CUATRO ANALISIS DIMENSIONAL DIMENSIONES

Transcripción

1 APENDICE CUATRO ANALISIS DIMENSIONAL Una magnitud Iisica conlleva dos aspectos: un número que indica su valor y una unidad que representa su significado hico. El análisis dimensional es un tratamiento algebraico de los símbolos de las unidades consideradas independientemente de su valor numérico. El análisis dimensional simplifica enormemente el ajuste de datos experimentales por medio de una ecuación cuando no es posible un tratamiento totalmente matemático; también resulta útil para comprobar la consistencia de las unidades de las ecuaciones, para convertir unidades y para el cambio de escala a partir de datos obtenidos mediante modelos fisicos con el fín de predecir el comportamiento del equipo en cualquier escala. El método está basado en el concepto de dimensión y el empleo de fórmulas adimensionales. Magnitudes primarias y secundarias. Para el análisis dimensional, las magnitudes físicas se dividen en dos grupos. En primer lugar se elige un pequeño número de magnitudes y después se expresan las restantes en función de éstas. Las magnitudes del primer tipo reciben el nombre de magnitudes primarias, y las del segundo tipo magnitudes secundarias. La elección de magnitudes primarias es bastante arbitraria, tanto en cuanto al número como al tipo, y se basa fundamentalmente en la conveniencia. Un grupo de magnitudes primarias suficiente para todos los problemas de ingeniería es el formado por longitud, masa, tiempo, temperatura y carga eléctrica. En el caso de operaciones unitarias no es necesaria la carga eléctrica, y es conveniente, aunque no esencial, añadir a la lista la fuerza y el calor. Estas adiciones facilitan el uso de unidades fps. El sistema SI no las necesita t. DIMENSIONES Una magnitud primaria se representa por medio de una letra, llamada dimensión de la magnitud, que simboliza la magnitud generalizada. Representa el conjunto de todas las t No deben confundirse las magnitudes primarias con las unidades unitarias, que son unidades SI basadas en patrones establecidos por la corporacibn internacional de normalización, la Conferencia General de Pesas y Medidas. Las magnitudes primarias son las elegidas por un determinado investigador con el fin de realizar un analisis dimensional específico. Las dimensiones de las unidades primarias generalmente incluyen las magnitudes masa, longitud, tiempo, y a veces, temperatura, pero esto es una cuestión de conveniencia.

2 1066 APENDICE CUATRO unidades que se han utilizado, se utilizan o puedan utilizarse para medir la magnitud. Por ejemplo, sea la dimensión de longitud. Su conjunto estará formado por: = {pie, pulgada, metro, milla, vara, yarda, codo,...} donde los puntos suspensivos representan todas las demás unidades de longitud. Para las dimensiones de masa fi, tiempo i; temperatura T, fuerza F, y calor H, se realizan definiciones similares. Criterios para una magnitud primaria. Las unidades de un conjunto que define una magnitud primaria han de cumplir un requesito: debe existir un factor de conversión constante entre dos unidades cualesquiera contenidas en el conjunto. Esto se cumple claramente para las unidades de longitud que se relacionan en la definición de. Otro ejemplo es la dimensión de la temperatura absoluta, que puede escribirse asi: Las unidades de este conjunto son interconvertibles por medio de la Ecuación (1.28). Por tanto T # { C, F} En este caso no existe una constante k que dé lugar a T F = kt C. La verdadera relación entre estas magnitudes es la Ecuación (1.30), que requiere dos constantes: 32 y 1,8. Sin embargo, si en una determinada situación se necesitan diferencias de temperaturas en vez de temperaturas, la dimensión de temperatura, de acuerdo con la Ecuación (1.31), puede definirse por T = {AT C, AT F} El mol se incluye en ñ;i, ya que los pesos atómicos y moleculares son factores de conversión entre unidades de masa y molares. Dimensiones de las magnitudes secundarias Las dimensiones de una magnitud secundaria expresan la forma en que dicha magnitud se construye a partir de magnitudes primarias. Así, una velocidad, con independencia de su unidad o valor, se obtiene dividiendo - - una longitud por un tiempo, de forma que las dimensiones de la velocidad son L/t o fi-. Análogamente, las dimensiones de la aceleración son lr 0 LTm2. Fórmulas dimensionales. utilizando corchetes, Las dimensiones de cualquier magnitud se pueden representar [L] = [p-j = m-2 Por ejemplo, la segunda ecuación dice: las dimensiones de la presión son fuerza por longitud elevada a menos 2. Una vez que las magnitudes primarias han sido elegidas, se puede obtener la fórmula dimensional para cualquier magnitud secundaria a partir de su definición, tal como se ha

