Teoría de la Capa Límite Laminar por

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1 Teoría de la Capa Límite Laminar por Miguel Hermanns y Francisco Higuera 1. Introducción Muchos movimientos de fluidos alrededor de cuerpos se caracterizan por el hecho de que el número de Reynolds basado en la longitud característica del cuerpo L, la velocidad de la corriente incidente U y la viscosidad cinemática del fluido ν es grande frente a la unidad: Re = UL 1. (1) ν Esto indica que en dichos flujos las fuerzas de viscosidad son mucho menos importantes que las fuerzas de presión y las aceleraciones del fluido, con lo que cabría esperar que las ecuaciones de Euler, que se obtienen de despreciar los términos viscosos en las ecuaciones de Navier-Stokes, describan de forma aproximada el flujo en estas condiciones. Aunque existen casos en los que esto es cierto, y las ecuaciones de Euler son capaces de describir con suficiente precisión el campo fluido resultante, existen muchos otros casos en los cuales no es así. La disparidad entre las predicciones de las ecuaciones de Euler y lo que se observa en la realidad se debe a los siguientes dos motivos. En primer lugar, las soluciones de las ecuaciones de Euler, que únicamente contienen derivadas primeras de las magnitudes fluidas, no pueden satisfacer la condición de no deslizamiento sobre la superficie sólida de un cuerpo. Considérese por ejemplo el flujo estacionario alrededor de un cuerpo romo. El movimiento del fluido, que por simplicidad se considera de densidad constante en esta lección, viene descrito por las ecuaciones de Euler para fluidos incompresibles: v = 0, ρv v = p, (2) que habrán de ser resueltas conjuntamente con la condición de contorno de impermeabilidad en la superficie Σ del cuerpo y las condiciones de contorno lejos del cuerpo: x Σ : v n = 0, x : v U, p p, (3) donde n es el vector normal a la superficie del cuerpo. Una primera consecuencia de haber despreciado los términos viscosos en las ecuaciones del movimiento es que resulta imposible imponer que la velocidad de deslizamiento del fluido sobre la superficie del cuerpo, u e (x) = v t (donde t es un vector unitario tangente al cuerpo y x es la distancia sobre la superficie), sea nula. Esta velocidad debe determinarse como parte de la solución 1

2 D = 0 D = 0 D 0 Figura 1: Diversas soluciones válidas de las ecuaciones de Euler para el flujo alrededor de un cuerpo romo tridimensional, donde las dos primeras predicen una fuerza nula sobre el cuerpo (paradoja de d Alembert) y la última una fuerza no nula. no viscosa. Por otra parte, la ecuación de Bernouilli, que, como se ha visto en una lección anterior, resulta de integrar la ecuación de conservación de cantidad de movimiento a lo largo de una línea de corriente, proporciona una relación entre la velocidad de deslizamiento u e a lo largo de la superficie del cuerpo y la presión p e sobre el cuerpo: p e ρu2 e = p ρu 2. (4) En segundo lugar, las ecuaciones de Euler (2) admiten infinitas soluciones (débiles) para un conjunto de condiciones de contorno (3) dadas cuando se admite la posibilidad de superficies de discontinuidad tangencial en el seno del fluido, y no es posible saber a priori cuál de estas soluciones es la que se corresponde con la realidad. La Figura 1 muestra varios ejemplos de soluciones válidas para el flujo alrededor de un cuerpo romo tridimensional. Algunas de estas soluciones predicen una fuerza nula del fluido sobre el cuerpo (paradoja de d Alembert), y otras en cambio no. En definitiva, las ecuaciones de Euler con las correspondientes condiciones de contorno no son capaces de proporcionar de manera automática la solución correspondiente al límite de Re de las ecuaciones de Navier-Stokes. Para resolver este dilema es necesario ver, como hizo Prandtl en 1904, que aunque los fenómenos de transporte debidos a la difusión sean despreciables en la mayor parte del campo fluido, cerca del cuerpo no lo son, y por tanto aparece una zona próxima al cuerpo, llamada capa límite, en la cual la viscosidad juega un papel importante. Dicha capa límite es la responsable de seleccionar la solución físicamente correcta entre las infinitas soluciones de las ecuaciones de Euler, y por ello su análisis es esencial para el estudio de los flujos a altos números de Reynolds. 2. Deducción de las ecuaciones de capa límite En lo que queda de lección se va a considerar por simplicidad que el flujo es bidimensional e incompresible. Anticipando que la capa límite es una región delgada en torno a la superficie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa límite, basadas en una familia de curvas paralelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordenadas, x es la distancia medida sobre la superficie del cuerpo desde su borde de ataque, o desde el punto de remanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. Las coordenadas (x, y) no son cartesianas excepto si la superficie del cuerpo es plana, pero se comportan 2

