1 Análisis dimensional

Transcripción

1 1 Análisis dimensional El análisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la física, la química y la ingeniería para ganar comprensión de fenómenos que involucran una combinación de diferentes cantidades físicas. Es además, rutinariamente utilizada para verificar relaciones y cálculos, así como para construir hipótesis razonables sobre situaciones complejas, que puedan ser verificadas experimentalmente. Uno de dichos usos está basado en el requerimiento de consistencia dimensional. Este requerimiento está relacionado con la 2 da Ley de Newton: cuando se describen magnitudes mecánicas, el conjunto de magnitudes que se utilice puede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes, los consistentes y los no consistentes. Se dirá que un sistema de magnitudes es consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad: [F] = [M][A] donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser utilizado en la mecánica, este debe ser consistente. Los conceptos de unidad y magnitud están relacionados pero no son lo mismo: en efecto, en la observación de fenómenos, cada cantidad física R j, tendrá asociada unidades {R j } que indicaremos entre llaves que representan cantidades de referencia de una magnitud, aceptadas por convención. Así un kilogramo (kg) corresponde a una cantidad de masa estándar y patrón o una pulgada (in) corresponde con una longitud patrón que puede representarse por 2, 54 centímetros (cm), otra unidad patrón en otro sistema de unidades. Así una cantidad física se representa, en un sistema de unidades como R j = v(r j ){R j }, donde v(r j ) es un número real que representa el valor de dicha cantidad expresada en unidades {R j }. Si se desea utilizar otro sistema de unidades, debe disponerse de una relación del tipo ˆR j = x 1 j R j que permita el cambio entre dichos sistemas. Así la misma cantidad física resultará R j = v(r j )x }{{} j { ˆR j } = ˆv(R j ){ ˆR j }, ˆv(R j ) donde el factor x j es el denominado factor de conversión. Los sistemas de magnitudes se representan por símbolos. Por ejemplo, [MLTΘ] representan respectivamente masa, longitud, tiempo y temperatura. Así, 1

2 siguiendo el ejemplo, la velocidad tiene asociada la magnitud [V]; sin embargo, considerando el sistema [M,L,T,Θ] es posible escribir que [V]=[L]/[T], resultando que hay algunas magnitudes derivadas de otras, mediante una combinación de aquellos símbolos elevados a alguna potencia. Definición 1 Sistema de magnitudes fundamentales Se llama sistema de magnitudes fundamentales [F 1,, F m ] al conjunto de menor cantidad de elementos que permite derivar todas las magntudes involucradas en un fenómenos. El sistema [M,L,T,Θ] es un sistema fundamental de magnitudes para la mecánica. En este sistema, la fuerza tiene una magnitud derivada [M][L]/[T] 2. Sin embargo, en virtud de la ley de Newton, sería posible definir un sistema [F,L,T,Θ] de magnitudes fundamentales, en el cuál la masa tendría una magnitud derivada [F][T] 2 /[L]. Así, los sistemas de magnitudes fundamentales son arbitrarios, pesando sobre ellos el único requerimiento de consistencia dimensional. Propiedad 1 Las magnitudes que forman un sistema fundamental son independientes: F x i i = 1 x i = 0, para i = 1, 2,, m. El conjunto de los símbolos que definen un sistemas de magnitudes forman un grupo: en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todo símbolo por ejemplo L tiene su inverso en este caso, L 1. Además, todo símbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso Definición 2 Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente símbolo [M j ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes fundamentales [F 1,, F m ], m < n, según M j = F a 1j 1 F a mj m, para j = 1,, n. La matriz se denomina matriz de dimensión A. a 11 a 1n A :=..... a m1 a mn 2

