ÍNDICE GENERAL Estela (bidimensional) lejana Chorro (bidimensional) lejano... 36

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1 Índice general 1. Capa límite laminar Introducción Obtención de las ecuaciones de la capa límite Análisis de los órdenes de magnitud Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius Succión/soplado Soluciones de Falkner-Skan Capa límite térmica Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corriente uniforme Capa límite térmica sobre una cuña Capa límite bidimensional compresible y estacionaria Convección forzada. Temperatura de recuperación Convección forzada. Analogía de Reynolds Convección libre Número de Prandtl grande P r Número de Prandtl pequeño P r Número de Prandtl de orden unidad P r Ecuaciones Placa plana vertical Introducción a los movimientos turbulentos Origen de la turbulencia Escalas de la turbulencia Valores medios. Ecuaciones de Reynolds Ecuación de la continuidad Ecuación de la cantidad de movimiento Ecuación de la energía Ecuación de la energía cinética media y turbulenta Viscosidad turbulenta Teoría del camino de mezcla de Prandtl Modelos de turbulencia Flujos turbulentos esbeltos Turbulencia libre

2 ÍNDICE GENERAL Estela bidimensional) lejana Chorro bidimensional) lejano

3 Capítulo 1 Capa límite laminar 1.1. Introducción En los movimientos a altos números de Reynolds los efectos viscosos son despreciables en la ecuación de cantidad de movimiento. Del mismo modo, los efectos de conducción, en la ecuación de la energía, son despreciables si el producto del Reynolds por el Prandtl es grande. Las ecuaciones resultantes son las ecuaciones de Euler. Esta simplicación lleva implícito el despreciar los términos de mayor orden en las derivadas de la velocidad y de la temperatura, de modo que a las ecuaciones de Euler no se le pueden imponer todas las condiciones de contorno. Como consecuencia de lo anterior, las condiciones de contorno en el movimiento de un uido ideal en presencia de una pared se reducen a decir que la velocidad es tangente a la pared si no hay paso de masa a través de dicha pared) y no se puede imponer ninguna condición a la temperatura del uido en contacto con la pared. Sin embargo, dentro de la aproximación de un uido como medio continuo, se sabe que la velocidad de un uido en contacto con una pared es igual a la velocidad de la pared, y que la temperatura del uido debe coincidir con la temperatura de la pared si a través de dicha pared no hay paso de masa, y en la supercie no hay reacción química ni evaporación ). Para poder imponer todas las condiciones de contorno, es necesario que los términos viscosos y de conducción de calor sean tan importantes como los convectivos. Sin embargo, si se utiliza la longitud característica l del movimiento, el número de Reynolds ρul/µ es muy grande y estos términos serían despreciables. Es evidente, por tanto, que cerca de las paredes donde se deben imponer las condiciones de contorno) la velocidad U y también la temperatura) sufre variaciones del orden de ella Figura 1.1: Capa límite adherida al perl. misma en distancias δ l. El orden de magnitud de δ se determina de la condición de que los efectos viscosos y los de conducción de calor) sean tan importantes como los convectivos en esta región delgada, ya que estos términos deben contar para poder imponer las condiciones de contorno. Esta zona, donde los efectos viscosos son importantes, se denomina capa límite. El primero en indicar la existencia de una zona en la que los efectos viscosos son importantes, 3

4 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 4 a pesar de que el Reynolds del movimiento sea alto, fue Prandtl en La idea de Prandtl de una región donde los efectos viscosos son importantes, claricó multitud de fenómenos que hasta entonces no habían obtenido explicación satisfactoria. En particular explicó el porqué la teoría de uidos ideales altos números de Reynolds) proporciona buenos resultados cuando se quiere determinar la sustentación, o fuerza normal a la dirección de la corriente incidente, sobre un obstáculo, y sin embargo esta teoría es incapaz de determinar la resistencia o componente de la fuerza en la dirección de la corriente incidente). También explicó el fenómeno del desprendimiento de la capa límite en cuerpos romos en general con gradientes adversos de presión), y como consecuencia, la existencia de una resistencia de forma, que no depende de la viscosidad pero es causada por ella. En los cuerpos fuselados la capa límite no se desprende más que en la parte nal del cuerpo como en el caso del perl de la gura 1.1), formando una estela muy delgada que puede tratarse como una supercie de discontinuidad tangencial. En este caso, la resistencia es prácticamente toda ella debida a los esfuerzos viscosos en la pared. Sin embargo, en un cuerpo romo gura 1.2), la capa límite se desprende generando una estela amplia, en este caso la fuerza de resistencia es del orden de la presión Figura 1.2: Estela aguas abajo de un cilindro circular. dinámica ρu 2 ) por el área frontal. Esta fuerza, aunque originada por el desprendimiento de la capa límite, y por lo tanto por la viscosidad, no depende de dicha viscosidad. En un cuerpo fuselado en la que la corriente no está sucientemente alineada con su geometría, puede desprenderse la corriente como en el caso de un cuerpo romo. Este es el caso del perl de gura 1.1 cuando el ángulo de ataque es elevado véase gura 1.3). En el movimiento de los uidos alrededor de cuerpos o en presencia de paredes, si el número de Reynolds es muy alto, hay una capa límite, de espesor δ, en las proximidades de la Figura 1.3: Perl con capa límite desprendida. pared y una región exterior donde los efectos viscosos y de conducción de calor son despreciables. En esta región exterior, las ecuaciones se reducen a las de Euler a las que no se les pueden imponer todas las condiciones de contorno. La solución de Euler proporciona una velocidad tangente a la pared y que varía a lo largo de ella. Esta región exterior de Euler se denomina así porque es la corriente que se ve en el exterior de la capa límite. 1 Prandtl, L., Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, Proc. III Intern. Math. Congress, Heidelberg 1904). La traducción al español puede encontrarse en Versión Crítica en Español del Trabajo de Ludwig Prandtl sobre el Movimiento de Fluidos con Viscosidad muy Pequeña, Ingeniería Aeronáutica y Astronáutica, Nº 328, Julio 1992, por M. Rodríguez y R. Martínez-Val.