3 como tales a casi todos los efectos (excepto en la ecuación (9) más abajo) si y es pequeña frente al radio de curvatura R de la superficie, que se supondrá del orden de la longitud característica del cuerpo: R L. En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del fluido, L es la longitud característica del cuerpo, y δ, v c y y p denotan valores característicos del espesor de la capa límite, la velocidad transversal y las variaciones transversales de presión, que deben determinarse a partir de los balances entre los órdenes de magnitud de los términos dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidad longitudinal debe variar a través de la capa límite desde cero en la superficie del cuerpo a la velocidad de deslizamiento u e (x) proporcionada por la solución exterior no viscosa. La velocidad de deslizamiento es del orden de la velocidad U de la corriente libre, y se admite por tanto que u U en la capa límite. Las variaciones longitudinales de presión son x p ρu 2, impuestas por la solución exterior Análisis de los órdenes de magnitud Se comienza el análisis de los órdenes de magnitud del problema de la capa límite mediante la ecuación de conservación de la masa. Esta ecuación proporciona una estimación de la velocidad transversal característica, v c, que resulta ser mucho menor que la velocidad exterior U: u x + v y = 0 (5) U L v c δ v c U δ U. (6) L El siguiente paso consiste en analizar la importancia relativa de los distintos términos de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x, que permitirá obtener una estimación del espesor δ de la capa límite: u u x + v u y U 2 L Uv c δ = 1 p ρ x + ν x p ρl ( 2 u x 2 ) + 2 u y 2 ν U L 2 ν U δ 2. A partir de la recién estimada velocidad característica transversal v c se concluye que ambos términos convectivos en el miembro izquierdo de la ecuación son del mismo orden. Por otro lado, la difusión de cantidad de movimiento por efecto de la viscosidad a lo largo de la capa límite resulta ser despreciable frente a la difusión transversal a la misma. Dado que en la capa límite los efectos viscosos no deben ser despreciados, el orden de magnitud del espesor de la capa límite δ debe ser tal que el término de difusión transversal a la capa límite sea importante y del mismo orden que los demás términos de la ecuación. Igualando su estimación a la de los términos convectivos se obtiene finalmente el espesor característico de la capa límite, δ νl U = (7) L L, (8) 1/2 Re 3

4 que teniendo que cuenta que el número de Reynolds de la corriente es grande, resulta ser muy pequeño frente al tamaño característico L del cuerpo. Otro resultado que pone de manifiesto la ecuación de la cantidad de movimiento según x es que las variaciones longitudinales de la presión x p ρu 2 impuestas sobre la capa límite por la solución exterior no viscosa hacen que el término 1 ρ sea tan importante como los términos convectivos. Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante en el movimiento del fluido tanto en la capa límite como fuera de ella. Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la capa límite se analiza la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según y. Dado que los efectos métricos debidos a la curvatura de la superficie del cuerpo pueden llegar a ser importantes en esta ecuación, incluso en el caso de curvaturas moderadas R L, se incluyen estos en la estimación de los órdenes de magnitud: u v x + v v y + O Uv c L v2 c δ ( ) u 2 R U 2 L = 1 p ρ y + ν y p ρδ ( 2 v x 2 p x + 2 v y 2 ν v c L 2 ν v c δ 2. Nuevamente los dos primeros términos del miembro izquierdo de la ecuación son del mismo orden y la difusión longitudinal de cantidad de movimiento es despreciable frente a la difusión transversal. Pero ahora además la difusión transversal a la capa límite resulta ser despreciable frente al término de curvatura de orden U 2 /L, con lo que finalmente la comparación del término de presiones con el término de curvatura proporciona el orden de magnitud de las variaciones transversales de la presión: y p ρu 2 δ L ρu 2 x p. (10) Este resultado indica que en primera aproximación la presión en la capa límite no varía a través de la misma y es por tanto igual a la presión impuesta por la corriente exterior: ) (9) p(x, y) = p e (x). (11) Este hecho simplifica considerablemente el problema a resolver, pues la presión deja de ser una incógnita para convertirse en un dato en el estudio de la evolución de la capa límite. Resumiendo el análisis de los órdenes de magnitud se ha visto que el espesor característico de la capa límite y la velocidad característica transversal resultan ser mucho menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capa límite, y que la presión, que ahora resulta ser dato del problema, varía únicamente a lo largo de la capa límite, y no a través de ella Ecuaciones de capa límite Atendiendo a las estimaciones de los órdenes de magnitud realizadas en el apartado anterior se está en disposición de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes para obtener el sistema de ecuaciones que describe el movimiento del fluido en la capa límite: u x + v y u u x + v u y = 1 ρ = 0, (12) dp e dx + ν 2 u y 2. (13) 4

