-Stokes, de la forma: ρ ρ ρ p x X - d dt + ν Δ + ν x div V p y Y - dv dt + ν Δv + ν y div V p z Z - dw dt + ν Δw + ν z div V completándose así el sistema de ecaciones qe rige el fenómeno termohidrodinámico. En las ecaciones de Navier-Stokes, las componentes (X,Y,Z) de la resltante de las ferzas exteriores qe actúan sobre el sistema elemental de flido, qedan redcidas para flidos pesados a: X ; Y ; Z g pdiéndose poner para la tercera ecación de Navier-Stokes, ρ Z ρ g para el caso en qe T permanezca constante. A s vez, como el flido al calentarse o enfriarse modifica s densidad, en el intervalo de temperatras T y T, se tiene: Capas límites.x.-8

6 g (ρ - ρ ) ρ g ( ρ ρ - ) v v { + β (T - T )} ; ρ ρ + β (T - T ) ρ g β (T - T ) ρ g β ΔT siendo ρ la densidad del flido a la temperatra T y v el volmen específico del flido. ρ p z La tercera ecación de Navier-Stokes qeda en la forma: g β ΔT - dw dt + ν w X..- CAPA LIMITE LAMINAR EN FLUJO SOBRE PLACA PLANA En el movimiento de flidos sobre na placa plana, la Hidrodinámica clásica se limita a imponer, como condición de contorno, la tangencia del vector velocidad, mientras qe la Mecánica de Flidos viscosos exige la condición adicional de adherencia al contorno de la placa, qe es mcho más restrictiva qe la de tangencia. En los flidos poco viscosos, los esferzos tangenciales son, con frecencia, my inferiores a los de inercia o a los de gravedad, pero ésto no atoriza a prescindir de los esferzos viscosos, qe peden llegar a ejercer na inflencia considerable sobre la configración del movimiento. Prandtl, en 94, propone qe el estdio del movimiento de n flido de viscosidad peqeña, se podía asimilar al de n flido perfecto, salvo en na capa próxima al contorno, de espesor, en la qe concentraba los fenómenos de fricción, y qe llamó capa límite; en el exterior de dicha capa, las tensiones tangenciales se desprecian, predominando las ferzas de inercia sobre las de viscosidad, mientras qe en el interior de la capa límite la proximidad del contorno hace qe el gradiente de velocidades sea my grande y, por lo tanto, la tensión tangencial τ η d será también my grande; dy en esta sitación las ferzas de fricción son del mismo orden de magnitd qe las ferzas de inercia. El espesor de la capa límite pede estar comprendido entre nas pocas moléclas y algnos milímetros, según los casos; fera de la capa límite se peden tilizar las ecaciones de Eler o métodos experimentales basados en las líneas y redes de corriente qe, na vez configradas alrededor del contorno o perfil deseado, permiten obtener el campo de velocidades y la distribción de presiones correspondiente. En el estdio de la capa límite hay qe tener presentes las sigientes consideraciones: - Anqe la pertrbación prodcida por la fricción se propaga a todo el flido, se admite qe la propagación qeda limitada a na zona del mismo de espesor finito, en sentido normal al contorno. - La forma de la crva de distribción de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite, se pede expresar, en general, mediante las sigientes ecaciones, Fig X.: Régimen laminar: V C + C ( y ) + C ( y ) + C ( y )... Capas límites.x.-8

7 Régimen trblento: V y m d en las qe V es la velocidad niforme del flido no pertrbado; la capa límite en s desarrollo longitdinal, mestra na tendencia progresiva al ensanchamiento, Fig VII.b. Fig X..a.b.- Capa límite Polinomio de segndo grado: V C + C ( y ) + C ( y ) y ; C con las condiciones, para: y ; V C + C y ; ( / y) y V y y ( C + C y ) y C + C ; C + C C + C C + C C ; C - y la forma del perfil de la distribción de velocidades de la capa límite en régimen laminar, (polinomio de segndo grado) es: V y - ( y ) Polinomio de tercer grado: V C + C ( y ) + C ( y ) + C ( y ) con las condiciones, para y, C y, V C + C + C y, ( / y) y V y y { C + C ( y ) + C y ( y ) } y ; C + C + C Para: y ; y y ; V y y { + C + 6 C ( y )} y C Capas límites.x.-8