5 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR Obtención de las ecuaciones de la capa límite Para la obtención de las ecuaciones de la capa límite se va a considerar, por simplicidad, que el ujo es bidimensional e incompresible. Anticipando que la capa límite es una región delgada en torno a la supercie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa límite, basadas en una familia de curvas paralelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordenadas, x es la distancia medida sobre la supercie del cuerpo desde su borde de ataque o desde el punto de remanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. las coordenadas x, y) no son cartesianas, excepto si la supercie del cuerpo es plana, pero se comportan como tales a todos los efectos si y es pequeña frente al radio de curvatura R de la supercie, que se supondrá del orden de la longitud característica del cuerpo: R l. En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del uido, l es la longitud característica del cuerpo, δ es el espesor característico de la capa límite, v c el valor característico de la velocidad transversal a la capa y δ p el orden de magnitud de las variaciones transversales de presión. los valores de δ, v c y δ p deben determinarse a partir de los balances entre los órdenes de magnitud de los términos dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidad longitudinal debe variar a través de la capa límite desde cero en la supercie del cuerpo a la velocidad de deslizamiento u e x) proporcionada por la solución exterior no viscosa de Euler. La velocidad de deslizamiento es del orden de la velocidad U de la corriente libre, de modo que u U en la capa límite. Las variaciones longitudinales de presión son l p ρu 2, impuestas por la solución exterior Análisis de los órdenes de magnitud Analizando la ecuación de la continuidad u x + v = 0, 1.1) se obtiene U l v c v c U δ U, 1.2) δ l de modo que las velocidades transversales en la capa límite son muy pequeñas comparadas con las longitudinales. Las estimaciones de órdenes de magnitud en la ecuación de cantidad de movimiento según x permite obtener la estimación del espesor δ de la capa límite u u x + v u = 1 p 2 ) u + ν ρ x u ) ν U l 2 ν U δ 2 U 2 l Uvc δ x xp ρl Con la estimación de la velocidad característica transversal v c dada en la ecuación 1.2), los dos términos convectivos de la ecuación 1.3) son del mismo orden y del orden de U 2 /l. A su vez, la difusión de cantidad de movimiento por efectos viscosos a lo largo de la capa límite es despreciable frente a la difusión transversal a la misma, de modo que los términos viscosos son del orden de νu/δ 2. Dado que en la capa límite los efectos viscosos deben ser tan importantes como el que más, el orden de magnitud del espesor de la capa límite debe ser tal que U 2 /l νu/δ 2, lo que proporciona δ νl ν U l Ul l Re l, 1.4)

6 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 6 que al ser el número de Reynolds de la corriente grande, el espesor resulta pequeño frente al tamaño característico l. Otro resultado que pone de maniesto la ecuación 1.3) es que las variaciones longitudinales de la presión impuestas sobre la capa límite por la solución exterior no viscosa de Euler), en la que l p ρu 2, hacen que el término 1 p ρ x sea tan importante como los términos convectivos. Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante en el movimiento del uido tanto en la capa límite como fuera de ella. Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la capa límite, se analiza la ecuación de cantidad de movimiento según el eje y u v x + v v Uvc l v2 c δ ) U 2 + O = 1 p + ν R ρ donde se ha incluido el orden de magnitud O U 2 l δ p ρδ 2 v x v 2 ν vc vc l2 ν δ 2 ), 1.5) ) U 2 R de los términos debidos a la curvatura del cuerpo que pueden llegar a ser importantes en la ecuación, incluso en el caso de curvaturas moderadas R l. Los dos primeros términos del primer miembro de 1.5) son del mismo orden vc 2 δ U 2 δ l l νu 3 l 3, que a su vez es el mismo orden de magnitud que el término de difusión viscosa transversal en esta misma ecuación ν vc νu 3 δ 2 l 3. Estos tres términos son despreciables frente al término de la curvatura, del orden de U 2 l, con lo que el término de presiones, tan importante como el que más, resulta δ p ρu 2 δ l ρu 2 l p. 1.6) Este resultado indica que la presión en la capa límite no varía transversalmente a la misma y es, por tanto, igual a la presión impuesta por la corriente exterior de Euler p x, y) = p e x), 1.7) lo que simplica considerablemente el problema a resolver, ya que la presión deja de ser una incógnita en el estudio de la evolución de la capa límite. Del análisis de los órdenes de magnitud de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento se ha visto que el espesor característico de la capa límite y la velocidad característica transversal resultan ser mucho menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capa límite, y que la presión, que ahora es un dato, varía únicamente a lo largo de la capa límite y no a través de ella Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible De acuerdo con las estimaciones de órdenes de magnitud realizadas, el sistema de ecuaciones que describe el movimiento de un líquido en la capa límite son la ecuación de la continuidad 1.1) junto con la ecuación de cantidad de movimiento u u x + v u = 1 dp e ρ dx + ν 2 u ) Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a la coordenada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento u = 0 sobre la pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior no viscosa. En cambio, las

7 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 7 ecuaciones de capa límite únicamente presentan derivadas primeras de la velocidad transversal v, por lo que únicamente se puede imponer sobre ella la condición de contorno v = 0 sobre la pared. Es de esperar que lejos de la pared, ya en la región exterior a la capa límite, la velocidad transversal v no tienda al valor correspondiente de la corriente exterior. Las condiciones de contorno se reducen a en y = 0 : u = v = 0; en y : u = u e x). 1.9) Además de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condición inicial, en el origen de la capa límite, que proporcione el perl inicial de velocidades en x = 0 : u = u 0 y). 1.10) Por último, la presión exterior p e x) que actúa sobre la capa límite, está relacionada con la velocidad de deslizamiento a través de la ecuación de cantidad de movimiento según la pared du e u e dx = 1 dp e ρ dx. 1.11) Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite El problema denido por las ecuaciones 1.1) y 1.8) y las condiciones de contorno 1.9) y 1.10) es parabólico, a diferencia de las ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son elípticas. Este cambio se debe a que la presión ha dejado de ser una incógnita y a que la difusión viscosa a lo largo de la capa límite se ha despreciado frente a la difusión transversal. En estas condiciones la coordenada longitudinal juega el papel de un pseudo tiempo, según el cual la información únicamente puede propagarse hacia valores crecientes de x. Desde el punto de vista de su resolución numérica, el hecho de que las ecuaciones de la capa límite sean parabólicas presenta una enorme ventaja, ya que el problema puede resolverse como si se tratase de un problema unidimensional de evolución. Existen situaciones de interés en las que la evolución de la capa límite da lugar a perturbaciones de presión que se transmiten a través de la corriente exterior no viscosa y vuelven a inuir sobre el ujo de la capa límite aguas arriba del punto donde tales perturbaciones se originaron. 2 Una propiedad de la capa límite es que sus soluciones no dependen del número de Reynolds. Esto se ve adimensionalizando las magnitudes en la forma ũ = u U, ṽ = v Re U, x = x l, ỹ = y Re l, p = p ρu 2, 1.12) de modo que las ecuaciones 1.1) y 1.8) toman la forma con las condiciones de contorno siguientes ũ x + ṽ ỹ = 0, 1.13) ũ ũ x + ṽ ũ ỹ = d p e d x + 2 ũ ỹ 2, 1.14) ỹ = 0 : ũ = ṽ = 0; ỹ : ũ = ũ e x) ; x = 0 : ũ = ũ 0 ỹ). 1.15) 2 Dichos casos no pueden ser estudiados mediante las ecuaciones de la capa límite presentadas en la sección anterior, y se hace necesario emplear teorías más avanzadas tales como la teoría de capa límite interactiva.