5 Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a la coordenada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento u = 0 sobre la pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior no viscosa. En cambio las ecuaciones de capa límite únicamente presentan derivadas primeras de la velocidad transversal v, por lo que únicamente se puede imponer sobre ella la condición de contorno de impermeabilidad v = 0 sobre la pared. Por tanto es de esperar que lejos de la pared, ya en la región exterior a la capa límite, la velocidad transversal v no tienda al valor de la corriente exterior: v(x, y δ) 0. En resumen, se tiene que y = 0 : u = v = 0, y : u = u e (x). (14) Además de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condición inicial en el origen de la capa límite, que proporcione el perfil inicial de velocidades: x = 0 : u = u 0 (y). (15) Por último, la presión exterior p e (x) que actúa sobre la capa límite, está relacionada, como ya se ha visto antes, con la velocidad de deslizamiento u e (x) de la solución exterior a través de la ecuación de Bernouilli (o de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según la pared): p e ρu2 e = p ρu 2 du e u e dx = 1 dp e ρ dx. (16) En el caso bidimensional que se analiza aquí es posible reducir el problema planteado a una única ecuación empleando la función de corriente ψ(x, y) como incógnita del problema, con lo que la ecuación de continuidad se satisface automáticamente. Sustituyendo las expresiones que vinculan las componentes de la velocidad con la función de corriente u = ψ y, v = ψ x (17) en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x se obtiene la siguiente ecuación diferencial de tercer orden para la función de corriente: ψ 2 ψ y x y ψ 2 ψ x y 2 = 1 dp e ρ dx + ν 3 ψ y 3, (18) que deberá resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno: y = 0 : ψ = ψ y = 0, y : ψ y = u e (x), (19) x = 0 : ψ y = u 0 (y) Propiedades de las ecuaciones de capa límite El problema compuesto por las ecuaciones en derivadas parciales (12) y (13) y las condiciones de contorno (14) y (15) es parabólico, como ya se ha dicho, a diferencia de las ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son elípticas. Este cambio se debe a que la 5

6 presión ha dejado de ser una incógnita y la difusión de cantidad de movimiento a lo largo de la capa límite ha sido despreciada, con lo que ahora la coordenada longitudinal x juega el papel de un pseudotiempo según el cual la información únicamente se puede propagar hacia valores crecientes de x. Desde el punto de vista de su resolución numérica, el hecho de que las ecuaciones de capa límite sean parabólicas presenta una enorme ventaja, pues el problema puede ser resuelto como si de un problema unidimensional de evolución se tratara. Por otro lado conviene indicar aquí, que existen situaciones de interés en las que la evolución de la capa límite da lugar a perturbaciones de presión que se transmiten a través de la corriente no viscosa exterior y vuelven a influir sobre el flujo en la capa límite aguas arriba del punto donde tales pertrubaciones se originaron. Dichos casos no pueden ser estudiados mediante las ecuaciones de capa límite presentadas en la sección anterior, y se hace necesario emplear teorías más avanzadas tales como la teoría de capa límite interactiva. Una propiedad de gran interés de las ecuaciones de capa límite es que sus soluciones no dependen del número de Reynolds del problema. Para ver esto es necesario adimensionalizar las ecuaciones empleando las siguientes magnitudes de referencia: ũ = u U, v = v v c, x = x L, ȳ = y δ, p = p ρu 2, (20) donde recuérdese que v c = U Re, δ = L Re. (21) Las ecuaciones (12) y (13) adimensionalizadas son por tanto ũ x + v ȳ con las condiciones de contorno siguientes: = 0, (22) ũ ũ ũ + v x ȳ = d p e d x + 2 ū ȳ 2, (23) ȳ = 0 : ũ = v = 0, ȳ : ũ = ũ e ( x), (24) x = 0 : ũ = ũ 0 (ȳ). Se puede ver que este problema no depende de la viscosidad del fluido, sino únicamente de la forma del cuerpo en torno al cual se forma la capa límite, que se manifiesta indirectamente a través de la velocidad de deslizamiento ũ e ( x). 3. Resultados de interés de las ecuaciones de capa límite Además de para conocer la distribución de velocidades en el interior de la capa límite, las soluciones a las ecuaciones de capa límite permiten determinar tres características de la capa límite de suma importancia, que son el punto de separación de la capa límite, el esfuerzo de fricción que genera sobre la pared y su espesor a lo largo de la superficie del cuerpo. 6