8 C + C + C C + C + C C C ; C ; C - y la forma del perfil de la distribción de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, (polinomio de tercer grado), es: V y - ( y ) La experiencia ha permitido comprobar para placa plana, qe el movimiento laminar en la capa límite llega a hacerse inestable cando se sobrepasa n valor crítico del nº de Re c V x C ν siendo x C la distancia a partir del borde de ataqe de la placa. La capa límite contina s desarrollo, como se mestra en la Fig X.; a partir de x C se origina la capa límite trblenta, qe se divide en dos sbcapas, na de las cales, en las proximidades de la placa, permite definir na delgada sbcapa marcadamente laminar. Fig X..- Desarrollo de la capa límite laminar Los valores críticos del número de Reynolds qe definen la transición para placa plana, son: Re lam. < 5. 5 ; Re trb. >. 6 Para flidos qe circlan entre dos paredes próximas, el ensanchamiento progresivo de la capa límite de cada contorno determina qe éstas se nan, a na cierta distancia de la entrada, desapareciendo la zona en qe el movimiento podía ser asimilable a n flido perfecto, para realizarse todo él bien en régimen laminar, o bien en régimen trblento, según el valor del número de Re. En tberías sólo se pede considerar el movimiento como irrotacional en las proximidades de la embocadra; con fljo totalmente desarrollado, no. ESPESOR Y CAUDALES DE LA CAPA LIMITE.- Mediante el concepto de capa límite es posible concentrar en n espesor los fenómenos de fricción; ello implica el qe se tengan qe cmplir las sigientes condiciones: Capas límites.x.-84

9 - El valor de la velocidad correspondiente a, y, tiene qe estar my próximo a V pes entonces el gradiente de velocidades será despreciable; sele tomarse:,99 V - El esferzo de fricción evalado en la zona de espesor, (a lo largo del contorno), mediante la ecación de la cantidad de movimiento, tiene qe coincidir con el obtenido: - Analíticamente para la capa límite laminar - Experimentalmente en la capa límite trblenta En ambas sitaciones la distribción de velocidades viene dada, para el régimen laminar, por polinomios de grado m (parábolas de segndo o tercer grado en general) y para el régimen trblento por polinomios de grado m. ESPESOR DE DESPLAZAMIENTO DE LA CAPA LÍMITE.- El espesor de desplazamiento de la capa límite está basado en la conservación del cadal a lo largo de la normal al contorno, mediante la eqivalencia de las áreas rayadas, como se indica en la Fig X.4. Si se admite qe la ley de velocidades es asintótica a V se tiene: V (V - ) dy y si la ley de distribción de velocidades alcanza el valor V para el espesor se tiene: V (V - ) dy ( - ) dy - V dy - q V V qe se pede interpretar como la diferencia entre el espesor y el espesor de na corriente qe tviese la misma velocidad V qe la corriente exterior y qe transportase la misma masa de flido, cadal q, qe la capa límite real. Con: V y m Se obtiene - ( y )/m dy - /m y /m dy m + ESPESOR DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE LA CAPA LÍMITE.- El espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite se corresponde con el espesor de na corriente flida qe tenga la misma velocidad V qe la corriente exterior, y la misma variación de la cantidad de movimiento qe la debida a la ferza de arrastre de la capa límite real; se define en la forma: V (V - ) dy V ( - V ) dy Capas límites.x.-85

