VI.- SEMEJANZA HIDRODINÁMICA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL

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1 VI.- SEMEJANZA HIDRODINÁMICA Y ANÁISIS DIMENSIONA VI..- NÚMEROS DE FROUDE, REYNODS, WEBER Y MACH En n fenómeno hidrálico, las variables qe intervienen en el mismo se peden redcir a ocho, y son: a) a ferza F b) a longitd c) a velocidad d) a densidad e) a viscosidad dinámica η f) a aceleración de la gravedad g g) a velocidad del sonido c s h) a tensión sperficial s as ferzas qe peden actar sobre n fenómeno hidrálico, son: ) as de inercia (gradiente de presiones) ) as de peso (gravedad) 3) as de viscosidad (rozamiento) 4) as de capilaridad (tensión sperficial) 5) as de elasticidad. a comparación de las catro últimas respecto a la primera, permite determinar los números adimensionales de Frode, Reynolds, Weber y Mach. El nº de Frode se define en la forma: F m d Ferzas de inercia dt d V dt d d Ferzas de peso V P γ g Ferzas de inercia Ferzas de peso d dt d d F g VI.-95

2 El nº de Reynolds se define en la forma: Re Ferzas de inercia Ferzas de rozamiento Ferzas de rozamiento η Ω d dx V η d dx η Re / η / η ν Cando el número de Reynolds es grande, las ferzas de inercia predominan sobre las de rozamiento y si es bajo, scede todo lo contrario. El nº de Weber se define en la forma: W Ferzas de inercia Ferzas de tensión sperficial Ferzas de tensión sperficial F V F F 3 σ, en la qe σ es la tensión sperficial. W / σ/ σ ; W σ σ El nº de Weber se define en la forma: M Ferzas de inercia Ferzas elásticas Ferzas elásticas F V F 3 F E, en la qe E es el módlo de elasticidad. M E E E ; M E c s Si el número de Mach es grande predominan las ferzas de inercia sobre las elásticas, y al contrario, si es bajo. a velocidad del flido r lleva asociada na velocidad de onda (velocidad del sonido en el flido), qe se conoce como celeridad: - a celeridad de la onda de peso se define en la forma: a g - a celeridad de la onda capilar se define como: a σ γ - a celeridad de la onda elástica se define como: a E Si hacemos, F, W, M, se tiene el caso en qe la velocidad del flido coincide con la celeridad de la onda, lo cal sirve para separar los régimenes cya característica es la posibilidad de propagación de la onda en todas direcciones, o solo dentro de na porción limitada de flido; esta velocidad se denomina velocidad crítica. VI.-96

3 No se pede tratar al número de Reynolds en la misma forma debido qe la propagación de la onda de viscosidad es transversal; experimentalmente se determina el valor del número de Reynolds, qe separa el régimen laminar del trblento, pdiéndose asegrar qe para flidos qe circlan por el interior de na tbería: - Si Re <.000, el régimen es laminar - Por encima de Re > 8.000, el régimen es trblento, anqe se han consegido regímenes laminares por encima de este número, lo cal no es significativo a la hora de definir el régimen trblento Para la celeridad de la onda de gravedad en ríos: - Si la velocidad es menor qe la celeridad, F <, el movimiento del líqido en el río será flvial o lento - Si la velocidad es mayor qe la celeridad a, el movimiento es torrencial o rápido En el caso de la velocidad de la onda elástica, la velocidad crítica se corresponde con la velocidad c s del sonido, M : - Si la velocidad del flido < c s, el movimiento es sbsónico y la pertrbación se transmite en todas direcciones, remontando inclso la corriente - Si la velocidad > c s el movimiento es spersónico y la pertrbación sólo se propaga en la dirección de la corriente VI..- EY GENERA DE NEWTON a información obtenida cando se ensaya n peqeño modelo, sirve para el diseño de n prototipo más grande, a escala real. as ferzas de inercia tienen gran interés, por canto aparecen en los números adimensionales de Frode, Reynolds, Weber y Mach, y de ahí el qe sea preciso establecer na escala qe lige dichas ferzas, entre el prototipo y el modelo. Si se representa dicha escala por x, tendremos: x F F m M a M m a m M V 3 M m V m m 3 m m a m m Ω m m Ω m m es decir, dos ferzas homólogas calesqiera están relacionadas entre sí en la misma forma qe: - as densidades de las masas respectivas - as secciones o sperficies correspondientes - os cadrados de las velocidades homólogas Existen nos coeficientes, λ, µ, τ, qe son relaciones constantes entre las magnitdes simples de ambos sistemas, de la forma: λ m ; λ con los qe se obtiene: Ω Ω m ; λ 3 V V m ; µ M ; τ M t m t m x M a M m a m M M m t m t m µ λ τ - qe es la ecación general de Newton, y qe se aplica cando las ferzas de inercia predominen sobre las VI.-97