7 (a) (b) Figura 2: Visualizacio n experimental del feno meno de separacio n de la capa lı mite debido a la presencia de gradientes de presio n adversos. (a) Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = (b) Flujo alrededor de un perfil NACA64A015 con un a ngulo de ataque de Punto de separacio n de la capa lı mite La solucio n del problema (12)-(15) determina la distribucio n de velocidad en la capa lı mite. Como se vera ma s adelante, esta solucio n puede desarrollar una singularidad y dejar de existir aguas abajo de un cierto punto, cuando el gradiente de presio n que actu a sobre la capa lı mite es adverso (dpe /dx > 0). Esta singularidad se puede identificar con la separacio n de la capa lı mite y, cuando ocurre, es esencial determinar su posicio n, pues de ella depende la estructura del flujo exterior y la distribucio n de presio n sobre el cuerpo. La Figura 2 muestra dos casos en los que la capa lı mite, incapaz de afrontar el gradiente de presiones adverso impuesto por la corriente exterior, se separa de la superficie del cuerpo y modifica sustancialmente la solucio n exterior no viscosa. El resultado, a primera vista parado jico, es que el ca lculo del fallo de la aproximacio n de capa lı mite es el elemento ma s importante de la solucio n del problema obtenido con esta aproximacio n. Conviene resaltar que la posicio n del punto de separacio n es independiente del nu mero de Reynolds (en tanto en cuanto la capa lı mite se mantenga laminar), y u nicamente depende de la forma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuaciones de capa lı mite demostrada al final de la seccio n anterior. 7

8 3.2. Esfuerzo de fricción en la pared Como se ha visto en el apartado anterior, la determinación del punto de separación, resultado de tener en cuenta los efectos viscosos en la proximidad del cuerpo, resulta ser esencial para poder conocer la distribución de presiones sobre el cuerpo y con ello la fuerza de presión que el fluido ejerce sobre el mismo (la llamada resistencia de forma). Pero los efectos viscosos también tienen su contribución directa a la fuerza que experimenta el cuerpo. Puesto que en la capa límite los esfuerzos viscosos son importantes, estos ejercerán un esfuerzo de fricción sobre la pared y por tanto proporcionan también una contribución a la fuerza que ejerce el fluido sobre el cuerpo. A partir de las estimaciones obtenidas para la velocidad u y para el espesor de la capa límite δ, es inmediato estimar el orden de magnitud de estos esfuerzos viscosos: τ w = µ u y µ U y=0 δ ρu 2. (25) 1/2 Re Esta estimación muestra que la contribución directa de la viscosidad a la fuerza ejercida por el fluido sobre un cuerpo romo es mucho menor que la proveniente de la presión, que es de orden ρu 2. A pesar de ello, y como ya se ha recalcado anteriormente, la viscosidad juega un papel esencial en la determinación de las fuerzas aerodinámicas debido al fenómeno de separación de la capa límite y su influencia sobre la distribución de presiones. En el caso particular importante de un cuerpo aerodinámico alineado con la corriente, la capa límite puede permanecer adherida hasta muy cerca del borde de salida. En este caso las variaciones de presión son mucho menores que ρu 2 sobre la mayor parte del cuerpo, y las contribuciones de la presión y de los esfuerzos viscosos a la fuerza sobre el cuerpo pueden ser del mismo orden Espesor de la capa límite Otro resultado importante del estudio de la capa límite es su espesor y cómo éste varía a lo largo de la pared. El conocimiento del espesor de la capa límite permite calcular la corrección que la presencia de la capa límite adherida introduce en la corriente exterior. Hasta ahora sólo se ha obtenido una estimación del orden de magnitud del espesor, que indica que éste es muy pequeño comparado con la longitud característica L del cuerpo: δ L. (26) 1/2 Re Pero sería conveniente disponer de una defición más precisa del mismo. Una posible definición consiste en tomar como espesor δ de la capa límite aquella distancia de la pared para la cual el perfil de velocidades u(x) alcanza el 99 % de la velocidad u e (x) de la corriente exterior: u(x, y = δ(x)) = 0.99u e (x). (27) Esta definición no deja de ser un tanto arbitraria, puesto que el porcentaje elegido podría ser también cualquier otro, por ejemplo el 95 %, el 98 % o el %. Por ese motivo conviene buscar una definición con un trasfondo más físico. La definición más conocida y 8

9 y = H y = Y + δ y = Y u e (x) U x Figura 3: Esquema de la evolución de una línea de corriente en ausencia (línea a trazos) y presencia (línea continua) de la capa límite (línea a puntos). útil de las existentes es la del llamado espesor de desplazamiento δ que tiene la siguiente expresión: ) δ = (1 uue dy. (28) 0 El espesor de desplazamiento mide el desplazamiento que sufre una línea de corriente próxima al cuerpo, pero fuera de la capa límite, debido a la presencia de la capa límite. Para comprobarlo basta considerar la evolución con x de una línea de corriente que inicialmente (en x = 0) pase a una distancia H de la superficie, con δ H L. En ausencia de capa límite (para un fluido estrictamente ideal), la velocidad entre esta línea de corriente y la superficie del cuerpo será u e (x), y la evolución con x de la línea de corriente sería la indicada por la curva a trazos en la Figura 3. Cuando la viscosidad del fluido no es nula, la presencia de la capa límite modifica esta velocidad y con ello la posición de la línea de corriente, que pasa a ser la curva continua de la figura. Como el flujo que pasa entre la línea de corriente y la pared es el mismo en ambos casos, se tiene que UH = Y 0 u e (x) dy = Y +δ (x) 0 u dy, (29) donde δ (x) es el desplazamiento sufrido por la línea de corriente (distancia vertical entre la curva de trazos y la continua en la figura). Como Y es muy grande en comparación con el espesor de la capa límite, el último término de esta ecuación puede escribirse como y por tanto Y +δ (x) 0 u dy = Y 0 u e (x)δ (x) = u dy + Y 0 Y +δ (x) Y (u e u) dy = u dy = 0 Y 0 u dy + u e (x)δ (x), (30) (u e u) dy, (31) donde la última igualdad refleja que el resultado es independiente del valor de Y porque u tiende exponencialmente a u e antes de alcanzar el límite superior de la integral. Otra definición más del espesor de la capa límite que es de interés en ciertas aplicaciones, es el espesor de cantidad de movimiento δ dado por δ = 0 u u e ) (1 uue dy. (32) 9

