Sistema diédrico: punto, recta y plano. sta Unidad inicia el desarrollo del sistema diédrico, que abarca tres unidades didácticas.

Transcripción

1 UNIDD 7 Sistema diédico: punto, ecta y plano E sta Unidad inicia el desaollo del sistema diédico, que abaca tes unidades didácticas. El sistema diédico pesenta cieta dificultad paa imagina las figuas en el espacio a pati de sus poyecciones, ya que éstas no son muy epesentativas de su foma. Po ello, en algunas ilustaciones, se acompaña la epesentación diédica de una pespectiva. La complejidad que pesentan los puntos, ectas y planos situados en posiciones especiales, aconseja no dibuja ninguna poyección sin la notación coespondiente y utiliza ésta paa obtene tazas, dibuja pates vistas y ocultas y taza ectas notables de un plano. Los objetivos que nos poponemos alcanza con esta Unidad son: 1. Se capaz de epesenta puntos, ectas y planos en cualquie posición. 2. Se capaz de ealiza constucciones basadas en las elaciones de petenencia ente puntos, ectas y planos. 158

2 Diédico Poyección cilíndica Repesentación del punto Repesentación de la ecta Repesentación del plano Pimeas constucciones Tazas Rectas notables Posiciones del punto Posiciones de la ecta Posiciones del plano ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. SISTEM DIÉDRICO: FUNDMENTOS Y REPRESENTCIÓN DEL PUNTO Y L RECT Fundamentos y caacteísticas del sistema diédico Repesentación del punto Posiciones del punto Repesentación de la ecta. Petenencia de un punto a una ecta Obtención de las tazas. Pates vistas y ocultas Posiciones de la ecta especto a los planos de poyección Posiciones de la ecta especto a los planos bisectoes SISTEM DIÉDRICO: REPRESENTCIÓN DEL PLNO Repesentación del plano. Petenencia de un punto, o de una ecta a un plano Rectas notables del plano Posiciones del plano especto a los planos de poyección Posiciones del plano especto a los planos bisectoes Tazado de una hoizontal de plano po un punto Tazado de la segunda poyección de un punto de un plano dada la pimea Obtención de las tazas de un plano definido po un punto y una ecta

3 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO 1. Sistema diédico: fundamentos y epesentación del punto y la ecta 1.1. Fundamentos y caacteísticas del sistema diédico Imágenes Objeto Ilustación 1 El sistema diédico epesenta el objeto mediante dos imágenes que dan infomación complementaia sobe su foma y dimensiones. Estas son poyecciones cilíndicas otogonales del objeto sobe dos planos pependiculaes ente sí, uno hoizontal y oto vetical. Giando el plano hoizontal alededo de su ecta de intesección con el vetical (línea de tiea), hasta hacelo coincidi con él (abatimiento), situamos las dos imágenes en el mismo plano (Ilust. 1). 2º V 1º H 3º Ilustación 2 nimación 160 4º

4 En la Ilust. 2 el cubo se ha situado con dos caas paalelas a cada uno de los planos de poyección. Estas caas mantienen su foma y tamaño al se poyectadas, po lo que se pueden medi diectamente longitudes y ángulos. Sin embago, la infomación que facilitan las dos imágenes de su epesentación diédica (Ilust. 2 deecha) equieen se intepetadas paa imagina el cubo. De ahí las caacteísticas del sistema: facilidad de medida de las dimensiones lineales y angulaes situadas en planos paalelos a los de poyección, y dificultad de compensión de la foma del cuepo a pati de su epesentación diédica. El sistema diédico se utiliza paa la edacción de la mayo pate de los planos de fabicación y constucción en poyectos de ingenieía, aquitectua y diseño industial. Los elementos del sistema son: plano hoizontal (H) o pime plano de poyección, plano vetical (V) o segundo plano de poyección, y línea de tiea (L. T.) que es la intesección de ambos y se epesenta mediante una ecta fina con dos tazos en sus extemos infeioes. Los planos de poyección dividen el espacio en cuato cuadantes identificados con los númeos 1º, 2º, 3º, 4º. El obsevado se supone situado en el pime cuadante, consideándose vistos los puntos y líneas contenidos en él Repesentación del punto Un punto se epesenta mediante sus dos poyecciones y. Estas se llaman poyección hoizontal y vetical, o pimea y segunda poyección del punto y se nomban con la misma leta mayúscula que el punto eal y los subíndices 1 ó 2. 3 P 3 O N M V 3 Cota O N H lejamiento M Ilustación 3 161