10 Para: V y m ( y )/m { - ( y )/m } dy /m y /m ( /m - y /m ) dy m (m+ ) (m+ ) La relación entre el espesor de desplazamiento y el espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite se denomina Factor de forma del perfil F ; para na placa plana, en fnción de m se tiene: F (m + ) m (m + ) (m + ) m + m Un valor elevado del factor de forma del perfil implica qe está próximo a prodcirse el desprendimiento de la capa límite. ESPESOR DE ENERGÍA DE LA CAPA LÍMITE.- El espesor de energía de la capa límite d se define en la forma: V (V - ) dy V ( - V ) dy Para: V y m d y m { - ( y m ) } dy m (m + ) (m + ) Para hacernos na idea del orden de magnitd y del significado, de los diversos espesores de la capa límite así definidos, indicamos en la Fig X.5, para el caso particlar de na distribción de velocidades trianglar (m ) el orden de magnitd de los mismos, de la forma: ; 6 ; 4 q CAUDAL DE LA CAPA LÍMITE.- El cadal a través de la capa límite es: dy Teniendo en centa el espesor de desplazamiento, reslta: dy dy dy dy q q V ( - ) V V V V V m m + CAUDAL DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE LA CAPA LÍMITE.- El cadal de la cantidad de movimiento de la capa límite q M se define en la forma: Teniendo en centa la expresión del espesor de la cantidad de movimiento se obtiene: Capas límites.x.-86

11 { - } dy V V dy - V V dy - - V dy dy ( - - ) V qedando la expresión del cadal de la cantidad de movimiento en la forma: d q M ρ dy ρ ( - - ) V ρ V m m+ fnción del espesor de la capa límite, del espesor de desplazamiento y del espesor de la cantidad de movimiento. X.4.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL IMPULSO DE LA CAPA LIMITE CAUDAL DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Como consecencia de la viscosidad del flido y de s deformación, aparece n esferzo tangencial sobre el contorno de la placa qe determina lo qe se conoce como Resistencia de Sperficie o de Forma. Para calclar este esferzo se aplica el Teorema de la Cantidad de movimiento al volmen de flido comprendido en el interior de la capa límite entre las secciones (AB) y (DC) de la Fig X.6. Como el movimiento irrotacional exterior a la capa límite es niforme, no existe gradiente de presiones y, al expresar el eqilibrio, la única ferza actante es la de arrastre sobre la placa, de la forma (τ dx). Para na anchra de placa nidad, el cadal de la cantidad de movimiento se evalúa como sige: - Sobre la cara (AB) el cadal de la cantidad de movimiento entrante es: q M(AB) m V ρ q ρ ρ dy q M - Sobre la cara (CD) el cadal de la cantidad de movimiento saliente es: q M(CD) q M + q M x dx q M + ρ x ( dy) dx por lo qe en el volmen de control (ABCD) se tiene na variación del cadal de la cantidad de movimiento (q M(AB) - q M(CD) ) en la forma: q M x dx ρ x ( dy) dx Capas límites.x.-87

12 - Sobre el contorno (BC) no existe ningún tipo de esferzo cortante porqe está fera de la capa límite d dy ; teniendo en centa qe sobre este contorno la velocidad es V, el cadal de la cantidad de movimiento entrante por (BC) se obtiene en la forma: q M(B) m V q ρ V ρ V q M(C) q M(B) + q M(B) x dy dx q M(B) + ρ V x ( dy) dx q M(BC) ρ V x ( dy) dx Sobre el contorno (AD) de contacto con la placa no hay cadal saliente de la cantidad de movimiento. FUERZA DE ARRASTRE.- Igalando el cadal de la cantidad de movimiento con la ferza de arrastre F a sobre la placa en dx, y aplicando el Teorema del Implso se obtiene: τ dx - r x ( dy) dx + V ρ x ( dy) dx ρ x { (V - ) dy} dx F a τ dx ρ (V - ) dy ρ V C w x ρ V τ η y y ρ x { (V - ) dy} ; ν y y x { (V - ) dy} τ C w ρ V en la qe C w x se dedce comparándola con la obtenida por análisis dimensional; los valores de C w se obtienen mediante formlación, ábacos y tablas. a) Para na distribción de velocidades de la capa límite laminar de la forma: V y - ( y ) con: τ η y y ρ x { (V - ) dy } ρ V x { V ( - V ) dy } se obtiene: ν y y V x { V ( - V ) dy } V y y ; y y V Capas límites.x.-88