4 demás, caso qe se presenta en alas de aeroplano, palas de hélice, etc, cyas sperficies provocan nas ferzas acelerativas en el flido en el qe están inmersas, my importantes. Como es my difícil consegir na semejanza completa entre el prototipo y el modelo, en ingeniería selen tilizarse tipos particlares de semejanza, siendo las más comnes la geométrica, la cinemática y la dinámica. a semejanza geométrica se refiere a la dimensión longitd y hay qe asegrarse qe se cmple, antes de proceder a los ensayos con calqier modelo; na definición de este tipo de semejanza podría ser la sigiente: Un modelo y n prototipo son geométricamente semejantes si, y solo si todas las dimensiones espaciales en las tres coordenadas tienen la misma relación de escala lineal. En la semejanza geométrica se conservan todos los ánglos, todas las direcciones de fljo, y la orientación del modelo y del prototipo con respecto a los objetos de los alrededores debe ser idéntica en la simlación. a semejanza cinemática exige qe todas las relaciones entre longitdes homologas del modelo y del prototipo tengan el mismo valor, (escala de longitdes), y también qe todas las relaciones entre tiempos homólogos tengan n valor común, (escala de tiempos); en consecencia habrá na escala única de velocidades. Así se pede decir qe: os movimientos de dos sistemas son cinematicamente semejantes si partíclas homologas alcanzan pntos homólogos en instantes homólogos. a eqivalencia de las escalas de longitd implica simplemente na semejanza geométrica, pero la eqivalencia de las escalas de tiempo peden exigir consideraciones de tipo dinámico tales, como la igaldad de los números de Reynolds y Mach a semejanza dinámica exige qe, cando el modelo y el prototipo tienen la misma relación de escala de longitdes, la misma relación de escala de tiempos y la misma relación de escala de ferzas (o de masa), el modelo es dinamicamente semejante al prototipo, y los números de Frode, Reynolds, Weber y Mach, han de ser igales en el modelo y en el prototipo. Veamos qé consideraciones hay qe tener presentes en lo qe respecta a la rgosidad. Sabemos qe la ferza total qe se ejerce sobre n cerpo en movimiento en el seno de n flido es proporcional a la densidad del flido, al cadrado de la velocidad y a la sperficie, por lo qe teniendo en centa modelo y prototipo se tiene: f r ξ Ω ; f rm ξ m m m Ω m siendo ξ y ξ m coeficientes de rozamiento; el valor de x será: x f r f m ξ Ω ξ m m m Ω m ξ ξ m µ λ -3 λ λ τ - ξ ξ m µ λ τ - por lo qe se debe cmplir qe ξ ξ m, lo qe scede cando las rgosidades relativas de los dos sistemas sean igales, es decir: d d m m ; d d m m λ siendo d y d m el espesor de las rgosidades. De ésto se dedce qe, por ejemplo, si el prototipo tiene las sperficies plimentadas, las del modelo deberán tener n plimento especial, de forma qe ss rgosidades d m d tienen qe ser mcho más λ peqeñas qe las del prototipo, y consegir ésto, en mchos casos es técnicamente imposible, por lo qe VI.-98