5 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO Las ectas poyectantes, y el aco que abate la poyección hasta su posición definitiva (Ilust. 3), definen un plano pependicula a los de poyección, cuya intesección con ellos es la ecta pependicula a la línea de tiea. sí pues: las dos poyecciones de un punto están situadas en una pependicula a la línea de tiea, llamada línea de efeencia. Las distancias de un punto a los planos hoizontal y vetical se llaman cota y alejamiento del punto. La cota es positiva po encima del plano hoizontal y el alejamiento lo es po delante del vetical. Seán negativas en el caso contaio. En la epesentación diédica se miden así: La cota de un punto coincide con la distancia de su poyección vetical a la línea de tiea y es positiva po encima de ésta. El alejamiento de un punto coincide con la distancia de su poyección hoizontal a la línea de tiea y es positivo po debajo de ésta. En algunas ocasiones es peciso utiliza un tece plano de poyección pependicula al hoizontal y al vetical, llamado plano de pefil. El punto se poyecta sobe él en 3, llamada tecea poyección y gia alededo de la ecta de intesección con el vetical hasta situase sobe él. Dibujadas las tazas, del plano de pefil, se obtiene 3 (Ilust. 3) sobe una paalela a la línea de tiea, a una distancia de igual al alejamiento. Paa ello se dibuja la poyección M de la ecta poyectante 3 y el aco MN de cento O y adio el alejamiento, que es poyección del que descibe 3 al abatise sobe el vetical. Establecido un plano de pefil, es posible defini la posición de cada punto mediante sus distancias a los tes planos expesadas así: ( ) siendo,,, positiva a la deecha de Posiciones del punto El punto puede esta situado en cualquiea de los cuato cuadantes, lo que epecute en el signo de su cota o alejamiento y en la posición de sus poyecciones con elación a la línea de tiea. sí po ejemplo un punto del 2º cuadante tendá cota positiva, alejamiento negativo y sus dos poyecciones estaán po encima de la línea de tiea. El estudio de las Ilusts. 4 y 5 pemite obtene toda la infomación pecisa. 162

6 Ilustación 4: Puntos situados en distintos cuadantes P. H. P. V. y L. T. B B 2 BB 2 B B B 2 1 C C 1 C 2 C C1C2 Ilustación 5: Puntos situados en los planos de poyección Los planos bisectoes son dos: el pimeo divide cada uno de los cuadantes 1º y 3º en dos egiones iguales y el segundo hace lo popio con el 2º y el 4º. Los puntos contenidos en ellos (Ilust. 6) tienen iguales la cota y el alejamiento en valo absoluto, con el mismo signo los del 1 e bisecto ρ, po lo que sus poyecciones son siméticas especto a la línea de tiea y con signo contaio los del 2º bisecto σ, po lo que sus poyecciones coinciden. 163

7 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO Pime bisecto Segundo bisecto B1 ρ B B 2 B 2 B 2 B B 2 σ Ilustación 6: Puntos situados en los planos bisectoes 1.4. Repesentación de la ecta. Petenencia de un punto a una ecta B 2 B B2 Ilustación 7 Una ecta se epesenta mediante sus dos poyecciones y. Estas se llaman poyección hoizontal y vetical, o pimea y segunda poyección de la ecta y se nomban con la misma leta minúscula que la ecta eal y los subíndices 1 ó 2. También puede definise una ecta (Ilust. 7) mediante dos de sus puntos, B y epesentase po sus poyecciones, B 2. Recípocamente, se puede establece la condición de petenencia: un punto petenece a una ecta si las poyecciones del punto están contenidas en las de la ecta. 164

