MECÁNICA DE FLUIDOS II / Capa límite

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN En un movimiento a altos números de Reynolds, los efectos viscosos son despreciables. La presencia de un obstáculo obliga a imponer la condición de velocidad nula en el mismo, pero esto no es posible si no cuentan los efectos viscosos en una región cercana a la pared, de espesor pequeño frente a la longitud del obstáculo, denominada capa límite. En cuerpos fuselados con la corriente alineada convenientemente, la capa límite no se desprende, pero en cuerpos romos (y fuselados con la corriente no alineada) la capa límite se desprende y la resistencia aerodinámica del cuerpo aumenta considerablemente. 1

2 ÓRDENES DE MAGNITUD

3 ECUACIONES de la CAPA LÍMITE LAMINAR INCOMPRESIBLE Condiciones de contorno e inicial Relación entre la presión y velocidad exterior 3

4 PROPIEDADES DE LA CAPA LÍMITE Variables adimensionales Ecuaciones en forma adimensional Las ecuaciones no dependen del número de Reynolds Las dos ecuaciones se pueden reducir a una única utilizando la función de corriente 4

5 ESPESORES DE LA CAPA LÍMITE Espesor de desplazamiento Espesor de cantidad de movimiento Caso compresible 5

6 SEPARACIÓN DE LA CAPA LÍMITE 6

7 RESISTENCIA DE FRICCIÓN RESISTENCIA DE FORMA Relación entre ambas Resistencia, Dp, de un perfil aerodinámico (sólo de fricción) y de un cilindro circular, Dc, (solo de forma) Para que tengan la misma resistencia es necesario que c/r sea la raíz del Reynolds, es decir c>>r. 7

8 EFECTO DE LA SUCCIÓN Y EL SOPLADO 8

9 CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA (1908). Solución de BLASIUS ( ) 1970) Ecuaciones de la capa límite de BLASIUS Condiciones de contorno Análisis dimensional 9

10 CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA. Solución de BLASIUS (Cont.) Ecuación a resolver y condiciones de contorno Resultados 10

11 CAPA LIMITE SOBRE UNA PLACA PLANA. Solución de BLASIUS (Cont.) 11

12 SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER-SKAN 1

13 SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER-SKAN (Cont.) 13

14 SOLUCIONES DE SEMEJANZA DE FALKNER-SKAN (Cont.) Desprendimiento cuando =

15 CAPA LIMITE TÉRMICA. Ecuación de la energía (incompresible) Órdenes de magnitud Pr >> 1 Disipación i ió viscosa despreciable 15

16 CAPA LIMITE TÉRMICA. Flujo de calor Número de NUSSELT Pr >> 1 Forma final de la ecuación de la energía (flujo incompresible) Placa plana (Blasius) 16

17 CAPA LIMITE TÉRMICA. Flujo de calor Placa plana (Blasius) Aproximación del Nusselt: Solución exacta 17

18 CAPA LIMITE TÉRMICA. Placa plana (Blasius) 18

19 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Ecuaciones 19

20 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Ecuación de cantidad de movimiento Condiciones de contorno Corriente exterior 0

21 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Importancia relativa de las fuerzas de flotabilidad Convección forzada Convección natural o libre Velocidad característica de la convección libre Espesor de la capa límite viscosa con convección libre 1

22 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección forzada. Los efectos de flotabilidad son despreciables porque Convección forzada. Temperatura de recuperación Si el Prandtl es Pr = 1 Si la pared está aislada, la solución de la ecuación anterior con las condiciones es, esto es

23 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección forzada. Temperatura de recuperación (continuación) Para una capa límite laminar sin gradiente de presiones Si la capa límite es turbulenta (sin gradiente de presiones) 3

24 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección forzada. Analogía de Reynolds La ecuación de cantidad de movimiento es Las ecuaciones y condiciones de contorno para y para son idénticas, de modo que la solución también lo es 4

25 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección forzada. Analogía de Reynolds (continuación) De la igualdad d de ambas derivadas d se deduce d 5

26 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección libre Espesor de la capa límite térmica Número de Prandtl grande Pr >> 1 6

27 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección libre Flujo de calor cuando Pr >> 1 Número de Prandtl Pr << 1 Flujo de calor Pr << 1 Nusselt Pr << 1 7