8 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 8 Puede verse que este problema no depende de la viscosidad del uido, sino únicamente de de la forma del cuerpo en torno al cual se forma la capa límite, que se maniesta indirectamente a través de la velocidad de deslizamiento adimensional ũ e x). Las ecuaciones 1.1) y 1.8) pueden reducirse a una ecuación diferencial única mediante la introducción de la función de corriente Ψ de modo que se satisface idénticamente la ecuación de la continuidad u = Ψ/ = Ψ y, v = Ψ/ x = Ψ x ) y la ecuación 1.8) toma la forma Ψ y Ψ xy Ψ x Ψ yy = 1 dp e ρ dx + νψ yyy. 1.16) En términos de la función de corriente, las condiciones de contorno 1.9) y 1.10) se escriben como Ψ x, 0) = Ψ y x, 0) = 0, Ψ y x, ) = u e x), Ψ y 0, y) = u 0 y). 1.17) La resolución de la ecuación 1.16) con las condiciones de contorno 1.17) proporciona las características más importantes de la solución: el perl de velocidades u = Ψ y x, y), el coeciente de rozamiento en la pared τ p = µ u/) y=0 = µψ x, 0) y el espesor δ de la capa límite. Puesto que la región exterior se alcanza de un modo asintótico, existe una arbitrariedad intrínseca en la denición del espesor de la capa límite. Se puede eliminar esta arbitrariedad buscando una denición con un trasfondo físico. La denición más conocida y útil de las existentes es la del llamado espesor de desplazamiento δ. El espesor de desplazamiento se dene como la distancia δ que habría que desplazar la pared sólida hacia el interior de la capa límite para que, supuesto que el uido se mueva con la velocidad exterior, pase por la sección disponible el mismo gasto que pasa por la capa límite original, esto es ˆ ˆ ρudy = ρu e dy, 1.18) 0 δ o bien δ = ˆ 0 1 uue ) dy. 1.19) Otra denición del espesor de la capa límite, de interés en ciertas aplicaciones, es el espesor de cantidad de movimiento δ. Se dene el espesor de cantidad de movimiento como la distancia δ + δ que debe desplazarse la pared hacia el interior del uido para que, supuesto que se mueve con la velocidad exterior u e, pase por la sección disponible un ujo de cantidad de movimiento igual al que pasa por la capa límite original ˆ ˆ ρu 2 dy = ρu 2 edy. 1.20) 0 δ +δ Teniendo en cuenta 1.19) de 1.20) se obtiene δ = ˆ 0 u u e 1 uue ) dy. 1.21) Es fácil demostrar que para una capa límite compresible, los espesores son ˆ δ = 1 ρu ) ˆ ) dy, δ ρu = 1 uue dy. ρ eu e ρ eu e 0

9 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma La solución del problema 1.1, 1.8, 1.9 y 1.10) determina la distribución de velocidad en la capa límite. Esta solución puede desarrollar una singularidad y dejar de existir aguas abajo de un cierto punto, cuando el gradiente de presión que actúa sobre la capa límite es adverso dp e /dx > 0). Esta singularidad se puede identicar con la separación de la capa límite y, cuando ocurre, es esencial determinar su posición, pues de ella depende la estructura del ujo exterior y la distribución de presión sobre el cuerpo. En las guras 1.2 y 1.3 se muestran dos casos en los que la capa límite, incapaz de afrontar el gradiente de presiones adverso impuesto por la corriente exterior, se separa de la supercie del cuerpo y modica sustancialmente la solución exterior no viscosa. El resultado, a primera vista paradójico, es que el cálculo del fallo de la aproximación de capa límite es el elemento más importante de la solución del problema obtenido con esta aproximación. Figura 1.4: Efecto del gradiente de presiones en la evolución de la capa límite. El ujo en la capa límite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que, o bien acelera la corriente gradiente de presiones favorable: dp e /dx < 0; du e /dx > 0), o bien la frena gradiente de presiones adverso: dp e /dx > 0; du e /dx < 0). Particularizando la ecuación de cantidad de movimiento 1.8) en la pared y = 0) se tiene 2 ) u 2 = 1 dp e y=0 µ dx. 1.22) Si el gradiente de presiones es nulo, el perl de velocidades presenta un punto de inexión en la pared como se muestra en la gura 1.4 b). En la gura 1.4 a) se observa que este punto de inexión desaparece cuando el gradiente de presiones es favorable dp e /dx < 0. Si en cambio la capa límite se encuentra con gradientes de presiones adversos dp e /dx > 0), el signo de 2 u 2 debe cambiar entre la pared y el exterior de la capa límite, por lo que habrá al menos un punto de inexión en el interior del uido como se observa en las guras 1.4 c), d) y e). Esto hace a la capa límite más susceptible de volverse inestable, porque un punto de inexión de la velocidad dentro del uido equivale a un valor extremo de la vorticidad ω u ) a una cierta distancia de la pared. Si el gradiente de presiones adverso actúa durante una distancia suciente, se alcanza