8 1.5. Obtención de las tazas. Pates vistas y ocultas 2º B 2º B 2 1º 1 C 4º 1º C 2 4º C 1 Ilustación 8 nimación Las tazas de una ecta son los puntos de intesección de ésta con los planos de poyección. La ecta (Ilust. 7) tiene una taza hoizontal y ota vetical. Estas son puntos situados en los planos hoizontal y vetical que coinciden con su pimea o segunda poyección espectivamente, estando la ota poyección en la línea de tiea. Po ello se epesentan mediante el punto eal o, sin nomba sus poyecciones. Cuando sea peciso hacelo se añadiá el subíndice 1 ó 2, así 1 seá la pimea poyección de la taza y 2 la segunda. Las tazas, de una ecta son los puntos que tienen cota 0 ó alejamiento 0, de ahí el pocedimiento paa obtenelas (Ilust. 8): La línea de efeencia que pasa po la intesección de con la línea de tiea cota a en. La línea de efeencia que pasa po la intesección de con la línea de tiea cota a en. Las tazas de una ecta son los puntos en que ésta cambia de cuadante y la dividen, po tanto, en vaios tamos, de los cuales el situado en el 1 e cuadante es visto y los demás ocultos. Los tamos vistos se dibujan con tazo continuo y los ocultos con tazo discontinuo. Se aveigua a qué cuadante coesponde cada tamo obsevando las poyecciones de los puntos situados en él. Po ejemplo, en la Ilust. 8 se ha dibujado un punto genéico de los situados a la izquieda de cuyas poyecciones quedan po encima de L. T.; estaá, po tanto, en el 2º cuadante y el tamo se dibujaá con tazo discontinuo. nálogamente, ente y el punto B está en el 1 e cuadante y las poyecciones de la ecta son vistas. Los puntos como C, situados a la deecha de, están en el 4º cuadante y son ocultos. 165

9 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO S P P 2 P 2 S 1 S 2 S 2 S 1 P 1 ρ σ P 1 Ilustación 9 Las tazas de una ecta con los planos bisectoes son los puntos en que ésta los cota y se nombaán con una P ó una S según se tate del 1 e o 2º bisecto. Como tienen iguales, en valo absoluto, la cota y el alejamiento, este es el pocedimiento paa obtenelas (Ilust. 9): La simética de especto a la línea de tiea cota a en la poyección P 2 de la taza con el 1 e bisecto ρ. Se obtiene P 1 tazando una línea de efeencia hasta el punto de cote con. En el punto de cote de con se hallan las dos poyecciones S 1, S 2 de la taza con el 2º bisecto σ Posiciones de la ecta especto a los planos de poyección Las ectas que son paalelas o pependiculaes a los planos de poyección, o paalelas o incidentes a la línea de tiea, tienen nombe popio y pesentan caacteísticas especiales en la disposición de sus poyecciones y tazas. El estudio de la Ilust. 10 facilitaá la infomación necesaia. Las ectas vetical y de punta son poyectantes, es deci, que la pimea o segunda poyección de todos su puntos coincide en un único punto de los planos hoizontal o vetical espectivamente. 166

10 Hoizontal Fontal 1 Vetical De punta Paalela a l. t. Incidente en l. t. Ilustación 10 La ecta de pefil pesenta sus poyecciones supepuestas y pependiculaes a la línea de tiea, po lo que se pecisan dos de sus puntos paa definila y la poyección sobe un plano de pefil paa obtene sus tazas. En la Ilust. 11 se pesenta el pocedimiento paa obtene las tazas de una ecta dadas las poyecciones (, ) y (, B 2 ) de dos de sus puntos. Dibujadas las tazas, de un plano de pefil, se obtienen las teceas poyecciones de y B sobe él. La ecta que une 3 y B 3 cota a L. T. en 3 y a en 3 que son las poyecciones teceas de sus tazas. Se obtienen y mediante el pocedimiento inveso al de obtene la tecea poyección de un punto. De pefil Obtención de las tazas B 2 B 2 B 3 B B 3 2 B B 1 H Ilustación

11 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO 1.7. Posiciones de la ecta especto a los planos bisectoes Incidentes o paalelas a los bisectoes s 2 s ρ V s s 2 s 1 s 1 V s s 1 s 1 s 2 s s 2 σ Pependiculaes a los bisectoes t a ρ t 2 t 2 t 2 V t t t 2 t 1 t 1 t 1 H t H t V t t 1 σ Ilustación 12 Las poyecciones de las ectas contenidas (incidentes) en los bisectoes tienen similaes caacteísticas a las de sus puntos, es deci, las del 1 e bisecto ρ son siméticas especto a L. T. y las del 2º bisecto σ están supepuestas (Ilust. 12, ecta ). nálogamente las ectas paalelas a los bisectoes tienen sus poyecciones siméticas especto a un eje paalelo a L. T., o paalelas ente sí (Ilust. 12, ecta s). Las ectas pependiculaes al 1 e bisecto ρ son ectas de pefil cuyas tazas son siméticas especto a L. T., y las pependiculaes al 2º bisecto σ también son ectas de pefil cuyas tazas están supepuestas (Ilust. 12, ecta t). 168