28 CAPA LIMITE BIDIMENSIONAL COMPRESIBLE Y ESTACIONARIA. Convección libre Número de Prandtl ~ 1 Ecuaciones para la convección libre Donde se ha supuesto que la disipación viscosa, el trabajo de las fuerzas másicas y el trabajo de compresión, son despreciables frente a la conducción. Además la energía cinética es despreciable frente a la térmica y las variaciones de temperatura pequeñas frente a la propia temperatura. 8

29 Métodos integrales en la capa límite Continuidad Cantidad de movimiento 1

30 Métodos integrales en la capa límite Cantidad de movimiento (Ecuación integral de Karman) Energía

31 Métodos integrales en la capa límite Energía (continuación) Energía 3

32 Métodos integrales en la capa límite Solución para el caso de fluidos incompresibles Se aproxima la velocidad u por una función que cumpla las condiciones: 4

33 Métodos integrales en la capa límite Método de Pohlhausen Se elige una cuártica para el perfil de velocidades en la forma Placa plana a ángulo de ataque nulo 5

34 Métodos integrales en la capa límite Placa plana a ángulo de ataque nulo (continuación) 6

35 Métodos integrales en la capa límite Placa plana a ángulo de ataque nulo (ejemplo con perfil lineal de velocidades) 7

36 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Introducción al movimiento turbulento Experimento de Reynolds Estabilidad. La ecuación de Orr-Sommerfeld 4 d d U i d d U c k k k dy 4 dy k Re dy dy k d dy d dy Estable Inestable Estable Re 1

37 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Introducción al movimiento turbulento (continuación) Escala de Kolmogorov,,, escala de torbellinos en los que se disipa la energía

38 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Valores medios 3

39 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Ecuaciones de Reynolds. 4

40 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Modelos de turbulencia Viscosidad turbulenta Teoría de mezcla de Prantl Teoría de semejanza de von Kármán Modelos algebráicos basados en la teoría de mezcla de Prandtl. El más utilizado es el ld de Baldwin-Lomax. Modelos de una ecuación Modelo de dos ecuaciones. El modelo k- es el más popular. k ~ V y ~ ~ V 3 / L 5

41 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Flujos turbulentos esbeltos Turbulencia libre 6

42 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Estela bidimensional lejana 7

43 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Estela bidimensional lejana (continuación) 8

44 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Chorro bidimensional lejano 9

45 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Chorro bidimensional lejano (continuación) 10

46 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Movimiento turbulento en tubos 11

47 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Movimiento turbulento en tubos. Regiones del movimiento i Ley del defecto de velocidades 1

48 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Movimiento turbulento en tubos. Regiones del movimiento i (continuación) ió Zona cercana a la pared 13

49 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Movimiento turbulento en tubos. Regiones del movimiento i (continuación) ió Región intermedia (zona logarítmica) Solución exterior Solución interior Empalme 14

50 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Ecuaciones Capa límite turbulenta Continuidad Cantidad de movimiento U V 0 U U due U U V Ue uv dx dy x y dx y y Teniendo en cuenta la igualdad d U U due du U V Ue U U Ue V U Ue U Ue a0 x y dx x y dx Se llega a la relación (cantidad d de movimiento) o) e t due U UU Ue V U UeU Ue uv x y dx y y 15

51 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Multiplicando por dy e integrando transversalmente d du e U U U dy U U dy u dx 0 dx 0 f e e Se obtiene la ecuación integral de Kármán d dx du U U U dy Ue U dy u dx 0 e 0 Espesor normalizado e U U d U u U U dy U 0 e Transformación útil e U e 8 u 0 e 0 e e e e e 0 e U U U dy U U U U U U U dy U u U U dy 16

52 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Región próxima a la pared y ~ ; U ~ u ; u' v' ~ u Se caracteriza por esfuerzos de Reynolds y viscosos del mismo orden U u u ' v' ~ u ~ y u En primera aproximación la E. de C.M. Se reduce a ~ 1 U U uv 0 uv u y y y Los térinos despreciados del primer miembro son del orden de U por lo que se admite u U e 1 17

