I.E.S. Ana Mª Matute FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O.

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1 I.E.S. Ana Mª Matute FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O.

2 Índice 1. Cálculo vectoial Cinemática Dinámica del punto mateial Estática de fluidos Tabajo y enegía Caloimetía Fomulación química inogánica Estequiometía... 71

3 CÁLCULO VECTORIAL 1.- TIPOS DE MAGNITUDES FÍSICAS Existen en la natualeza vaios tipos de magnitudes físicas. Se suele distingui ente unas y otas, po el númeo de datos que es necesaio conoce, sobe dicha magnitud, paa que quede pefectamente definida. Po vivi en un espacio de tes dimensiones (lago, ancho y alto), el númeo de datos que es necesaio conoce paa detemina cualquie magnitud física, es siempe una potencia de tes, es deci, 3 n donde n es un númeo natual incluyendo el ceo. Los nombes que eciben las magnitudes físicas son los siguientes: Nº de datos Nombe de la magnitud si n=0 3 0 =1 Escala (Tenso de oden ceo) si n=1 3 1 =3 Vecto (Tenso de oden uno) si n=2 3 2 =9 Tenso de oden dos si n=3 3 3 =27 Tenso de oden tes.. Duante el pesente cuso (de hecho hasta llega a la univesidad) sólo se manejaán escalaes y vectoes. El manejo de las magnitudes escalaes es ya conocido, son las magnitudes que pecisan de un único númeo (y unidad) paa se conocidas, aunque un físico pefeiá siempe efeise a ellas po el nombe que hemos dado, podíamos llamalas también magnitudes numéicas. Son magnitudes escalaes, po ejemplo: masa, densidad, tiempo, tempeatua, enegía, etc. Centaemos, po tanto, nuesto estudio duante el pesente tema las magnitudes vectoiales. Son magnitudes vectoiales, po ejemplo: fueza, velocidad, aceleación, etc. 2.- Vectoes. Tipos vectoes. Los vectoes los epesentaemos gáficamente mediante un segmento oientado (flecha) y los simbolizaemos mediante una leta latina con una flechita encima. a En ocasiones, sobe todo en matemáticas, es necesaio utiliza el vecto que une dos puntos (po ejemplo A y B) dicho vecto se simboliza A AB B 1

4 Los tes datos que pecisa una magnitud vectoial pueden dase de vaias maneas, una de las más habituales es da módulo, diección y sentido, y opcionalmente, el punto de aplicación, hacia el final del tema se veá ota foma de da estos datos. Módulo de un vecto es la intensidad de la magnitud física que epesenta. La longitud de la flecha debe se popocional al módulo del vecto, así po ejemplo, la velocidad de un objeto que se mueva a 80 Km/h, debe epesentase con una flecha doble de laga que, la de oto objeto que se mueva a 40 Km/h. Diección de un vecto es la diección en la que se aplica la magnitud física. Se indica dando una ecta y la flecha debe esta contenida en ella. Señala que, po ejemplo, las ectas note-su y su-note son exactamente la misma, po lo que es necesaio da oto dato. Sentido de un vecto es uno de los dos posibles dento de la ecta indicada po la diección del vecto. Se indica mediante la punta de flecha. Paa da de foma completa la velocidad de un coche debeemos deci, po ejemplo, se mueve a 80 Km/h (módulo), po la caetea de Bugos (diección), hacia Madid (sentido). Aún así, esta descipción de la velocidad puede se incompleta, ya que no dice nada del punto en el cual se encuenta el vehículo, o lo que es lo mismo, de donde se debe dibuja el vecto, éste es el punto de aplicación. Los vectoes pueden clasificase de tes maneas distintas, dependiendo de la impotancia que en física tenga, paa un vecto conceto el punto de aplicación. Vecto ligado: es aquel que está ineludiblemente unido a su punto de aplicación. Vecto deslizante: es aquel cuyo punto de aplicación se puede considea cualquiea de la ecta que lo contiene. Vecto libe: es aquel cuyo punto de aplicación puede se cualquie punto del espacio. Resalta que paa da un punto de aplicación son necesaios otos tes datos, ya sea dando las coodenadas del punto, como suele hacese en matemáticas, o dando el vecto de posición como suele hacese en física, de este vecto se hablaá más adelante. Po lo tanto, si el vecto con el que se está tatando es un vecto ligado, seá necesaio da dos vectoes, o lo que es lo mismo seis datos. 3.- Suma de vectoes (composición). La suma de dos vectoes es oto vecto, que se obtiene a pati de los oiginales po aplicación de la egla del paalelogamo. Esta egla consiste en obtene el vecto suma gáficamente, paa lo cual se hace coincidi el punto de aplicación de los dos vectoes, po el extemo de cada vecto se taza una ecta paalela al oto vecto, finalmente se une el punto de aplicación de los vectoes con el punto de cote de las ectas tazadas, y ese es el vecto esultante. 2