12 plicación 2º 3º 4º H Dadas las diecciones de las poyecciones diédicas de una ecta, se desea completa su epesentación y obtene las tazas con los bisectoes. P 1 Se obtienen pimeo las tazas. Donde cota a L.T. se taza una línea de efeencia que cota a en. P 2 S 1 S 2 Donde cota a L. T. se taza una línea de efeencia que cota a en. la izquieda de los puntos de tienen sus dos poyecciones po encima de L. T. po lo que petenecen al 2º cuadante, están ocultos y se epesentan con línea de tazo discontinuo. Ente y los puntos de tienen su poyección pimea po encima de L. T. y la segunda po debajo, son del 3 e cuadante y ocultos. la deecha de los puntos de tienen sus dos poyecciones po debajo de L. T. po lo que petenecen al 4º cuadante y están ocultos. Paa obtene la taza con el 1 e bisecto se taza la simética de especto a L. T., que cota a en P 1. Bajando una línea de efeencia hasta se obtiene P 2. La taza con el 2º bisecto (S 1, S 2 ) es el punto donde y se supeponen. 2. Sistema diédico: epesentación del plano 2.1. Repesentación del plano. Petenencia de un punto, o de una ecta a un plano V 2 Ilustación

13 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO Un plano se epesenta mediante sus dos tazas y con los planos de poyección. Estas se llaman taza hoizontal y taza vetical del plano y se nomban con la misma leta giega que éste, con los subíndices 1 ó 2. En la Ilust. 13 se ve como las tazas se cotan con la línea de tiea, en el punto de intesección del plano con los de poyección. De ahí la condición que deben cumpli las tazas: Las tazas de un plano se cotan en la línea de tiea. Las condiciones de petenencia de una ecta o un punto a un plano son: Una ecta petenece a un plano si las tazas de la ecta están contenidas en las tazas del plano. Un punto petenece a un plano si petenece a una ecta de dicho plano. sí en la Ilust. 13 la ecta petenece al plano poque está en y está en. El punto petenece a poque es un punto de la ecta, que a su vez petenece a Rectas notables del plano V h h 2 Hoizontal de plano h V h2 h f 2 f Fontal de plano f 2 h 1 h 1 f 1 H f H f f 1 V p Máxima pendiente p p 2 p p 2 1 p 1 V p v i Máxima inclinación i i i 2 2 i 1 H i i 1 v i H p H p Ilustación 14 De todas las infinitas ectas que petenecen a un plano algunas son, po sus caacteísticas, especialmente útiles como auxiliaes en los tazados, o po su epesentatividad. Estas son (Ilust. 14): Hoizontal de plano, su poyección hoizontal h 1 es paalela a la taza hoizontal del plano y la vetical h 2 es paalela a la línea de tiea. Fontal de plano, su poyección vetical f 2 es paalela a la taza vetical del plano y la hoizontal f 1 es paalela a la línea de tiea. Máxima pendiente, su poyección hoizontal p 1 es pependicula a la taza hoizontal del plano. Máxima inclinación, su poyección vetical i 2 es pependicula a la taza vetical del plano. H i 170

14 2.3. Posiciones del plano especto a los planos de poyección Hoizontal Fontal Vetical De canto De pefil Paalelo a l. t. Ilustación 15 Los planos que son paalelos o pependiculaes a los planos de poyección o a la línea de tiea tienen nombe popio y pesentan caacteísticas especiales en la existencia o disposición de sus tazas. El estudio de la Ilust. 15 facilitaá la infomación necesaia. Los planos pependiculaes a un plano de poyección son poyectantes en dicho plano. Po ejemplo, el plano de canto es poyectante en el vetical, po lo que la poyección vetical de sus puntos se encuenta en Posiciones del plano especto a los planos bisectoes Los planos paalelos al 1 e bisecto tienen su tazas supepuestas y paalelas a la línea de tiea y los paalelos al 2º bisecto, siméticas especto a la línea de tiea y paalelas a ella (Ilust. 16). Los planos pependiculaes al 1 e bisecto tienen su tazas siméticas especto a la línea de tiea y los paalelos al 2º bisecto supepuestas (Ilust. 16). 171