5 las ferzas de rozamiento prodcidas en el modelo serán mayores qe en el prototipo. E El estdio de n fenómeno físico consistirá, generalmente, en la investigación experimental de la fnción: NUMERO DE EUER..- Se define en la forma: E Δp E Δp Ferzas de inercia Ferzas de presión, en la qe Δp es la variación de la presión. E φ ( F, Re, W, M, a b, a c, a d ) en la qe a b, a c, a son números qe relacionan magnitdes de tipo geométrico qe caracterizan el fenómeno. d Δp Δp Despejando la velocidad se tiene: E φ ( F, Re, W, M, a b, a c, a ), estableciéndose d na proporcionalidad entre la velocidad, y la variación de presión Δp. Para flidos perfectos, únicamente intervendrán en la fnción φ los parámetros qe caracterizan el contorno. Si representamos la ecación anterior para el movimiento del flido qe simle el comportamiento de n modelo, se pede poner: Δp m m φ m ( F, Re, W, M, a m b m, a m c m, a m d m ) Elevando al cadrado las expresiones de la velocidad en el modelo y en el prototipo: Δp φ ; Δp m m φ m dividiéndolas entre sí: ( m ) Δp - Δp m - ( φ ) m φ ( λ τ - ) F S- - m F m S - m - ( m φ ) φ x λ - ( µ - λ 3 φ ) ( ) m φ m y despejando x: x λ µ τ - ( φ m ) x ( φ m ) φ φ reslta qe para qe se cmpla la semejanza dinámica debe ser φ m φ, y tiene qe existir na igaldad entre las fnciones real del prototipo y del modelo, exigiéndose la igaldad entre los números de F, Re, W y M. Si ésto se logra, se habrá consegido la semejanza perfecta. Sin embargo, este tipo de semejanza no existe, pero se peden obtener benos resltados igalando tan sólo no de los parámetros F, Re, W, M, consigiéndose así na semejanza tanto más perfecta canto más peqeña sea la inflencia de los restantes parámetros en el fenómeno físico qe el ensayo pretende reprodcir. VI.-99

6 EY DE REECH-FROUDE.- Cando se estdia n movimiento en el qe la gravedad tiene na inflencia predominante, por ejemplo, el vertedero de na presa, el error qe se comete es my peqeño al sponer qe la fnción φ solo depende del contorno y del número de Frode, con lo qe se deberá cmplir ademas la ley general de Newton, x λ µ τ-, siendo φ de la forma: φ φ ( F, a b, a c, a d ) a semejanza geométrica entre el prototipo y el modelo es condición necesaria, pero no sficiente para qe, en pntos homólogos, los números de Eler sean igales. a semejanza dinámica en los pntos homólogos reqiere qe: F F m, es decir: g m, y m g m como la aceleración de la gravedad sele ser la misma en el modelo y en el prototipo, al igalar F F m, se pede tilizar la relación: m, qe obviamente ya no es adimensional. m De todo esto se obtienen nas relaciones qe sirven para predecir, a partir de na serie de medidas de velocidades, cadales, etc, efectadas en el modelo, los valores correspondientes qe son de interés en el prototipo; así se tiene: Velocidades: Cadales: Q Q m Tiempos: m m ; m m m λ Ω Ω m m λ λ Q Q m λ 5 t t m m m λ t t m λ Ferzas: x µ λ τ - λ 3 m y sponiendo: m, reslta: f f m λ 3 λ λ g λ g 3 γ m γ m qe es igal a la relación entre masas, m m m λ 3 Trabajo: T T m Presiones: p p m Ferza. espacio Ferza m. espacio m f Ω m f m Ω λ3 λ - λ ; p p m λ f f m λ 3 γ γ m Masa. aceleración. espacio Masa m. aceleración m. espacio m m m m m m t - (m t - ) m t m - t λ3 λ λ λ 4 ; T T m λ 4 Este caso se pede presentar en orificios, compertas, ondas de oscilación, caces flviales, etc; hay qe asegrarse de qe no intervengan de modo apreciable ni la tensión sperficial, ni la viscosidad. VI.3.- SEMEJANZA DINÁMICA CON PREDOMINIO DE A VISCOSIDAD De la ecación de Newton: F η Ω d, se dedce qe la ferza debida a la viscosidad es proporcional a η,, ; la relación entre las ferzas de inercia y de viscosidad permite obtener el número de Re. dx Para qe el modelo y el prototipo sean dinámicamente semejantes es necesario qe el número de Reynolds sea idéntico en ambos. Canto mayor sea el número de Reynolds, menos importancia tiene la VI.-00