10 U p y x Figura 4: Esquema del flujo incompresible alrededor de una placa plana, infinitamente delgada y de longitud semiinfinita, que se encuentra a ángulo de ataque nulo en el seno de una corriente uniforme. Puede demostrarse siguiendo pasos similares a los empleados para el espesor de desplazamiento, que δ + δ es la cantidad que hay que desplazar la superficie del cuerpo hacia el interior del fluido para que, suponiendo que todo el fluido se mueve a la velocidad exterior u e, pase el mismo flujo de cantidad de movimiento que pasa por la capa límite real. 4. Capa límite sobre una placa plana Conviene, desde el punto de vista didáctico, comenzar viendo y analizando el caso más sencillo posible de capa límite laminar, que resulta ser la que se forma sobre una placa plana semiinfinita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme. La Figura 4 muestra el esquema del problema a estudiar. Al igual que se ha venido haciendo en todos los apartados anteriores, se va a suponer que la densidad y la viscosidad del fluido son constantes. Dado que la viscosidad del fluido es pequeña, sus efectos pueden despreciarse en la mayor parte del campo fluido, con lo que el flujo alrededor de la placa plana viene descrito en primera aproximación por las ecuaciones de Euler incompresibles v = 0, ρv v = p, (33) que deben ser completadas con las siguientes condiciones de contorno en el infinito y sobre la placa plana: y : u = U, v = 0, p = p, x > 0, y = 0 : v = 0. (34) Puesto que la placa plana se encuentra alineada con la corriente incidente y sobre ésta sólo se puede imponer que la velocidad normal a ella sea nula, la solución al problema es inmediata de obtener: u = U, v = 0, p = p. (35) En definitiva esta solución muestra que la corriente incidente no es afectada por la presencia de la placa plana en ausencia de efectos viscosos. Este resultado concuerda bastante bien con lo que se observa en la realidad. La Figura 5 muestra el flujo alrededor de una placa plana de longitud finita y a un número de Reynolds elevado. Las líneas de corriente, visibles gracias a diminutas burbujas de aire, casi no se deflectan a su paso por la placa plana. Tan sólo muy cerca de la placa plana aparece una zona afectada que resulta ser muy delgada 10

11 Figura 5: Visualización experimental del flujo incompresible alrededor de una placa plana a ángulo de ataque nulo y a un número de Reynolds de en comparación con la longitud de la placa plana: son las capas límite que se forman sobre ambas caras de la placa. El movimiento dentro de estas capas límite viene descrito por las ecuaciones de capa límite deducidas anteriormente. Puesto que la corriente exterior a la capa límite presenta una presión constante, p e = p, el término de presiones es idénticamente nulo, con lo que las ecuaciones a resolver se reducen a u x + v y = 0, (36) u u x + v u y = ν 2 u y 2, (37) con las siguientes condiciones de contorno sobre la placa plana y lejos de ella: x = 0 : u = U, x > 0, y = 0 : u = v = 0, (38) y : u = U. Análogamente, si se prefiere utilizar la función de corriente ψ(x, y) como incógnita del problema, la ecuación diferencial correspondiente también se simplifica en el caso particular del flujo alrededor de una placa plana, quedando finalmente de la manera siguiente: ψ 2 ψ y x y ψ 2 ψ x y 2 = ν 3 ψ y 3, (39) que deberá resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno: 4.1. Solución de Blasius x = 0 : ψ y = U, x > 0, y = 0 : ψ = ψ y = 0, (40) y : ψ y = U. El problema planteado en el apartado anterior no admite solución analítica y por ello debe ser resuelto de forma numérica. A pesar de ello es posible simplificar considerablemente el problema viendo que las ecuaciones de capa límite a resolver admiten una solución 11

