BLOQUE 4: GEOMETRÍA. Vectores. La recta en el plano

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1 BLOQUE 4: GEOMETRÍA Vectores La recta en el plano 63

2 VECTORES Hay magnitdes qe no qedan bien definidas mediante n número; necesitamos conocer además s dirección y s sentido. A estas magnitdes se les llama magnitdes vectoriales, y las representamos mediante vectores. A Un vector Módlo del vector representa por AB Dirección del vector B AB es n segmento orientado qe tiene s origen en el pnto A y s extremo en el pnto B Para determinar n vector tenemos qe conocer s módlo, dirección y sentido. AB es la longitd del segmento AB. El módlo del vector AB es la dirección de la recta qe pasa por A y B AB se Sentido del vector AB es el recorrido de la recta cando nos trasladamos de A a B. (Observa qe en cada dirección hay dos sentidos, el qe va de A hacia B y el qe va de B hacia A) EQUIPOLENCIA DE VECTORES Dados dos vectores diremos qe son eqipolentes si tienen la misma longitd, dirección y sentido. A B C Vectores eqipolentes D Todos los vectores eqipolentes entre si representan el mismo vector, qe llamaremos vector libre. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados dos vectores y v, llamamos combinación lineal de y v al vector donde λ y µ son números reales. + λ µ v, VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Un conjnto de vectores son linealmente dependientes si algno de ellos se pede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario, decimos qe son linealmente independientes. 64

3 BASE Dos vectores y v forman na base en el plano si son linealmente independientes y calqier vector se pede poner como combinación lineal de ellos. Se denota B, v En el plano, dos vectores con distinta dirección forman na base. COORDENADAS DE UN VECTOR Un vector w se pede poner siempre como combinación lineal de los vectores de la base r B, v a + b v w. Los números (a,b) son las coordenadas del vector w respecto de la base B. SISTEMA DE REFERENCIA Un sistema de referencia en el plano está formado por n pnto fijo O y na base, v Los vectores de na base peden ser perpendiclares, en ese caso hablamos de na base ortogonal. Si, además, tienen módlo, la base es ortonormal. Por lo general trabajaremos con na base ortonormal: i, j MÓDULO DE UN VECTOR DADO EN COORDENADAS. Sea el vector de coordenadas (a, b). b Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos: a + b a VECTORES PARALELOS Dos vectores son paralelos cando tienen la misma dirección. ( v En coordenadas:, ) y v ( v, ) son paralelos si v v COORDENADAS DE UN VECTOR DADO POR LOS EXTREMOS Sea el vector de origen A( a, a ) y de extremo B( b,b ), las coordenadas de AB, vienen dadas por AB ( b a, b a) 65

4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Sean los pntos A( a, a ) y B( b,b ). Distancia de A a B AB ( ) ( ) PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO b a + b a Las coordenadas del pnto medio de n segmento de extremos A( a, a ) y B( b,b ) son a + b a + b M, OPERACIONES CON VECTORES. Adición de vectores: Para smar dos vectores e v se representa no de ellos y con origen en el extremo de, se representa el otro vector v. El vector sma es el qe tiene el origen de y el extremo de v. + v v Otra forma de smar dos vectores r y v r consiste en representar ambos vectores con el mismo origen. El vector sma se obtiene como la diagonal del paralelogramo qe tiene por lados r y v r. Si el vector tiene de coordenadas (x,y) y el vector v tiene de coordenadas (x,y ), entonces: + v (x,y) + (x,y ) (x+x, y+y ) Prodcto de n número por n vector: Al mltiplicar n vector por n número k obtenemos n nevo vector k qe tiene: - módlo igal al del vector por el valor absolto del número k. - dirección la misma qe el vector - sentido el mismo qe si k es positivo. El contrario qe, si k es negativo. Si el vector tiene de coordenadas (x,y) entonces: k k (x,y) (kx, ky) 66

5 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Sean los vectores y v del plano. Se define el prodcto escalar como: v v cosα siendo α el ánglo qe forman. PROPIEDADES - Si 0 o v 0 entonces v 0. - Conmtativa: v v. - Asociativa: ( v w) ( v)w - Si 0 y v 0, y v son perpendiclares ( ) si y sólo si v 0. EXPRESIÓN ANALÍTICA Sean los vectores, ) y v v, v ). Definimos s prodcto escalar como: ( ( v v + v INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El prodcto escalar de dos vectores no nlos es igal al módlo de no de ellos por la proyección del otro sobre él. OA r cosα r OA cosα r r v r v OA r v r OA r v ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES Despejando en la definición del prodcto escalar, obtenemos qe: cos(, v) v v v + + v v + v VECTORES PERPENDICULARES Un vector perpendiclar a, ) es n r, ) ( ( 67

