Apunte de Análisis Dimensional

Transcripción

1 Carreras de Ingeniería Química e Ingeniería en Alimentos Apunte de Análisis Dimensional Escrito por: Pedrozo, Alejandro Revisado por: Rosenberger, Mario Facultad de Ciencias Exactas. Químicas y Naturales- Universidad Nacional de Misiones

2 El Ingeniero Químico es un profesional que utiliza sus conocimientos sobre los procesos de manufactura para el diseño, construcción y operación de plantas industriales. Para esto, debe tener la capacidad de investigar y entender procesos físicos y químicos para la conversión de las materias primas en productos finales. Además, debe poder reconocer cuales son las variables más importantes que se encuentran involucradas en el proceso, para definir las magnitudes de estas, con el fin de lograr la calidad del producto final al menor costo. Entre las herramientas más poderosas para cumplir tal objetivo, se encuentra la Modelización. Esta permite estimar los resultados de las diferentes operaciones unitarias, mediante la Simulación del proceso global para determinadas magnitudes de las variables involucradas. Entonces, la modelización es una descripción en lenguaje matemático de un proceso en el mundo físico, que se utiliza para el desarrollo de la ciencia y la tecnología, debido a que condensa el conocimiento en fórmulas matemáticas, como lo expreso Galileo de forma tan bonita, el libro de la Naturaleza está escrito en caracteres matemáticos. Ahora bien, para el desarrollo de un modelo es necesario reconocer las variables involucradas en el proceso, para establecer relaciones entre estas. Los modelos matemáticos formulan hipótesis o conjeturas sobre dichas relaciones, las traduce al lenguaje matemático y resuelve las ecuaciones obtenidas por el método más apropiado. No obstante, en ocasiones el número de variables que intervienen en el proceso es relativamente grande, por lo cual el desarrollo de un modelo matemático puede resultar inviable, siendo una mejor alternativa recurrir a un modelo físico. Un modelo físico reproduce el proceso a estudiar, en una escala conveniente, para el desarrollo de experimentos que proporcionen información acerca del proceso real a modelar. En general, son utilizadas cuando la complejidad matemática del problema es grande y los fenómenos físicos involucrados no son bien conocidos, de manera que pueden simular los resultados de un proceso complejo en determinadas condiciones de operación. Sin embargo, no es viable en cuestiones de tiempo y costo la realización de experimentos para todo el dominio de variables involucradas en sus correspondientes rangos, por lo que resulta necesario una técnica de análisis para la interpolación y predicción de los resultados en condiciones de operación no ensayadas. Para esto, existen desarrollos estadísticos, así como el análisis multivariable y el análisis factorial, los cuales son una buena herramienta para hallar correlaciones entre las variables involucradas. No obstante, sus resultados Alejandro Pedrozo

3 pueden no ser aplicables a otras escalas de trabajo, resultando más apropiado el uso del análisis dimensional para la búsqueda de correlaciones y estimación de resultados. El análisis dimensional utiliza la consistencia dimensional para agrupar las variables involucradas en el proceso, en números adimensionales. De esta forma se reduce el número de variables y la tarea de experimentación. No obstante, la dificultad matemática incrementa para el desarrollo de correlaciones. En la actualidad, se han resuelto muchos problemas utilizando estos modelos, como resultado se obtuvieron varios números adimensionales que ya son de uso común, en la siguiente tabla se muestran los más importantes. Número adimensional Símbolo Significado Reynolds Match Froude Weber Prandtl Grashof Nusselt Re Ma Fr We Pr Gr Nu Fuerzas inerciales/ fuerzas viscosas Velocidad del objeto/ velocidad del sonido Fuerzas de inercia/ fuerzas de gravedad Fuerzas de inercia/ tensión superficial Difusión de movimiento/ difusión de calor Fuerzas de flotación/ fuerzas viscosas Transferencia de calor por convección / transferencia de calor por conducción Para realizar un análisis dimensional, en principio se debe seleccionar un sistema superabundante de unidades para expresar todas las variables en términos de esta. Entre las dimensiones fundamentales se encuentran la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (t), aunque dependiendo el problema puede estar involucradas otras unidades como la temperatura (T) o unidades eléctricas. Además, es importante saber que existen variables que son independientes y otras que son dependientes, y poder reconocerlas para manejar en forma adecuada los grados de libertad. Alejandro Pedrozo