5 a a + b b Ota opción, que evidentemente poduce el mismo esultado peo que puede se especialmente útil en caso de necesita suma vaios vectoes, es coloca el segundo vecto a continuación del pimeo, el vecto suma se obtiene entonces uniendo el pincipio del pime vecto con el final del segundo. a b a + b Resta de vectoes: paa deci como de estan dos vectoes empezaemos po defini opuesto de un vecto: es oto vecto de igual módulo, igual diección y sentido opuesto. Lo epesentaemos anteponiendo el signo menos al vecto. (opuesto de b = b ) b b Tiene ahoa pefecto sentido la siguiente expesión que nos sive de definición: a b = a + ( b) obsévese que la expesión anteio, que paece tivial si se tatase de númeos, no lo es en el caso de vectoes, antes no sabíamos cómo esta vectoes y ahoa sí. a b b a b 3

6 Hay una egla que suele se útil paa esta vectoes, y que evidentemente ofece el mismo esultado, consiste en uni el final del sustaendo con el final del minuendo. a b b a a b b Popiedades de la suma de vectoes: Popiedad conmutativa: Popiedad asociativa: Elemento neuto: a + b = b + a s v a + ( b + c) = ( a + b) + c a + 0 = 0 + a = a a + a = a + a = Elemento opuesto: ( ) ( ) 0 El elemento neuto paa la suma de vectoes, el vecto ceo ( 0 ), es una abstacción matemática, y epesenta un vecto de longitud ceo, y con cualquie diección y sentido; es su existencia la que pemite defini el vecto opuesto de uno dado, y po tanto la esta de vectoes. 4.- Poducto de un escala po un vecto El poducto de un escala (λ) po un vecto ( a ) es oto vecto, cuyo módulo es λ veces el de a, cuya diección es la de a, y cuyo sentido es el de a si λ es positivo y el opuesto si λ es negativo. a 2 a 2 a 1 a 3 a 1 a 2 Evidentemente, y afotunadamente, se nos cumple aquí la popiedad de que 1 a = a, ya que de no se así tendíamos gaves poblemas de consistencia con nuestas definiciones. 4

7 Popiedades del poducto de un escala po un vecto ( a + b ) = λ a + λ b λ ( λ + µ ) a = λ a + µ a 1 a = a 0 a = 0 A Pesa de su paecido, las dos pimeas popiedades no deben se confundidas con la popiedad distibutiva, y a que éstas afectan a elementos de dos tipos distintos, escalaes y vectoes. Resalta que λ y µ son dos númeos eales cualesquiea, enteos, faccionaios o decimales, positivos o negativos. 5.- Descomposición de un vecto La descomposición de vectoes puede hacese en dos o tes dimensiones. Puesto que duante el pesente cuso vamos a tabaja en dos dimensiones veemos también así la descomposición de vectoes. En cualquie caso, hacelo en tes dimensiones supone únicamente una complicación adicional en cuanto a los dibujos, no en cuanto a los conceptos. Descompone un vecto es obtene otos dos, en diecciones pefijadas, que sumados dan el vecto inicial. Paa descompone un vecto debeemos aplica una especie de egla del paalelogamo al evés. Colocaemos el vecto en el punto de intesección de las ectas (diecciones) dadas y tazaemos paalelas a éstas po el extemo del vecto. 1 a 1 a a 2 2 a 1 y a 2 son las componentes de a según las diecciones 1 y 2, ya que evidentemente a1 + a 2 = a. 5

8 Especialmente útil y fecuente es la descomposición de vectoes en la diección de los ejes catesianos X e Y, la descomposición se hace igual que en el caso anteio, peo es especialmente sencilla. Y a y a a = + ax ay a x X La teminología paa las componentes de a, a x y a y seá usada así, aquí po pimea y última vez a fin de evita futuas confusiones. 6.- Componentes catesianas de un vecto Vecto unitaio es un vecto de módulo (longitud) igual a 1 Definimos unos vectoes unitaios en las diecciones de los ejes X e Y y sentido positivo de dichos ejes. Estos vectoes unitaios los llamaemos i y j, y en función de ellos se puede expesa cualquie vecto contenido en el plano XY, en dos dimensiones. Veamos un pa de ejemplos: Y 2 j j i a = 3 i + 2 j a b b = 2 i + 4 j Y 4 j 3 i X 2 i i X j 6