6 ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Sea A n pnto de la recta r y sea r s vector dirección. Dado calqier otro pnto X de la recta, se cmple qe: AX t con t R Observando la figra, se obtiene qe: a A x X r x a + t, con t R ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA: Un pnto del plano qeda determinado por dos coordenadas. Sea X (x,y) y A x, ) ( y Sstityendo en la ecación vectorial: x a + t los vectores por ss coordenadas cartesianas, qeda: (x,y) ( x, y) + t(, ) e igalando términos: x x + t y y + t con t R ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA: Despejando el parámetro en las ecaciones paramétricas: t t x x y y x x y y ECUACIÓN CONTINUA Si 0 la recta tendrá la forma x x. Si 0 la recta tendrá la forma y y. 68

7 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: Operando en la ecación contina, tenemos: x x ) ( y y ) x y x ( + y Llamamos A, B -, C y x y tenemos: ECUACIÓN GENERAL Observa qe el vector dirección es r (-B, A) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: Dados dos pntos del plano hay na única recta qe pasa por ellos. Vamos a determinarla: Sean A ( x, y ) y B ( x, y ) dos pntos del plano. Cál será la dirección de la recta qe pasa por A y por B? Lo más sencillo es tomar el vector AB como vector dirección: 0 AB x x, y ) ( y Así, las distintas ecaciones de la recta son: Ecación vectorial: Ax+By+C 0 x x, y ) + t AB ( x x + t( x x) Ecaciones paramétricas: y y + t( y y) x x y y Ecación contina: x x y y t R ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE: Consideremos la recta r qe pasa por el pnto A x, ) (, ); la ecación contina de la recta es: x x y y ( y y lleva la dirección del vector Esta ecación sólo es posible sarla cando 0. En este caso obtenemos la expresión: y y ( x x ) Al número se le llama pendiente de la recta, y se representa por m. Sstityendo en la ecación anterior, tenemos: y-y m(x-x ) ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE 69

8 Cál es el significado geométrico de la pendiente? Acabamos de ver qe la recta qe pasa por A y lleva la dirección de ( ) pendiente m., tiene como Ahora bien, m tx α, siendo α el ánglo qe forma la parte positiva del eje de abscisas con el vector director de la recta. Como la recta r es siempre paralela a s vector director, se dedce qe: La pendiente de na recta es igal a la tangente del ánglo qe forma la parte positiva del eje de abscisas con la recta. Y R α X La pendiente de na recta también se pede calclar si nos dan la ecación general: Ax+By+C0. Teniendo en centa qe el vector director viene dado por r (-B, A) y qe A m obtenemos qe m B ECUACIÓN EXPLÍCITA: Si en la ecación general de la recta Ax+By+C 0 despejamos y obtenemos la ecación de la recta en forma explícita: A C y x + B B qe normalmente se escribe: y mx+n donde m representa la pendiente y n la ordenada en el origen. 70

9 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO Si trazamos dos rectas calqiera en el plano, pede ocrrir qe: Sean secantes, es decir, se cortan. Sean paralelas. Sean coincidentes. s r A la vista de las figras del margen, está claro qe: Dos rectas son secantes si sólo tienen n pnto en común. Dos rectas son paralelas si no tienen ningún pnto en común. Dos rectas son coincidentes si tienen todos los pntos comnes. r s Para averigüar si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes hallaremos s intersección resolviendo el sistema qe forman ss ecaciones, de manera qe: Si tiene na solción, las rectas se cortan. Si no tiene solción, las rectas son paralelas. Si tiene infinitas solciones, las rectas son coincidentes. r s Podemos saber la posición relativa de las dos rectas sin necesidad de resolver el sistema qe forman? Sean las rectas r y s de ecaciones: Ax+By+C 0 y A x+b y+c 0. Las pendientes y las ordenadas en el origen de ambas rectas son: m A B m' A' B n C B n' C' B'.- Las rectas r y s son coincidentes si ss pendientes y ss ordenadas en el origen son igales, es decir: A A' A B m m' B B' A' B' C C' C B n n' B B' C' B' A r y s coincidentes A' B C B' C' 7