12 de semejanza (Blasius 1908). La naturaleza parabólica de las ecuaciones combinada con la ausencia de una dimensión espacial característica (debida a la infinita delgadez de la placa y a su semiinfinita longitud) hacen que la posición x sobre la placa plana juegue el papel de longitud característica del problema. La condición de que los términos convectivos y viscosos sean del mismo orden dentro de la capa límite propociona el orden de magnitud del espesor δ(x) de la capa límite y cómo éste evoluciona a lo largo de la placa plana: u u x + v u y U 2 x Uv c δ = ν 2 u y 2 ν U δ 2 δ νx U. (41) Es interesante ver que la capa límite va creciendo a medida que avanza sobre la placa plana, y que lo hace a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada de x. Por tanto para cada sección x se tendrá un espesor característico δ distinto. Análogamente, la función de corriente, que va a ser la incógnita del problema, también tendrá un valor característico distinto en cada sección: ψ c Uδ νux. (42) Atendiendo a estas estimaciones de los órdenes de magnitud para δ y ψ se van a buscar soluciones de semejanza al problema de la capa límite sobre una placa plana de la forma U η = y 2νx, ψ = 2νUxf(η). (43) donde los factores 2 se introducen por conveniencia. Sustituyendo estas expresiones para la coordenada y y la función de corriente ψ en la ecuación (39) y en las correspondientes condiciones de contorno (40) se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria, llamada ecuación de Blasius, con las correspondientes condiciones de contorno: f + ff = 0, f(0) = f (0) = 0, f ( ) = 1. (44) La solución a este problema diferencial no-lineal, que forzosamente ha de obtenerse numéricamente, resulta ser universal dado que ni en la ecuación ni en las condiciones de contorno aparece parámetro alguno. La Figura 6(a) muestra dicha solución y sus derivadas primera y segunda en función de la variable de semejanza η. Dado que las componentes de la velocidad vienen dadas en función de f(η) por las expresiones siguientes νu u = Uf ( (η), v = ηf f ), (45) 2x la Figura 6(a) muestra, entre otras cosas, el perfil de velocidades longitudinales u. Resulta conveniente comparar dicho perfil de velocidades con mediciones obtenidas experimentalmente con el fin de evaluar cómo de bien aproximan las ecuaciones de capa límite la realidad y como de buena es la solución de semejanza obtenida por Blasius. La Figura 6(b) muestra dicha comparación, en la cual queda de manifiesto la validez de las ecuaciones de capa límite. A partir del perfil de velocidades longitudinales u es posible calcular diversas magnitudes adicionales relacionadas con la capa límite, su evolución a lo largo de la placa 12

13 (a) (b) Figura 6: (a) Solución de semejanza de Blasius para la capa límite que se forma sobre una placa plana semiinfinita alineada con una corriente uniforme. (b) Comparación de la solución de semejanza de Blasius con medidas experimentales. 13

14 plana y su impacto sobre la corriente exterior. Primeramente interesa obtener el espesor de desplazamiento δ, para lo cual se sustituyen las expresiones (45) en su definición (28), obteniéndose finalmente: δ (x) = = ( 1 u ) 2νx dy = 0 U U 0 2νx U [η f(η)] η = ( 1 f ) dη νx U = x Re 1/2 x, (46) donde por conveniencia se ha introducido el número de Reynolds basado en la distancia x de desarrollo de la capa límite sobre la placa plana: Re x = Ux ν. (47) Además del espesor de desplazamiento interesa conocer el esfuerzo de fricción local que ejerce el fluido sobre la placa plana, que en este caso es el único responsable de la fuerza sobre el cuerpo. Nuevamente, sustitutiendo las expresiones (45) en la expresión para el esfuerzo de pared se obtiene: τ w = µ u U U y = µu y=0 2νx f (0) = 0.332µU νx = ρu 2 Re 1/2 x. (48) Una manera conveniente de expresar este esfuerzo de fricción es adimensionalizándolo con la presión dinámica de la corriente 1 2 ρu 2, obteniéndose entonces el llamado coeficiente de fricción local: c f = 1 2 τ w ρu = (49) 2 Re 1/2 x En el caso de que la placa plana sea de longitud finita L, los resultados aquí obtenidos siguen siendo válidos siempre que la coordenada x < L. 5. Efecto del gradiente de presiones En la sección anterior se ha estudiado el caso particular de capa límite en el cual la corriente exterior no impone gradiente de presiones alguno sobre ella. Pero en general la forma del cuerpo da lugar a distribuciones de presiones exteriores p e (x) que no son constantes a lo largo de su superficie. En ese caso es necesario resolver las ecuaciones de capa límite completas, tal como aparecen en (12) y (13): u x + v y u u x + v u y = 1 ρ = 0, (50) dp e dx + ν 2 u y 2. (51) El flujo en la capa límite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que, o bien acelera la corriente (gradiente de presiones favorable: dp e /dx < 0), o bien la frena (gradiente de presiones adverso: dp e /dx > 0). La Figura 7 muestra los diferentes escenarios 14