13 V ν V x { ( - ) dy} V V V x [ { y - ( y ) } { - y + ( y ) }] dy V x ( ) 5 V x 5 ν V dx d ; 5 ν V x + C ; x Re x ; x 5,477 Re x en la qe se ha tenido en centa qe para: x C Los valores de los coeficientes C x (local) y C w (medio), son: τ η y y C x ρ V η V C x 4 ν V 4 x Re x 4 x Re x 4,7 5,477 Re x Re x C w L L C x dx C x xl,466 Re L V reslta: b) Para na distribción de velocidades de la capa límite de la forma: y - ( y ) τ η y y η V τ ρ V x { ( - ) dy} ρ V V V x [ d { y - ( y ) } { - y + ( y ) }] dy Igalándolas:,9 ρ V x η V d,79 ν dx V ;,79 ν V x + Cte Para: x Cte,79 ν V x x 4,64 Re x τ η V η V Re x x 4,64 x, η V Re x x, η ρ V x ρ V C x C x,646 ν Re x,646 x V Re x ; C w L C x dx C L x x L,9 Re L Capas límites.x.-89

14 El valor de C w así obtenido para placa plana, está my próximo al valor exacto (Blasis), y es de la forma: C x,664 ; C w,8 Re x Re ; x 5 Re x siendo la ferza de arrastre F a sobre cada cara de la placa de longitd L y anchra nidad: F a L L τ dx, ρ η V x dx,646 ρ η V L ECUACIONES DE PRANDTL DE LA CAPA LÍMITE.- Si se spone n flido incompresible, en movimiento laminar permanente, en fljo bidimensional sobre na pared calqiera en la qe el radio de crvatra es my sperior al espesor de la capa límite, las ecaciones de Navier- Stokes se simplifican, qedando en la sigiente forma: ρ p x X - d dt + ν Δ d dt x + v y Ecación de continidad: x + v y v ; v y ; X, en la dirección del movimiento x ; x - x - v v y + ν y En el borde de la capa límite se tiene la velocidad V del movimiento irrotacional exterior, por lo qe aplicando la ecación de Bernolli se pede hallar la variación longitdinal de la presión, resltando: dv dx - ρ p x dv dx + ν y x + v y Si se introdce la fnción línea de corriente ψ de la forma: - ψ y ; v ψ, la ecación de x continidad se satisface atomáticamente, y sstityendo estos valores en la ecación anterior se obtiene: ψ x y ψ y - ψ y ψ x - ρ p x - ψ y de aplicación a la obtención de la capa límite laminar sobre n contorno plano. ECUACIÓN CLÁSICA DE KÀRMÀN.- Los cadales de la cantidad de movimiento, en proyección paralela a la pared, manteniendo la anchra de la capa límite igal a la nidad, son los sigientes: Capas límites.x.-9

15 Sobre (AB), q M(AB) q M, (entrante) Sobre (CD), q M(CD) q M + q M x Sobre (BC), q x dx V, (entrante) dx, (saliente) Variación de la cantidad de movimiento: - q M + (q M + q M x Implso mecánico: p - (p + p x Igalándolas se obtiene: q M x q dx) - x dx V q M x dx ) ( + x dx ) - τ dx - (τ + p x ) dx - V q x - τ - p x q dx - x dx V q M x - V q x q M ( - - ) V ρ ; q (V - ) ρ ; - Cte q M x x {( - - ) V ρ } - x V ρ + ( - - ) V V x q x ρ ( - ) V x ρ - x V ρ + ( - - ) V V x ρ - ρ ( - V ) V x p + ρ V - τ - p x Cte ; p x - ρ V V x - τ + ρ V V x qe simplificada convenientemente qeda en la forma: τ x V ρ + V V x ρ ( + ) ecación qe se conoce como ecación de Kàrmàn, en la qe las variables V, y no dependen más qe de x. X.5.- ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA DE LA CAPA LÍMITE El Primer Principio de la Termodinámica aplicado a n sistema abierto en régimen estacionario, permite calclar el calor Q pesto en jego en na transformación, en la forma: Q Δi + T + ΔE cinética + ΔE potencial e indica qe la energía se pede considerar en forma de entalpía, calor o energía cinética, con las mismas nidades qe el trabajo de cizalladra o de corte. A peqeñas velocidades, los términos asociados a la energía cinética y potencial y al trabajo de cortadra son peqeños en comparación con las demás magnitdes, y se peden despreciar. La velocidad a la qe la entalpía entra a través de la cara (AB) de la capa límite representada en la Fig X.7 viene dada por: Capas límites.x.-9