10 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 10 un punto en el cual el esfuerzo de fricción en la pared se anula, como se muestra en la gura 1.4 d), ) u τ p = µ = ) y=0 El punto sobre la supercie del cuerpo en el cual se alcanza 1.23) recibe el nombre de punto de separación o desprendimiento de la capa límite, y es de gran relevancia para el estudio de ujos a altos números de Reynolds. En la en la gura 1.4 e) la corriente ya está desprendida. Conviene resaltar que la posición del punto de separación es independiente del número de Reynolds en tanto en cuanto la capa límite se mantenga laminar), y únicamente depende de la forma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuaciones de capa límite mostrada anteriormente. Cuando la capa límite se desprende véase guras 1.2 y 1.3), la diferencia de presiones entre aguas arriba y aguas abajo del cuerpo en la zona desprendida) es del orden de ρu 2, y la fuerza de resistencia del cuerpo es del orden de esta diferencia de presiones por el área frontal del cuerpo A F. Esta es la denominada resistencia de forma D F D F ρu 2 A F. 1.24) Esta resistencia de forma no depende de la viscosidad, pero sin embargo está originada por ella, ya que la determinación del punto de separación depende de la viscosidad. Pero los efectos viscosos también tienen una contribución directa a la fuerza de resistencia ya que, al ser los efectos viscosos importantes en la capa límite, estos ejercerán un esfuerzo de fricción sobre la pared y por tanto proporcionan también una contribución a la resistencia, que denominaremos de fricción D V. Esta resistencia es del orden del esfuerzo en la pared τ p por el área del cuerpo mojada por el uido A m. El esfuerzo de fricción en la pared está dado por τ p = µ u ), 1.25) y=0 y cuyo orden de magnitud es τ p µ U δ ρu 2 Re, 1.26) de modo que la fuerza de fricción es del orden D V τ p A m ρu 2 A m Re. 1.27) La relación entre la resistencia de forma y la de fricción es D V D F A m A F 1 Re. 1.28) Esta estimación muestra que la contribución directa de la viscosidad a la fuerza de resistencia ejercida sobre un cuerpo romo A m A F ) es mucho menor que la resistencia de forma. En el caso particular de un cuerpo aerodinámico en el que la corriente está adherida véase gura 1.1), la resistencia es prácticamente debida a la viscosidad. Si se compara la resistencia, por unidad de longitud, del perl de la gura 1.1, que es del orden de D P ρu 2 c Re, 1.29)

11 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 11 con la resistencia, también por unidad de longitud, del cilindro de la gura 1.2, del orden de D C ρu 2 R, 1.30) es necesario que la cuerda c del perl sea Re veces el radio R del cilindro Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite Como se ha visto anteriormente, cuando el gradiente de presiones es adverso, la capa límite se puede separar de la supercie del cuerpo, alterando signicativamente la solución exterior y con ello la distribución de presiones sobre el cuerpo. Una manera muy ecaz de evitar, o al menos retrasar, el desprendimiento de la capa límite consiste en succionar a través de la pared la capa límite más próxima a ella, en la cual las velocidades son bajas y, por tanto, más sensible a los gradientes de presión adversos. Si en la pared hay una velocidad normal v s distinta de cero debida a la succión o al soplado) la ecuación de cantidad de movimiento 1.8) particularizada en la pared y = 0) toma la forma 2 ) u µ 2 y=0 = dp e dx + ρv s ) u. 1.31) y=0 Figura 1.5: Canal convergente divergente. En la foto superior se muestra el chorro desprendido. En la foto intermedia hay una succión en la pared superior. En la foto inferior hay succión en ambas paredes. En la ecuación 1.31) puede observarse que la velocidad v s hace el mismo papel que un gradiente adverso de presiones si es positiva soplado), mientras que si es negativa succión) hace el papel de un gradiente favorable. Así, si se tiene un gradiente adverso de presiones y una velocidad de succión adecuada, puede conseguirse que la capa límite no se desprenda.. En la gura 1.5 debida a Prandtl) se muestra un canal convergente divergente. La corriente se desprende en forma de chorro a causa del gradiente adverso de presiones en la parte divergente, como puede observarse en la foto superior de la gura. Cuando se introduce una succión en una de las paredes foto intermedia) la corriente queda adherida a ella y se desprende de la otra. Cuando la succión se realiza en ambas paredes, la corriente se queda adherida y sólo se desprende aguas abajo cuando desaparece la succión.

12 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius El ejemplo más sencillo de capa límite laminar es el correspondiente a la capa que se forma sobre una placa plana semiinnita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme de valor U. Al igual que se ha venido haciendo en los apartados anteriores, se va a suponer que la densidad y la viscosidad del uido son constantes. La solución correspondiente a las ecuaciones de Euler, que determinan la corriente exterior es trivial ya que el ujo ideal no resulta afectado por la presencia de la placa, de modo que la solución es u = U, v = 0, p = p. 1.32) Figura 1.6: Flujo incompresible alrededor de una placa plana a ángulo de ataque nulo y a un Reynolds de con las condiciones de contorno Este resultado concuerda bastante bien con lo observado en la realidad. en la gura 1.6 se muestra el ujo alrededor de una placa plana de longitud nita y a un número de Reynolds elevado. Las líneas de corriente casi no se deectan a su paso por la placa. Tan sólo muy cerca de la placa aparece una zona afectada que resulta ser muy delgada en comparación con la longitud de la placa: Estas zonas son las capas límites que se forman sobre ambas caras de la placa. El movimiento dentro de estas capas límites viene descrito por la ecuación 1.16) pero sin gradiente de presiones, ya que la presión exterior es p e = p, de modo que la ecuación queda Ψ y Ψ xy Ψ x Ψ yy = νψ yyy, 1.33) x = 0 : Ψ y = U; y = 0 : Ψ = Ψ y = 0; y : Ψ y = U. 1.34) El problema planteado no admite solución analítica, pero puede simplicarse considerablemente viendo que la ecuación y condiciones de contorno admiten solución de semejanza. En efecto, la ecuación 1.33) y las condiciones 1.34) pueden reescribirse en la forma x = 0 : Ψ/ ν) y/ ν) Ψ/ ν) y/ ν) = U; 2 Ψ/ ν) x y/ ν) Ψ/ ν) x y ν = 0 : de modo que la solución es de la forma y el análisis dimensional proporciona 2 Ψ/ ν) y/ ν) 2 Ψ = Ψ/ ν) ν y/ ν) = 0; Ψ ν = F x, Ψ 2νUx = f = 3 Ψ/ ν) y/ ν) 3, 1.35) y ν : Ψ/ ν) y/ ν) = U, 1.36) ) y, U, 1.37) ν ) U y, 1.38) 2νx