15 Figura 7: Efecto del gradiente de presiones sobre la evolución de la capa límite. que se pueden dar. Para entender mejor esta figura conviene particularizar la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x justo en la pared: 2 u y 2 = 1 dp e y=0 µ dx. (52) Si el gradiente de presiones es nulo, como sucede en el caso de la placa plana estudiado en la sección anterior, entonces el perfil de velocidades presenta un punto de inflexión situado justo en la pared: Figura 7(b). Dicho punto de inflexión desaparece si el gradiente de presiones es favorable, como se muestra en la Figura 7(a). Si en cambio la capa límite se encuentra con gradientes de presiones adversos, entonces el signo de 2 u debe cambiar entre y 2 la pared y el exterior de la capa límite, por lo que habrá al menos un punto de inflexión en el interior del fluido. Esto hace a la capa límite más susceptible de volverse inestable, porque un punto de inflexión de la velocidad dentro del fluido equivale a un extremo de la vorticidad (ω u y en la aproximación de capa límite) a una cierta distancia de la pared. Si el gradiente de presiones adverso actúa durante suficiente tiempo, entonces se alcanza un punto en el cual el esfuerzo de fricción en la pared se anula, tal como muestra la Figura 7(d): τ w = µ u y = 0. (53) y=0 El punto sobre la superficie del cuerpo en el cual se alcanza esta condición recibe el nombre de punto de separación de la capa límite, y es de gran relevancia para el estudio de flujos a altos números de Reynolds, como ya se ha mencionado anteriormente. Pasado el punto de separación de la capa límite aparece un flujo inverso, mostrado en la Figura 7(e), que no puede ser descrito mediante las ecuaciones de capa límite, puesto que éstas son parabólicas y no admiten que información viaje aguas arriba de la capa 15

16 U πβ Figura 8: Flujo potencial alrededor de una cuña de ángulo πβ. límite. Por tanto las ecuaciones de capa límite describen correctamente la evolución de la capa límite hasta que ésta llega al punto de separación, a partir del cual dejan de ser válidas. El estudio de la singularidad de la solución de las ecuaciones (50) y (51) en el punto de separación se debe a Goldstein (1948). Un estudio más reciente de la capa límite en torno al punto de separación, incluyendo el comienzo de la región de flujo inverso, ha sido llevado a cabo por Smith (1977) usando la teoría de la capa límite interactiva mencionada anteriormente Soluciones de Falkner-Skan Para determinadas distribuciones de velocidades de deslizamiento u e (x), y por tanto de presiones exteriores p e (x), es posible seguir encontrando soluciones de semejanza de las ecuaciones de capa límite. Estas soluciones, descubiertas por Falkner y Skan en 1931, y posteriormente calculadas numéricamente por Hartree en 1937, representan, entre otras, las capas límite que se forman sobre cuñas tales como la representada en la Figura 8. El flujo potencial alrededor de una cuña de ángulo πβ da lugar a una distribución de velocidades de deslizamiento u e (x) a lo largo de la pared de la forma u e (x) = Ax m, (54) donde el exponente m y el ángulo πβ de la cuña están relacionados entre sí a través de la expresión siguiente: β = 2m m + 1. (55) Mediante el análisis dimensional es posible ver que el problema de la capa límite sobre una cuña admite una solución de semejanza en términos de las variables m + 1 u e (x) 2 η = y 2 νx, ψ = m + 1 νxu e(x)f(η). (56) Sustituyendo estas variables en la ecuación (18) para la función de corriente se obtiene el siguiente problema para la función f(η): f + ff + β(1 f 2 ) = 0, f(0) = f (0) = 0, f ( ) = 1. (57) Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa límite sobre una placa plana, y de hecho se reduce a él en el caso particular de β = 0. Al igual que sucede con la ecuación de Blasius, la solución a la ecuación (57) ha de obtenerse numéricamente, 16

17 Figura 9: Soluciones de semejanza de Falkner-Skan para la capa límite que se forma sobre una cuña de ángulo πβ para diferentes valores del parámetro β. aunque en este caso habrá que calcular toda una familia de soluciones en función del parámetro β. La Figura 9 recoge varias de dichas soluciones para diferentes valores de β. Tal como se anticipaba en la discusión general del efecto del gradiente de presiones sobre el comportamiento de la capa límite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientes de presión favorables, hacen que la capa límite se vuelva más delgada y dan lugar a perfiles de velocidades carentes de punto de inflexión. En cambio, valores negativos de β, que se corresponden con gradientes de presión adversos, hacen que el perfil de velocidades longitudinales u presente un punto de inflexión, lo cual hace a la capa límite más susceptible a volverse inestable, como ya se ha comentado en la sección anterior. Finalmente, para el valor especial de β = el esfuerzo de fricción es nulo en cualquier punto de la pared. 6. Efecto de la succión/soplado Se ha visto en las secciones anteriores que cuando el gradiente de presiones es adverso, la capa límite se puede separar de la superficie del cuerpo, alterando significantivamente la solución exterior y con ello la distribución de presiones sobre el cuerpo. Una manera muy eficaz de evitar, o al menos retrasar, el fenómeno de separación de la capa límite consiste en succionar a través de la pared la parte de la capa límite más próxima a ella, en la cual las velocidades son bajas y por tanto es más sensible a los gradiente de presión adversos. La Figura 10 muestra una foto experimental tomada por Ludwig Prandtl en 1904 del efecto que tiene la succión sobre el flujo alrededor de un cilindro. En la parte inferior del cilindro, donde no se aplica succión alguna, se observa que la capa límite se separa poco después de pasar por el punto extremo del cilindro, dando lugar a una elevada resistencia de forma. En cambio la capa límite sobre la parte superior del cilindro permanece adherida hasta bien pasado el punto extremo gracias a la succión que se realiza a través de una delgada rendija visible en la foto experimental. Este resultado tan espectacular hizo que ya durante la Segunda Guerra Mundial se investigara la posibilidad de emplear la succión con el fin de controlar la separación de la capa límite en las alas de los aviones militares. Por ejemplo, la Figura 11 muestra experi- 17