4 En segundo lugar, es necesario agrupar dichas variables en números adimensionales. Para esto existen distintos métodos, entre los cuales se destaca el método de Rayleigh y el método de Buckingham. Posteriormente se procede a la construcción de las curvas que correlacionan las variables adimensionales. Método de Rayleigh Este método consiste en igualar la productoria de las variables involucradas, cada una elevada a un exponente, e igualar el resultado a la productoria de las dimensiones elevadas al exponente 0, es decir a 1. Esto se puede observar en la ecuación siguiente. Donde v i es la i-ésima variable involucrada en el proceso, e i es su exponente (el cual se quiere determinar), n es el número de variables involucradas, D j es la j-ésima dimensión del sistema superabundante y m es el número total de dimensiones. Entonces, se puede plantear un sistema de m ecuaciones con n incógnitas para hallar los exponentes de las variables involucradas. Es frecuente encontrar que n>m, por lo cual es necesario escoger n-m exponentes, para poner a los demás en función de estos. Una vez resueltas las ecuaciones, se agrupan las variables en números adimensionales. Este método es adecuado cuando el número de variables es relativamente bajas, debido a que para un alto número de variables el sistema de ecuaciones a resolver resulta más complejo y la cantidad de cálculos necesarios aumentan. Método de Buckingham Este método consiste en elegir tantas variables como dimensiones haya (m variables) para encontrar con cada una de las demás variables (n-m) un número adimensional. Para esto, cada variable del grupo elegido se eleva a un exponente para obtener que las productorias sean iguales a un grupo adimensional. Esto se puede observar en la ecuación siguiente. Donde v i es la i-ésima variable seleccionada, e i es su exponente (el cual se quiere determinar), v k es la k-ésima variable no seleccionada (hay n-m variables en total), n es el número de variables involucradas, D j es la j-ésima dimensión del sistema superabundante y m es el número total de dimensiones. Alejandro Pedrozo

5 Como se puede observar, en este método no es necesario resolver un sistema de ecuaciones indeterminado, debido que para todos los casos el número de ecuaciones debe ser igual al número de variables. Además el sistema a resolver tiene menos incógnitas que el método anterior, sin embargo presenta como desventaja que dicho sistema debe resolverse tantas veces como números adimensionales haya. Problema 1 A continuación se procede a ejemplificar los métodos para hallar números adimensionales, se proponen el siguiente ejercicio: - Se quiere determinar el flujo másico que fluye a través de una tubería, cuya sección transversal es circular y uniforme. Las variables físicas involucradas son el flujo másico (Q), la diferencia de presión por unidad de longitud (ΔP), la densidad del líquido (ρ), la viscosidad del líquido (μ) y el diámetro del tubo (D). Hallar los números adimensionales: o Utilizando el método de Rayleigh o Utilizando el método de Buckingham. Solución por el método de Rayleigh En el siguiente cuadro se muestran las variables involucradas en el proceso con sus respectivas dimensiones: Variable Símbolo Dimensiones Flujo másico Q Mt -1 Diferencia de presión por unidad de longitud ΔP ML -2 t -2 Densidad del líquido ρ ML -3 Viscosidad del líquido µ ML -1 t -1 Diámetro del tubo D L Para resolver el problema por el método de Rayleigth se debe cumplir que: Para: Alejandro Pedrozo

6 Entonces se reemplazan los exponentes y se obtiene: La ecuación anterior representa que el caudal es una función del producto entre la viscosidad, el diámetro y una función del número adimensional obtenido. Además aparece el símbolo φ y el símbolo α, los cuales representan un factor de proporcionalidad y un exponente respectivamente, que deben ser obtenidos de manera empírica. Solución por el método de Buckingham Ahora se procede a resolver el mismo problema pero por el método de Buckingham. En principio se tiene la siguiente matriz, donde se ubican las dimensiones en las filas y las variables en las columnas. De esta matriz es necesario elegir una sub matriz de 3x3, la cual constituye las variables seleccionadas para encontrar los números adimensionales. Es importante destacar que la matriz seleccionada debe tener un determinante distinto de 0, debido a que en caso contrario el sistema de ecuaciones no tiene solución y no es posible obtener los números adimensionales. Q ΔP ρ μ D M L t Alejandro Pedrozo