53 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Región próxima a la pared La ecuación de cantidad de movimiento se puede escribir como uv u Uu 1 U u F ; uv u G 1 y 1 y yu Siendo y yu y En y + =0 debe ser U=0 Región Exterior y ~ ; U e U ~ u Ecuación de la continuidad V U y x ; du dx e u' v' V ~ u ; du y dx U=0 y uv 0 con e u U e 18

54 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Región Exterior Capa límite turbulenta Ecuación de la cantidad de movimiento U Ue due due U Ue U Ue Ue U Ue y uv d x dx x y y y U eu u u e Ue O 1 u u u U Re Los términos despreciados en la región cercana a la pared eran del orden relativo U u e U ~ u e U ~ u e U ~ u que es pequeño como se había adelantado. e ~ u 1 1 Re 19

55 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Región Exterior Capa límite turbulenta La ecuación de la cantidad de movimiento queda U Ue due du e e U U U U e y u v x dx dx y y La forma de la solución es (Ley del defecto de velocidades) U U e u F, x ; u v u G, x ; Zona de Acoplamiento (Región Logarítmica) La ecuación de la cantidad de movimiento cerca de la pared para y y en la región exterior para y/ se reduce a uv y 0 y 0

56 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Zona de Acoplamiento (Región Logarítmica) Existe una zona de validez común donde ambas soluciones coinciden. En esta región se tiene y/ >>1 pero y/ <<1. Allí debe ser U EXT U INT ; U y De la segunda condición se obtiene F y INT EXT U y 1 1 y U df y u df u y dy y y dy INT df1 df 1, Constante de Karman 0.41 dy d 1 ln y 1 ln C x 1 B ; F 1 ; B 5 ; C1 depende del Grad. Pres. 1

57 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Zona de Acoplamiento (Región Logarítmica) De la igualdad de velocidades se obtiene 1 1 Ue u ln C1 u ln y B Ue u 1 u ln C ; C Cx B C1 x De la relación anterior se tiene d u u 1 d u dx U e ~ U que se utilizará más adelante. e u dx

58 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Regiones del movimiento y Corriente exterior: U = U e (x) Región exterior (defecto de velocidades) U e U ~ u ; u' v' ~ u Zona logarítmica y U Ue 1 y ln C1 x u u Determina U 1 y U ln e B u 8 Región interior Subcapa laminar y ~ ; U u p y ~ y F1 ; u' v' u G1 y 3

59 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Capas límites en equilibrio Las capas límites en equilibrio son aquellas en las que F y G sólo dependen de y/ Escribiendo U Ue u F ; u' v' u G, con y La ecuación c de cantidad d de movimiento o queda d u Ueu dx F 1 u u d Ue df dg dx d d Donde los términos entre corchetes deben ser constantes, en caso contrario la capa límite no sería de equilibrio. i 4

60 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Capas límites en equilibrio Cada uno de estos términos puede escribirse en la forma d Ueu dx du u dx U u d u dx U du e u dx e e u e Como se muestra con el orden de magnitud dado anteriormente para d u u 1 d u ~ dx U e U e u dx Del mismo modo se tiene d U U du U d u U du 1 e e e e u dx u dx u dx U e u dx 5

61 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Capas límites en equilibrio La ecuación de cantidad de movimiento resultante es Llamando due U d u e df dg F u dx u dx d d du u dx e constante La ecuación de Kármán proporciona U e d u 1 u dx De modo que se obtiene 1 df d dg d F 6

62 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Capas límites en equilibrio Para ver lo anterior primero vemos que De modo que 0 U U U dy U u U U dy U u e e U u e O 1 0 e u U e u 1 U Ue ~ 1 u d d Ueu U U U dy e dx 0 dx quedando du eu due Ue du due u u 1 1 dx dx u dx u dx e e 7

63 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Capas límites en equilibrio La ecuación de Kármán á junto con permiten determinar U e d u 1 u dx 1 u ln C U e u du u dx e constante u y e 8 U u si se conoce C (de resultados experimentales) 8

64 MECÁNICA DE FLUIDOS II / Movimiento Turbulento Capa límite turbulenta Capas límites en equilibrio Para una placa plana se tiene ln Re 7. ; 8 Re U e Una correlación para el coeficiente de fricción es c f Re 61 Usando este coeficiente de fricción y el perfil de velocidades 1/7 en la ecuación de Kármán se obtiene U U e 7 y Re 0.16 Rex ; ; c f x 4 7 Re Re x x 9