13 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 13 donde el factor numérico 2 se ha introducido por conveniencia. Llamando U η = y 2νx, 1.39) la solución es de la forma Ψ = 2νUx f η) ; u = U f η) ; v = νu 2x ) ηf f. 1.40) Sustituyendo el valor de Ψ, dado en 1.38), en función de η, dado en 1.39), en la ecuación 1.34) se obtiene la ecuación diferencial d 3 f dη 3 + f d2 f dη 2 = 0, f 0) = f 0) = 0, f ) = ) Figura 1.7: Solución de semejanza de Blasius para la capa límite sobre una placa plana semiinnita alineada con una corriente uniforme. La solución de este problema diferencial no lineal, que ha de obtenerse numéricamente, resulta ser universal dado que ni en la ecuación ni en las condiciones de contorno aparece parámetro alguno. La solución de este problema fue dada por Blasius en En la gura 1.7 se muestra la solución de 1.41) donde puede observarse que el valor de f 0) = 0,4696 y que el valor de lim [η f η)] = 1,217. Estos valores se utilizarán a continuación. η Conocida la solución, se puede determinar el espesor de desplazamiento ˆ δ x) = 1 u ) ˆ 2νx dy = 1 f ) 2νx dη = 0 U U 0 U [η f] η = 1,721 x, 1.42) Rex 4 Paul Richard Heinrich Blasius ). THE BOUNDARY LAYERS IN FLUIDS WITH LITTLE FRICTION, NACA-TM ), traducción inglesa de Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung, Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band 56, Heft 1, 1908.

14 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 14 donde Re x = Ux/ν. El esfuerzo de fricción que el uido ejerce sobre la placa, que en este caso es el único responsable de la fuerza sobre el cuerpo, se obtiene de τ p = µ ) u = µu y=0 U 2νx f 0) = 0, µu que puede expresarse en forma del coeciente de fricción local c f = El lector puede mostrar que el espesor de cantidad de movimiento es τ p U νx = 0,332ρU 2 Rex, 1.43) 0,664 1 =. 1.44) 2ρU 2 Rex δ = 0,664 x Rex. 1.45) En el caso en que la placa plana sea de longitud nita L, los resultados obtenidos siguen siendo válidos para x < L Succión/soplado La capa límite de una placa plana con succión o soplado sigue siendo autosemejante si la velocidad de succión/soplado es de la forma ν v y=0 = vωu Ux, 1.46) donde vω es el parámetro adimensional de succión/soplado constante. En estas condiciones, la ecuación a resolver sigue siendo la ecuación 1.41), donde hay que cambiar la condición de contorno f 0) = 0 por la condición f 0) = 2v ω, ya que en este caso la velocidad v) y=0 ) = νu 2x η df dη f = νu η=0 2x f 0). A diferencia de la solución de Blasius que está libre de parámetros, en el caso de succión/soplado hay un parámetro libre vω. En la gura 1.8) se muestran varias soluciones obtenidas para diferentes valores de este parámetro. Para valores negativos de vω, que corresponden a la succión y es equivalente a un gradiente favorable de presiones, se puede ver que la capa límite se vuelve más delgada. Aparte de hacer que ésta se vuelva más robusta frente al fenómeno de separación, el estrechamiento tiene el efecto, a veces no deseable, de aumentar el esfuerzo de fricción en la pared τ p = µ du/dy) y=0 ) por ser mayor el gradiente de velocidad. En el extremo opuesto, para Figura 1.8: Solución de semejanza de las ecuaciones de la capa límite sobre una placa plana, a través de la cual se aplica una succión/soplado de la forma v y=0 = vωu valores positivos de vω, equivalente a un gradiente adverso de presión, que corresponden al ν. Ux soplado, se puede ver en la gura 1.8) que la capa límite se vuelve más gruesa y aparece un punto de inexión en el perl de velocidades

15 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 15 longitudinales u, lo que hace que la capa límite sea menos robusta frente a la transición a la turbulencia. Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de fricción en la pared disminuyen. Si el soplado es lo sucientemente intenso, es posible llegar a anular el valor de τ p, lo que provoca la separación de la capa límite. Esto sucede para el valor crítico v ω = 0, Soluciones de Falkner-Skan Figura 1.9: Conguración de una cuña y su corriente exterior. Para determinadas soluciones de velocidades de deslizamiento u e x), y por tanto de presiones exteriores p e x), es posible seguir encontrando soluciones de semejanza de las ecuaciones de la capa límite. Estas soluciones, descubiertas por Falkner y Skan en 1931, y posteriormente calculadas numéricamente por Hartree en 1937, representan las capas límites que se forman sobre cuñas como la representada en la gura 1.9. El ujo potencial alrededor de una cuña de ángulo πβ da lugar a una distribución de velocidades de deslizamiento a lo largo de la pared de la forma u e x) = Ax m, 1.47) donde el exponente m y el ángulo β de la cuña están relacionados mediante la expresión Figura 1.10: Conguraciones límites correspondientes a una placa plana y a un punto de remanso. β = 2m m ) Cuando m = 0 es β = 0 y el ángulo de la cuña es nulo y de la ecuación 1.47) se obtiene u e x) = A = constante, que es la corriente exterior a una placa plana. Cuando m = 1 se tiene β = 1 y el ángulo de la cuña es π y la velocidad exterior es u e x) = Ax, que corresponde a la corriente en el entorno de un punto de remanso véase gura 1.10). De acuerdo con 1.47), el gradiente de presiones está dado por 1 dp e ρ dx = u du e e dx = mu2 e x, 1.49) de modo que es favorable cuando m > 0 y adverso cuando m < 0. El gradiente de presiones es favorable cuando 0 m lo que implica 0 β 2. Cuando β 0 se tiene 1 m 0 y el gradiente de presiones es adverso pero, como se verá más adelante, no existe solución cuando β = 0,1988 que corresponde al desprendimiento m = 0,09043). Utilizando el análisis dimensional es posible ver que el problema de la capa límite sobre una cuña admite solución de semejanza en términos de las variables u e x) η = y 2 β) νx, Ψ = 2 β) νxu e x) f η). 1.50)