3 ANALISIS DIMENSIONAL 1067 hecho para los casos de velocidad, aceleración y presión. El resultado general para cualquier magnitud G puede escribirse así Los exponentes c(, fi, y, 6, E, y { son siempre números enteros, positivos 0 negativos, fracciones entre números enteros positivos o negativos, o bien cero. METODO DEL ANALISIS DIMENSIONAL Un análisis dimensional no se puede realizar si no se tiene un conocimiento suficiente acerca de la situación física para decidir qué variables son importantes en el problema y qué leyes fisicas básicas deberán intervenir en una solución matemática si es que existe alguna. Las leyes lisicas son importantes debido a que tales leyes introducen constantes dimensionales que es preciso considerar juntamente con las variables. En las aplicaciones del análisis dimensional que se consideran en este libro pueden aparecer dos de tales constantes si se utilizan unidades fps. Una de ellas es g,, que ha de introducirse siempre que intervenga la ley de Newton (Ec. 1.35); la otra es J, el equivalente mecánico del calor, que es preciso introducir siempre que sea importante el calor generado en la conversión de energía mecánica en calor por fricción. La etapa definitiva en el análisis dimensional es decidir qué factores dimensionales y variables intervienen en el problema. El método se ilustra en el ejemplo que sigue. Ejemplo A.l. Una corriente estacionaria de liquido se calienta haciéndola circular a través de una larga tubería recta caliente. Se supone que la temperatura de la pared de la tubería es superior a la temperatura media del líquido. La conversión de energía mecánica en calor por fricción es despreciable en comparación con el calor transmitido al líquido a través de la pared de la tuberia. Se desea encontrar una relación que pueda utilizarse para predecir la velocidad de transmisión de calor desde la pared hacia el líquido, en Btu por pie cuadrado de área de tubo en contacto con el liquido por hora. Supóngase que el flujo es turbulento. SOLUCIbN. El mecanismo de este proceso se estudia en el Capítulo 12. A partir de las características conocidas del proceso se puede esperar que la velocidad de transmisión de calor por unidad de área q/a dependa de un cierto número de magnitudes que, con su fórmula dimensional, se presentan en la Tabla A.l. Se sabe que intervienen las fuerzas de viscosidad y las fuerzas que se requieren para acelerar y decelerar los remolinos, de tal forma que interviene la ley de Newton. Por consiguiente, en la lista de factores se incluye la constante dimensional R. Por otra parte, como la conversión de energía mecánica en calor es despreciable, no es preciso introducir J. Si existe una ecuación teórica para este problema, puede expresarse en la forma general 4 - = ti@, v, P; PF, Cp> k AT) A donde + quiere decir «función de». Si la Ecuación (A.2) es una relación que puede obtenerse a partir de leyes básicas,

4 1068 APENDICE CUATRO Tabla A.l. Magnitud Magnitudes y fórmulas dimensionales para el Ejemplo A.l Símbolo Flujo de calor para unidades de área Diámetro (interior) de la tubería Velocidad media del líquido Densidad del líquido Viscosidad del líquido Calor específico, a presión constante, del líquido Conductividad térmica del líquido Factor de proporcionalidad de la ley de Newton Diferencia de temperatura entre la pared y el fluido 4lA D v P!JF 5 k gc A T todos los términos de la función II/ tienen que tener las mismas dimensiones que el primer miembro de la ecuación, q/a. Por tanto, cualquiera de los términos de la función tiene que cumplir la fórmula dimensional [1A 4 = C~I C~lbC~lcC~~ldC~~l C~,l~C~l C~~lh (A.3) Sustituyendo las dimensiones de la Tabla A.l se obtiene Puesto que se supone que la Ecuación (A.2) es dimensionalmente homogénea, los exponentes de las unidades primarias individuales del primer miembro de la Ecuación (A.4) tienen que ser iguales a los del primero. Así se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones: Exponentes de Z?: l=f+g (A.5) Exponentes de : -2=a+b-3c-2d+e-g ( 4.6) Exponentes de z -l=-b+d-2e-g (A.7) Exponentes de I% O=c+e-f w-9 Exponentes de F O=d-e (A.9) Exponentes de 5? o = -f-g+h (A.lO) Hay ocho incógnitas y solamente seis ecuaciones, de forma que seis de las incógnitas se han de expresar en función de las dos restantes. Se han de elegir dos letras arbitrariamente. El resultado es igualmente válido para todas las elecciones, pero paraeste problema es costumbre seleccionar las letras b y J y se eliminan las seis restantes. A continuación se presenta un método operativo. A partir de la Ecuación (AS), g=l-f (A.ll)