3 Dado un conjunto de magnitudes, estas pueden combinarse para formar una nueva magnitud [M λ 1 1 M λn n ] = F a i1λ 1 i Definición 3 Magnitud adimensional F a inλ n i = F a i1λ 1 + +a in λ n i Una magnitud construida por combinación de n magnitudes, representables en un sistema de m magnitudes fundamentales se dice adimensional, si a i1 λ a in λ n = 0, para i = 1,, n o en forma equivalente, si Aλ = 0, donde A R m n es la matriz de dimensión. Esta relación pone en evidencia que existe una relación 1 a 1 entre el espacio nulo de A y el conjunto de las combinaciones adimensionales de las magnitudes. Más aún, si se considera una base del espacio nulo de A y se toman las correspondientes combinaciones adimensionales {π 1,, π n m } (m es el rango de A), entonces cualquier otra combinación adimensional podrá escribirse como π c 1 1 π c n m n m, donde los exponentes {c 1,, c n m } son únicos, y resultan ser los coeficientes del elemento del espacio nulo en la base elegida. {π 1,, π n m } es un conjunto maximal de las combinaciones adimensionales independientes. Ejemplo: Considérese el caso de una cuerda de longitud l [L], vibrando con amplitud A [L]. La cuerda tiene una densidad lineal ρ [M/L] y se encuentra sometida a una tensión σ [M /L T 2 ]. Se requiere una relación para la energía E específica [L 2 /T 2 ] de la misma. Observando las magnitudes involucradas, se pueden formar dos combinaciones adimensionales, π 1 = ρe, and π Aσ 2 = l. A Combinando estas dos magnitudes adimensionales, resulta F( ρe Aσ, l A ) = 0, donde F es una función implícita desconocida. En forma equivalente se puede expresar E = Aσ ρ f( l A ), donde f es otra función. Esta función desconocida indica que la solución es incompleta, pero esta técnica puso de manifiesto algo que en principio no es evidente: que la energía es proporcional a la tensión. 3

4 1.1 El teorema Π de Buckingham En esta sección se enunciará y demostrará un importante resultado Teorema 1 Teorema Π de Buckingham [Phys. Rev. 4, 345, 1914.] Cualquier relación Φ(M 1,, M n ) = 0 entre n cantidades físicas, es equivalente a una relación de la forma Ψ(π 1,, π n m ) = 0 que involucra un conjunto maximal de (n m) combinaciones adimensionales independientes. Demostración: Sea {[M 1 ],, [M n ]} el conjunto de las magnitudes asociadas a las n cantidades físicas y sea {[F 1 ],, [F m ]} un conjunto de magnitudes fundamentales. La cantidad Φ tendrá magnitud, [Φ] = F b i i, b i = A i λ donde A i es la i ésima columna de la matriz de dimensión. A tiene rango m, es decir, tiene m columnas linealmente independientes, que se asume, son las primeras. Así las correspondientes magnitudes serán independientes en el sentido de la Propiedad 1, esto es, que su única combinación adimensional es la trivial ([M 1 ] λ 1 [M 2 ] λ2 [M m ] λm será adimensional si λ 1 = = λ m = 0). Las restantes columnas pueden expresarse como combinación lineal de las primeras m, de modo que [M j ] = [M c 1 1 M cm m ], j = m + 1,, n para una adecuada elección de c 1,, c m. Pero entonces, [M j M c 1 1 M cm m ] es adimensional, pudiendo escribirse que [M j ] = [M 1 ] c1 [M m ] cm π d 1 1 π d n m n m siendo los d 1,, d n m únicos y constituyendo los π 1, π n m, un conjunto maximal. Reemplazando en la relación Φ, resulta Φ(M 1,, M n ) = Ψ(M 1,, M m, π 1,, π n m ) = 0. Para terminar la demostración hay que probar la independencia de Ψ respecto de M 1,, M m. Para ello, obsérvese que si se realiza un cambio de unidades manteniendo el sistema de magnitudes la relación resulta Ψ(M 1,, M m, π 1,, π n m ) = 0. Como los π k son invariantes ante el cambio de unidades, concluimos que para conservar el valor de la función Ψ esta no puede depender de M 1,, M m, reduciéndose a Ψ(π 1,, π n m ) = 0, lo que completa la prueba. 4