7 viscosidad en el fenómeno, y viceversa. Si se tiliza el mismo flido en el prototipo y en el modelo (ν ν m ) la relación entre velocidades es: Re Re m ; m m ; m m λ- ; λ - m y como según Frode: m λ, se comprende es imposible se cmplan ambas relaciones al tiempo, excepto en el caso particlar en qe λ, es decir, cando el modelo sea geométricamente igal al prototipo. Cando se ensaya con aire, como la densidad del aire es mcho menor qe la del aga, las ferzas de inercia serán más débiles por lo qe las ferzas de viscosidad se harán relativamente más importantes, comportándose de esta forma el aire como n flido más viscoso qe el aga. En los túneles de viento, los ensayos se hacen según la ley de Reynolds, siendo ss aplicaciones más importantes el estdio del movimiento laminar de flidos por tberías, objetos smergidos en corrientes flidas, etc. as escalas correspondientes se obtienen en forma análoga al caso anterior, qe resmimos en la Tabla VI.. VI.4.- SEMEJANZA DINÁMICA CON PREDOMINIO DE A EASTICIDAD Sabemos qe, dimensionalmente, la ferza de elasticidad es proporcional al módlo de elasticidad y al área sobre la cal actúa dicha ferza, es decir, proporcional a E y la relación entre la ferza de inercia y la ferza de elasticidad, por nidad de volmen, es el cadrado del número de Mach, de la forma: M E c s en la qe c s es la velocidad del sonido. Tabla VI..- Resmen de escalas Frode Reynolds Weber Mach ongitd λ λ λ λ Tiempo λ λ Velocidad λ /λ / λ Aceleración Cadal λ 5 Presión λ /λ /λ Energía λ λ 3 Ferza λ 3 λ λ λ 4 λ λ λ 3 /λ 3 /λ λ 3 λ /λ λ 3 En los líqidos, la velocidad del sonido varía sólo ligeramente con la temperatra y la presión, mientras qe en los gases scede lo contrario. Canto mayor sea el número de Mach, tanto mayor es la importancia de la elasticidad, y viceversa. Si los números de Mach son igales, los números de Eler también lo serán. El número de Mach sólo tiene importancia en aqellos problemas en los qe la compresibilidad tenga na cierta inflencia. VI.-0

8 VI.5.- ANÁISIS DIMENSIONA Teorema de Bckinghan.- El Teorema establece qe en n problema físico en el qe intervienen n variables linealmente independientes, qe inclyen m dimensiones, las variables se peden agrpar en (n-m) parámetros π adimensionales, linealmente independientes. Algnas de las variables qe peden intervenir en n determinado fenómeno son, F, ferza ;, longitd ;, velocidad ; densidad ; η viscosidad dinámica ; g gravedad ; c s velocidad del sonido ; σ tensión sperficial ; k F condctividad térmica del flido ; c F calor específico a presión constante ; h C coeficiente de convección. as dimensiones son: ongitd, masa M, tiempo t y temperatra T. as ferzas F peden ser: F inercia (debida a n gradiente de presiones) F elástica F gravedad F viscosidad (rozamiento) F capilaridad (tensión sperficial). Si A, A,..., A n son las variables consideradas, como presión, velocidad, viscosidad, etc., qe se spone son esenciales a la hora de resolver n problema, podemos sponer vienen relacionadas mediante na expresión fncional de la forma: F( A, A,..., A n ) 0 y si, π, π,..., π n-m, representan los parámetros adimensionales qe agrpan a las variables, A,A,...,A n, qe inclyen, entre todas ellas, las m dimensiones, el Teorema de Bckinghan establece la existencia de na ecación, fnción de estos parámetros, de la forma: f (π, π,..., π n m ) 0 El método qe permite obtener los parámetros π consiste en seleccionar m de las n variables A i, las cales peden tener diferentes dimensiones, pero deben ser linealmente independientes, de forma qe contengan entre todas ellas las m dimensiones, pdiéndose emplear como variables repetitivas al combinarlas con las variables A restantes, formándose así cada parámetro adimensional π. Por ejemplo se pede sponer qe A, A y A 3 contienen las dimensiones (M,, t), masa, longitd y tiempo, no necesariamente en cada na de ellas, pero sí en forma colectiva. x El primer parámetro π adimensional es: π A x A x A3 3 A4 y El segndo parámetro π adimensional es: π A y A y A3 3 A5 z y así scesivamente hasta el parámetro: π n m A z A z A3 3 An os exponentes de estas ecaciones se tienen qe examinar de tal manera qe cada parámetro π reslte adimensional; se sstityen las dimensiones de las variables A i y los exponentes de M,, t,... se igalan a cero por separado, formándose n sistema de ecaciones (tres para el ejemplo propesto), con tres incógnitas para cada parámetro π, pdiéndose determinar los exponentes x, y, z, y por lo tanto, los parámetros π correspondientes. VI.-0