16 i (AB) m c p T c p ρ T T dy mientras qe la velocidad del fljo de entalpía a través de la cara (CD) es: i (CD) i (AB) + i (AB) x dx i (AB) + c p ρ x { T T dy } dx por lo qe dentro de la capa límite se tiene: i (AB) - i (CD) - c p ρ x { T T dy } dx La entalpía transportada al interior del volmen de control a través de la sperficie (BC), es: Δi (BC ) c p ρ T F x { T dy } dx A s vez, el calor condcido a través de la capa límite es: q k - k dx ( T y ) y Smando todas las contribciones energéticas, se obtiene la ecación integral para la conservación de la energía: c p ρ T F x { T dy } dx - c p ρ x { T T dy } dx - k dx ( T y ) y Como fera de la capa límite térmica la temperatra es T F, sólo se integrará hasta el límite, y T de la misma; por lo tanto: c p ρ T F x T dy - c p ρ x T T dy - k ( T y ) y x T (T F - T) dy k ρ c p ( T y ) y α ( T y ) y qe es la ecación integral de la energía de la capa límite laminar para el caso de n fljo de baja velocidad, en la qe dx se comporta como n intervalo y es independiente de dy. Si se tiliza n perfil de velocidades de tercer grado, de la forma: V y distribción de temperatras: y - ( y ) T - T pf T F - T pf T - T F + T F - T pf T F - T pf T - T F T F - T pf + en la qe considerando las condiciones: y T (x) - ( y ; T T pf ; T y y T ; T T F ; T y y T (x) ), se obtiene: Capas límites.x.-9

17 α ( T y ) y (T pf - T F ) V d dx Teniendo en centa qe: ( T y ) y (T F - T pf ) α T V d dx ( T - 8 { - y + ( y ) } { y T - ( y T ) } dy T 4 ) Llamando ξ T se tiene: α ε V d dx { ( ξ - 8 ξ 4 )} T k T, reslta: (T F - T pf ) V d dx ( T - 8 T 4 ) En la ecación de Pohlhasen se demestra qe: ξ T ( Pr )-/ El nº de Pr para la mayor parte de los gases (,6 < Pr < ) es del orden de la nidad, mientras qe para la mayor parte de los líqidos varía en n campo my grande, con valores elevados para los aceites my viscosos y bajas temperatras, y valores my bajos para los metales líqidos; en consecencia, cando: T << ; ξ << ξ 4 << ξ reslta: α ξ V d dx ( ξ ) V (ξ d dx + ξ dξ dx ) α dx ξ d + ξ dξ,58 ν x V V d,79 ν dx,79 ξ V ν dx V + x,58 ξ ν x V dξ ξ + 4 x ξ dξ dx α 4 ν 4 ( Pr ) La solción general es: ξ C x -/4 +,79 Pr C x-/4 +,9678 Pr La solción exacta es: ξ C x -/4 + y con la condición: 4 Pr C x-/4 +,9857 Pr x x i ; ξ ( T ) C - 4 x i Pr, reslta, Fig X.8: ξ,976 - ( x i x )/4 Pr Capas límites.x.-9

