ECUACIONES ADIMENSIONALES Y ORDENES DE MAGNITUD

Transcripción

1 CUACIONS ADIMNSIONAS Y ORDNS D MAGNITUD Prof. C. Dopazo Área de Mecánica de Fluidos Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Septiembre 2005 Índice PROBMA TRMICO 4 2 PROBMA MASICO 5 3 ORDNS D MAGNITUD 6 4 NOTA 7

2 n U i g = - g k Figura : gura n este capítulo se va a ilustrar la manera de usar las ecuaciones de transporte en forma adimensional, a través del análisis del problema dinámico. n particular, se va a estudiar el ujo alrededor de un obstáculo en reposo de longitud característica, sobre el cual sopla un uido de densidad y viscosidad µ constantes con velocidad U. Con estas hipótesis los problemas térmico y másico están desacoplados del problema dinámico. n coordenadas cartesianas con vectores unitarios i, j, k, las ecuaciones y condiciones de contorno que denen este último son: υ j x j = 0 ) υ i t + υ υ i j = p + µ 2 υ i gk 2) x j x i x j x j Para x, υ Ui Sobre, υ = 0 as variables independientes, x y t, y las dependientes, υ y p, se pueden hacer adimensionales usando los valores característicos, τ o,, U y p) se denen t = τ o t, x j = x j, υ j = Uυ j, p = p) p 3) donde las variables con primas son adimensionales. τ o estaría relacionado con el tiempo en que la velocidad U varía signicativamente tiempo de arranque de un ventilador, período de desprendimiento de vórtices, etc.). p) es la presión característica o variaciones de presión característica. as ecuaciones anteriores expresadas en términos de las variables adimensionales son: U ) υ i τ o t } {{ + } Aceleración temporal U 2 ) υ j υ i ) U υ j x j x j Aceleración convectiva o Fuerzas de Inercia = 0 ) ) p = x i Fuerzas de presión + µ U ) 2 υ i 2 x + g ) i k j x j Fuerzas gravitatorias Fuerzas viscosas Para x, υ ) i Sobre S 0, υ = 0 l problema se ha transformado de x a x, de forma que en x se resuelve un problema para un obstáculo de dimensión característica unidad sobre el que sopla un uido con velocidad de módulo unidad. os factores entre paréntesis que premultiplican cada término en las ecuaciones, tienen dimensiones idénticas para todos) y dan una idea de la magnitud de cada término. Se hace adimensional la ecuación dividiendo por uno de ellos; tradicionalmente se divide por ) U 2 que da la magnitud de las fuerzas de inercia. as ecuaciones adimensionales quedan, pues, 4) ) υ i Uτ o t + ) υ j υ i x j υ j x j ) p = U 2 = 0 5) x i + U 2 g )i gi + U µ ) 2 υ i x j x j 6) 2

3 x x Ui n ) i n S o Figura 2: gura n la ecuación anterior, los factores entre paréntesis que premultiplican cada término son adimensionales e indican la importancia relativa de cada término comparado con las fuerzas de inercia. l número de Strouhal, St = Uτ o, es una relación entre el tiempo de residencia /U y el tiempo característico de variación de U; si se trata de un fenómeno de desprendimiento de vórtices τ o ω donde ω es la frecuencia de desprendimiento. /U da una idea del tiempo que una partícula uida permanece en contacto con el obstáculo. l número de uler, u = U, expresa la relación entre las fuerzas de presión y las de inercia. Siempre que 2 las fuerzas de inercia sean relevantes en un problema, se hace siempre u = y = U 2, que indica que las variaciones de presión característica son del orden de la presión dinámica. l número de Froude, Fr = U 2 g, es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias. Suele ser importante cerca de supercies libre e.g., estudios dehidrodinámica de barcos o cuerpos otantes). l número de Reynolds, Re = U µ, expresa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. Para un coche de 4 m que se mueve en el aire a 00 km/h U = 27, 78 m/s) F r = 20, Re = 27, 78 m/s 4 m, m 2 /s = 7, ) Si U = const y τ o = entonces St = 0. n esas condiciones, las ecuaciones se aproximarían por: υ j x j = 0 8) υ j υ i x j = p x + i Re 2 υ i x i x j a tentación de despreciar el término viscoso dado que Re > es lógica. Sin embargo, eso sería incorrecto cerca del obstáculo donde Re 2 υ i x i x j en la capa límite. a fuerza del uido sobre el obstáculo se calculará, una vez obtenidos υ y p como funciones de x, como la integral de supercie F F/o = pn τ n) ds = = U 2 2 υ j υ i x j U 2 p n µ U ) τ ) n 2 ds S o 9) 0) p n ) τ ) n ds ) R e De donde F F/o 2 U 2 = 2 p n ) 2 S Re τ ) n ds = C F/o 2) o Si para dos problemas los números de Reynolds son iguales, Re = Re 2, los campos de velocidad y de presión adimensionales, υ x ) y p x ) serán idénticos y, por tanto, C F/o = C F/o2. l coeciente de fuerza C F/o Re) es sólo función del número de Reynolds y se suele descomponer en coeciente de resistencia, C D, en la dirección de U y coeciente de sustentación en dirección perpendicular a U. 3