9 Ecación general de resistencia.- as variables qe intervienen en el movimiento de n sólido inmerso en na corriente flida se peden relacionar mediante la ecación: F A f ( V 0,,, η ) siendo la matriz correspondiente de la forma F/A V 0 η M t Si por ejemplo se eligen como variables linealmente independientes, V 0,,, reslta: y como el número de variables n qe intervienen en el fenómeno es 5 y el número de dimensiones m es 3, el número de parámetros π adimensionales qe se peden formar son, π y π : π ( V 0 ) x ( ) x ( ) x 3 η ( t - ) x ( ) x ( M -3 ) x 3 ( M - t - ) π ( V 0 ) y ( ) y ( ) y 3 F A ( t - ) y ( ) y ( M -3 ) y 3 ( M - t - ) os parámetros π y π son: ( ) x +x -3x 3 - ( M ) x 3 + ( t ) -x - ( ) 0 ( M ) 0 ( t ) 0 ( ) y +y -3y 3 - ( M ) y 3 + ( t ) -y - ( ) 0 ( M ) 0 ( t ) 0 x x + 0 x + x - 3 x 3-0 y y + y - 3 y 3-0 y + 0 x - ; x - ; x 3 - ; π V η Re - y - ; y 0 ; y 3 - ; π V 0 - F A F A π V 0 ( π ) V 0 C w V 0 qe es la forma qe toma la ecación de resistencia, ya demostrada anteriormente. Ecación general de la pérdida de carga en na condcción cilíndrica.- En n condcto de sección circlar la pérdida de presión debida a la fricción se conoce como pérdida de carga P, qe mltiplicada por la sección transversal A T tiene qe ser igal a la pérdida por fricción F, o ferza de arrastre, en la forma: F P π d 4 P ( π ) V 0 A C w V 0 π d d ( 8 π ) V 0 λ V 0 d 8 C w V 0 d en la qe el valor de λ se determina mediante formlación empírica o ábacos y diagramas, de entre los qe destaca el diagrama de Moody. VI.-03

10 Método básico de análisis dimensional.- Consiste en redcir al mínimo el número de variables qe peden intervenir en n problema, formando con las mismas na serie de grpos adimensionales independientes. En este método todas las ecaciones racionales se peden hacer adimensionales con n cierto número de términos independientes; las variables se acomodan en na ecación dimensional única, de forma qe la combinación de variables para formar grpos o términos adimensionales, proporciona n número de grpos independientes siempre menor qe el de variables originales. El proceso se pede iniciar identificando sólo aqellas variables qe son significativas del problema; despés se agrpan en na ecación fncional y se determinan ss dimensiones. Como aplicación directa del método, vamos a hacer n estdio inicial de la transmisión de calor desde n tbo cilíndrico a n flido qe circla por s interior en régimen trblento. Si se considera n fljo en convección forzada, y qe el tbo está limpio y sin incrstaciones, los coeficientes de pelícla h C se determinan experimentalmente como fnción de n cierto número de factores qe representan las características dinámicas del fljo y las propiedades físicas del flido. El rozamiento del flido spone n intercambio de energía entre él y la sperficie interna del tbo, mientras qe la transmisión de calor por convección forzada spone n intercambio de energía térmica entre la sperficie del tbo y el flido; ambos fenómenos dependen del grado de trblencia del flido. En general el rozamiento de n flido en circlación forzada depende de los sigientes factores: a) Diámetro interior del tbo di ; b) ongitd del tbo ; c) Velocidad media del flido F en el intervalo correspondiente a la longitd ; d) Densidad del flido ; e) Viscosidad dinámica del flido η ; f) Rgosidad relativa del tbo ε/d i a transmisión de calor depende de la condctividad k F del flido y de s calor específico a presión constante c F ; la determinación del coeficiente h C de la transmisión de calor por convección forzada, se pede iniciar a partir de la ecación: Q A ΔT h C φ ( d i, F,, η,, k F, c F, ε d i ) ; F ( d i, F,, η,, k F, c F, ε d i ) 0 y qe adimensionalmente se pede expresar mediante la sigiente matriz: d i F η k F c F h c Masa M ongitd -3-0 Tiempo t Temperatra T de 7 variables y cyo discriminante es de razón 4, por lo qe habrá qe especificar de antemano el valor de 3 variables calesqiera. El valor de h C se pede expresar en la forma adimensional sigiente: h c d i a F b c η d e k F f c F i ( M t -3 T - ) ( ) a ( t - ) b ( M -3 ) c ( M - t - ) d ( ) e ( M t -3 T - ) f ( t - T - ) i M c+d+f a+b-3c-d+e+f +i t -b-d-3 f-i T -f -i c + d + f a + b - 3 c - d + e + f + 0 Identificando coeficientes se obtiene el sistema de ecaciones: b + d + 3 f + i 3 f + i VI.-04