7 Entonces se elige la siguiente matriz, la cual se observa tiene un determinante distinto de 0. μ ρ D M L t Los números adimensionales a encontrar son los que se muestran a continuación. Para π 1 Así se obtienen los resultados de los exponentes y el primer número adimensional. Para π 2 Alejandro Pedrozo

8 De esta forma se obtienen los mismos números adimensionales que por el método de Rayleigh: Otra solución A pesar que por ambos métodos se obtuvieron los mismos números adimensionales, es posible que los números hallados sean diferentes, pero que también proporcionen una solución al problema. Por ejemplo a continuación se plantea el mismo problema resuelto con el método de Rayleigth, pero se encuentran resultados diferentes. Para Entonces se reemplazan los exponentes y se obtiene: Alejandro Pedrozo

9 Si bien en este caso los números adimensionales obtenidos pueden carecer de sentido físico, aun así pueden resultar útiles para hallar correlaciones para describir el proceso en estudio. Se propone como ejercicio al lector que intente hallar otros números adimensionales pero utilizando el método de Buckingham. Problema 2 Se procede a resolver otro ejercicio, el cual resulta más complejo debido al mayor número de variables involucradas en el proceso. Sin embargo, en este se puede ver como el análisis dimensional se puede utilizar para estudiar fenómenos tan complejos como la naturaleza de la transferencia de calor por convección forzada y natural. - Cuando tanto los efectos de la convección natural como los de la forzada deben ser tenidos en cuenta, el coeficiente de transferencia de calor en un fluido (h), depende de la velocidad de éste (u), una longitud lineal característica (L), viscosidad ( μ), densidad ( ρ), conductividad (k) y calor específico (Ce) de la fase en movimiento, el incremento de temperatura en ella ( ΔT), el coeficiente de expansión cúbica ( β) y la aceleración de la gravedad (g). Establecer los módulos adimensionales que intervienen en el proceso. Dato: Tomar el producto β g como una única variable. Aclaración: la dimensión H significa energía. Hallar los números adimensionales: o Utilizando el método de Rayleigh o Utilizando el método de Buckingham. Solución por el método de Rayleigh En el siguiente cuadro se muestran las variables involucradas en el proceso con sus respectivas dimensiones: Variable Símbolo Dimensiones coeficiente de transferencia de calor h HL -2 t -1 T -1 Velocidad u Lt -1 Longitud característica Lo L Densidad ρ ML -3 Viscosidad µ ML -1 t -1 Alejandro Pedrozo

10 Conductividad térmica K HL -1 t -1 T -1 Calor específico Ce HM -1 T -1 Diferencia de temperatura ΔT T Efecto de la gravedad en la convección libre βg Lt -2 T -1 Para resolver el problema por el método de Rayleigth se debe cumplir que: Para Se escogen las letras a, b, g, i como base para expresar los demás coeficientes Entonces se reemplazan los exponentes y se obtiene: Alejandro Pedrozo

11 Así se obtienen los siguientes números adimensionales: Estos tienen la característica que presentan un significado físico, para mayor información sobre el tema se recomienda al lector buscar en la bibliografía. 1 Solución por el método de Buckingham Ahora se procede a resolver el mismo problema, pero esta vez por el método de Buckingham.Se tiene la siguiente tabla, en donde se muestran las dimensiones en las filas y las variables en las columnas. h u Lo ρ µ K Ce ΔT βg H M L t T En este caso se observa que no se debe elegir la siguiente matriz debido a que su determinante es igual a 0. 1 Incropera, F. P., &DeWitt, D. P. (1999). Fundamentos de transferencia de calor. Pearson Educación. Alejandro Pedrozo

