Estudio de fenómenos de inestabilidad 3D en estructuras de barras de sección tipo doble-t

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE VAADOID ESCUEA DE INGENIERIAS INDUSTRIAES Grado en Ingeniería Mecánica Estdio de fenómenos de inestabilidad 3D en estrctras de barras de sección tio Ator: Orgaz Díaz, David Ttor: Cacho Pérez, Mariano Deartamento de Constrcciones Aritectónicas, Ingeniería del Terreno y Mecánica de Medios Continos y Teoría de Estrctras. Valladolid, Jnio 215 1

2 2

3 AGRADECIMIENTOS Al fin llegó no de los momentos más imortantes de mi vida, desés de más de catro crsos de dro trabajo ara lograr el títlo de Gradado en Ingeniería Mecánica, isiera mostrar mi más rofndo agradecimiento a todas esas ersonas e han comartido conmigo cada momento de esta etaa tan intensa de mi vida. Por todo lo anterior deseo dedicarles el resente trabajo, or s ayda, aoyo y comresión. Asimismo isiera agradecerles ore esta etaa no hbiera sido lo mismo sin ellos. De nevo, iero exresar mi más rofndo agradecimiento a toda mi familia, en esecial a mis adres or la oortnidad e me han dado en la vida, ore si no hbiera sido or ellos jamás habría llegado hasta aí y a mi hermana or haberme aydado en todo momento. A todos mis comañeros de la niversidad e he tenido drante todos estos años, con los e he comartido my benos momentos y otros no tan benos y con los e esero segir contando el día de mañana. A todos los comañeros de trabajo de la emresa INTEROB, or la gran oortnidad e me han dado, hacerme n heco en s emresa sin ni siiera haber conclido mis estdios. También iero agradecer a todos los rofesores de la Escela de Ingenierías Indstriales de la Universidad de Valladolid or s trato y dedicación drante estos años. Esecialmente, iero agradecer s enorme dedicación al Ttor de este trabajo, el rofesor Dr. Mariano Cacho Pérez del deartamento de Constrcciones Aritectónicas, Ingeniería del Terreno y Mecánica de Medios Continos y Teoría de Estrctras, or haberme mostrado s aoyo, sabidría y comresión en todo momento. A todos ellos, mchas gracias. 3

4 4

5 Este trabajo va dedicado a mi abelo recientemente fallecido. T fallecimiento cambió mi vida, ero mcho más lo hizo el imborrable recerdo del tiemo e asaste a mi lado. Estoy segro e no odría exresar con alabras la emoción e sentiría si estviera en la resentación de este trabajo. 5

6 6

7 RESUMEN El resente trabajo, tiene como objetivo el estdio de las deformaciones e se rodcen a la hora de realizar n estdio sobre el andeo de na estrctra en tres dimensiones, así como analizar los diferentes modos de andeo e se eden rodcir a la hora del estdio de este tio de inestabilidad. También se realizará el cálclo de estos valores or diferentes métodos y se verán las diferencias entre ellos: Cálclo analítico, cálclo mediante n software esecífico y segimiento de la actal norma esañola. Todo esto se verá tilizando distintos casos de estrctras ara diferentes estados de cargas. PAABRAS CAVE PANDEO CÁCUO MODO TORSIÓN FEXIÓN 7

8 8

9 ABSTRACT The resent work aims to stdy the deformations that ocrr when a stdy on the bckling of a three-dimensional strctre and analyze different bckling modes that can ocrr at the time of stdy this tye of instability. Calclate these vales are also held by different methods and the differences between them will be: Analytical calclation, tracking the crrent Sanish norm and calclation sing a secific software. All this will be sing different cases of strctres for different states of loads. KEYWORDS BUCKING OAD FACTOR NONINEAR ANAYSIS BUCKING MODE SHAPE WARPING TORSION BENDING MOMENTS 9

10 1

11 ÍNDICE I. ÍNDICE DE FIGURAS INTRODUCCIÓN Motivación Objetivos Estrctra del trabajo TEORÍA DE PANDEO Pandeo de estrctras Tios de deformaciones en andeo Tios de erfiles ANÁISIS DE PANDEO MEDIANTE MDR Simlificaciones habitales Demostración ecaciones de andeo Ejemlo de cálclo mediante MDR Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión Caso 2: Pandeo lateral o velco Caso 3: Pandeo con cargas combinadas Caso 4: Pandeo global de na estrctra: Método lineal Caso 5: Pandeo global de na estrctra: Método no lineal ANÁISIS DE PANDEO MEDIANTE SOFTWARE DE SIMUACIÓN Simlation Mechanical Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión Caso 2: Pandeo lateral o velco Caso 3: Pandeo con cargas combinadas Caso 4: Pandeo global de na estrctra. Método lineal

12 5. ANÁISIS DE PANDEO MEDIANTE CTE DB SE-A Introdcción Ecaciones de Pandeo según DB SE-A Tensión máxima teórica y real Cálclo a andeo con la normativa Esañola: DB-SE-A (27) Crvas eroeas de andeo Comrobaciones a Pandeo ateral Comrobaciones a Pandeo con torsión Ejemlo de cálclo mediante DB SE-A Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión Caso 2: Pandeo lateral o velco Caso 3: Pandeo con cargas combinadas VAORACIÓN DE RESUTADOS Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión Caso 2: Pandeo lateral o velco Caso 3: Pandeo con cargas combinadas Caso 4: Pandeo global de na estrctra. Método lineal CONCUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS Conclsiones Trabajos Ftros REFERENCIAS BIBIOGRÁFICAS ANEXOS ANEXO I: Tabla erfil IPE ANEXO II: Coeficientes arciales de segridad ANEXO III: Características mecánicas mínimas de los aceros ANEXO IV: Crva de andeo en fnción de la sección transversal ANEXO V: Factor de imerfección α T ANEXO VI: Valor del factor C 1 corresondiente a los valores del factor K φ

13 ANEXO VII: Coeficientes del momento eivalente ANEXO VIII: Informe arte 1 Mathematica ANEXO IX: Informe arte 2 Simlation Mechanical ANEXO X: Informe arte 3 CYPE

14 14

15 I. ÍNDICE DE FIGURAS Figra Casco de acero tilizado en la edad media... 2 Figra Perfiles de acero laminados... 2 Figra Pandeo de na colmna Figra Fenómeno de inestabilidad or andeo Figra Deformadas en andeo Figra Pandeo ateral o Velco Figra Sentido ositivo de las magnitdes Figra Deslazamiento del nto N Figra Coeficiente Figra Deslazamiento nodal de n elemento Figra Sistema de coordenadas global y local Figra Viga biaoyada sometida a comresión Figra Carga de andeo 1 (P 1 ) Figra Modo de andeo ara la carga 1 (P 1 ) Figra Carga de andeo 2 (P 2 ) Figra Modo de andeo ara la carga 2 (P 2 ) Figra Carga de andeo 3 (P 3 ) Figra Modo de andeo ara la carga 3 (P 3 ) Figra Carga de andeo 4 (P 4 ) Figra Modo de andeo ara la carga 4 (P 4 ) Figra Carga de andeo 5 (P 5 ) Figra Modo de andeo ara la carga 5 (P 5 ) Figra Carga de andeo 6 (P 6 )

16 Figra Modo de andeo ara la carga 6 (P 6 )... 6 Figra Viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados Figra Carga de andeo (M cr ) Figra Primer modo de andeo ara M cr Figra Segndo modo de andeo ara M cr Figra Viga biaoyada sometida a distintos estados de cargas Figra Primer modo de andeo ara M cr y P= Figra Segndo modo de andeo ara M cr y P= Figra Primer modo de andeo ara M cr y P= Figra Segndo modo de andeo ara M cr y P= Figra Estrctra con cargas ntales Figra Esema método lineal Figra Coeficiente de andeo Figra Esema método no lineal de na iteración Figra Coeficiente de andeo Figra Viga biaoyada con dos cargas ntales en n extremo Figra Primer modo de andeo. Vista serior Figra Primer modo de andeo. Vista 3D Figra Segndo modo de andeo. Vista lateral Figra Segndo modo de andeo. Vista 3D Figra Tercer modo de andeo. Vista serior Figra Tercer modo de andeo. Vista 3D Figra Carto modo de andeo. Vista lateral Figra Carto modo de andeo. Vista 3D Figra Qinto modo de andeo. Vista serior

17 Figra Qinto modo de andeo. Vista 3D Figra Sexto modo de andeo. Vista frontal Figra Sexto modo de andeo. Vista 3D Figra Viga biaoyada con dos momentos concentrados en los extremos.. 94 Figra Modo de andeo ara andeo lateral. Vista lateral Figra Modo de andeo ara andeo lateral. Vista serior Figra Modo de andeo ara andeo lateral. Vista 3D Figra Viga biaoyada con dos momentos concentrados en los extremos y con cargas ntales Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (tracción). Vista lateral Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (tracción). Vista serior 99 Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (tracción). Vista 3D... 1 Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (comresión). Vista lateral Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (comresión). Vista serior Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (comresión). Vista 3D 12 Figra Estrctra con cargas ntales Figra Modo de andeo global de la estrctra. Vista 3D...15 Figra Comortamiento de n ilar sometido a cargas de comresión Figra Viga biaoyada sometida a cargas de comresión Figra Crvas de andeo Figra Coeficiente de andeo en el eje Figra Coeficiente de andeo en el eje Figra Comaración de resltados ara el caso Figra Comaración de resltados ara el caso

18 Figra Comaración de resltados ara el caso Figra Comaración de resltados ara el caso

19 1. INTRODUCCIÓN 19

20 1.1. Motivación El acero es na aleación de hierro y carbono con nas excelentes roiedades mecánicas e se sa ara todo tio de alicaciones. Este material ya se emezaba a sar en la Edad Media, or ejemlo en la fabricación de cascos ara gerreros (Figra 1.1.1), y desde entonces, la demanda del mismo ha crecido exonencialmente hasta la actalidad. Figra Casco de acero tilizado en la edad media. Entre las diversas alicaciones e tiene el acero, na fndamental es la fabricación de erfiles de acero (laminados, conformados, armados, etc.). Es or este motivo or el e nos vemos obligados a realizar estdios sobre el comortamiento de los erfiles en diferentes sitaciones (comortamiento del acero ante la alicación de cargas, comortamiento del mismo ante diferentes atmósferas, etc.). En la figra 1.1.2, se mestran diversos tios de erfiles de acero laminados e son tilizados en la actalidad. Figra Perfiles de acero laminados. Para el caso del comortamiento del acero ante la alicación de cargas, se sabe e n erfil trabaja ante n determinado estado de cargas transmitiendo nos esferzos y rodciendo na deformada de flexión de la viga. 2