16 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 16 Las componentes de la velocidad son u = u e x) f η) ; v = νu e x) 2 β) x [ 1 β) η df ] dη f η), 1.51) donde la expresión de Ψ dada en 1.50)) y la de v dada en 1.51)) coinciden con los respectivos valores de la solución de Blasius, dados en 1.40), cuando β = 0. Sustituyendo las variables 1.50), junto con 1.49) en la ecuación 1.16) se obtiene el siguiente problema para la función f η) d 3 f dη 3 + f d2 f dη 2 + β [ 1 ) ] df 2 = 0, f 0) = f 0) = 0, f ) = ) dη Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa límite sobre una placa plana, y de hecho se reduce a él en el caso β = 0. Al igual que sucede con la ecuación de Blasius, la solución de 1.52) ha de obtenerse numéricamente, aunque en este caso habrá que calcular toda una familia de soluciones en función del parámetro β. Una vez conocida la función f η), se puede determinar el esfuerzo en la pared y los distintos espesores de la capa límite. El esfuerzo en la pared es τ p = µ u ) y=0 = ρu 2 e x) f 0, β) m + 1 2Re x, 1.53) donde Re x = xuex) ν es el número de Reynolds basado en la distancia x a lo largo de la pared y en la velocidad exterior u e x) dada en 1.47). El coeciente de fricción es τ p c f x) = 1 2 ρu2 e x) = 2 m + 1) f 2f 0, β) 0, β) =. 1.54) Re x 2 β) Rex El espesor de desplazamiento está dado por 2 β δ = x Re x y el de cantidad de movimiento por { } lim [η f η)], 1.55) η 2 β f 0, β) β lim [η f η)] δ η = x Re x 1 + β. 1.56) Como puede observarse en las ecuaciones 1.54), 1.55) y 1.56) además de conocer la solución f η), son necesarios los valores de f 0, β) y de lim η [η f η)] para poder determinar el coe- ciente de fricción y los espesores de la capa límite. En la Tabla 1.1 se dan los valores de estas magnitudes en función de β. En la gura 1.11 se recogen varios perles de velocidad f η, β) para diferentes valores de β. Tal como se anticipaba en la discusión general del efecto del gradiente de presiones sobre el comportamiento de la capa límite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientes de presión favorables, hacen que la capa límite se vuelva más delgada y dan lugar a perles de velocidades carentes de punto de inexión. En cambio, valores negativos de β, que se corresponden con gradientes de presión adversos, hacen que el perl de velocidades longitudinales u presente un punto de inexión, lo cual hace a la capa límite más susceptible a volverse inestable. Finalmente, para el valor especial de β = 0,198 el esfuerzo de fricción es nulo en cualquier punto de la pared.

17 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 17 Figura 1.11: Perles de velocidad de Falkner-Skan en función de β Capa límite térmica β f 0, β) lim [η f η)] η Cuadro 1.1: Valores de las constantes determinadas de la solución. Considerando el ujo bidimensional e incompresible, como hasta ahora, la ecuación de la energía es ρc u T x + v T ) 2 ) T = k x T 2 + Φ v, 1.57) donde c es el calor especíco del líquido, k su conductividad térmica y Φ v la disipación viscosa. En un movimiento a altos números de Reynolds, se ha visto que los efectos viscosos son despreciables en la mayor parte del campo uido, excepto en una capa delgada cercana a la pared capa límite) donde los efectos viscosos y convectivos son del mismo orden, para poder imponer la condición de contorno de velocidad nula relativa a la pared. En el caso de la ecuación de la energía sucede algo similar con la temperatura: hay que imponer la condición de que la temperatura de la pared y del uido coinciden, y esto no es posible si no cuentan la conductividad térmica. Los efectos de conducción quedan relegados a una capa delgada denominada capa límite térmica de espesor δ T l si el producto del número de Reynolds por el de Prandtl es grande frente a la unidad. Para la obtención del orden de magnitud de la capa límite

18 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 18 térmica, se estima el orden de cada uno de los términos de la ecuación 1.57) ρc u T x + v T ) ρcu T l ρcvc T δ 2 ) T = k x T 2 k T l 2 k T δ 2 T + Φ v µ U δ ) 2, 1.58) donde los dos términos convectivos son del mismo orden como consecuencia de 1.2). El término más importante de la disipación viscosa es µ u/) 2, de ahí el orden de magnitud µ U/δ) 2 de la ecuación 1.58). Si se compara el término más importante de la conducción k T/δT 2 con el término convectivo ρcu T/l, el orden de magnitud de δ T es δ T l k ρcul k µ µc ρul 1, 1.59) ReP r donde P r = µc/k es el número de Prandtl. Al producto P e = ReP r se le denomina número de Peclet. El orden de magnitud de la disipación viscosa comparado con el término de conducción o el convectivo, ya que ambos son del mismo orden) es µu 2 /δ 2 k T/δ 2 T µc k U 2 c T δt δ ) 2 U 2 c T. 1.60) El cociente U 2 /c T es, para los líquidos, un número muy pequeño frente a la unidad 5. La relación entre el espesor de la capa límite térmica y la viscosa es δ T δ 1 P r, 1.61) de modo que si el número de Prandtl es de orden unidad, como ocurre en el caso de los gases, los espesores de ambas capas son del mismo orden. Cuando el número de Prandtl es muy grande, lo que ocurre en líquidos en los que la viscosidad cinemática, ν = µ/ρ, es mucho mayor que la difusitividad térmica, α = k/ρc, la relación 1.61) indica que el espesor de la capa térmica es mucho menos que el de la viscosa. Lo que ocurre físicamente es que al ser ν α, la capacidad del uido para transportar cantidad de movimiento es mucho mayor que para transportar calor, por lo que los efectos viscosos asociados a la presencia de la pared penetran en el uido una distancia mucho mayor que los térmicos, asociados también a la presencia de la pared. Dado que δ T δ, la velocidad en la capa límite térmica no es del orden de U, sino que es del orden de Uy/δ Uδ T /δ y en ese caso la estimación de δ T dada en 1.59) no es correcta, ya que el término convectivo sería del orden de ρu δ T /δ) c T/l y el de conducción del orden de k T/δ 2 T, y su relación, que debe ser de orden unidad, proporciona ρucδ 3 T klδ 1, δt l ) 3 Re 3/2 P r 1, δ T δ P r 1/ ) En el caso contrario, cuando el número de Prandtl sea mucho menor que la unidad, lo que corresponde al caso de metales líquidos, se obtiene el resultado opuesto. En este caso, P r 1, al ser δ T δ, la capa límite térmica está prácticamente toda ella en la región no viscosa, de modo que la velocidad puede aproximarse por u e. 5 Con una diferencia de temperaturas de 10 K, el denominador es del orden de 10 4 m/s) 2, mientras que las velocidades en los líquidos son del orden del m/s, de modo que este número es del orden de 10 3 ó 10 4.