10 .- Las rectas r y s son paralelas si ss pendientes son igales, y ss ordenadas en el origen son distintas, es decir: A A' A B m m' B B' A' B' C C' C B n n' B B' C' B' r y s paralelas A A' B C B' C' 3.- Las rectas r y s son secantes si ss pendientes son distintas, es decir: A A' A B m m' B B' A' B' r y s secantes A A B ' B' ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS. Definimos el ánglo qe forman dos rectas como el menor de los dos ánglos qe forman. Para calclarlo hallamos el coseno del ánglo qe forman ss vectores directores, tomando el valor absolto. RECTAS PERPENDICULARES. Dada la recta rax+by+c0 s vector director viene dado por (-B,A). Utilizando la propiedad 4 del prodcto escalar, tenemos qe los vectores perpendiclares a (-B, A) son de la forma (A, B). Así pes, son perpendiclares a r todas las rectas qe tienen a (A, B) como vector director. Si dos rectas son perpendiclares ss pendientes cmplen: m' m DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de n pnto P ( x 0, y 0 ) a la recta Ax + By + C 0 se expresa : d( P, r) Ax 0 + By A 0 + B + C DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia es 0. Si las rectas son paralelas, se toma n pnto de na de ellas y se calcla s distancia a la otra recta. 7

11 HAZ DE RECTAS SECANTES: Se llama haz de rectas de vértice P(x0,y0), al conjnto de todas las rectas del plano qe pasan por el pnto P. S ecación es: y-y0 m(x-x0), siendo m n número real Para cada valor de m se obtiene na recta qe pasa por P(x0,y0) P Y si el pnto viene determinado mediante dos rectas qe se cortan? Sean las rectas de ecaciones: r: Ax+By+C0, s: A x+b y+c 0 qe sponemos se cortan en el pnto P(x0,y0). La ecación: α ( Ax + By + C) + β ( A' x + B' y + C) 0 representa el haz de rectas de vértice P, ya qe al variar α y β se obtienen rectas qe pasan por el pnto P(x0,y0), pes ss coordenadas verifican la ecación: α ( Ax + By + C) + β ( A x + B' y + C' ) α 0 + β ' 0 0 Si dividimos por no de los parámetros qe sea no nlo, se tiene: α Ax + By + C + ( A' x + B' y + C' ) 0 β α y llamando k, reslta: β Ax + By + C + k A' x + B' y + C' siendo k n número real. ( ) 0 HAZ DE RECTAS PARALELAS: Se llama haz de rectas paralelas a la recta r: Ax+By+C0 al conjnto de todas las rectas del plano qe son paralelas a r. S ecación es: Ax+By+k0, siendo k n número real. 73

12 MEDIANAS Y BARICENTRO RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO Se llama mediana a la recta qe ne n vértice con la mitad del lado opesto. En n triánglo ABC, las tres medianas se crzan en n pnto G llamado Baricentro qe es el centro de gravedad del triánglo. Cada mediana divide al triánglo en dos triánglos de igal área. Además el Baricentro dista doble del vértice qe del pnto medio del lado. MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO La mediatriz de n segmento es la recta perpendiclar en s pnto medio. Las mediatrices de n triánglo son las mediatrices de ss lados. El pnto O donde se cortan las tres mediatrices se llama Circncentro y eqidista, es decir, está la misma distancia de los tres vértices A, B y C, es por eso qe pertenece a las tres mediatrices. La circnferencia qe pasa por los tres vértices se llama Circnferencia Circnscrita. ALTURAS Y ORTOCENTRO Se llama altra en n triánglo a la perpendiclar trazada desde n vértice al lado opesto. En n triánglo ABC, las tres altras se crzan en n pnto llamado Ortocentro. 74

13 BISECTRICES E INCENTRO Se llama bisectriz a la recta qe divide n ánglo en dos partes igales. Las bisectrices de n triánglo son las bisectrices de ss ánglos. El pnto I donde se cortan las tres bisectrices interiores se llama Incentro, eqidista de los tres lados y por eso podemos constrir na circnferencia de centro I tangente a los lados del triánglo. Dicha circnferencia se llama Circnferencia Inscrita y es la circferencia más "grande" qe se pede definir completamente contenida dentro del triánglo. 75