21 Si estas cargas están alicadas en el sentido longitdinal de la viga y además son de comresión, se ede rodcir n fenómeno de inestabilidad con deformaciones de flexión y torsión. En la figra se mestra n erfil con na carga de comresión en el e se ilstra el fenómeno de andeo con deformaciones en el lano de la estrctra. Figra Pandeo de na colmna. Este fenómeno aarece rincialmente en ilares y colmnas, y se tradce en la aarición de na flexión adicional, o na torsión, o las dos simltáneamente en el ilar cando el mismo se encentra sometido a tensiones de comresión Objetivos El resente trabajo tratará de continar estdiando los concetos e se han estdiado en la carrera resecto a este tio de inestabilidad, asando del estdio de estrctras lanas con 6 grados de libertad a estrctras tridimensionales con 14 grados de libertad. Del mismo modo, se rofndizará en las diferentes formas deformadas o modos, e eden rodcirse or el fenómeno de andeo y los valores de los factores críticos de carga e otencialmente lo rovocan. Para contrastar resltados, se resolverán cada no de los casos or tres métodos diferentes. En rimer lgar, se resolverá los diferentes casos mediante el so del Método directo de la Rigidez y ara facilitar los cálclos del mismo, se emleará n software roio desarrollado con el manilador simbólico Mathematica v1. En 21

22 segndo lgar, se simlará el comortamiento ara los diferentes casos, mediante el Método de los Elementos Finitos con ayda del software Atodesk Simlation Mechanical 215. Por último, se alicará el Código Técnico de la Edificación ara contrastar los anteriores resltados. Para este último método, los resltados serán contrastados con el software esecífico de cálclo de estrctras CYPE 215h. Para todos los casos analizados, se tilizarán erfiles IPE 3. A continación, se enmeran otros objetivos de este royecto: - Familiarizarse con el so de la normativa actal ara el cálclo de estrctras. - Amliar el manejo de diferentes herramientas de modelado, simlación y cálclo Estrctra del trabajo El resente trabajo está organizado en varios temas sigiendo la sigiente metodología: El aartado 1 contemla la introdcción del trabajo, en el cal se desarrolla la motivación, los objetivos y la estrctra del trabajo. En el sigiente aartado, se desarrolla el tema y los concetos necesarios sobre el andeo de elementos ara n correcto segimiento de este trabajo. En el aartado 3, se realiza el cálclo mediante el Método Directo de la Rigidez (MDR), ara el cal lo rimero se exone la base teórica sobre la e se asienta este método y a continación se hace so de este método ara resolver nos ejemlos sobre cálclo de cargas de andeo. Todos los cálclos se harán mediante el software Mathematica. A continación, ara contrastar resltados, se simla cada no de los casos vistos en el aartado anterior. Para esto, se hace so del software de simlación Simlation Mechanical en s versión 214. En el sigiente aartado, abrimos el Código Técnico de la Edificación (CTE) ara ver cómo se trata todo el tema de andeo de estrctras desde n asecto de la normativa. Para ello, se alica el Docmento Básico de Segridad Estrctral-Acero (DB-SE-A) a los diferentes casos vistos en los aartados anteriores. Todos estos resltados serán contrastados con el software CYPE 215h. 22

23 En el aartado 6, se realiza na comaración de los resltados obtenidos or los tres métodos vistos anteriormente. En el aartado 7, se inclyen las conclsiones de este trabajo y a continación se enmeran las referencias bibliográficas sadas. En el último aartado del docmento se encentran las diferentes tablas e se han sado a lo largo del royecto ara la realización de los cálclos. Y ara conclir se adjnta n informe de cada método de resolción. Para el rimer método de resolción se adjnta el código realizado y ara los dos sigientes métodos se exorta directamente los informes. 23

24 24

25 2. TEORÍA DE PANDEO 25

26 2.1. Pandeo de estrctras Para el estdio del andeo con deformaciones de flexión, se ede analizar la sigiente estrctra sencilla: Figra Fenómeno de inestabilidad or andeo. [3] Para el caso (a), la viga está libre de cargas, or lo e los deslazamientos son nlos. En el caso (b), se alica na carga de comresión en la dirección axial de la viga e rodce n acortamiento de la barra. Esta carga es inferior a la crítica, or lo e los deslazamientos e se rodcen son my eeños. Estos deslazamientos eden ser calclados mediante la teoría de la elasticidad: U x = (2.1.1) Se observa e estos deslazamientos son roorcionales a la carga alicada, a las características de la sección, las características del material y a la osición de la barra en la e se ieran calclar estos. Por último, ara el caso (c), la carga alicada sera el valor de la carga crítica, lo e rodce e la viga flecte súbitamente y aarezcan grandes deslazamientos 26

27 transversales ara incrementos my eeños de carga, es lo e se conoce como fenómeno de andeo. Para este caso, los deslazamientos no son roorcionales a las cargas, or lo e no van a oder ser calclados mediante la ecación (2.1.1.) 2.2. Tios de deformaciones en andeo Cando na estrctra es sometida al nivel de carga crítica se eden rodcir na serie de deformaciones en el mismo: 1) Pandeo con deformaciones de flexión: Es el tio de andeo más común. Al alicar cargas en los extremos de valor serior a la carga crítica de la viga, se genera na crvatra adicional reentina en la directriz del elemento estrctral. En la figra (a) se observa este tio de deformada. 2) Pandeo con deformaciones de flexión y torsional: En este tio de andeo, se rodce na combinación de los dos tios de deformaciones indicadas (véase la figra 2.2.1), es decir la deformada de la viga es na combinación de flexión y torsión. En la figra (c) se observa este tio de deformada. (a) (b) (c) Figra Deformadas en andeo. 27

28 Otro fenómeno e es objeto de estdio es el Pandeo ateral o Velco. En este tio de andeo, se rodce na combinación de deformadas de torsión y flexión. a diferencia con el andeo flexo-torsional, es e este se rodce or cargas de comresión y el Pandeo ateral se rodce or la alicación de cargas e generan na flexión en la viga. En la figra se observa este tio de fenómeno Tios de erfiles Figra Pandeo ateral o Velco. a sección transversal de na barra simle ede ser: - Simetría doble o de simetría ntal - Simetría simle - Sin simetría En fnción del tio de sección transversal e se vaya a estdiar, hay e tener en centa é tio de deformaciones en andeo se eden dar en cada caso. - Simetría doble o simetría ntal Para este tio de secciones, se eden rodcir tres clases de deformadas a la hora de rodcirse el andeo de na viga: Pandeo or flexión en el lano Oxz. Pandeo or flexión en el lano Oxy. 28

29 Pandeo or torsión alrededor del centro de esferzos cortantes (abreviado cec). En general, no odrán darse simltáneamente na combinación de varias clases de deformadas. - Simetría simle En este caso, se ede rodcir dos tios de deformada a la hora de rodcirse el andeo de la viga: Pandeo or flexión en el lano Oxy (lano de simetría). Pandeo or flexión en el lano Oxz (lano de no simetría) y torsión resecto del centro de esferzos cortantes. - Sin simetría Para el caso de secciones e no oseen ningún tio de simetría sólo se ede originar n tio de deformada na vez alcanzada la carga crítica: Pandeo or flexión en ambos lanos y torsión. 29

30 3

31 3. ANÁISIS DE PANDEO MEDIANTE MDR3D 31

32 3.1. Simlificaciones habitales Para el estdio del andeo en barras, se tomarán na serie de hiótesis ara simlificar los cálclos. as simlificaciones son las sigientes: 1) Material homogéneo e isótroo: Se tilizarán materiales (acero) en los e haya na erfecta homogeneidad del material e isótroos en los e no haya n cambio de roiedades en fnción de la dirección. 2) Asencia de efectos dinámicos: as cargas serán alicadas con la sficiente lentitd como ara desreciar los efectos de inercia y mantener el eilibrio estático en calier momento. 3) Comortamiento elástico: El sólido recera la forma inicial cando se rodce el cese de la alicación de cargas. 4) Comortamiento lineal. 5) Peeñas deformaciones. 6) Peeños deslazamientos: Se considerarán eeños deslazamientos en el instante de andeo. 7) Barra esbelta: Se considerarán barras de sficiente esbeltez como ara e aarezcan fenómenos de inestabilidad en la misma. 8) Sección constante: Para la resolción del andeo de na barra, se tilizarán barras con secciones constantes a lo largo de toda s longitd. 9) Ejes rinciales de inercia: os ejes erendiclares al considerado a lo largo de la longitd de la barra, serán ejes rinciales de inercia. 1) Sin imerfecciones geométricas: a barra se considerará e está libre de este tio de imerfecciones. 11) ibre de tensiones residales: Se considerará e el material está libre de tensiones residales, es decir, e ara cargas nlas la tensión y las deformaciones del mismo serán también nlas. 12) Comresión centrada: as cargas alicadas axialmente estarán alicadas en el centro de gravedad de la sección y en la dirección de la directriz de la barra. 32

33 3.2. Ecaciones de andeo Para el estdio del comortamiento a andeo de las diferentes estrctras e serán analizadas, se tilizará el Princiio de los Trabajos Virtales (PTV). El Princiio de los Trabajos Virtales, establece e ara na deformación virtal infinitamente eeña de n cero e se encentra en eilibrio, el trabajo virtal de las ferzas exteriores es igal al trabajo virtal interno de deformación. dv V donde: - Tensión normal:,, - Tensiones tangenciales,, - Deslazamientos virtales:,,,,, - Ferzas de serficie (or nidad de longitd): t i,,, S t ds i i (3.2.1) Vamos a realizar la aroximación de secciones de ared delgada y abierta, ya e se ha comrobado, e ara estas condiciones, se ede rodcir más fácilmente el fallo or torsión, e en otro tio de secciones. Para el caso de barras esbeltas: Alicando las aroximaciones anteriores, el Princiio de los Trabajos Virtales ede escribirse de la sigiente manera: dv V S t ds i i (3.2.2) En la figra 3.2.1, se mestra la dirección de todas las comonentes así como el sentido ositivo de los esferzos. 33