5 El Teorema ofrece no sólo una poderosa herramienta teórica, sino una metodología para la construcción y análisis de modelos: Ejemplo: Considérese el problema de determinar gradp := p x, la caída de presión por unidad de longitud que sufre un fluido viscoso en régimen turbulento al transportarse a lo largo de un tubo. Las variables relevantes son - el caudal másico ṁ, [M/T], - la densidad ρ, [M/L 3 ], - la viscosidad dinámica µ [M/LT], - el diámetro del tubo, D, [L], - la rugosidad del tubo, e, [L]. Determinadas las variables, se construye la matriz de dimensión con ayuda de la siguiente tabla: p x ṁ D e µ ρ [M] [L] [T] El Teorema indica que hay que determinar el espacio nulo de A y utilizarlo para construir las combinaciones adimensionales por simple inspección. Para este problema, hay n = 6 parámetros y m = 3 magnitudes fundamentales, de modo que habrá n m = 3 parámetros adimensionales. Queda claro que infinitas posibilidades para la elección de la base del espacio nulo 1. Guiados por la práctica usual resultan los siguientes parámetros: Parámetro π 1 = ṁ µd = ρvd µ π 2 = p xρd 5 = p xd ṁ 2 ρv 2 π 3 = e D Símbolo Denomiación Re ɛ número de Reynolds Rugosidad relativa 1 Para hallar los parámetros adimensionales, reducir A a la forma escalonada por filas: A = p x ṁ D Las últimas tres columnas tienen los exponentes para formar los π: por ejemplo, de la cuarta columna, la del parámetro e, resulta π 1 = e/p 0 xṁ0 D 1 = e/d. 5

6 2 El principio de semejanza La semejanza es un concepto que puede emplearse en la verificación de modelos. Se dice que un modelo tiene semejanza con un sistema si se verifica que ambos tienen: 1. semejanza geométrica: el modelo tiene la misma forma que el sistema a analizar, siendo usualmente un modelo a escala, 2. semejanza cinemática: las tasas de cambio del flujo en el sistema y en el modelo deben ser similares y 3. semejanza dinámica: los cocientes formados por todas las fuerzas actuantes deben ser los mismos en el sistema y en el modelo. Los modelos se emplean en el estudio de flujos complejos donde no hay soluciones analíticas o donde las simulaciones numéricas no son suficientemente confiables. El diseño de experimentos a escala requiere de un análisis previo: mientras que la geometría puede ser sencillamente definida por una transformación de escala, otros parámetros como la velocidad o la presión no responderan a una ley tan sencilla: la semejanza se alcanza cuando las condiciones de ensayo son tales que los resultados del mismo son aplicables al sistema. Típicamente, el análisis procede según: 1. identificar los parámetros que describen el sistema, 2. reducir el número de parámetros mediante técnicas de análisis dimensional, 3. identificar cuáles de los parámetros adimensionales deben permancer constantes entre el modelo y el sistema, para asegurar la semejanza, 4. derivar de las relaciones de invarianza para los parámetros adimensionales de las relaciones de escala. Hay situaciones en las que no es posible asegurar semejanza estricta, es decir, preservar todos los parámetros adimensionales: en esos casos habrá que analizar qué aspectos del modelo se quieren privilegiar y mantener la invarianza de los parámetros adimensonales correspondientes. Ejemplo: Considérese un modelo escala 1 : 40 de un submarino que opera en agua de mar a 0.5 C y que se desplaza a 5m/seg. Se desea determinar la potencia requerida para que el submarino opere en esas condiciones, a partir 6