14 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.-Razona qe pares de vectores forman na base: r r a) (, 3) y v (5,4) r r b) (0, 3) y v (4,).- Dados los pntos A(0,3), B(,), C(-,) y D(-3,4). Calcla los vectores: a ) AB CD b) AC+ DC c) BD CA 3.-Si, respecto de na base, los vectores y v son (, 3) y v (5, 4), halla las coordenadas de los sigientes vectores: 4.-Dados (,-) y v (0,3), realiza las sigientes operaciones de vectores: 5.-Calcla el pnto medio del segmento de extremos A(,) y B(-3,-) 6.-Encentra el simétrico del pnto A(,) respecto de C(3,0) 7.-Calcla el módlo de los vectores a ( 3,4 ), b ( 5, ) e c ( 3, ) 8.-Dados los pntos A(,) y B(,). Calclar: a) Las coordenadas de los vectores b) Ss módlos. a, b, c, a+ b, b c, dados AB y BA 9.- Calcla el prodcto escalar, módlos y ánglo de los sigientes vectores: r r r r d) ( 3,) v(, ) a) (3,4) v( 4,3) 3 r r r r e) x(, ) y( +, b) x(,3) y(3, ) r r r r c) (,6) v(3,5) f ) (, ) v(, ) 0.-Calclar a para qe el prodcto escalar de x v (a,) por y r (, 3).-Hallar m, sabiendo qe r (m,5) y r 3 sea la nidad. r r.- Sean los vectores ( 3, ) y v( a,). Calcla el valor de a para qe el vector v r tenga la r r misma dirección qe el vector + v 3.- Halla la proyección del vector r (, 5) sobre el vector v r (5,) ) 76

15 r r 4.-Dados ( 3,4) y v(, 3), calcla las componentes de n vector x r, sabiendo qe r r r r x 0 y v x 5.-Encentra n vector qe es perpendiclar a v (3,5) y cyo módlo sea Calcla m para qe v (7,-) y w(m,6): a)sean perpendiclares b)sean paralelos c)tengan el mismo módlo 7.-Calcla el ánglo qe forman los vectores: a) a (,5) b) c (, 3) y y b (3,) d (, 3) c) e ( 6,4) d) g (, 5) 8.-Calcla m para qe los vectores a ( 8, 6) y b ( m,3) y y f ( 9,6) h (4,6) formen n ánglo de 60º. 9.-Calcla λ y µ para qe los vectores (5, ), v (-, 4) y w r (3, ) verifiqen r r λ + µ v w 0.- Representa las rectas dadas por las ecaciones: a) y f ) y 3x + b) y 3 g) y 5x + c) x 4 x 3 t h) d)x + 3y 7 0 y 5 + t e)5x 7 0 x t i) y + t x y + 3 j) x + 3 y 7 k).-hallar la ecación de la recta r qe pasa por el pnto A(3,5) y lleva la dirección del vector (,-4) en forma paramétrica y general..-dada la recta de ecación vectorial x ( 3,) + t( 9, ), halla las otras formas distintas de la ecación de la recta. x 3 + t 3.-Dada la recta de ecaciones paramétricas:, hallar las otras formas distintas y 5t de la ecación. 4.-Lo mismo para la recta de ecación en forma contina x + 5 y, y la recta de 4 ecación en forma general 5x-7y-0 5.-Calcla la pendiente de la recta qe pasa por los pntos A(3,) y B(5,-). Cál es s ordenada en el origen? Qé representa? 6.-Determina si los pntos A(3,), B(5,) y C(,0) están alineados. 77