34 Figra Sentido ositivo de las magnitdes. [1] m w reresenta el esferzo interno llamado Bimomento, el cal es debido a las tensiones normales a la sección transversal, e se rodcen debido al alabeo de la sección en roblemas de torsión no niforme, ya e nos encontramos ante erfiles de sección no circlar. f, m y gravedad de la sección. f, sección. f y m están redcidos al nto C, el origen de coordenadas y centro de m están redcidos al nto O, el centro de esferzos cortantes de la Eivalencia estática entre tensiones y esferzos Donde las ferzas externas y las ferzas internas (tensiones y esferzos) están en eilibrio. f dm da m' (3.2.3) A f d dm da m' (3.2.4) A d f da P (3.2.5) A m da (3.2.6) A m da (3.2.7) A 34

35 35 T sv T m ; ' T m (3.2.8) da m A (3.2.9) Donde reresenta el área sectorial con olo en el centro de esferzos cortantes y sv T corresonde al término de torsión niforme. Relación deformaciones-deslazamientos ) ( ) ( 2 1,,,,,,,,,,,,,,,, 2, 2, 2,, donde: j i j i, y x x, Hiótesis de eeños deslazamientos Definimos el nto N, como n nto del contorno Figra Deslazamiento del nto N. [1] Oerando, odemos calclar los deslazamientos del nto N. (3.2.1) (3.2.11)

36 36 ) cos (1 sin sin cos sin sin ) cos (1 cos a a a a ) ( sin ) ( cos e a e a Donde,,, son los deslazamientos en los distintos ejes del nto N escogido y,, reresentan los deslazamientos del nto O. reresenta el ánglo girado de la sección transversal resecto axial. Oerando las ecaciones anteriores, obtenemos: ) cos )(1 ( )sin ( ) cos )(1 ( )sin ( e e e e En base a la hiótesis de eeños deslazamientos: ( sin, 1 cos ): ) ( ) ( e e Resecto al deslazamiento en el otro eje: ' ' ' c (3.2.15) Sstityendo las ecaciones (3.2.1) en la ecación (3.2.2), obtenemos: c c sv w c m m m m f f P K m m e e P f f T m m m P ' ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' '2 '2 ' ' ' '' '' '' ' (3.2.12) (3.2.13) (3.2.14) (3.2.16)

37 Ecaciones de comatibilidad y ecaciones de comortamiento os movimientos de la estrctra son comatibles con las deformaciones de los elementos y de las condiciones de contorno, y ara el caso de las ecaciones de comortamiento, se cmle la ey de Hooke, es decir, las deformaciones son roorcionales a las tensiones. P EA ' (3.2.17) c m EI (3.2.18) ' ' m EI (3.2.19) ' ' m EI '' (3.2.2) Tsv GK T ' (3.2.21) Cálclo de magnitdes A continación, calclamos algnas incógnitas e serán de tilidad: A da A (3.2.22) 2 I da (3.2.23) I A A 2 da (3.2.24) 2 I da (3.2.25) A K T 1 3 N i1 b e 3 i i (3.2.26) Si sstitimos las ecaciones de comatibilidad, comortamiento y las magnitdes en la ecación (3.2.16), obtenemos: 37

38 38 c c T c c m m m m f f P K m m e e P f f GK EI EI EI EA ' * * ' * ' * * * * 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' '2 '2 ' ' ' ' '' '' '' '' '' '' ' ' (3.2.27) donde: A da a K 2 (3.2.28) a ecación (3.2.28) reresenta el coeficiente e tiene en centa el efecto Wagner, esto es debido al efecto de segndo orden de las tensiones normales en el roblema de torsión. Donde a está referida al centro de esferzos cortantes de la sección. Figra Coeficiente. [11]

39 Esta ecación solo es válida ara el caso de secciones de ared delgada y desreciando términos de orden serior. Para la resolción de este tio de roblemas, tilizamos la formlación de MDR, ya e lo e bscamos es e la solción converja a la solción exacta del roblema. Para n elemento de na barra 3D, la relación deformación-deslazamiento contiene derivadas segndas en el deslazamiento lateral y giro, y na rimera derivada en el deslazamiento axial. Por lo tanto es necesario elegir la fnción de deslazamiento de manera e continas en los nodos. ' ' ' c ; ; ; ; ; ; deben ser Esto ede lograrse mediante la adoción de n camo de deslazamiento lineal ara ( c 1 (n 3). n ) y n camo de deslazamiento cúbico ara los otros grados de libertad Figra Deslazamiento nodal en n elemento. [1] 39

40 4 ede escribirse como: ) ( ) ( Si sstitimos los valores de en los ntos y del inicio y final del elemento de la barra, obtenemos: A También odemos escribir como: ) ( ) (1 ) ( n A Siendo el deslazamiento nodal ; 2 ;3 2 ; n (3.2.29) (3.2.3) (3.2.31) (3.2.32) (3.2.33) (3.2.34)

41 ( ; ; ) ; T (3.2.35) Para el cálclo de las demás magnitdes manera. c ; ; se rocede de la misma n ; T c 1 c c c; c n ; ; T 3 ; ; (3.2.36) n ; ; ; T 3, ;, Siendo: n 1 ; 1 (3.2.37) Por lo e en cada nodo de n elemento hay 7 grados de libertad:,,,, c,,,. - os deslazamientos en los tres ejes - os giros en los tres ejes - a derivada del giro longitdinal, e es na magnitd roorcional a los deslazamientos de alabeo or torsión de la sección. a ecación de eilibrio ara na sección de ared delgada, ede ser obtenida sstityendo las ecaciones (3.2.36) de cada no de los deslazamientos nodales en la ecación (3.2.27). os términos contenidos en el rimer término de la ecación (3.2.27), constityen la matriz de rigidez inicial [K s ] y los términos restantes, reresentan la matriz de rigidez geométrica [K g ]. 41

42 Asmiendo e la carga axial es constante y la variación de momentos es lineal a lo largo del elemento, e integrando resecto a, la ecación total de eilibrio ara el elemento de la viga elástica, se ede escribir como las sigientes catro ecaciones: 1) Flexión en el lano : EI 3 K P 11 K 33 Pe m K f K K f m f m / / (3.2.38) 2) Flexión en el lano : EI 3 K P 11 K 33 Pe m K f K K f m f m / / (3.2.39) 3) Torsión: EI 3 Pe K m GK K T K f Pe K K K 11 K K K K K m K f K m m / m m / (3.2.4) 42

43 4) Extensión: donde: EA K P c P (3.2.41) K stj gh j s t n n g h d (3.2.42) os sbíndices g y h corresonden al grado de interolación, s y t reresentan el orden de diferenciación, en canto a j, reresenta el factor de mltilicación de. Algnas de las matrices tilizadas son las sigientes: 3 K K / / K / / K K K T K Hay e recordar e estas matrices se obtienen de la agración de términos na vez reselto el PFV y e se exresan de esta manera. 43

44 44 Por lo e la matriz de rigidez de manera genérica, en coordenadas locales, eda de la sigiente manera: K S K G K Y la ecación a resolver seria la sigiente: K F Siendo cada no de los términos: Grados de libertad T ' ' ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ferzas alicadas T m m m m P f f m m m m P f f F ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; A continación, se exlica el significado de cada término. (3.2.43) (3.2.44)

45 45 Matriz S K : k g c j i m f e SIM b a n j k h f g d b c j i j i m m f e f e b a b a K S 3 12 EI a 3 12 EI e GK EI i T EI b 3 6 EI f GK EI j T EI c 3 4 EI g GK EI k T EI d 3 2 EI h GK EI n T EA m

46 46 Matriz g K : r w c w c s s m SIM g b k a g b k a t t n f f z j d i b h c j d i b h c s s m e e n i i m g b k a f b e a g b k a f b e a K G ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' P a 3 36 f m Pe e f m Pe e ' P b 3 3 m Pe f 3 3 m Pe f 3 3 ' P c 3 4 f m Pe g f m Pe g ' P d 3 1 f m Pe h f m Pe h ' f m Pe i f m Pe i ' m Pe j 3 1 m Pe j 3 1 ' f m Pe k f m Pe k ' f m Pe w f m Pe w ' f m Pe s f m Pe s ' f m Pe t f m Pe t ' K K K m K K K z

47 47 Ferzas de emotramiento: em F 1) Para calier estado de cargas ara na barra F em K F - Para el eje d n P P o ; Para el eje d n m f m f o /, ; /, Para el eje d n m f m f o /, ; /, 1 3 2) Carga distribida niforme - Para el eje 2 ; 2 ; P P - Para el eje 12 ; 2 ; 12 ; 2 /, ; /, m f m f K K K n K K K K 3 3 K K K r (3.2.45) (3.2.46) (3.2.47) (3.2.48) (3.2.49) (3.2.5)

48 48 - Para el eje 12 ; 2 ; 12 ; 2 /, ; /, m f m f 3) Carga distribida lineal,, ; ) ( ) ( i i i i i - Para el eje P P 2 6 ; 2 6 ; - Para el eje m f m f ; ; ; /, ; /, - Para el eje m f m f ; ; ; /, ; /, Cambio de base 3D (de locales a globales) Pede darse el caso de e los ejes de los erfiles no coincidan con los del roblema global, en ese caso, habrá e hacer el aso de coordenadas locales a globales. (3.2.51) (3.2.52) (3.2.53) (3.2.54) (3.2.55)

49 Figra Sistema de coordenadas global y local. 1) Rotación en el eje y R 1 cos sin 1 sin cos 2) Rotación en el eje x R 2 1 cos sin sin cos 3) Rotación en el eje z cos sin R 2 sin cos 1 4) Para el caso de e se rodzca giro en los tres ejes: ; x, y z R R3 R2 R1 ;, 49