5 ANALISIS DIMENSIONAL 1069 A partir de las Ecuaciones (A.10) y (A.11) h=f+g=l (A.12) A partir de la Ecuación (A.9) d=e (A.13) A partir de las Ecuaciones (A.7) y (A.13), 2e-d=l-b-g=e=d (A.14) A partir de las Ecuaciones (A.ll) y (A.14), d = e = l - b - l + f = f - b (A.15) A partir de las Ecuaciones (A.8) y (A.15), c = f - e = f - f + b = b (A.16) A partir de las Ecuaciones (A.6), (A.ll), (A.15) y (A.16), a=-2-b+3c+2d-e+g =-2-b+36+2f-2b-f+b- =b-1 1-f (A.17) Sustituyendo los valores de las Ecuaciones (A.ll) a (A.17) para las letras a, c, d, e, g, Y k 9 [1Á = [o]b-lcp]*[p]*[~f]/-*cgcj~-*[c~]~[~]l-/[at] Recogiendo todos los factores que tienen exponentes iguales a la unidad en un grupo, los que tienen exponentes f en otro grupo y los que tienen exponentes b en otro, se obtiene [&] = yfj[yq (A-18) Las dimensiones de cada uno de los tres grupos entre corchetes de la Ecuación (A.18) son cero, y todos los grupos son adimensionales. Cualquier función de estos grupos será dimensionalmente homogénea y la ecuación será adimensional. Sea una tal función (A.19) o bien (A.20)

6 1070 APENDICE CUATRO La relación entre las Ecuaciones (A.19) y (A.20) es el resultado final del análisis dimensional. La forma de la función CD es preciso obtenerla experimentalmente determinando los efectos de los grupos representados entre corchetes sobre el valor del grupo del primer miembro de la Ecuación (A.19). Las correlaciones que se han obtenido para este caso se dan en el Capítulo 12. En las Ecuaciones (A.19) y (A.20) es habitual utilizar la denominada viscosidad absoluta p en lugar de su equivalente pfg,. La viscosidad se trata además en el Capitulo 3. Es evidente que correlacionar los valores experimenales de los tres grupos de variables de la Ecuación (A.19) resulta más sencillo que intentar correlacionar los efectos de cada uno de los factores individuales de la Ecuación (A.2). Formulación de otros grupos adimensionales. Si se selecciona otra pareja de letras distintas de b y f; se obtienen nuevamente tres grupos adimensionales, pero uno o más de ellos difieren de los grupos de la Ecuación (A.19). Por ejemplo, si se eligen b y g, el resultado es 4 A iipc,at Se pueden encontrar otras combinaciones. Sin embargo, es innecesario repetir el tratamiento algebraico para obtener tales grupos adicionales. Los tres grupos de la Ecuación (A.19) se pueden combinar de cualquier forma deseada, multiplicándolos o dividiéndolos, o bien empleando los inversos o múltiplos de los mismos. Solamente es necesario que cada grupo original sea utilizado por lo menos una vez al hallar los nuevos grupos y que la forma lina1 contenga exactamente tres grupos. Por ejemplo, la Ecuación (A.21) se obtiene a partir de la Ecuación (A.19) multiplicando ambos miembros por (p/d~ppxk/pcj y resulta la Ecuación (A.21). Téngase en cuenta que la función Q1 no es igual a la De esta forma una ecuación adimensional se puede transformar en un número cualquiera de sus formas. Esto con frecuencia resulta útil cuando se desee aislar un solo factor en un único grupo. Así, en la Ecuación (A.19) cp solamente aparece en un grupo, lo mismo que le ocurre a k en la Ecuación (A.21). En el Capitulo 12 se ha visto que para algunos fines resulta más conveniente la Ecuación (A.21) que la Ecuación (A.19).

7 in7i APENDICE CINCO GRUPOS ADIMENSIONALES Símbolo Nombre Definición I I GJ Coeficiente de rozamiento f Factor de fricción de Fanning - AP@ 2LPP2 Factor de transmisión de calor Factor de transferencia de materia Número de Fourier Número de Froude at ;2 u2 z N GI Número de Grashof N GZ Número de Graetz L3p2pg A.T P2 ClC, kl NM, Número de Mach ll - a N i-4 Número de Nusselt

8 1072 APENDICE CINCO Nombre Definición Número de Prandtl Número de Reynolds Número de Schmidt -. - Número de Sherwood -. Número de Weber - - y k DG - P - -