16 7.-Determina el ánglo qe forman los sigientes pares de rectas: a) r : ( x, y) (3,) + t(,5) s : ( x, y) (0,) + t( 3,) x y y b ) r : s : x 4 4 c) r : 3x y 0 s : 3x + 4y Halla la distancia del pnto A(,-4) a la recta ( x, y) (, 5) + t(,3) x + y 9.-Halla la distancia entre las rectas r : y s : x y Halla la recta qe pasa por el pnto (,) y es perpendiclar a la bisectriz del segndo cadrante. 3.-Halla las coordenadas de los pntos P y Q qe dividen al segmento A(4,), B(-,4) en tres partes igales. π 3.-Las rectas r : 3x + y 0 y s : x + ky 0, forman n ánglo de rad. Halla k Sea el cadrilátero de vértices A(,), B(4,3), C(3,7) y D(-,). Calcla las ecaciones de los lados. Calcla además las ecaciones de ss diagonales. 34.-Calcla la ecación de la recta qe pasa por el pnto A(-, 3 ) y tiene igal pendiente qe la recta -x+y Calcla la ecación de la recta qe pasa por el pnto A(,) y forma n ánglo de 90 0 la parte positiva del eje de abscisas. con 36.- Cánto tiene qe valer el parámetro h para qe el pnto (h,3) pertenezca a la recta de ecación x+3y-70? 37.- Hallar la ecación de la recta qe pasa por el pnto de intersección de las rectas 3x+4y-00, 4x-3y-50 y por el pnto P(,-3). 38.-Dadas las rectas 3x+my-70; 4x+y-40; 7x+y-80, determina m para qe las tres sean rayos de n mismo haz. 39.-Hallar la ecación de la recta qe pertenece al haz determinado por las rectas 3x+y+0; x-y+80, y pasa por el pnto P(-5,7) 40.-Las rectas mx+y3; 5x+ny7 se cortan en el pnto (-,3). Calcla m y n. 4.-Determina la ecación de la recta qe pasa por el pnto de intersección de las rectas de ecaciones 4x+6y-50; x-y-30, y es paralela a la recta de ecación 4x-5y-0 4.-Hallar el valor de k para qe las rectas x-3y+70 y kx+y-0 sean paralelas. 78

17 43.- Determina la posición relativa de las sigientes rectas: x y 7 0 x + y x + y 0 a) x + y b) 3x y 5 c) 3x y 0 3x + 3y x + 3y 8 3x + y Calcla la recta qe pasa por el pnto A(5,-3) y por el pnto medio del segmento qe tiene como extremos los pntos P(,3) y Q(-4,5) Calcla la recta qe, pasando por el origen de coordenadas, es perpendiclar a la recta 3x-y+30. Cál es la condición para qe dos rectas sean perpendiclares? 46.-Encentra el ánglo qe forman la recta qe pasa por los pntos P(-,4) y Q(3,8) y la recta x 3 y Encentra el valor de m para qe y mx - forme n ánglo de 45º con x + 3 y Calcla la distancia del origen de coordenadas a la recta qe pasa por (-3,6) y es paralela a x y Obtén la ecación de la mediatriz del segmento si ss extremos son (,5) y (-3,-7) 50.-Halla la ecación de las bisectrices de las rectas r y s de ecaciones r: 4x 3y + 0 s:5x +y 4 0 Compreba qe son perpendiclares. 5.- Dados los pntos O(0, 0), A(, 0) y B(5, 4), hallar: La ecación de la recta AB. El coseno del ánglo (AOB) 5.- Los pntos A(-, 5), B(-, ) y C(5, 4) son vértices de n rectánglo. Calcla: a)las coordenadas del carto vértice. b)el centro del rectánglo. c)la longitd de la diagonal En n sistema de coordenadas ortogonales, el eje OX y las tres rectas: y; x+y-0; x+y-60 limitan n cadrilátero. Hallar s área, las ecaciones de ss diagonales y las coordenadas del pnto de intersección de estas Dada la recta x+y-30, hallar la recta perpendiclar a ésta qe pasa por el pnto (,) La recta qe ne n vértice de n triánglo con el pnto medio del lado opesto se llama mediana. Hallar las ecaciones de las medianas del triánglo de vértices A(-, 4), B(7, 4) y C(, 0) y compreba qe las tres medianas se cortan en n pnto (baricentro). 79