50 5 5) Si en vez de disoner de los ánglos, se disone de dos de las coordenadas de los nodos: z y x P ; ; z y x P ; ; Podremos calclar los ánglos y calclar la matriz R: 2 2 cos z z x x z z cos z z y y x x y y sele ser dato, ya e es la orientación del erfil. Matriz de transformación: ' ' ' 1 T R R z y x z y x a matriz de rigidez elemental, en coordenadas globales, se calclaría de la sigiente manera: T K T K T g Ferzas eivalentes as ferzas de emotramiento, siemre están en coordenadas locales, ara el aso a globales de estas, es necesario definir el conceto de Ferzas Eivalentes, e siemre van a estar en coordenadas globales y se calclan de la sigiente manera: em T ev F T F (3.2.56) (3.2.57) (3.2.58) (3.2.59)

51 4) El nevo sistema de ecaciones a resolver, el cal imlica el so de todos los concetos vistos anteriormente, es el sigiente: F F K est ev est est (3.2.6) 5) Para resolver el roblema de Inestabilidad/Pandeo, será necesario resolver el determinante de la matriz de rigidez de la estrctra e igalarlo a cero. Kest cri Siendo cri el factor de mltilicación de cargas, e reresenta el menor valor no nlo de las raíces obtenidas de la ecación característica. 51

52 3.3. Ejemlo de cálclo mediante MDR Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión P P 4 m Figra Viga biaoyada sometida a comresión. os aoyos son tio horilla, imiden el giro longitdinal de la sección y ermiten el alabeo. as cargas de comresión P, están alicadas en el centro de gravedad de la sección. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 52

53 A continación se detalla el roceso segido ara determinar las cargas de andeo del erfil seleccionado, así como los distintos modos de andeo ara cada na de estas cargas: 1- Definición de las matrices Ks y KG. Serán matrices cadradas de 14 x Descrición de las constantes del material y del erfil seleccionado. 3- Tio de estrctra y osicionamiento del sistema de coordenadas: Viga biaoyada. 4- Elección del número de elementos escogidos ara el mallado de la estrctra: Para el mallado se escoge n total de 4 elementos, lo e significa e habrá 4 elementos tio barra y 5 nodos. 5- Constrcción de las matrices de rigidez de cada no de los elementos. 6- Ensamblado de cada na de las matrices elementales ara formar la matriz de rigidez de la estrctra: Será na matriz cadrada de 35 x Imosición de las condiciones de contorno. a matriz de la estrctra asa de ser de 35 x 35 a na matriz redcida de 28x28 debido a los 7 grados de libertad nlos. 8- Búseda de las raíces e hacen cero el determinante de la matriz redcida. Siemre se escoge la raíz más eeña ero siemre ositiva. 9- Se determina el modo de andeo de la estrctra. Al erer resolver el roblema ara na raíz e hace e la matriz de rigidez de la estrctra se velva na matriz singlar, es necesario cambiar esta matriz ara oder resolver el roblema. Para ello, se sstitye algna de las filas or ceros y nos ara oder resolver. Al cambiar estas filas, no se van a obtener los deslazamientos de la estrctra, ero si se odrá obtener los modos de deslazamiento, or lo e se va a obtener nos deslazamientos escalados. 1- Reetición de los asos 8 y 9 ara cada na de las raíces obtenidas 53

54 Carga P 1 Una vez calclado el determinante de la matriz de rigidez redcida e igalarlo a cero, obtenemos la sigiente fnción: P Figra Carga de andeo 1 (P 1 ). P1 = N A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara la carga 1 (P 1 ). 54

55 Hay e observar e en los nodos 1 y 5 los deslazamientos son cero, ya e corresonden a las condiciones de contorno, y se imonen e los deslazamientos en el eje y el giro resecto al eje longitdinal, sean nlos. En la figra , ara la carga P 1, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. Es normal e ara esta carga se rodzca andeo con deformaciones de flexión en este lano, ya e es el lano e osee na menor inercia, comarado con el lano -. Carga P 2 a segnda raíz e se obtiene al igalar a cero el determinante de la matriz de rigidez redcida es la carga P 2 : P Figra Carga de andeo 2 (P 2 ). P2 = N 55

56 A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara la carga 2 (P 2 ). En la figra , ara la carga P 2, se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 1. Carga P 3 a tercera raíz e se obtiene al igalar a cero el determinante de la matriz de rigidez redcida es la carga P 3 : P Figra Carga de andeo 3 (P 3 ). 56

57 P3 = N A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara la carga 3 (P 3 ). En la figra , se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 2. Carga P 4 a carta raíz e se obtiene al igalar a cero el determinante de la matriz de rigidez redcida es la carga P 4 : P Figra Carga de andeo 4 (P 4 ). 57

58 P4 = N A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara la carga 4 (P 4 ). En la figra , ara la carga P 4, se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 2. Carga P 5 a inta raíz e se obtiene al igalar a cero el determinante de la matriz de rigidez redcida es la carga P 5 : P Figra Carga de andeo 5 (P 5 ). 58

59 P5 = N A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara la carga 5 (P 5 ). En la figra , ara la carga P 5, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 3. Carga P 6 a sexta raíz e se obtiene al igalar a cero el determinante de la matriz de rigidez redcida es la carga P 6 : P Figra Carga de andeo 6 (P 6 ). 59

60 P6 = N A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara la carga 6 (P 6 ). En la figra , ara la carga P 6, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano ferte de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. Para e se haya rodcido andeo con deformaciones en el lano ferte de la estrctra, se ha tenido e rodcir los tres modos de andeo en el lano débil y andeo con deformaciones de torsión en dos modos, lo cal es evidente debido a la gran inercia e tiene este lano. 6

61 Caso 2: Pandeo lateral o velco M M 4 m Figra Viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados. os aoyos son tio horilla, imiden el giro longitdinal de la sección y ermiten el alabeo. os momentos concentrados M, están alicados en los extremos de la estrctra. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 61

62 A continación se detalla el roceso segido ara determinar el momento crítico de velco ara el erfil seleccionado: 1- Definición de las matrices Ks y KG. Serán matrices cadradas de 14 x Descrición de las constantes del material y del erfil seleccionado. 3- Tio de estrctra y osicionamiento del sistema de coordenadas: Viga biaoyada. 4- Elección del número de elementos escogidos ara el mallado del erfil: Para el mallado se escoge n total de 4 elementos, lo e significa e habrá 4 elementos tio barra y 5 nodos. 5- Constrcción de las matrices de rigidez de cada no de los elementos. 6- Ensamblado de cada na de las matrices elementales ara formar la matriz de rigidez de la estrctra: Será na matriz cadrada de 35 x Imosición de las condiciones de contorno. a matriz de la estrctra asa de ser de 35 x 35 a na matriz redcida de 29 x 29 debido a los 6 grados de libertad nlos. 8- Búseda de las raíces e hacen cero el determinante de la matriz redcida. Siemre se escoge la raíz más eeña ero siemre ositiva. 9- Se determina el modo de andeo de la estrctra. Al erer resolver el roblema ara na raíz e hace e la matriz de rigidez de la estrctra se velva na matriz singlar, es necesario cambiar esta matriz ara oder resolver el roblema. Para ello, se sstitye algna de las filas or ceros y nos ara oder resolver. Al cambiar estas filas, no se van a obtener los deslazamientos de la estrctra, ero si se odrá obtener los modos de deslazamiento, or lo e se va a obtener nos deslazamientos escalados. 62

63 Carga M cr Una vez calclado el determinante de la matriz de rigidez redcida e igalarlo a cero, obtenemos la sigiente fnción: M cr Figra Carga de andeo (M cr ). M cr = Nm A continación, se determina é tio de deformada rodce esta carga y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara M cr. 63

64 Figra Modo de andeo ara M cr En la figra , ara M cr, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. En la figra , ara M cr, se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 1. Por lo e, existe n momento crítico (M cr ), ara el e la osición de la viga deja de ser estable, originándose n velco lateral. Para este caso se dan simltáneamente flexión en el lano débil y torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección. 64

65 Caso 3: Pandeo con cargas combinadas P M M P 4 m Figra Viga biaoyada sometida a distintos estados de cargas. os aoyos son tio horilla, imiden el giro longitdinal de la sección y ermiten el alabeo. os momentos concentrados M, están alicados en los extremos de la estrctra. as cargas P, están alicadas en el centro de gravedad de la sección. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 ( ) 65

66 El roceso ara determinar el momento crítico de velco ara el erfil seleccionado es similar al del caso anterior. M cr ara P=+1 5 (tracción) Una vez calclado el determinante de la matriz de rigidez redcida e igalarlo a cero, obtenemos el sigiente valor de M cr tilizando el método de la secante ara el cálclo de raíces. Mcr = Nm A continación, se determina é tio de deformada rodce este estado de cargas y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara M cr y P=

67 Figra Modo de andeo ara M cr y P=+1 5. M cr ara P=-1 5 (comresión) Por el mismo método e en el caso anterior, se obtiene la raíz e hace cero el determinante de la matriz de rigidez redcida: Mcr = Nm A continación, se determina é tio de deformada rodce este estado de cargas y el modo de andeo asociado: Figra Modo de andeo ara M cr y P=

68 Figra Modo de andeo ara M cr y P=-1 5. Si comaramos ambos resltados, observamos e el hecho de e haya na carga de comresión o de tracción en la estrctra, inflye en el valor del momento crítico amentándolo si es de tracción y redciéndolo si es de comresión. 68

69 3.3.3 Caso 4: Pandeo global de na estrctra: Método lineal P 8 P P 6 P 7 P 5 4 P 3 z y x 2 1 Figra Estrctra con cargas ntales. Siendo x, y, z los ejes globales de la estrctra y,, los ejes locales de cada barra. En los nodos 1, 2, 3 y 4 hay emotramientos. os nodos 5, 6, 7 y 8 son niones rígidas. as cargas P, están alicadas en el centro de gravedad de la sección. P=1 5 N. 69