18 Figura 10: Foto experimental del flujo alrededor de un cilindro circular con succión de la capa límite a través de una delgada rendija situada en la parte superior del cilindro. (a) (b) Figura 11: Efecto de la succión en el desprendimiento de la capa límite sobre el ala de un avión en configuración de aterrizaje (con los dispositivos hipersustentadores desplegados). (a) La capa límite se deprende masivamente justo delante del flap. (b) La capa límite permanece adherida al ala gracias a la succión realizada justo antes del dispositivo hipersustentador. mentos realizados en vuelo por los ingenieros alemanes en el año Mediante el pegado de hilos o cintas a la superficie del ala puede visualizarse el estado adherido/separado de la capa límite. En ausencia de succión la Figura 11(a) muestra cómo la capa límite se desprende del ala al no ser capaz de seguir a los dispositivos hipersustentadores que se encuentran desplegados. Por otro lado la succión justo antes de dichos dispositivos hace que la capa límite no se desprenda, tal como se ve en la Figura 11(b). En general el estudio del efecto que tiene la succión o el soplado sobre la evolución de la capa límite requiere resolver numéricamente las ecuaciones (12) y (13) con las siguientes condiciones de contorno: y = 0 : u = 0, v = v w (x), x = 0 : u = u 0 (y), (58) y : u = u e (x), en las cuales la condición de impermeabilidad de la pared ha sido sustituida por una distribución de soplado v w (x) (succión si v w (x) < 0). La influencia del soplado o la succión se manifiesta pues a través de la condición de contorno en y = 0. Para distribuciones generales de succión/soplado será necesario resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales correspondiente, pero si se considera el caso particular de una placa plana a ángulo de ataque nulo con una distribución de succión/soplado v w (x) 18

19 de la forma v w (x) = v w U Re 1/2 x, (59) en la cual vw es una constante arbitraria, entonces es posible volver a encontrar soluciones de semejanza de las ecuaciones de la capa límite, y por tanto reducir el problema a una ecuación diferencial ordinaria, cuya resolución numérica resulta ser mucho más sencilla que la del problema general. Empleando las mismas variables de semejanza que para la solución de Blasius de la sección 4, U η = y 2νx, ψ = 2νUxf(η) (60) se obtiene el siguiente problema diferencial, que salvo por el cambio de una de las condiciones de contorno sobre la placa, es idéntico al planteado por Blasius: f + ff = 0, f(0) = 2v w, f (0) = 0, f ( ) = 1. Nuevamente la familia de soluciones función del parámetro libre vw ha de calcularse numéricamente. La Figura 12 muestra varias soluciones obtenidas para diferentes valores de vw. Para valores negativos de vw, que corresponden a succión, se puede ver que la capa límite se vuelve más delgada. Aparte de hacer que ésta se vuelva más robusta frente al fenómeno de separación, el estrechamiento también tiene el efecto, a veces no deseado, de aumentar los esfuerzos de fricción en la pared, dado que el gradiente de velocidad (τ w = µ u ) será mayor. En el extremo opuesto, para valores positivos de v y=0 w, que y corresponden a soplado, se puede ver en la Figura 12 que la capa límite se vuelve más gruesa y aparece un punto de inflexión en el perfil de velocidades longitudinales u, lo cual hace que la capa límite laminar sea menos robusta frente a la transición a la turbulencia. Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de fricción en la pared disminuyen. Si se sopla lo suficientemente fuerte, es incluso posible llegar a anular el valor de τ w, lo que provoca la separación de la capa límite. Esto sucede para el valor crítico v w =

20 Figura 12: Soluciones de semejanza de las ecuaciones que describen la capa límite que se forma sobre una placa plana a través de la cual se aplica una succión/soplado de la forma v w (x) = v w(u/re 1/2 x ). 20