18 56.- Dado el triánglo de vértices A(7,-7), B(,-5) y C(3,), calcla: a)la longitd de ss tres medianas. b)la longitd de la altra qe pasa por A. c)s ortocentro. d)el baricentro. e)la ecación de la mediatriz del lado BC. 57.-Calcla la distancia entre las rectas r: x y y s: 6x 4y La recta r: x y forma con los ejes de coordenadas n triánglo del qe se pide s área. 59.-Halla el pnto simétrico de A(3,) respecto de la recta r:x +y Dado el triánglo de vértices A(6,-5), B(,-4) y C(4,), calcla: a)el baricentro b)la mediatriz del lado BC c)la altra qe pasa por C d)la longitd de la mediana qe pasa por B 6.-Calcla el ortocentro y el área del triánglo cyos vértices son el origen de coordenadas y los pntos A(-,7) y B(4,3). 6.-El paralelogramo ABCD tiene de vértices A(-,), B(0,-) y C(3,). Halla las coordenadas de D y s área. 63.-Un pnto P dista lo mismo de A(6,0) y de B(-4,8). S distancia al eje de abscisas es el doble qe al eje de ordenadas. Determina las coordenadas de P. 64.-Halla las coordenadas del circncentro del triánglo cyos vértices son A(,), B(-,) y C(-,-). 65.-Los pntos B(-,3) y C(3,-3) determinan el lado desigal de n triánglo isósceles ABC tal qe A está en la recta x + y 5 0. Determina el vértice A, las altras del triánglo y s ortocentro. 66.-Determina la ecación de na recta r con estas características: r es perpendiclar a la recta qe pasa por A(8,0) y B(0,5), r tiene n pnto en común con las rectas 4x 3y + 0 y x +y El triánglo ABC es isósceles. El lado desigal tiene por extremos A(3,) y B(-,3). El vértice C está en el eje de ordenadas. Halla las ecaciones de los lados del triánglo y s área. 68.-Calcla el área limitada por la recta 3x +y 6 0, el eje de abscisas, el de ordenadas y la ordenada correspondiente a x Los ejes de coordenadas y las rectas 3x +4y 0 e 5x + 6y 30 0 forman n cadrilátero del qe se pide s perímetro y s área. 70.-Determina sobre la recta 3x 5y n pnto qe diste lo mismo de A(3,4) y de B(7,8) 80

19 x + y 7.-Dada la recta r: r : 4 simétrico de A respecto de r. y el pnto A(,7). Calcla las coordenadas del 7.-La recta r: x 3y + 0 determina con los ejes coordenados n segmento AB. Halla la ecación de la mediatriz de AB. 73.-La recta r corta a los ejes coordenados en los pntos (-4,0) y (0,3). Halla la distancia del pnto P(6,5) a r. 74.-Sean la recta r: 3x y 0 y los pntos A(8,) y B(4,-). Calcla la ecación de la recta determinada por el pnto B y el pnto A, simétrico de A, respecto de r. AUTOEVALUACIÓN. Dados los pntos A(,-), B(0,); las rectas r: x y ; s: -x+y-0. Calcla: a) Posición relativa de las rectas r y s b) Distancia entre A y B c) Distancia entre A y r d) Recta paralela a r pasando por A e) Recta perpendiclar a s pasando por B f) Pnto simétrico a B respecto a la recta r. a) Calclar el valor de n para qe las rectas r y s sean paralelas; siendo r: 3x - y - 0 y s: / b)para el valor de n hallado en el apartado a), determinar la distancia qe separa a r y s. 3. Se consideran los pntos A(,) y B(6,-5). Se pide: a)calclar la longitd del segmento AB b)determinar la mediatriz de este segmento c)hallar el pnto simétrico de A respecto del pnto P(-,) 4. Dadas las rectas : r: x y, s: 3x + y. Se pide: a)hallar la ecación de la recta concrrente con ellas qe pasa por el pnto P(-8,-3) b)calcla el ánglo qe forman las rectas r y s 8

20 AUTOEVALUACIÓN. Dados los pntos A(-3,), B(,0); las rectas r(x,y) (,-) (,4) ; s: x t. Calcla: y 3 a)posición relativa de las rectas r y s b)distancia entre A y B c)distancia entre A y r d)recta paralela a r pasando por A e)recta perpendiclar a s pasando por B f)pnto simétrico a B respecto a la recta r. Calclar el valor de a y de b para qe la recta r: pase por el pnto, y tenga la dirección del vector, 3. Se considera la familia de rectas: mx + (m -)y + (m +) 0 siendo m n parámetro real. Se pide: a) Determinar el pnto común a todas las rectas de la familia b) Hallar la recta de esta familia qe pasa por el pnto P(,) c) Encontrar la recta de esta familia qe es paralela a la recta x y a)calclar el valor de m para qe el baricentro del triánglo de vértices A(7,4), B(m +, -6) y C(-5, m+) esté sitado en el eje de abscisas y hallar ss coordenadas. b)obtener la ecación de la mediana del triánglo anterior qe pasa por el vértice A. c)hallar la medida del segmento determinado por el vértice A y el pnto de intersección de la mediana anterior y el lado BC del triánglo. 8