70 Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 ( ) 7

71 A continación se detalla el roceso segido ara determinar la carga de colaso de la estrctra or el método lineal. 1- Definición de las matrices Ks, KG y T Serán matrices cadradas de 14 x Descrición de las constantes del material y del erfil seleccionado. 3- Tio de estrctra y osicionamiento del sistema de coordenadas: Estrctra 3D. 4- Elección del número de elementos escogidos ara el mallado del erfil: Para el mallado se escoge n total de 4 elementos, lo e significa e habrá 4 elementos tio barra y 5 nodos ara cada na de las barras. 8 barras 8 x 4 = 32 elementos 32 nodos 5- Constrcción de las matrices de rigidez de cada no de los elementos. 6- Ensamblado de cada na de las matrices elementales ara formar la matriz de rigidez de la estrctra: Será na matriz cadrada de 224 x Imosición de las condiciones de contorno. a matriz de la estrctra asa de ser de 224 x 224 a na matriz redcida de 196 x 196 debido a los 28 grados de libertad nlos. 8- Resolvemos el sistema (F = K x U) y obtenemos el deslazamiento de cada no de los nodos. 9- A artir de los deslazamientos obtenidos en los nodos, se calclan los esferzos en los 32 nodos. 1- A continación se constrye cada na de las matrices de rigidez elementales (Ks + KG). a única variable es. 11- Constrcción de la matriz de andeo de la estrctra. 12- Búseda de las raíces e hacen cero el determinante de la matriz de andeo de la estrctra redcida. Siemre se escoge la raíz más eeña ero siemre ositiva. 13- Se determina el coeficiente e al ser mltilicado or las cargas de la estrctra, se obtiene el andeo global de la estrctra. 71

72 Esema del roceso de cálclo F=K S xu Resolvemos U Calclamos ESFUERZOS Constrimos Constrimos K S +K G K G Resolvemos λ Figra Esema método lineal. Análisis de los resltados obtenidos Una vez calclado el determinante de la matriz de rigidez redcida e igalarlo a cero, obtenemos la sigiente fnción: λ Figra Coeficiente de andeo. 72

73 El valor de la carga de andeo de la estrctra sería: Pcr = N O lo e es lo mismo, si el valor de todas las cargas fera P cr, la estrctra andearía. 73

74 3.3.4 Caso 5: Pandeo global de na estrctra: Método no lineal P 8 P P 6 P 7 P 5 4 P 3 z x y 2 1 Figra Estrctra con cargas ntales. Siendo x, y, z los ejes globales de la estrctra y,, los ejes locales de cada barra. En los nodos 1, 2, 3 y 4 hay emotramientos. os nodos 5, 6, 7 y 8 son niones rígidas. as cargas P, están alicadas en el centro de gravedad de la sección. 74

75 P=4x1 5 N. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 ( ) 75

76 A continación se detalla el roceso segido ara determinar la carga de colaso de la estrctra: Hasta el aartado 9, el roceso de cálclo es el mismo e ara el método lineal. 1- A continación se constrye cada na de las matrices de rigidez elementales (Ks+KG). a diferencia con el método lineal es e no alicamos la variable. 11- Constrcción de la matriz de andeo de la estrctra. 12- Resolvemos el sistema (F = (Ks + KG) x U) y calclamos los deslazamientos. 13- A artir de los deslazamientos obtenidos en los nodos, se calclan los esferzos en los 32 nodos. 14- A continación se constrye cada na de las matrices de rigidez elementales (Ks + KG). a única variable es. 15- Constrcción de la matriz de andeo de la estrctra con los nevos valores de los esferzos. 16- Búseda de las raíces e hacen cero el determinante de la matriz de andeo de la estrctra redcida. Siemre se escoge la raíz más eeña ero siemre ositiva. 17- Se determina el coeficiente e al ser mltilicado or las cargas de la estrctra, se obtiene el andeo global de la estrctra. 76

77 Esema del roceso de cálclo Para na iteración: F=K S xu Resolvemos U Calclamos ESFUERZOS Constrimos U Resolvemos F=(K S +K G )xu Ensamblamos K G Calclamos ESFUERZOS Constrimos K S +K G Resolvemos λ Figra Esema método no lineal de na iteración. 77

78 Una vez calclado el determinante de la matriz de rigidez redcida e igalarlo a cero, obtenemos la sigiente fnción: λ Figra Coeficiente de andeo. El valor de la carga de andeo de la estrctra sería: Pcr =4541N Si comaramos el valor de esta carga, observamos e la carga obtenida or el método no lineal está del lado de la segridad comarado con la del método lineal. Por el contrario, este tio de cálclo es mcho más laborioso. Imlica realizar el doble de cálclos ara obtener na variación del 4% resecto al valor del método lineal. 78

79 4. ANÁISIS DE PANDEO MEDIANTE SOFTWARE DE SIMUACIÓN 79

80 4.1. Simlation Mechanical 214 El software de simlación mecánica Simlation Mechanical, es na herramienta de fácil comrensión, or lo e es n software idóneo ara oder realizar calier tio de simlación mecánica. También se trata de n rograma my otente e ermite simlar calier tio de sitación, or lo e ara realizar este Trabajo, se ha emleado este software. A continación se verán diferentes casos de simlación con este software Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión P P 4 m Figra Viga biaoyada sometida a comresión Realización de la simlación 1) a sección se ha creado mediante el software AtoCAD ) Una vez creada la sección, se ha extrido con na longitd total de 4 metros. Por lo e ya odemos exortar el erfil. 3) A continación, con el software de simlación Simlation Mechanical 214, se ha imortado el archivo creado en el nto anterior, or lo e ya tenemos el erfil ara la realización de simlaciones. 4) Hay e seleccionar é tio de nidades se van a tilizar y el tio de análisis. - El sistema de nidades será el Sistema Internacional. - El tio de análisis será Critical Bckling oad o lo e es lo mismo Análisis de estabilidad, lo e ermitirá calclar las diferentes cargas de andeo ara el erfil. 5) A continación se realiza el mallado de toda la estrctra y se definen las roiedades del modelo. - El tio de elemento será tio Plate o Shell. - En la definición del elemento se selecciona el esesor del alma y de las alas, siendo.71 m y.17 m resectivamente. 8

81 - También hay e seleccionar el tio de material: Para este caso será el Steel (ASTM A 36). 6) El sigiente aso es la imosición de las condiciones de contorno. a imosición de las condiciones de contorno se ha realizado restringiendo los grados de libertad. Figra Viga biaoyada con dos cargas ntales en n extremo. os nodos de la arte inferior tienen los mismos grados de libertad restringidos e los nodos de la arte serior, exceto el deslazamiento en el eje Z. 7) A la hora de imoner el estado de cargas al e está sometida la viga, se han añadido dos cargas de igal valor e igal distancia resecto al centro de gravedad de la sección, ara simlar na carga axial centrada. 8) Cada na de las cargas es de 5 N. 9) A continación se realiza la simlación Resltados de la simlación Una vez realizada la simlación, el rograma mestra diferentes modos de fallo de la viga, ero ara este trabajo solamente son de interés los relacionados con el andeo de la viga y las cargas asociadas a estos fallos. 81

82 Carga 1 Para el rimer modo de fallo or andeo, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. Figra Primer modo de andeo. Vista serior. 82

83 Figra Primer modo de andeo. Vista 3D. a carga e rodce este modo de andeo es de N. 83

84 Carga 2 Para el segndo modo de fallo or andeo, se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 1. Figra Segndo modo de andeo. Vista lateral. 84

85 Figra Segndo modo de andeo. Vista 3D. a carga e rodce este modo de andeo es de N. 85

86 Carga 3 Para el tercer modo de fallo or andeo, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 2. Figra Tercer modo de andeo. Vista serior. 86

87 Figra Tercer modo de andeo. Vista 3D. a carga e rodce este modo de andeo es de N. 87

88 Carga 4 Para el carto modo de fallo or andeo, se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 2. Figra Carto modo de andeo. Vista lateral. 88

89 Figra Carto modo de andeo. Vista 3D. a carga e rodce este modo de andeo es de N. 89

90 Carga 5 Para el into modo de fallo or andeo, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 3. Figra Qinto modo de andeo. Vista serior. 9

91 Figra Qinto modo de andeo. Vista 3D. a carga e rodce este modo de andeo es de N. 91

92 Carga 6 Para el sexto modo de fallo or andeo, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano ferte de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. Figra Sexto modo de andeo. Vista frontal. 92

93 Figra Sexto modo de andeo. Vista 3D. a carga e rodce este modo de andeo es de N. 93

94 Caso 2: Pandeo lateral o velco M M 4 m Figra Viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados Realización de la simlación El roceso de simlación es similar al del caso anterior, exceto en las cargas alicadas. Figra Viga biaoyada con dos momentos concentrados en los extremos. 94

95 8) Cada no de los momentos concentrados es de 1 Nm. 9) A continación se realiza la simlación Resltados de la simlación Una vez realizada la simlación, el rograma mestra diferentes modos de fallo de la viga, ero ara este caso solamente son de interés los relacionados con el andeo lateral o velco de la viga y la carga asociada. Figra Modo de andeo ara andeo lateral. Vista lateral. Figra Modo de andeo ara andeo lateral. Vista serior. 95

96 Figra Modo de andeo ara andeo lateral. Vista 3D. El momento e rodce el andeo lateral o velco es de Nm. 96

97 Caso 3: Pandeo con cargas combinadas P M M P 4 m Figra Viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados Realización de la simlación Como en el caso anterior, el roceso de simlación es el mismo. Figra Viga biaoyada con dos momentos concentrados en los extremos y con cargas ntales. 97

98 8) Cada no de los momentos concentrados es de 1 Nm. 9) Cada na de las cargas es de 1 N. 1) A continación se realiza la simlación Resltados de la simlación Una vez realizada la simlación, el rograma mestra diferentes modos de fallo de la viga, ero ara este caso solamente son de interés los relacionados con el andeo lateral o velco de la viga y la carga asociada. M cr ara P=+1 5 (tracción) Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (tracción). Vista lateral. 98

99 Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (tracción). Vista serior. 99

100 Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (tracción). Vista 3D. Para cargas de tracción, el momento e rodce el andeo lateral o velco ara cargas combinadas es de Nm. 1

101 M cr ara P=-1 5 (comresión) Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (comresión). Vista lateral. Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (comresión). Vista serior. 11

102 Figra Modo de andeo ara cargas combinadas (comresión). Vista 3D. Para cargas de comresión, el momento e rodce el andeo lateral o velco ara cargas combinadas es de Nm. 12