12 u Lo ρ µ ΔT H M L t T Se escoge otra matriz cuadrada diferente, la cual sí presenta un determinante distinto de 0, para realizar el análisis dimensional. Lo ρ µ K ΔT H M L t T De esta forma se pretende obtener los siguientes grupos adimensionales. Para π 1 Alejandro Pedrozo

13 Para π 2 Alejandro Pedrozo

14 Para π 3 Para π 4 Alejandro Pedrozo

15 Entonces, con todos los números hallados, se puede establecer la correlación para hallar en coeficiente de transferencia de calor por convección. Problema 3 Existen casos en los cuales una de las variables involucradas en el proceso ya es un número adimensional, por lo que surge la pregunta, en qué número adimensional agrupo esta variable? La respuesta a esta pregunta es que dicha variable constituye un grupo adimensional individual. A continuación se muestra un ejemplo con la situación descripta anteriormente. - La velocidad de filtrado (u) de una suspensión de partículas finas de sólido depende del diámetro de las partículas (d), de las propiedades físicas del fluido, de la diferencia de presión a través de la torta de filtrado (ΔP) y de la porosidad de la torta de filtrado (ε). Expresar la relación entre estas variables en forma de números adimensionales. o Por el método de Buckingham. Solución por el método de Buckingham Se tiene la siguiente tabla, en donde se muestran las dimensiones en las filas y las variables en las columnas. Alejandro Pedrozo

16 ΔP u ρ μ D ε M L t Se procede a elegir la siguiente matriz, la cual se observa que presenta un determinante distinto a 0. μ ρ D M L t Así, se propone hallar los siguientes números adimensionales: Para π 1 Alejandro Pedrozo

17 Para π 2 (1) (2) (3) Así se obtienen los siguientes números adimensionales: De donde se puede hallar una correlación para estudiar la velocidad de filtrado: Similaridad En esta parte del apunte se estudia una de las más importantes aplicaciones del análisis dimensional, la aplicación al diseño de modelos para describir los prototipos. En principio, se entiende por modelo al experimento físico que se utiliza para el estudio del proceso (reproducción del proceso en una escala conveniente), mientras que el prototipo se refiere a la construcción física donde se lleva a cabo el proceso. Alejandro Pedrozo

18 El estudio del proceso físico en los modelos resulta de gran utilidad para el Ingeniero. Esto se debe a los costos de operación y al tamaño de los equipos que se tiene en cada caso, no es lo mismo estudiar una reacción química en un tanque de 10 litros, que en un prototipo de 100 litros. Además, gracias al modelo se pueden evitar errores futuros en la construcción del prototipo. Por otro lado, a pesar que es común que el modelo sea más pequeño que el prototipo, puede darse el caso inverso, lo cual sirve para el estudio de procesos con microorganismos y flujo capilar, por ejemplo. De lo anterior surge la pregunta, Cómo sé que el modelo representa al proceso que se llevará a cabo en el prototipo? La respuesta a esta pregunta surge de un análisis de similaridad. Si el modelo puede representar el proceso del prototipo, estos resultan similares. Según la bibliografía 2, para que un modelo y un prototipo sean similares se debe cumplir que exista: Similaridad geométrica Similaridad cinemática Similaridad dinámica Similaridad geométrica Se refiere a que el modelo este diseñado a escala del prototipo. En general, para que esta se cumpla, se deben satisfacer las ecuaciones: ; ; ; Donde: λ: Factor de escala Lp: Longitud característica del prototipo. Lm: Longitud característica del modelo Ap: área característica del prototipo Am: área característica del modelo Vp: volumen característico del prototipo Vm: volumen característico del modelo. 2 Betancourt Grajales, R. (2003). Transferencia molecular de calor, masa y/o cantidad de movimiento. Alejandro Pedrozo