19 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 19 El ujo de calor en la pared dado por q p = k T/) y=0, es del orden q p k T/δ T, de modo que el número de Nusselt Nu = q p l/k T l/δ T ReP r salvo en el caso en que δ T δ, para el que se obtiene Nu Re 1/2 P r 1/3. Resumiendo lo anterior, la ecuación de la energía en la capa límite térmica se reduce a ρc a integrar con las condiciones de contorno u T x + v T ) = k 2 T 2, 1.63) T = T p en y = 0; T = T e en y ; T = T i y) en x = ) La condición de contorno en y = 0 se sustituye por T/ = 0, si la pared está aislada térmicamente Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corriente uniforme Si se considera el problema de Blasius en el que la corriente uniforme U está a la temperatura T y la placa a la temperatura T p, sigue existiendo solución de semejanza y la ecuación de la energía 1.63) puede escribirse en la forma donde d 2 θ dθ + P r f η) dη2 dη = 0, 1.65) θ = T T T p T, 1.66) y tanto η como f η) son las dadas en 1.39) y 1.38) respectivamente. Las condiciones de contorno para la ecuación 1.65) son θ 0) = 1 y θ ) = 0. La solución al problema planteado es debida a Pohlhausen 1921) { η exp P r con θ = ) dθ = dη η=0 η 0 0 fdη)} dη { η exp P r 0 fdη)} dη, 1.67) {[ˆ 0 exp P r ˆ η 0 )] 1 fdη dη}, 1.68) que permite determinar el ujo de calor en la placa, que está dado por ) ) dt U dθ q p = k = k T p T ), 1.69) dy y=0 2νx dη η=0 que en forma adimensional es Nu = q p x 1 k T p T ) = 2 Re x ) dθ, 1.70) dη η=0 donde Nu es el número de Nusselt y Re x = Ux/ν. En la Tabla 1.2 se dan los valores de dθ/dη) η=0 en función del número de Prandtl, y que son necesarios para determinar el número de Nusselt. En el rango de valores de 0,1 P r el número de Nusselt puede aproximarse por la relación Nu = 0,332Re 1/2 x P r 1/ )

20 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 20 Figura 1.12: Distribuciones de temperatura adimensional para distintos valores del número de Prandtl. ) P r dθ dη η=0 ) P r dθ dη η= En la gura 1.12 se muestra la distribución de temperaturas en función de η, para diferentes valores del número de Prandtl. Cuadro 1.2: Valores de dθ/dη) η=0 en función del número de Prandtl Capa límite térmica sobre una cuña En el caso de las soluciones de semejanza de Falkner-Skan, también existe solución de semejanza para la ecuación de la energía, que sigue siendo la misma dada en 1.65) y con las mismas condiciones de contorno, pero para este caso el número de Nusselt está dado por 2xu e x) Nu = G P r, β) 2 β) ν, 1.72) siendo {[ˆ G P r, β) = que también puede escribirse en la forma Nu = 0 q p x k T p T ) = ˆ η )] 1 exp P r fdη dη}, 1.73) 0 Re x 2 β ) dθ. 1.74) dη η=0

21 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 21 Cuadro 1.3: Valores de dθ/dη) η=0 en función de β y del número de Prandtl. Recuérdese que η y f η, β) están denidas en 1.50) y que Re x es aquí Re x = x u e x) /ν. En la Tabla 1.3 se muestran los valores de dθ/dθ) η=0 en función de β y del número de Prandtl, que determinan el número de Nusselt 1.74) Capa límite bidimensional compresible y estacionaria Los órdenes de magnitud estimados para las ecuaciones del ujo incompresible en la capa límite, siguen siendo válidos para el caso compresible, sin embargo se van a incluir los términos correspondientes a las fuerzas másicas f m que son importantes cuando se quiere estudiar la convección libre. Las ecuaciones son ρu) x + ρv) ρu u u + ρv x = p x + ρf mx + = 0, 1.75) µ u ), 1.76) 0 = p + ρf my, 1.77) ρu h 0 x + ρv h 0 = k T ) + µu u ) + ρuf mx, 1.78) u 2 + v 2) h u2 es la entalpía de remanso y h = c p T la entalpía. Las donde h 0 = h componentes de las fuerzas másicas según los ejes x e y son f mx y f my respectivamente. Si se descompone la presión en dos sumandos p = p h +p m, uno p h debido al campo hidrostático p h = ρ fm ), que corresponde al campo de presiones de un medio en reposo con densidad ρ constante, y la otra p m asociada al movimiento, la ecuación 1.76) puede reescribirse en la forma ρu u u + ρv x = p m x + ρ ρ ) f mx + mientras que la ecuación 1.77) se reduce a µ u ), 1.79) 0 = p m + ρ ρ ) f my. 1.80)