103 Caso 4: Pandeo global de na estrctra. Método lineal Figra Estrctra con cargas ntales. 13

104 Realización de la simlación Figra Estrctra con cargas ntales. El roceso segido es el mismo e ara los casos anteriores. 8) A la hora de imoner el estado de cargas al e está sometida la estrctra, se añaden cargas en dirección axial. 9) Cada na de las cargas ntales es de 1 N. 1) A continación se realiza la simlación. 14

105 Resltados de la simlación Una vez realizada la simlación, el rograma mestra diferentes tios de fallos de la estrctra, ero ara este caso solamente son de interés el e rovoca el andeo global de la estrctra. Figra Modo de andeo global de la estrctra. Vista 3D. El factor de mltilicación de cargas de andeo es Por lo e si todas las cargas alicadas en la estrctra feran de N, se rodciría el andeo global de la estrctra. 15

106 16

107 5. ANÁISIS DE PANDEO MEDIANTE CTE DB SE-A 17

108 5.1. Introdcción El comortamiento real de los ilares, difiere mcho del comortamiento teórico e se hace en los cálclos. Esto es debido a las diversas imerfecciones en el cálclo de la carga de andeo e no se han tenido en centa en el estdio teórico. Algnas de estas imerfecciones son: - Falta de rectitd inicial del eje del ilar. - Cargas axiales e no están alicadas en el centro de gravedad del erfil. - Tensiones residales debidas a la fabricación del erfil. - Otras. Algnos estdios mestran na relación entre el comortamiento teórico y el real de n ilar sometido a comresión: 1 2 Figra Comortamiento de n ilar sometido a cargas de comresión. a crva 1 de la figra 5.1.1, reresenta el límite de carga con los resectivos coeficientes de segridad alicados y la crva 2 de la figra 5.1.1, reresenta el valor teórico (carga crítica de Eler). 18

109 Un ilar se considerada de esbeltez elevada si s esbeltez es serior a la corresondiente al nto de inflexión, y se considera de esbeltez media si s esbeltez es inferior a la corresondiente al nto de inflexión. a mayoría de los ilares se encentra en la zona de esbelteces medias, or lo e es necesario considerar los defectos e ede tener n ilar. as imerfecciones e más se resentan n efecto más significativo son la resencia de tensiones residales y la falta de rectitd del ilar Ecaciones de Pandeo según DB SE-A Tensión máxima teórica y real. N Figra Viga biaoyada sometida a cargas de comresión. Pandeo teórico: Carga de Eler (solo comresión) max = (N) = = = cte ( ) Pandeo real: Comresión + Flexión + Tensiones residales max = (N) + (Mz) + residales = + residales = K1 = no cte Donde K 1 es el coeficiente de amlificación de la tensión de comresión. ( ) 19

110 Cálclo a andeo con la normativa Esañola: DB-SE-A (27) Según el DB-SE-A 27 (Docmento Básico de Segridad Estrctral ara el Acero), la fórmla roesta ara la comrobación a andeo es: max = K1 = K1 fy.d fy.d A fy.d ( ) donde: N b,rd es la resistencia última a andeo de la barra = A f y.d. =, es el coeficiente de redcción or andeo. Por lo e la fórmla final ara la comrobación de andeo ara n ilar de sección constante y comresión centrada es la sigiente: Nb,Rd = A fy.d ( ) Se tiene e cmlir e:, ya e es n coeficiente e inclye las tensiones debidas a la flexión y a las tensiones residales Crvas eroeas de andeo as crvas de andeo ECCS están basadas en más de 1 ensayos realizados sobre diferentes tios de erfiles; erfiles en I, en H, en T, etc, y con diferentes valores de esbeltez (entre 55 y 16). En este tio de ensayos se han tenido en centa las diferentes imerfecciones e eden tener los erfiles. Se trata de 5 crvas e deenden de la forma de la sección transversal, del eje en el e se rodzca las deformaciones y del roceso de fabricación escogido ara el erfil. 11

111 Figra Crvas de andeo. Estas crvas relacionan el coeficiente de redcción or andeo esbeltez redcida : con el valor de la Ncr = ( ) = ( ) a ecación ( ) corresonde al cálclo de la Carga Crítica de Eler y la ecación ( ) corresonde al cálclo de la esbeltez redcida. a elección del tio de crva se realiza en fnción de los datos de la tabla del ANEXO V. 111

112 Comrobaciones a Pandeo ateral Cando exista la osibilidad de e na viga eda andear lateralmente, deberá comrobarse e el valor del momento e se ha calclado debe de ser menor e el valor de cálclo de la resistencia frente a andeo lateral de la viga. MEd Mb,Rd ( ) donde: M Ed : Reresenta el valor del momento flector calclado. M b,rd : Reresenta el valor de cálclo de la resistencia frente a andeo lateral. Mb,Rd= T Wy ( ) donde: W y reresenta el módlo resistente de la sección, según del tio e sea: W l,y : ara secciones de clases 1 y 2. W el,y : ara secciones de clase 3. W ef,y : ara secciones de clase 4. T es el factor de redcción ara el andeo lateral y se odrá calclar a artir de la sigiente exresión ( ). T = ( ) donde: * ( ) ( ) + ( ) siendo: es la esbeltez relativa frente a andeo lateral. corresonde al factor de imerfección, obtenido en la tabla del ANEXO VI. 112

113 a esbeltez relativa frente al andeo lateral se calcla mediante la sigiente ecación: ( ) donde: M cr corresonde al momento crítico elástico de andeo lateral e ede ser determinado según la teoría de la elasticidad, or ejemlo mediante la ecación ( ). Observaciones: Para el caso de erfiles laminados o ara el caso de erfiles armados eivalentes cando se odrá tilizar n valor de T = 1. Cálclo del momento crítico elástico de andeo lateral Para los casos en los e los aoyos de los extremos de na barra, imidan s deformación or torsión, y cando las cargas actúen en el eje de la barra, el momento crítico elástico de andeo lateral odrá ser calclado mediante la sigiente ecación: Mcr= ( ) donde: M Tv es la comonente de M cr e reresenta la resistencia or torsión niforme de la barra(s. Venant). M Tw es la comonente de M cr e reresenta la resistencia or torsión no niforme de la barra. a comonente M Tv ede ser calclada a artir de la sigiente ecación: MTv= ( ) donde: C 1 es n factor e deende de las condiciones de aoyo y de la ley de momentos flectores. c rerenta la distancia entre aoyos laterales e imidan el andeo lateral. a comonente M Tw, viene determinada or la carga crítica elástica de andeo del soorte comrimido del erfil. Este soorte está formado or el ala comrimida y 113

114 la tercera arte de la zona comrimida, esta comonente ede ser calclada a artir de la sigiente ecación: MTw = ( ) donde: corresonde al módlo resistente elástico de la sección, según el eje de inercia, corresondiente a la fibra más comrimida. I f,z corresonde al radio de giro, con resecto al eje de menor inercia de la sección, del soorte formado or el ala comrimida y la tercera arte de la zona comrimida del alma, adyacente al ala comrimida. El factor C 1 ede ser calclado mediante la tabla del ANEXO VII Comrobaciones a Pandeo ateral ara elementos flectados y traccionados Para la comrobación de elementos flectados y traccionados, se tiene e cmlir la sigiente ecación: ( ) donde: M ef,ed = Momento flector solicitante de cálclo ésimo. ( ) ( ) M b,rd,y = Momento flector resistente de cálclo. M z,ed = Momento flector de solicitante de cálclo ésimo según el eje Z. M y,ed = Momento flector de solicitante de cálclo ésimo según el eje Y. M l,rd,z = Resistencia a flexión de la sección brta en condiciones lásticas resecto al eje Z. N t,ed = Axil de tracción de cálclo ésimo. A = Área de la sección. 114

115 Comrobaciones a Pandeo ateral ara elementos flectados y comrimidos Para el cálclo de elementos flectados y comrimidos, se tiene e cmlir la sigiente ecación: ( ) donde: = Axil de comresión solicitante de cálclo ésimo. = Coeficiente de redcción or andeo alrededor del eje Y. A = Reresenta el área de la sección. = Resistencia de cálclo del acero. = Es el coeficiente de interacción. ( ) = Es el momento flector solicitante de cálclo ésimo resecto al eje Y. = Coeficiente de redcción or andeo lateral. = Módlo resistente elástico corresondiente a la fibra comrimida alrededor del eje Y. = Es otro de los coeficientes de interacción. ( ) = Factor de momento flector niforme eivalente. = Es el momento flector solicitante de cálclo ésimo resecto al eje Z. = Módlo resistente elástico corresondiente a la fibra comrimida alrededor del eje Z. 115

116 Comrobaciones a Pandeo con torsión El DB no cbre el fenómeno de andeo or torsión, e ede resentarse en iezas, generalmente abiertas con aredes delgadas, en las e el eje de la barra deformada no eda contenido en n lano. Ane no se contemle en el DB, si se recomienda comrobar este tio de fenómeno, or lo e si se comrobará. Para ello se tilizará la sigiente ecación: [ ] ( ) donde: = Radio de giro de la sección brta resecto al centro de torsión. ( ) ( ) = Radio de giro de la sección brta resecto al eje Y. = Radio de giro de la sección brta resecto al eje Z. = Coordenadas del centro de torsión en el eje Y resecto al c.d.g. = Coordenadas del centro de torsión en el eje Z resecto al c.d.g. G= Módlo de elasticidad transversal. = Momento de inercia a torsión niforme. = Módlo de elasticidad. = Constante de alabeo de la sección. = ongitd efectiva de andeo or torsión. 116

117 5.3. Ejemlo de cálclo mediante DB SE-A Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión P P 4 m Figra Viga biaoyada sometida a comresión. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 117

118 Para el cálclo de cargas de andeo con la norma, sólo se calclarán los fallos ara el modo 1 ara cada na de las deformaciones, ya e na vez e se alcanza el modo 1, la normativa considera e el erfil eda fera de servicio. Pandeo resecto al eje : Para el cálclo de la carga de andeo resecto al eje se sa la ecación ( ): Nb,Rd = A fy.d Ncr= ( ) = N fy,d = = 1.3 De la tabla del ANEXO IV, obtenemos: - Perfil de doble simetría - h/b = 3/15 = 2 > t = 1.7 Crva b - S275 - Eje z 118