15 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO Paalelos a los bisectoes ρ σ Pependiculaes a los bisectoes ρ σ Ilustación Tazado de una hoizontal de plano po un punto V h h 2 h V h h 2 h 1 h 1 Ilustación 17 nimación 172

16 Sean y las tazas del plano, y, las poyecciones de uno de sus puntos. (Ilust. 17) Se taza la pimea poyección h 1, de la hoizontal de plano h, paalela a y pasando po. Po el punto de intesección de h 1 con L. T. se levanta la línea de efeencia de la taza vetical del plano V h, que estaá situada en. Po V h se taza la segunda poyección h 2 paalela a la línea de tiea Tazado de la segunda poyección de un punto de un plano dada la pimea f 2 f f 2 f 1 H f2 H f f 1 H f H f1 Ilustación 18 nimación Sean y las tazas del plano, y la pimea poyección de uno de sus puntos (Ilust. 18). Se taza la pimea poyección f 1 de la fontal de plano f paalela a la línea de tiea y pasando po. En el punto de intesección de f 1 con se encuenta H f, cuya segunda poyección H f 2 se obtiene sobe L. T.. Se taza la segunda poyección de la fontal de plano f 2 paalela a po H f 2. La segunda poyección del punto se obtiene en el punto de cote de f 2 con la línea de efeencia tazada desde Obtención de las tazas de un plano definido po un punto y una ecta Sean y las poyecciones de la ecta y, las poyecciones de un punto (Ilust. 19). 173

17 UNIDD 7 SISTEM DIÉDRICO: PUNTO, RECT Y PLNO V s V s s 2 s 2 B 2 s 1 s V B 2 2 s 1 1 B H H s s Ilustación 19 nimación Se elige un punto B de la ecta y se tazan las poyecciones s 1 y s 2 de la ecta s que pasa po y B. El plano queda ahoa definido po las ectas y s. Se obtienen las tazas de la ecta tazando líneas de efeencia po los puntos de cote de y con la línea de tiea; una de ellas cota a en, y la ota a en. nálogamente se obtienen las tazas de la ecta s. La taza hoizontal, del plano definido po el punto y la ecta, pasa po y H s y la taza vetical pasa po y V s. mbas deben concui en un punto de la línea de tiea. Recueda U En el sistema diédico las figuas situadas en un plano paalelo a uno de poyección, se poyectan sobe él con su misma foma y tamaño. U Un punto se epesenta mediante sus dos poyecciones y, que están situadas en una pependicula a la línea de tiea, llamada línea de efeencia. U La cota y el alejamiento de un punto coinciden con la distancia de sus poyecciones vetical y hoizontal a la línea de tiea espectivamente. U Una ecta se epesenta mediante sus dos poyecciones y. U Un punto petenece a una ecta si las poyecciones del punto están contenidas en las de la ecta. U Las tazas, de una ecta son los puntos que tienen cota 0, ó alejamiento 0. U La ecta de pefil pesenta sus poyecciones supepuestas y pependiculaes a la línea de tiea, po lo que se pecisan dos de sus puntos paa definila, y la poyección sobe un plano de pefil paa obtene sus tazas. U Un plano se epesenta mediante sus dos tazas y con los planos de poyección, que concuen en la línea de tiea. U Una ecta petenece a un plano si las tazas de la ecta están contenidas en las tazas del plano. U Un punto petenece a un plano si petenece a una ecta de dicho plano. 174

18 ctividades 1. Se dan las poyecciones s1 y s2 de una ecta s. Obtene sus tazas con los planos de poyección y con los bisectoes. continuación dibuja sus pates vistas y ocultas indicando los cuadantes que ataviesa. s2 s Se da la pimea poyección del cuadiláteo BCD, que está contenido en el plano. Obtene las segundas poyecciones de sus vétices. 1 B1 D1 1 p2 3. La ecta p es la línea de máxima pendiente de un plano. Obtene las tazas de dicho plano. p1 B Obtene las tazas de la ecta de pefil definida po dos de sus puntos y B. 1 B1 175 C1