22 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 22 En esta última ecuación, el incremento transversal de p m es: y p m ρ ρ ) f my δ; mientras que de 1.79) se obtiene: x p m ρ ρ ) f mx l 6. La relación entre ambos incrementos de presión es y p m / x p m δ/l 1 y en primera aproximación la ecuación 1.80) se reduce a decir que la presión p m no varía con y, de modo que p m = p me x). La ecuación 1.79) toma la forma nal ρu u u + ρv x = dp me dx + ρ ρ ) f mx + µ u ). 1.81) Las condiciones de contorno para integrar las ecuaciones 1.75), 1.78) y 1.81) son En y = 0 : u = 0; v = 0 ó v = v s si hay succión/soplado); h 0 = h p ó T = 0 si pared aislada), 1.82) En y : u = u e x) ; h 0 = h 0e, 1.83) En x = 0 : u = u i y) ; h 0 = h oi, 1.84) donde v s es la velocidad de succión o soplado y h p es la entalpía a la temperatura de la pared. La velocidad u e y la entalpía de remanso h 0e en la corriente exterior satisfacen las ecuaciones ρ e u e du e dx = dp me dx + ρ e ρ ) f mx, 1.85) dh 0e ρ e u e dx = ρ eu e f mx. 1.86) La importancia relativa de las fuerzas de otabilidad ρ e ρ ) f mx frente a los de inercia en la ecuación 1.81) viene dada por el número adimensional ρ ρ ) f mx l ρ u 2 e [ρ ρ ) /ρ ] f m l 3 ν 2 ) ν 2 Gr u e l Re 2, 1.87) donde Gr = [ρ ρ ) /ρ ] f m l 3 /ν 2 es el número de Grashof. 7 Las fuerzas de otabilidad son despreciables y la convección se denomina forzada cuando Gr/Re 2 1, y en este caso las fuerzas másicas no juegan ningún papel. Por el contrario, cuando u e ρ ρ ) f m l/ρ las fuerzas de otabilidad son dominantes y son las responsables del movimiento del uido. En este caso la velocidad en la capa límite no es del orden u e, sino que es del orden de ρ ρ ) f m l/ρ. Para que exista capa límite es necesario que el Reynolds basado en la longitud característica l sea alto, pero dado que la velocidad característica no es u e sino que es ρ ρ ) f m l/ρ, el número de Reynolds es l ρ ρ ) f m l/ρ ν [ρ ρ ) /ρ ] f m l 3 ν 2 Gr, 1.88) y el espesor de la capa límite es δ/l Gr 1/4. Cuando esto ocurre la convección se denomina libre o natural. 6 El término de presiones es del orden citado si la convección natural es importante. En ese caso la velocidad característica sería tal que ρu 2 c ρ ρ ) f mxl y el espesor de la capa límite viscosa es del orden de δ l 1 Re 7 La denición clásica del número de Grashof es µ ρl ρ ρ ρ 1. f mxl β T fml3 Gr =, ν 2 donde se ha sustituido [ρ ρ ) /ρ ] = β T, siendo β el coeciente de expansión térmica.

23 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR Convección forzada. Temperatura de recuperación Como se ha visto, en la convección forzada los efectos de las fuerzas másicas son despreciables. La ecuación 1.78) de la energía puede eliminarse el trabajo de las fuerzas másicas y escribirse en la forma ρu h 0 x + ρv h 0 = µ h ) P r P r [ µ h 0 12 )] u2, 1.89) donde P r = µc p /k es el número de Prandtl. Cuando el número de Prandtl es igual a la unidad, la ecuación 1.89) anterior toma la forma simplicada ρu h 0 x + ρv h 0 = µ h ) ) Cuando la pared está aislada térmicamente, la condición de ujo de calor nulo en la pared se traduce en h 0 /) y=0 = 0, ya que [u u/)] y=0 = 0 por ser u x, 0) = 0. La solución de 1.90) con las condiciones h 0 /) y=0 = 0 y h 0 ) y = h 0e es h 0 = h 0e. Esto signica que la entalpía a la temperatura de la pared coincide con la entalpía de remanso de la corriente exterior, que traducido a temperaturas es T p = T 0e = T e 1 + γ 1 ) Me 2, 1.91) 2 donde T e x) es la temperatura y M e x) el número de Mach de la corriente exterior. Debido a que el número de Prandtl es un poco menor que la unidad, la ecuación 1.89) indica que la temperatura de la pared va a ser un poco menor que la de remanso exterior T p = T e 1 + R γ 1 ) Me 2, 1.92) 2 donde R es el factor de recuperación, función del número de Prandtl, que es menor que la unidad pero próximo a uno. El factor de recuperación es una medida del incremento de temperatura de la pared con respecto a la temperatura de la corriente exterior debido al término dinámico, ya que 1.92) puede también escribirse en la forma T p T e = R u 2 e/2c p ). El factor de recuperación para una capa límite laminar sin gradiente de presiones varía aproximadamente como R P r y apenas varía con el número de Mach véase Shapiro, 1954, p 1056). Cuando la capa límite es turbulenta el factor de recuperación puede aproximarse por R P r) c f, donde c f es el coeciente de fricción véase Shapiro, 1954, p 1099) Convección forzada. Analogía de Reynolds En la capa límite de una placa plana la corriente exterior es uniforme, de modo que u e es constante, lo mismo que la presión y la temperatura. Por lo tanto dp e /dx = 0 y h 0e también es constante. Si la placa está a temperatura constante T p h p = c p T p ) y si el número de Prandtl es la unidad, la ecuación 1.90) de la energía puede escribirse en la forma ρu θ θ + ρv x = µ θ ), 1.93) donde θ = h 0 h p h 0e h p. 1.94)

24 CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 24 Las condiciones de contorno para la ecuación 1.93) son θ = 0 en y = 0; θ = 1 en y. 1.95) La ecuación de cantidad de movimiento 1.76) sin gradiente de presiones y utilizando la variable χ = u/u e, toma la forma ρu χ χ + ρv x = µ χ ), 1.96) que debe integrarse con las condiciones χ = 0 en y = 0; χ = 1 en y. 1.97) Como puede verse, la ecuación 1.93) y las condiciones de contorno 1.95) para θ son idénticas a la ecuación 1.96) y a las condiciones de contorno 1.97) para χ. Como consecuencia las soluciones deben ser θ x, y) χ x, y). 8 El ujo de calor en la placa está dado por q p = k T ) y=0 mientras que el esfuerzo en la pared es ) u τ p = µ y=0 donde c f es el coeciente de fricción. De la ecuación 1.98) se obtiene ) θ y=0 y de la ecuación 1.99) se tiene y de la igualdad de ambas derivadas se deduce = k c p h 0e h p ) ) θ, 1.98) y=0 ) χ = µu e = 1 y=0 2 c f ρ e u 2 e, 1.99) = c p q p k h p h 0e ), ) χ = 1 y=0 2 c ρ e u e f µ, 1 2 c f = q p = St, 1.100) ρ e u e h p h 0e ) donde St es el número de Stanton y donde se ha hecho uso de la igualdad P r = µc p /k = 1. La analogía de Reynolds indica que el número de Stanton es igual a la mitad del coeciente de fricción. 9 El ujo de calor en la pared toma la forma q p = 1 2 c f ρ e u e h p h e 1 ) 2 u2 e ) 8 También sería necesario que θ i y) χ i y). 9 Obsérvese que si la energía cienética es muy pequeña comparada con la térmica, el número de Stanton puede escribirse como q p St = ρ eu e h p h = q pl k µ 0e) k T p T e) µc p ρ = Nu eu el P rre, de modo que el número de Nusselt es el producto del número de Stanton, por el Reynolds y por el Prandtl.