119 Figra Coeficiente de andeo en el eje. De la figra , obtenemos el coeficiente de andeo: =.43 A artir de la ecación ( ), obtenemos: Nb,Rd = A fy.d = N Pandeo resecto al eje : Para el cálclo de la carga de andeo resecto al eje se sa la ecación ( ): Nb,Rd = A fy.d Ncr= ( ) = N fy,d = 119

120 =.35 De la tabla del ANEXO IV, obtenemos: - Perfil de doble simetría - h/b = 3/15 = 2 > t = 1.7 Crva a - S275 - Eje y Figra Coeficiente de andeo en el eje De la figra , obtenemos el coeficiente de andeo: =.95 A artir de la ecación , obtenemos: Nb,Rd = A fy.d = N 12

121 Comrobamos e el erfil no haya lastificado: = MPa MPa Pandeo or torsión: Para la comrobación del andeo or torsión, tilizamos la ecación ( ): [ ]= * += N ( ) = =

122 Caso 2: Pandeo lateral o velco M M 4 m Figra Viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 122

123 Para el cálclo de la estabilidad lateral de la viga, es necesario cmlir la sigiente relación ( ): M Ed M b,rd ( ) En rimer lgar, calclamos el momento crítico elástico de andeo lateral mediante la ecación ( ): M cr = ( ) Mediante la ecación ( ) calclamos la rimera de las comonentes: MTv= = 11274Nm De la tabla del ANEXO VI obtenemos: Ψ=1 C 1 =1 Alicando la ecación ( ), obtenemos el valor de la otra de las comonentes: MTw = = Nm Ya se han calclado las dos comonentes del momento crítico, alicando la ecación ( ): Mcr= Nm Una vez calclado el momento crítico, calclamos la esbeltez relativa frente al andeo alicando la ecación ( ): 1.4 W y = W l,y or ser de clase

124 De la tabla del ANEXO V, obtenemos: h/b= 3/15=2 crva de andeo a =.21 * ( ) ( ) + [ ] = 1.13 A continación calclamos el factor de redcción ara el andeo lateral: T = Por último calclamos el valor de la Resistencia frente a andeo lateral: Mb,Rd= T Wy Nm 124

125 Caso 3: Pandeo con cargas combinadas P M M P 4 m Figra Viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados. Datos del material: Datos de la sección: Perfil de doble simetría IPE 3 ( ) 125

126 Cálclo de M cr ara na carga de tracción Para el cálclo de elementos flectados y traccionados, se tiene e cmlir la ecación ( ): Por lo e el máximo valor e ede alcanzar es ya e Alicamos la ecación ( ) Y a continación, alicamos la ecación ( ) donde: a única incógnita de la ecación ( ) es M y,ed, si desejamos esta incógnita, obtenemos el momento crítico e rodce andeo lateral con cargas de tracción: Cálclo de M cr ara na carga de comresión Para el cálclo de elementos flectados y comrimidos, se tiene e cmlir la ecación ( ): donde: 126

127 = 1.3 De la tabla del ANEXO IV, obtenemos: - Perfil de doble simetría - h/b = 3/15 = 2 > t = 1.7 Crva b - S275 - Eje z De la tabla del ANEXO VII: C m,y = C m,z = C m,t =1 De la tabla del ANEXO V, obtenemos: h/b= 3/15=2 crva de andeo a =.21 * ( ) ( ) + [ ] = 1.13 T = 127

128 Alicando la ecación ( ): a única incógnita es or lo e desejamos: 128

129 6. VAORACIÓN DE RESUTADOS 129

130 Una vez vistos los tres métodos e sirven ara calclar la carga de andeo en las diferentes sitaciones, es necesario realizar na comarativa entre los resltados e se han arrojado ara cada no de los casos y ver las diferencias entre ellos Caso 1: Pandeo con deformaciones de flexión y torsión Para el estdio de la viga biaoyada sometida a cargas de comresión, se han obtenido los sigientes valores: MÉTODO DE CÁCUO Carga MDR SIMUATION MECHANICA DB SE-A P N N N P N N N P N N P N N P N N P N N N Figra Comaración de resltados ara el caso 1. Carga P1 Para esta carga se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. De la carga crítica de Eler calclada mediante la ecación ( ) obtenemos n valor de N. Si comaramos este valor con el obtenido en el MDR y en el Simlation Mechanical se aroxima más al obtenido en el Método Directo de la Rigidez. Sin embargo, a la hora de calclar el valor de la resistencia de cálclo a andeo, este valor se redce bastante. Esto es debido a e los valores anteriores son valores teóricos y el valor calclado or la norma está basado en datos reales. 13

131 Carga P2 Para esta carga se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 1. Se ede calclar la carga e rodce este modo de andeo mediante el MDR y el software de simlación Simlation Mechanical, sin embargo, la normativa no dice cómo calclarlo, ero si se ha comrobado. Carga P3, P4 y P5 Para la carga P3, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 2. Para la carga P4, se rodce andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, en el modo de andeo 2. Para la carga P5, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 3. Para el cálclo de estas cargas no hay ningún roblema si se calcla or el MDR o or el software Simlation Mechanical, ero la normativa no contemla el cálclo de cargas e rovoen deformaciones con modos seriores a no ya e si se alcanza el modo no ara na carga e rovoe andeo en n determinado eje, no tiene sentido bscar cargas seriores a na e ya rovoca la inestabilidad de la viga. Carga P6 Para esta carga, se rodce andeo con deformaciones de flexión en el lano ferte de la estrctra (lano - ), en el modo de andeo 1. De la carga crítica de Eler calclada mediante la ecación ( ) obtenemos n valor de N. Si comaramos este valor con el obtenido en el MDR y en el Simlation Mechanical se aroxima más al obtenido en el Método Directo de la Rigidez. Pero al igal e asaba ara el cálclo de la carga P1, a la hora de calclar el valor de la resistencia de cálclo a andeo, este valor se redce bastante debido a e los valores anteriores son valores teóricos y el valor calclado or la norma está basado en datos reales. 131

132 Recordemos e este valor es my serior si lo comaramos con el de la carga P1, or lo e si ara la carga P1 se considera e la viga ha fallado or andeo, este valor carecerá de sentido a no ser e la viga osea nas condiciones de contorno tales e no ermitan e se rodzca andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra. Eler mostró e había na relación entre las cargas de andeo ara n determinado modo de deformación. Por ejemlo si analizamos las cargas de andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra (lano - ): Estos valores se ajstan razonablemente a los valores teóricos obtenidos Caso 2: Pandeo lateral o velco Para el estdio de la viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados alicados en los extremos de la misma, se han obtenido los sigientes valores: MÉTODO DE CÁCUO Carga MDR SIMUATION MECHANICA DB SE-A M cr Nm Nm Nm Figra Comaración de resltados ara el caso 2. Para las cargas e se mestran en la figra se rodce fallo or andeo lateral, o lo e es lo mismo, se rodce simltáneamente na flexión en el lano débil de la estrctra jnto con na torsión alrededor del centro de esferzos cortantes de la sección. Al igal e ocrría en el caso 1, el momento crítico calclado mediante el DB SE- A es inferior al teórico ya e está basado en datos reales, sin embargo los calclados a artir del MDR y del software Simlation Mechanical son valores teóricos or lo e siemre van a ser seriores al real. 132

133 6.3. Caso 3: Pandeo con cargas combinadas Para el estdio de la viga biaoyada sometida a dos momentos concentrados alicados en los extremos de la misma y cargas de tracción y de comresión, se han obtenido los sigientes valores: MÉTODO DE CÁCUO Carga MDR SIMUATION MECHANICA DB SE-A Tracción Nm Nm Nm Comresión Nm Nm Nm Figra Comaración de resltados ara el caso 3. Para las cargas e se mestran en la figra se rodce fallo or andeo lateral, o lo e es lo mismo, se rodce simltáneamente na flexión en el lano débil de la estrctra jnto con na torsión alrededor del centro de esferzos cortantes de la sección, al igal e ocrría en el ejemlo visto del caso 2. a diferencia con el caso 2, es e el hecho de haber cargas de tracción en la viga (estado de flexión y de comresión), la carga crítica e rodce el fallo or andeo lateral es serior si la comaramos con la del caso 2 en la e no hay cargas de tracción. Análogamente, la resencia de cargas de comresión (estado de flexión y comresión), favorece el fallo or andeo lateral disminyendo la carga crítica. Estos dos hechos, se eden areciar fácilmente en la figra ara los diferentes métodos de resolción Caso 4: Pandeo global de na estrctra. Método lineal Para el estdio de la estrctra tridimensional sometida a cargas de comresión, se han obtenido los sigientes valores: MÉTODO DE CÁCUO Carga MDR SIMUATION MECHANICA DB SE-A P cr N N Figra Comaración de resltados ara el caso

134 Para el cálclo de la carga de andeo de la estrctra (andeo global) or el método lineal, se ede sar el Método Directo de la Rigidez o el software de simlación Simlation Mechanical, ero no ede ser calclada si se sa el DB SE-A. 134