18 por lo qe: h Cx k T,976 k - ( x i x )/4 Pr 4,64 x Re x,976 4,64 x Re x k - ( x i x ) /4 Pr k x Pr Re x, k,976 x 4,64 - ( x i x )/4 - ( x i x )/4 Pr Re x x N x h Cx x k, Pr Re x - ( x i x )/4 De haber considerado la ecación de tercer grado anterior, se obtendría: N x, Pr Re x - ( x i x )/4 Haciendo x i x se obtiene la ecación de Pohlhasen: N x, Re x Pr / Teniendo en centa qe: ξ,976 Pr T ; T,976 Pr 4,54 x Re x Pr el coeficiente medio de transmisión de calor por convección h C en el intervalo ( x L) a lo largo de la sperficie plana es: h C L h C L xl h Cx dx h x Cx xl,664 k Re L Pr / L xl h Cx dx h x Cx xl,646 k Re L Pr / L (exacto) (ecación de tercer grado) El calor transmitido desde la placa, de anchra nidad, al flido, es: Q L h C (T pf - T F ) Si se considera existen dos zonas longitdinales sobre la placa, perfectamente diferenciadas, na sin aporte de calor, Fig X.8, reslta, teniendo en centa qe: ΔT T pf - T F Para: x < x ; Q x > x ; Q, k F x Pr/ Re x DT - ( x x )/4 Capas límites.x.-94

19 Para na zona de la placa comprendida en el intervalo (x < x < x ) a la qe se aplica n fljo de calor q, Fig X.9, se tiene: Q, k F x Pr/ Re x ( ΔT + - ( x x )/4 -ΔT ) - ( x x )/4 observándose qe el fljo de calor en la región (x > x ) es (-) lo cal significa qe en la citada sección la pared reabsorbe parte del calor comnicado a la capa límite en la región (x < x < x ). Fig X.8- Capa límite térmica e hidrodinámica sperpestas Fig X.9 - Placa con na capa límite laminar y dos capas límite térmicas Relación entre C x y h Cx en fljo laminar sobre placa plana.- A partir de la expresión exacta de Blasis C x, para el coeficiente de arrastre local C x, a lo largo de na placa plana, Re x en la qe se ha spesto qe para el espesor de la capa límite el gradiente de presiones es cero y las propiedades del flido constantes, y del número de N local para el fljo laminar, (Pohlhasen): N x, Re x Pr / y como el número de Stanton local St x es: St x h Cx ρ c p V N x Pr Re x, Pr / Re x, C x Pr / x x, C x Pr / Capas límites.x.-95

20 C x St x Pr / ; Pr >,5 qe se conoce como analogía de Reynolds-Colbrn qe relaciona el coeficiente de arrastre local C x con el número de Stanton St x para fljo laminar a lo largo de na placa plana. Como es mcho más fácil hacer medidas de la ferza de arrastre qe de la transferencia de calor, para el caso de valores medios se pede poner: C w St Pr/ h C ρ c p V Pr / en la qe C w es el coeficiente de arrastre medio y St el número de Stanton medio. Teniendo en centa lo anterior, la ferza de arrastre F a qeda en la forma: F a ρ (L a ) C w V ρ (L a ) h C V ρ c p V (L a ) h C c p V X.6.- CAPA LIMITE TURBULENTA PARA PLACA PLANA No existe na teoría exacta qe permita estdiar la capa límite trblenta; sin embargo sí existen modelos empíricos qe han permitido la obtención de solciones nméricas de las ecaciones de la capa límite. El reparto de velocidades para la placa plana es aproximadamente logarítmico, habiéndose obtenido al efecto los sigientes resltados experimentales: Para: 5 < Re < 7 ; V y m, con: m 7, F 9 d 7 El valor de τ ρ x { (V - ) dy} se pede aplicar también al régimen trblento, por canto en s demostración no se ha fijado la forma de la distribción de velocidades en la capa límite, por lo qe la distribción de velocidades pede ser: V Para, placa plana, y m V d fljo trblento por el interior de tberías, (Nikradse), V máx m y R En estas circnstancias Blasis dedjo experimentalmente: τ,88 ρ V ν 4, con, 5. 5 < Re < 7 ν Sigiendo el mismo método qe para el cálclo de la capa límite laminar: τ ρ V x { ( - ) dy} ρ V V V x [ y 7 { - y 7 } dy] 7 7 ρ V d dx Capas límites.x.-96