19 Similaridad cinemática Esta hace referencia al movimiento que ocurre en el sistema y considera las velocidades existentes. Para que exista similaridad cinemática en dos sistemas geométricamente similares, las velocidades en los mismos puntos relativos en cada sistema deben mantener las siguientes relaciones: Donde: v xm: Velocidad en la dirección x del modelo. v ym: Velocidad en la dirección y del modelo. v xp: Velocidad en la dirección x del prototipo. v yp: Velocidad en la dirección y del prototipo. Similaridad dinámica En sistemas geométrica y cinemáticamente similares, existe similaridad dinámica cuando las magnitudes y direcciones de las fuerzas correspondientes en ambos sistemas (modelo y prototipo) son proporcionales. Generalización En la bibliografía 3 dice que el modelo representa al prototipo cuando ambos tienen estados homólogos a tiempos homólogos. El concepto de tiempo homólogo puede ser difícil de entender al principio, pero la definición anterior generaliza los distintos tipos de similaridades, y se puede desprender la siguiente definición: Dos sistemas son dimensionalmente similares si todas las variables adimensionales que describen el sistema son iguales en construcción y en magnitud 3. Más aún, si en dos sistemas todos los pares correspondientes de variables adimensionales que contienen solo variables físicas independientes son idénticos, entonces los números adimensionales restantes también son idénticos. De lo anterior surge la importancia de elegir correctamente los números adimensionales, debiéndose tener en cuenta las siguientes reglas: Al formar el sistema de grupos adimensionales, asegurarse de tener solo una variable física dependiente. 3 Szirtes, T. (2007). Applied dimensional analysis and modeling. Butterworth-Heinemann. Alejandro Pedrozo

20 Al formar el sistema de grupos adimensionales, asegurarse que la única variable dependiente se encuentre en un único número adimensional. Por otra parte, en muchos casos no es posible trabajar con todos los números adimensionales en la misma magnitud, se reconocen distintos casos. Si dos sistemas, cada uno con Np variables adimensionales, tienen n valores iguales, se cumple: Si n=np-1, Si 0<n<Np-1 Si n=0, los sistemas son similares; los sistemas son parcialmente similares; los sistemas no son similares. En el caso de los sistemas similares, se sabe que el modelo representa al prototipo, y en el caso de n=0, son sistemas completamente diferentes. No obstante, entre estos extremos se presentan varias posibilidades, surgiendo la pregunta qué números adimensionales deben tener la misma magnitud para lograr que ambos sistemas sean similares? Para responder a esta pregunta, es necesario conocer cuáles son las fuerzas más importantes que se encuentran presentes en el proceso. Por ejemplo: Cuando el flujo presenta una superficie libre, la fuerza predominante es la gravedad, entonces es importante que ambos sistemas tengan el mismo número de Froude. Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico, la fuerza predominante es la viscosidad, entonces es importante que ambos sistemas tengan el mismo número de Reynolds. Cuando el cuerpo está sumergido en un fluido supersónico, la fuerza predominante es la compresibilidad, entonces es importante que ambos sistemas tengan el mismo número de Match. En láminas de líquido muy delgadas, donde es importante la tensión superficial, es importante que ambos sistemas tengan el mismo número de Weber. Problema 4 - Se ha realizado un gran número de investigaciones sobre la transferencia de materia en flujo turbulento en conducciones. Esta situación podría corresponder al de un absorbedor continuo donde el componente de una mezcla líquida se absorbe sobre una corriente gaseosa (fluido controlante). Todos los estudios realizados coinciden en que el coeficiente individual de transferencia de materia (kc), que determina la velocidad del proceso de dicha transferencia de materia depende del diámetro interno de la columna (D), de la viscosidad (μ) y densidad (ρ) del fluido controlante, de la difusividad del soluto en la fase controlante (DAB) y del flujo másico del fluido controlante (G). Alejandro Pedrozo