4 U i U 2 i 2 Figura 3: gura PROBMA TRMICO Se ilustra la adimensionalización del problema térmico para un ujo sin reacciones químicas, cuya ecuación de la energía se puede escribir como C p T t C p T τo + C p υ j T xj C pu T = k 2 T x j x j 2 q R q Ro + φ v }{{} µ U2 2 + p t }{{} τo + υ j p x j U Debajo de cada término se ha escrito su parte dimensional que indica, asimismo, su orden de magnitud. Dividiendo cada uno de esos ordenes de magnitud por el de la convección de energía se tienen los siguientes números adimensionales Uτ o U α q Ro UC p T ) donde α = k C p l número de Peclet, Pe = U α n función del número de Prandtl, Pr = ν α U 2 C p T ) Re St C p T ) C p T ) es la difusividad térmica., es la relación entre la convección de energía y la conducción de calor. l número adimensional, N R =, Pe = Re Pr. q R o U C p T ), indica la importancia relativa de la radiación y de la convección. U l número de ckert, 2 c C p T ), da idea de la importancia relativa de la energía cinética y del salto de entalpía. l número adimensional, C p T ), se puede escribir en términos del número de ckert si los efectos de compresibilidad no son importantes dado que U 2. Si hubiese ondas de presión en el ujo, Ua, donde a es la velocidad de propagación de las ondas en este caso C p T ) c M, donde M = U a es el número de Mach. l número de Mach es un buen indicador de la importancia de los efectos de compresibilidad: calor. a 2 l intercambio energético entre una supercie y un uido se puede escribir como o bien Q = = S S Q/ 2 = Nu = l número de Nusselt, Nu = Q/2 q nds = q cond n q rad n) ds S [ ] q cond n) + q RO q rad n) S [ q cond n + q RO q rad n) 3) 4) 5) 2 ds 6) ] ds 7), es la relación entre el ujo de calor medio en W/m 2 y la conducción de q l número adimensional R o indica la importancia relativa de los ujos de calor por radiación y por conducción. Para que dos problemas, y 2, sean térmicamente semejantes todos los números adimensionales mencionados deben 4

5 ser iguales en ambos. a solución adimensional es, entonces, idéntica para ambos problemas y, como consecuencia, Nu = Nu 2. Son posibles muchas simplicaciones en ujos de interés práctico: casi-estacionariedad St << ), radiación despreciable en comparación con la convección de energía N R << ) o con la conducción de calor q Ro / << ), disipación viscosa despreciable comparada con la convección de energía c /Re << ), trabajo de las fuerzas de presión despreciable en comparación con la convección de energía c << o c /M << ). Para el caso en que solamente la convección de energía y la conducción de calor sean importantes e.g., en capas límite térmicas) el único número adimensional relevante es el número de Peclet Pe = RePr) y el número de Nusselt será función de el, Nu = Nu Re, Pe) = Nu Re, Pr). 2 PROBMA MASICO a ecuación de conservación para la fracción másica, Y α, de la especie α es: Y α t Var. temporal de fracción másica α Yα τ o τ oα + υ j Y α x j Convec. de la especie α U Yα /U = D α Y α ) + ẇ }{{} α Difus. de la especie α Convers. de αpor reac química Dα Yα 2 2 /D α Yα 8) as dos últimas líneas reejan las órdenes de magnitud de cada término. a última línea expresa el orden de magnitud de cada término como variación característica de α,, dividida por un tiempo característico: τ oα tiempo característico de variación de α en el sistema), τ c = /U tiempo convectivo o tiempo de residencia), τ Dα = 2 /D α tiempo difusivo), tiempo químico característico). Dividiendo por el orden de magnitud del término convectivo, se tienen los órdenes de magnitud de cada término relativos al convectivo: Uτ oα U D α /U 9) l número de Strouhal para la especie química α, S tα = Uτ oα, expresa la relación entre el tiempo de residencia y el tiempo característico de variación de α. τ oα puede estar relacionado con las variaciones de α en la inyección en un proceso no-estacionario. l número de Peclet másico de la especie α, Pe α = U D α, expresa la relación entre la convección de la especie α y su difusión molecular. Se puede escribir como Pe α = Re Sc α, donde Sc α = ν/d α es el número de Schmidt de la especie α. l número de Damköhler, D aα = /U, es la relación entre el tiempo convectivo ó tiempo mecánico) ó tiempo de residencia y el tiempo químico de la especie α. l tiempo químico característico depende de la composición y de la temperatura. Para ilustrarlo se considera una reacción irreversible con ν p = 0 = ν A = 0 = ν B Según se vió anteriormente: ν A M A + ν B M B ν p M p 20) ẇ A = W A ν A BT β e RoT YA W A ) ν A Y B W B ) ν B 2) ẇ B = W B W A ν B ν A Sean ν α = = ν B por sencillez de la escritura, es decir, ẇ A, ẇ p = W p W A ν p ν A ẇ A 22) Para estimar el tiempo químico se escribe ẇ A = 2 B T β e W B RoT YA Y B 23) ẇ A Y A τ QA 2 W B B T β c e RoT YAc Y Bc 24) 5