21 Igalando las expresiones: 7 7 ρ V d dx τ,8 ρ V ν 4, se obtiene: V 4 d,4 ν 4 dx ; 5/4,9 V ν 4 x ; V x,76 5 Re x en donde se ha spesto qe la capa límite es trblenta en el total de la longitd de la placa L de forma qe para ( x, ). El esferzo cortante es: τ,8 ρ V υ 4,8 ρ V V 4 ν V,76 x 5 Re x,9 ρ V 5 ν x V La ferza de arrastre F a por nidad de anchra de la placa es: F a L τ dx,6 ρ V L 5 Re L ; C x,576 5 Re x ; C w,7 5 Re L P ρ V L ecaciones válidas en el intervalo en qe lo es la ecación de Blasis. Para el número de Re crítico, Re C 5. 5, reslta: C w,7 5 Re L -,4 x C L,7 5 Re L - 7 Re L Para valores de Re comprendidos en el intervalo, 5. 5 < Re x < 9, reslta: C wx,455 (log Re L ),58 El coeficiente de arrastre, qe es exacto para toda la placa, y qe inclye las zonas laminar y trblenta, se determina mediante las expresiones: C w,8 Re C Re C Re L +,74 Re L -/5 { - ( Re C Re L ) 4/5 } ; Re L > 7 C w,8 Re C Re C Re L +,5 ln (,6 Re L ) - ( Re C Re L ),5 ln (,6 Re C ) ; Re L < 7 VII.7.- DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LIMITE Cando el gradiente de presiones se mantiene nlo a lo largo de la placa plana, la capa límite se desarrolla a lo largo de la misma, independientemente de s longitd; pero si el gradiente de presiones es adverso, la presión amenta en el sentido de la corriente, y el espesor de la capa límite crece rápidamente. Capas límites.x.-97

22 Por otro lado, el gradiente de presión adverso jnto con el esferzo cortante en la pared, hacen qe disminya la cantidad de movimiento dentro de la capa límite y, si ambos actúan a lo largo de na distancia sficiente, el flido de la capa límite se irá frenando hasta alcanzar el reposo; en este instante, la línea de corriente qe coincide con la pared se aleja de la sperficie a partir del pnto de separación, conociéndose este fenómeno como desprendimiento de la capa límite. El fenómeno se acentúa cando el perfil es n condcto divergente; el fljo en las proximidades del contorno se va frenando continamente hasta alcanzar el pnto A de la Fig VII.9, en el qe la velocidad se hace cero. La forma del contorno pede exigir na disminción mayor de la velocidad, cosa imposible, por lo qe el flido se separará de él, prodciéndose al mismo tiempo n contrafljo originado por el gradiente de presiones adverso, es decir, agas abajo del pnto de desprendimiento se origina na zona de bajas presiones, qe provocan la aparición de na ferza depresiva dirigida en el sentido de la corriente, denominada Resistencia de forma, por depender hasta cierto pnto de la geometría del perfil. Tabla VII..- Coeficientes de arrastre C w de algnos perfiles inmersos en na corriente flida de velocidad V F a C w ρ V A Frontal a) Placa plana paralela a la corriente V Re < 7 C w,74 Régimen laminar: C w, Re 5 Re ; Re> 7,455 C w (log Re),58 b) Placa plana perpendiclar a la corriente, Re > Capas límites.x.-98

23 c) Disco circlar normal a la corriente d) Esfera e) Hemisferio heco f) Cono de 6º g) Semicilindro h) Cilindro normal a la corriente i) Prisma j) Cbo k) Paracaidas (baja porosidad) l) Sólidos de revolción elípticos V Relación / Régimen laminar, C w, Régimen trblento, C w, Capas límites.x.-99

24 V Relación / Régimen laminar, C w,6 Régimen trblento, C w, V Relación 4/ Régimen laminar, C w,5 Régimen trblento, C w,5 V Relación 8/ Régimen laminar, C w,5 Régimen trblento, C w, m) Sólidos de revolción trianglares º ; Re >. ; C w,7 º ; Re >. ; C w 6º ; Re >. ; C w,7 6º ; Re >. ; C w,9 º ; Re >. ; C w º ; Re >. ; C w,8 n) Cilindro de sección lenticlar o) Elipsoide Capas límites.x.-