11 qe es n sistema de 4 ecaciones linealmente independientes, con 7 incógnitas, pdiéndose fijar 3 incógnitas, por ejemplo (i, b, e) y poner las otras 4 en fnción de ellas, qedando: f - i d - c - f i - c 3 - b - 3 f - i 3 - b i - i - b + i c b a - b + 3 c + d - e - f - i - + b - e por lo qe: h C d +b-e ī b F b η -b+i e k-i F c i F ( d i ) k - ( d i F ) F η b ( d i )-e ( η c F ) k i F qe a s vez se pede poner en la forma: h C d i k F ϕ ( d i F, d i η, η c F ) k F y qe para la transmisión de calor por convección forzada, indica qe si se efectúan na serie de prebas qe difieran solamente en el valor de la velocidad F, con los valores qe así se obtengan, jnto con los de h C medidos experimentalmente, se peden determinar la fnción o fnciones qe ligan a los grpos adimensionales Re d i F η d i F ν ; N h C d i k F ; Pr c F η k F qe sólo serán válidas para valores particlares de los demás grpos adimensionales; por lo tanto: N ϕ ( Re, Pr, d i ) modelo qe no admite cambios de estado en el flido qe circla; la formlación desarrollada es my adecada para estdiar la inflencia de la velocidad F sobre el coeficiente de transmisión de calor por convección forzada h C de n sistema calqiera, pes estas dos variables aparecen na sola vez. El procedimiento normal para determinar los exponentes (b, e, i) a partir de datos experimentales consiste en igalar el calor transmitido al flido por convección, con la variación de entalpía qe experimenta por esta casa. Calor transmitido al flido por convección: Q h C A (T pf - T F ) Variación de entalpía del flido: Q m c F (T sal - T ent ) A T F c F ( T sal - T ent ) G A T c F ( T sal - T ent ) G A T ( i sal - i ent ) G es la velocidad másica 3600 F, kg/m hora, viniendo F en m/seg en la qe: A T es el área de la sección transversal del tbo correspondiente al diámetro interior A es el área de la sperficie de la pared en contacto con el flido Igalándolas se obtiene: h C c F G A T ( T sal - T ent ) A ( T pf - T F ) St N Re Pr El número de Stanton St se calcla a partir de datos de aboratorio. VI.-05