135 7. CONCUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 135

136 7.1. Conclsiones En este trabajo se han calclado las diferentes cargas de andeo ara na determinada estrctra. A la vista del trabajo realizado, a modo de resmen se eden realizar las sigientes conclsiones: - Se ha emleado n método de cálclo genérico y mcho más amlio e el visto hasta ahora en los estdios académicos ya e ermite el cálclo de calier tio de estrctra tridimensional a artir de la definición de los 14 grados de libertad de cada ndo, comarado con los 6 grados de libertad e se han visto hasta ahora en la carrera. - Una de las cosas e se ha arendido con este trabajo ha sido la estimación del cálclo de la carga de andeo de na determinada viga, así como el tio de deformada e se rodce y el modo de andeo. - Todos los cálclos realizados se han hecho en erfiles de doble simetría IPE y se ha realizado n ejemlo ara ver las diferentes deformadas e eden rodcirse a la hora de alcanzarse la carga crítica de andeo. - Resecto a los rogramas tilizados, ara el rimer caso ara la resolción de los cálclos con Mathematica hemos obtenido solamente las diferentes cargas de andeo así como los diferentes modos de andeo de las vigas. A la hora de resolver estos casos con Simlation Mechanical, además de calclar las diferentes cargas de andeo de la colmna, nos reselve los diferentes modos de fallo del material, or ejemlo abolladra del alma, etc. De igal manera el software de cálclo CYPE mestra los diferentes tios de fallo del material. - Con este trabajo se ha consegido hacer n ejemlo de las diferentes deformaciones e ocrren en andeo: Pandeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra, andeo con deformaciones de flexión en el lano ferte de la estrctra, andeo con deformaciones de torsión resecto al centro de esferzos cortantes de la sección, andeo con deformaciones de flexión en el lano débil de la estrctra jnto con na torsión alrededor del centro de esferzos cortantes de la sección (andeo lateral) y el andeo global de na estrctra. - También ha sido de interés conocer los límites de alicación de la Normativa Esañola, ya e los casos sencillos de vigas con n determinado estado de cargas se contemlan en el cálclo de la norma, sin embargo no se ede alicar la normativa a estrctras tridimensionales ara el cálclo de cargas e rodzcan n andeo global de la estrctra. 136

137 - Este hecho hace e ara el cálclo de na estrctra real sea necesario la imlementación en software de simlación, sirviendo la norma en estos casos ara el sobredimensionamiento de acciones Trabajos Ftros Entre los trabajos e odrían ser realizados a artir de la resentación del resente trabajo, destacan los sigientes. - Analizar los diferentes modos de andeo y las diferentes deformadas e se rodcen con el fallo or andeo, en erfiles de simle simetría, erfiles con n solo eje de simetría y erfiles sin ningún eje de simetría. - De esta manera se analizaría en é casos eden darse varios tios de deformadas ara na determinada carga crítica. - Profndizar en los diferentes fallos e eden ocrrir en estrctras, además del fallo or andeo, defectos en niones, fallo or fatiga del material, análisis de vibraciones, etc. - Realizar estos análisis en diferentes software como ANSYS, NASTRAN, etc ara realizar na mejor comaración de los resltados obtenidos. 137

138 138

139 8. REFERENCIAS BIBIOGRÁFICAS 139

140 Para la realización de este Trabajo Fin de Grado, se han consltado las sigientes referencias: [1] W.F. CHEN and T. ASTUTA, Theory of Beam-Colmns,J. Ross Pblishing Classics, Volme 1, 27. [2] J.M. GERE, Timoshenko. Resistencia de Materiales, S.A. Ediciones Paraninfo, 24. [3] J.A. GARRIDO y A. M. FOCES, Resistencia de Materiales, Universidad de Valladolid, [4]. ORTIZ, Resistencia de Materiales, McGraw Hill, 199. [5] E. POPOV, Introdcción a la Mecánica de los Sólidos, Ed. imsa, [6] W. MCGUIRE, R. H. GAAGHER, R. D. ZIEMIAN, Matrix Strctral Analysis. Second Edition [7] A. CHAJES, Princiles of Strctral Stability Theory, Prentice-Hall, [8] J. SANTO DOMINGO, Pandeo, Universidad de Salamanca, 28. [9] J.C. del CAÑO, Elasticidad, Universidad de Valladolid. [1] A. M. FOCES, Antes de la asignatra Elasticidad y Resistencia de Materiales. Grado en Ingeniería Mecánica. Universidad de Valladolid [11] M. CACHO, A. ORENZANA, J. PEREDA, Antes de la asignatra Teoría de Estrctras y Constrcciones Indstriales. Grado en Ingeniería Mecánica. Universidad de Valladolid [12] M. P. AONSO, Antes de la asignatra Estrctras Metálicas. Grado en Ingeniería Mecánica. Universidad de Valladolid [13] Código Técnico de la Edificación, Ministerio de la Vivienda, htt:// [14] Página web oficial del software de cálclo CYPE Ingenieros, S.A, htt:// [15] Página web oficial del software de simlación Simlation Mechanical, htt:// [16] Página web ara la resolción de ddas relacionadas con el ámbito de la Ingeniería Indstrial, htt:// 14

141 9. ANEXOS 141

142 ANEXO I: Tabla erfil IPE 3 142

143 ANEXO II: Coeficientes arciales de segridad ANEXO III: Características mecánicas mínimas de los aceros 143

144 ANEXO IV: Crva de andeo en fnción de la sección transversal 144

145 ANEXO V: Factor de imerfección αt 145

146 ANEXO VI: Valor del factor C1 corresondiente a los valores del factor Kφ 146

147 ANEXO VII: Coeficientes del momento eivalente 147

148 ANEXO VIII: Informe arte 1 Mathematica 148

149 149

150 15

151 151

152 152

153 153

154 154

155 155

156 156

157 157

158 158

159 159

160 16

161 ANEXO IX: Informe arte 2 Simlation Mechanical Análisis de Pandeo Created by Athor: David Orgaz Deartment: D.C.A.I.T.Y.M.M.C.Y.T.E. Created Date: 22/1/

162 Reviewed by Reviewer: David Orgaz Deartment: D.C.A.I.T.Y.M.M.C.Y.T.E. Model Created: 22/1/215 Exective Smmary Se trata de calclar los diferentes modos de fallo de la viga biaoyada sometida a cargas de comresión. Solamente serán de interés los e rodcen fallo or andeo de la viga. Smmary Model Information Analysis Tye - Critical Bckling oad Units - Metric mks (SI) - (N, m, s, C, K, V, ohm, A, J) Model location - D:\Deskto\Proyecto\Proyecto\Parte 2\Atocad\Parte 1\Pilar_3D_shell_1.fem Design scenario descrition - Pandeo con deformaciones de flexión y torsión 162

163 Analysis Parameters Information Centrifgal Information Anglar Velocity (Omega) Magnitde = (RPM) X Y Z Rotation Center Point (m) Rotation Axis Mltihysics Information Defalt Nodal Temeratre C Processor Information Maximm Nmber of Iterations 32 Convergence Vale for Eigenvale 1e-5 oad Case Mltilier 1 - Pressre 1 oad Case Mltilier 1 - Accel/Gravity oad Case Mltilier 1 - Bondary oad Case Mltilier 1 - Thermal Acceleration De To Body Force 9 m/s² 163

164 Acceleration/Gravity X Mltilier Acceleration/Gravity Y Mltilier Acceleration/Gravity Z Mltilier -1 Avoid Bandwidth Minimization Sto After Stiffness Calclations Dislacement Data in Ott File Stress Data in Ott File Eation Nmbers Data in Ott File Element Int Data in Ott File Nodal Int Data in Ott File Centrifgal oad Data in Ott File No No No No No No No No Part Information Part ID Part Name Element Tye Material Name 1 AMA Plate Steel (ASTM - A36) 2 AA 1 Plate Steel (ASTM - A36) 3 AA 2 Plate Steel (ASTM - A36) 164

165 Element Information Element Proerties sed for: AMA AA 1 AA 2 Element Tye Material Model Element Formlation Plate Isotroic Vebeke Stress Free Reference Temeratre C Temeratre Method Stress Free Twisting Coefficient Ratio.1 Plate Proerties Thickness Element Normal X Coordinate Element Normal Y Coordinate Element Normal Z Coordinate delta T Throgh Thickness Nodal Order Method Nodal Order X Coordinate Nodal Order Y Coordinate Nodal Order Z Coordinate Part Based m m m m C/m Defalt m m m 165

166 Material Information Steel (ASTM - A36) -Plate Material Model Material Sorce Material Sorce File Standard Atodesk Simlation Material ibrary D:\Atodesk\Simlation 214\matlibs\algormat.mlb Date ast Udated 212/7/12-16:56: Material Descrition Mass Density Modls of Elasticity Strctral Steel 7854 kg/m³ N/m² Poisson's Ratio.29 Thermal Coefficient of Exansion Yield Strength Ultimate Strength 1 1/ C N/m² N/m² 166

167 oads FEA Object Gro 2: Ferza ntal 1 Nodal Force ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Magnitde (N) Vx Vy Vz oad Case / oad Crve 3 Unnamed 5 5-5,,, 1, 1 FEA Object Gro 21: Ferza ntal 2 Nodal Force ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Magnitde (N) Vx Vy Vz oad Case / oad Crve 4 Unnamed 6 6-5,,, 1, 1 Constraints FEA Object Gro 1: Restricción del nodo 1 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 1 Restricción No No No No No Yes 167

168 FEA Object Gro 2: Restricción del nodo 2 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 2 Restricción 31 N/A Yes Yes Yes No No Yes FEA Object Gro 3: Restricción del nodo 3 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 3 Restricción No No No No No Yes FEA Object Gro 4: Restricción del nodo 4 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 4 Restricción 5 5 Yes Yes Yes No No Yes FEA Object Gro 5: Restricción del nodo 5 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 5 Restricción Yes Yes Yes No No Yes 168

169 FEA Object Gro 6: Restricción del nodo 6 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 6 Restricción 178 N/A Yes Yes Yes No No Yes FEA Object Gro 7: Restricción del nodo 7 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 7 Restricción No No No No No Yes FEA Object Gro 8: Restricción del nodo 8 de la arte inferior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 8 Restricción No No No No No Yes FEA Object Gro 9: Restricción del nodo 9 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 9 Restricción No No No No No Yes 169

170 FEA Object Gro 1: Restricción del nodo 1 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 1 Restricción 177 N/A Yes Yes No No No Yes FEA Object Gro 11: Restricción del nodo 11 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 11 Restricción No No No No No Yes FEA Object Gro 12: Restricción del nodo 12 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 12 Restricción 6 6 Yes Yes No No No Yes FEA Object Gro 13: Restricción del nodo 13 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 13 Restricción 5 5 Yes Yes No No No Yes 17

171 FEA Object Gro 14: Restricción del nodo 14 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 14 Restricción No No No No No Yes FEA Object Gro 15: Restricción del nodo 15 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 15 Restricción 39 N/A Yes Yes No No No Yes FEA Object Gro 16: Restricción del nodo 16 de la arte serior Nodal General Constraint ID Descrition Vertex Nmber Node Nmber Tx Ty Tz Rx Ry Rz 16 Restricción No No No No No Yes 171

172 Reslts Presentation Images 172