21 o o o Establecer una correlación para las variables que intervienen en el fenómeno de transferencia de materia e identificar los módulos obtenidos. Se desea diseñar a escala industrial un sistema de absorción continuo homólogo (equipo semejante geométricamente y propiedades físicas iguales) al del experimento previo. Se desea utilizar una columna de diámetro interno de 1,5 m. Indíquese cuáles serían las condiciones de operación a escala industrial para que exista semejanza completa (semejanza en todos los módulos adimensionales) y cuál sería el valor del coeficiente individual de transferencia de materia en fase líquida en estas condiciones (tomar datos escala laboratorio del primer experimento). Se ha montado un dispositivo experimental para verificar el resultado obtenido del análisis dimensional en el que una corriente de acetona desciende por gravedad por el interior de una columna de paredes mojadas, poniéndose en contacto con aire que asciende en régimen turbulento por el especio interior. Teniendo en cuenta los resultados de la tabla, determinar el factor de proporción y los exponenetes de los números adimensionales. Datos: kc (m/s) D (m) Dab(m2/s) μ (kg/m s) ρ (kg/m3) G (kg/m2 s) 3,27E 03 0,05 1,10E-05 1,78E 05 2,697 1,06 4,82E 03 0,05 1,10E-05 1,78E 05 2,697 1,694 6,09E 03 0,05 1,10E-05 1,78E 05 2,697 2,243 7,26E 03 0,05 1,10E-05 1,78E 05 1,245 2,039 8,36E 03 0,05 1,10E-05 1,78E 05 0,852 2,079 Solución Se procede a resolver el problema por el método de Buckingham. Se tiene la siguiente tabla, en donde se muestran las dimensiones en las filas y las variables en las columnas. kc D Dab μ ρ G M L t Alejandro Pedrozo

22 Se selecciona el siguiente conjunto de variables, el cual tiene un determinante distinto de 0. D Dab μ M L t De esta forma se pretende obtener los siguientes grupos adimensionales. Para π 1 Para π 2 Alejandro Pedrozo

23 Para π 3 Entonces, se puede establecer la correlación para hallar el coeficiente de transferencia de masa. Alejandro Pedrozo

24 Como se sabe que en el modelo y el prototipo la difusividad, y la viscosidad del fluido no varían en forma apreciable, se modifican las demás variables para coincidir los números adimensionales. Por lo que los números adimensionales del modelo (subíndice m) serán iguales a los del prototipo (subíndice p). Entonces se pueden obtener las magnitudes de las variables de proceso a escala industrial de la siguiente manera: Con los datos de la tabla es posible armar un sistema de ecuaciones en donde se encuentra que: Alejandro Pedrozo

25 Problemas propuestos Problema 1 Los experimentos muestran que la caída de presión debido al flujo a través de una contracción repentina en un ducto circular es función de: La densidad del fluido (kg/m 3 ). La velocidad (m/s). La viscosidad (k/(m*s)). El diámetro mayor antes de la contracción (m) y el diámetro menor después de la contracción (m). Encontrar los números adimensionales para estudiar el sistema. Problema 2 La potencia P para manejar una bomba de flujo axial depende de las siguientes variables: La densidad del fluido ρ La velocidad angular ω El diámetro del rotor La cabeza de presión El caudal volumétrico de la bomba Q 1.-Encontrar los números adimensionales para estudiar el sistema. 2.-Un modelo físico para estudiar el fenómeno en escala geométrica 1:3 con respecto al prototipo, tiene las siguientes magnitudes de las variables: La velocidad angular ω: 900 rpm. El diámetro del rotor D: 0.15 m. La cabeza de presión h: 3 m. El caudal volumétrico de la bomba Q: 0.09 m 3 /s. La potencia P: 1500 W. Si la velocidad angular de la bomba para el prototipo es de 300 rpm, a. Qué potencia demanda la bomba? b. Qué cabeza de presión mantiene la bomba? c. Cuál es el caudal volumétrico en el prototipo? Alejandro Pedrozo

26 Problema 3 Se analiza el funcionamiento de una represa mediante un modelo a escala 1:75, en donde se mide la velocidad del agua (modelo) y resulta ser 0,6 m/s. El caudal máximo desaguado (prototipo) por la presa es de 600 m 3 /s. En el modelo se midió la fuerza ejercida sobre la presa resultando ser de 24.5 N. Calcular: 1.- Escalas de velocidades, caudales y fuerzas en función de la escala geométrica. 2.- Caudal que tiene que circular en el modelo. 3.- Velocidad del agua en la presa. 4.- Fuerza ejercida sobre la presa. 5.- Qué condiciones tiene que satisfacer el fluido para que la semejanza sea completa? Alejandro Pedrozo