7 de un ensayo del modelo, que se realiza en un canal hidráulico alimentado con agua dulce a 20 C. La siguiente tabla resume los parámetros que describen el flujo alrededor del submarino y alrededor del modelo, junto con sus valores: Parámetro Sistema Modelos Unidades D (diámetro del submarino) 10 1/4 m v (velocidad) 5 a determinar m/seg ρ (densidad) kg/m 3 µ (viscosidad dinámica) Pa.seg F (fuerza) a calcular a medir N De la tabla, surge que hay 5 parámetros y tres magnitudes fundamentales, [MLT], de modo que, en virtud del Teorema Π, el sistema podrá describirse con 2 parámetros adimensionales, que resultan Re = ρvd µ, número de Reynolds C p = ( 2 P ρv 2 ), coeficiente de presión donde P := F/D 2. Tanto el número de Reynolds cuanto el coeficiente de presión, representan cocientes de fuerzas: en efecto, el primero puede interpretarse como el cociente de las fuerzas de inercia y las viscosas y el segundo como el cociente de las fuerzas de presión y las de inercia. Como ya indicamos, para que el modelo y el sistema sean semejantes deben satisfacer el requerimiento de semejanza dinámica, que se traduce en que estos números adimensionales deben valer lo mismo en el modelo y en el sistema. Con esto, se deben verificar las siguientes relaciones de escala: ( ) ( ) ( ) ( ) ρv D ρs Ds µm R e = v m = v s ( 2 P C p = ρv 2 µ ), F = PD 2 F s = F m ( ρs ρ m ρ m ) ( vs D m v m ) 2 µ s ( ) 2 Ds donde se utilizan los subíndice s y m para indicar sistema y modelo respectivamente. La invarianza del número de Reynolds permite determinar la velocidad en el modelo a ensayar: V m = 21.9 V s. Con v m, la relación de invarianza de C p prmite determinar la fuerza sobre le submarino: F s = 3.44 F m. 7 D m

8 Así, la potencia requerida es Potencia = F s V s = 17.2 F m (J/s). Obsérvese que, a pesar que el modelo es más pequeño que el sistema, se requiere una mayor velocidad para satisfacer las condiciones de semejanza. Otra observación es que, los fluidos en el sistema y en el modelo no tiene que ser los mismos: esto abre el campo a aplicaciones en los que el fluido en el sistema son caros o peligrosos o en los que los cambios físico-químicos que puede modificar el fluido debido a las condiciones de ensayo lo invaliden, pudiéndose evaluar los dispositivos con sustitutos más apropiados. 3 Relación entre el sistema de números adimensionales y las ecuaciones de gobierno de la mecánica de fluidos Existe una relación profunda entre el sistema de números adimensionales y las ecuaciones de gobierno de la mecánica de fluidos y sus simplificaciones. Para ponerla de manifiesto y al mismo tiempo dar una justificación del principio de semejanza dinámica presentado antes, considérese la siguiente versión simplificada de la ecuación de Navier-Stokes unidimensional, para el caso de despreciar los efectos gravitatorios y la convección, ρ u t = dp dx + µ 2 u x 2. Si se observa con cuidado, asociado a esta ecuación hay un sistema de tres magnitudes fundamentales, como por ejemplo, el [M, L, T]: sin embargo y por conveniencia, utilizaremos el sistema [ρ, L, V ], esto es, densidad, longitud y velocidad. La elección no es caprichosa: en fecto, obsérvese que para describir un flujo incompresible como el representado universalmente por la ecuación, es posible considerar la densidad ρ del fluido como densidad característica -única por cierto para todo el fluido-, una escala de longitud o longitud característica l del flujo y una velocidad de referencia o velocidad característica del flujo u 0. Estas cantidades características pueden usarse para construir nuevas variables, adimensionales, de la siguiente forma ū = u u 0, p = p ρu 2 0, x = x l, t = tu 0 l, 8

9 de modo que los términos de la ecuación, pueden rescribirse de la siguiente forma: ρ u t = ρu2 0 (u/u 0 ) l (tu 0 /l), dp dx = ρu2 0 (p/ρu 2 0 ) l d(x/l), u µ 2 x = µu 0 (u/u 0 ) 2 l 2 (x/l). 2 Reemplazando esta expresiones en la ecuación, y acomodando el coeficiente del término difusivo para que aparezca el factor ρu 2 0 /l, la ecuación resulta: ( ) ( ) ρu 2 0 ū ρu 2 l t = 0 d p l d x + µ ( ) ρu 2 2ū 0 ρu 0 l l x, 2 y eliminando el factor común, queda ū t = d p d x + ( µ ) 2ū ρu 0 l x. 2 En el coeficiente del término difusivo se puede reconocer la inversa del número de Reynolds. Esta observación justifica el postulado de semejanza dinámica empleado en la sección anterior: en efecto, si se toman las cantidades características como referencia en dos flujos, para que sus ecuaciones sean idénticas bastará con que los respectivos Re coincidan. 9