6 n muchos casos Y A, Y AC e Y BC. W Por tanto, τ QA = B B T β C e Ro Tc e - R o T c RACCION CONGADA RACC QUIIBRIO QUIMICO T c * T c Figura 4: gura a exponencial e RoTc varía con la temperatura característica de la forma que se indica en la gura. Por tanto, debido a Tc β e Ro Tc, el tiempo químico característico disminuye signicativamente a medida que la temperatura característica, T c, aumenta. Por debajo de una cierta temperatura de cruce), Tc, τ QA será mucho mayor que /U y la reacción química apenas consume A ó B) y se dice que está congelada. Para T c > Tc, τ QA U y la reacción química avanza al compás de la convección y la difusión). Para T c >> Tc, el tiempo químico τ QA << U y se alcanzará equilibrio químico en el sistema. Suele ser de interés el intercambio másico entre una pared y un uido o en una interfase entre dos uidos. Se debe calcular: F α = S Y α V α n ds = D α 2 S Y α n ds 25) Para dos problemas, y 2, la solución adimensional Y α x, t ) será la misma si St α, Pe α y Da α son iguales, es decir, St α = St α2, Pe α = Pe α2 y Da α = Da α2. Por tanto, F α / 2 D α = Sh α = S Y α n ds 26) Sh α es el número de Sherwood y expresa la relación entre el ujo másico medio Kg α m 2 s) y la difusión másica. n problemas estacionarios o casi-estacionarios Sh α = Sh α Pe α, Da α ) 27) Si, además, sólo hay mezcla o la reacción química está congelada Da α << ): 3 ORDNS D MAGNITUD l problema dinámico se analizará para distintos casos límite: Sh α = Sh α Pe α ) = Sh α Re, Sc α ) 28) Si Re << fuerzas de inercia << fuerzas viscosas), la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a Re St υ i t ) p = U 2 Re x + Re i Fr i gi + 2 υ i x j x j Si además Re St <<, la ecuación anterior se reduce a un equilibrio entre fuerzas de presión, másicas y viscosas. Para que las fuerzas de presión equilibren a las viscosas 6 29)

7 Re 30) U 2 lo que implica µ U. Según los problemas Re/Fr puede ser, >>, o, <<) que la unidad. Re >> fuerzas de inercia >> fuerzas viscosas). a ecuación anterior se reduce a St υ i t + υ j υ i x j = p U 2 x + i Fr i gi 3) n este caso se hace U 2. Se tiene la ecuación de uler, que, con hipótesis adecuadas se reduce a la de Bernoulli. ste es el caso típico de ujo de uidos ideales. Nótese, sin embargo, que al suprimir las derivadas espaciales de mayor orden, 2 υ i / x j x j, de la ecuación no se cumplirá la condición de contorno υ = 0 en la supercie de un obstáculo en reposo. Aparecerá una capa límite viscosa cerca del obstáculo que consigue que υ c = 0. 4 NOTA Para ilustrar el problema de capa límite sea la ecuación d 2 u Re dy 2 + du dy = 0 32) con u0) = 0 y u) =. Si Re >> y se reduce la ecuación a du dy = 0 esta ecuación sólo cumplirá una condición de contorno [u) = ]. xistirá una capa límite cerca de la supercie del obstáculo y = 0) en la d cual 2 u Re dy du 2 dy. l caso de capas límites másica y térmica es análogo al de la capa límite viscosa. St >>. a ecuación de cantidad de movimiento se reducirá a: ) St υ i p p t = U 2 x i + Fr i g + 2 υ i Re x i x j Si, además, St Fr >> y St Re >>, el problema se reduce a las fuerzas de presión que ocasionan una aceleración temporal típico de problemas con ondas de presión, e.g., golpe de ariete). n ese caso: St = 33) p 34) Uτ o U 2 p U τ o 35) τ o es del orden de la velocidad de propagación de las ondas, a. Por tanto, p U a. os ujos: - dominados por la viscosidad, - de uidos ideales, - de capas límite viscosa, térmica y másica) serán objeto de estudio en este curso. 7