12 Para flidos qe se calientan en el interior de tbos, se aplica satisfactoriamente la ecación de Ditts-Boelter, fnción de los números de Nsselt, Reynolds y Prandtl, de la forma: Pr ν N 0,03 Re 0,8 Pr 0,4 α c F η k, siendo: F N h C ΔT k F ΔT h C k F en la qe: - El coeficiente de convección: h C ( Kcal/hora m C) - a condctividad térmica k F del flido ( Kcal/m C) - a velocidad másica G ( kg/m hora) El número de Nsselt es la relación entre el calor transmitido por convección y el calor transmitido por condcción, en la longitd característica. VI.6.- APICACIÓN DE ANÁISIS DIMENSIONA A AS BOMBAS CENTRIFUGAS as variables qe intervienen en el movimiento de n líqido, a través de los álabes de na bomba centrífga, peden relacionarse mediante la sigiente ecación: f ( E, D, q,, η, n ) 0 en la qe: E g H m es la energía específica D el diámetro q el cadal bombeado la densidad del líqido tilizado η la viscosidad dinámica del líqido n el número de revolciones por minto de la bomba Como estas seis variables dependen total o parcialmente de las dimensiones (M,, t), se peden obtener, 6-3 3, parámetros π adimensionales. a matriz correspondiente a estas variables es: E D q η n M t Podemos tomar, por ejemplo, E, D y, como variables independientes por canto s determinante es distinto de cero: π E x D y z q ( x + y - 3 z + 3 ) t (- x - ) M z pdiéndose poner qe: π E x D y z n ( x + y - 3 z ) t (- x - ) M z π 3 E x 3 D y 3 z 3 η ( x 3+ y 3-3 z 3 - ) t (- x 3- ) M ( z 3+ ) de las qe se dedcen los sigientes sistemas de ecaciones: VI.-06

13 x + y - 3 z x - 0 z 0 x - ; y - π q E D q g H m D x + y - 3 z 0 - x - 0 z 0 x - ; y π n D E n D g H m x 3 + y 3-3 z x 3-0 x 3 - ; y 3 - ; z 3 - π 3 z η D E η D g H m D ν g H m os parámetros adimensionales π, π y π 3 permanecen constantes para cada serie de bombas semejantes, fncionando en condiciones dinámicas semejantes (igal rendimiento). A partir de ellos, se peden obtener otros parámetros adimensionales combinándolos adecadamente, obteniéndose: π 4 π π 3 q D q H m D q H m ν q ν D (Nº de Re para bombas) π 5 π π D 4 q g H m n D g H m n q ( g H m ) 3/4 (Velocidad específica) π 6 π π q D q H m q H m n D q n D 3 q s (Cadal específico) π 7 π q H m n D π /3 6 π 5 4/3 De todas las combinaciones qe se pedan obtener, sólo 3 son linealmente independientes. VI.7.- APICACIÓN DE ANÁISIS DIMENSIONA A VERTEDEROS EN PARED DEGADA as variables qe intervienen en el movimiento de n líqido a través de n vertedero, se peden relacionar mediante la ecación: v f ( h,, g, η, σ ) en la qe σ F r es la tensión sperficial, v la velocidad del líqido qe pasa por el vertedero, y η la densidad y viscosidad dinámica del líqido tilizado, respectivamente, y h la carga en la corona del vertedero; las seis variables dependen total o parcialmente de las dimensiones (M,, t), por lo qe se peden obtener, 6-3 3, parámetros π adimensionales. a matriz correspondiente a estas variables es de la forma: v h g η σ M t Podemos tomar, por ejemplo, v, h y, como variables independientes por canto s determinante es distinto de cero: VI.-07

14 π q x h y z g ( x + y - 3 z + ) t (-x - ) M z pdiéndose poner qe: π q x h y z η ( x + y - 3 z - ) t (-x - ) M z + π 3 q x 3 h y 3 z 3 σ ( x 3+ y 3 - z 3 ) t (-x 3- ) M ( z 3+ ) de las qe se dedcen los sigientes sistemas de ecaciones: x + y - 3 z + 0 x + 0 z 0 x - ; y π v - h g ; v g h π x + y - 3 z - 0 x + 0 z + 0 x - ; y - ; z - π v - h - η v - h - ν Re x 3 + y 3 - z 3 0 x z x 3 - ; y 3 ; z 3 - π 3 v - h - σ h σ v Nº Weber: W v h σ h W os parámetros adimensionales π, π y π 3 permanecen constantes para cada vertedero. Si se hace la combinación: π 4 π π 3 π h g v h W Re h3 g Re W - v v π 4 h 3 g Re W - reslta la expresión del cadal: q Ω v Ω π 4 / h 3/ Re / W - h 3/ g / ψ ( Re, W, π 4 ) C h g h qe es la ecación general del vertedero, siendo C n coeficiente qe comprende ss características; el cadal en calqier vertedero es proporcional a h3/, siendo h la carga del mismo. VI.-08