9 Los númeos que multiplican a los vectoes unitaios i y j son las componentes catesianas de los vectoes a y b, se suelen epesenta como a x, a y, etc., de foma que cualquie vecto c puede escibise como: c = cx i + cy j en nuestos ejemplos: a x = 3, a y = 2 b x = -2, b y = 4 Las componentes catesianas de un vecto son númeos (escalaes), y como tales pueden se enteos, faccionaios o decimales, positivos o negativos. Los signos de las componentes de un vecto nos indican su oientación, así si la componente x de un vecto es positiva el vecto estaá situado en el pime o cuato cuadante, y si la componente y es positiva estaá en el pime o segundo cuadante, a la invesa si son negativas. 7.- Expesión de las opeaciones con vectoes en función de las componentes catesianas Cuando tenemos los vectoes expesados en función de sus componentes catesianas es especialmente sencillo opea con ellos, basta con segui las eglas siguientes, que pueden deducise gáficamente con gan facilidad. SUMA RESTA Sean a = ax i + ay j y b = bx i + by j a + b = ( ax + bx) i + ( ay + by) j a b = ( ax bx) i + ( ay by) j λ a = λ ax i + λ ay a = ax i ay j PRODUCTO POR UN ESCALAR ( ) ( ) j VECTOR OPUESTO Las componentes catesianas popocionan también un método sencillo paa calcula el módulo (longitud) de un vecto, ya que aplicando el teoema de Pitágoas a cualquiea de los ejemplos anteioes deducimos fácilmente la siguiente expesión: (epesentaemos el módulo de un vecto enceando dicho vecto ente unas baas veticales, similaes a las del valo absoluto, el significado sin embago de estas baas es claamente distinto a las de valo absoluto, y distinguiemos ente unas y otas po la flechita que llevaán encima los vectoes cuando se tate del módulo de un vecto) MÓDULO DE UN VECTOR a = a x a y Obsévese que el módulo de un vecto es un númeo siempe positivo, que cumple alguna popiedad que puede paece cuiosa a pimea vista, peo que es evidente cuando se eflexiona un poco, po ejemplo: a + b a + b En la anteio expesión el signo de igualdad seá válido únicamente si los dos vectoes tienen la misma diección y sentido. 7

10 PROBLEMAS v 1.- Dados los vectoes a = 2 i + 3 j ; b = j, epeséntalos gáficamente, obtén, también gáficamente, el vecto a b y expésalo en función de sus componentes. 2.- Dado el vecto a = 2 i + 5 j, calcula el módulo de los vectoes a, 2 a, -3 a, 5 a, 7 a, 10 a. Deduce una elación que pemita calcula el módulo del vecto λ a si se conoce el módulo de a. 3.- Dados los vectoes a = i 2 j ; b = 4 i + 2 j ; c = 4 j : A) Compueba que 2 ( a + b) = 2 a + 2 b B) Compueba que ( 2 + 3) b = 2 b + 3 b C) Calcula a, b, y c. D) Calcula 3 a 2 b + c. E) Calcula 3 ( b a) + 5 ( a + c) F) Calcula dos escalaes λ y µ que cumplan λ a + µ b = c 4.- Dibuja dos vectoes de módulos 3 y 5 cuya suma tenga módulo 6. Dibuja otos dos vectoes de módulos 4 y 5 cuya suma tenga módulo Descompón el vecto en las diecciones dadas. 6.- Dados los vectoes de la gáfica: Obtén gáficamente el vecto a + b y sus componentes. Compueba que el esultado gáfico coincide con el numéico. b Y a X 8

11 CINEMÁTICA Es la pate de la Física que estudia el movimiento de los cuepos, sin ocupase de las causas que lo povocan. 1.- Sistema de efeencia y vecto de posición Si queemos estudia el movimiento (cambio de posición) de un cuepo, el pime paso, paece que debe se, defini la manea en la que se deteminaá la posición del cuepo, paa luego pode estudia cómo cambia esta posición. Debe dase, sin embago, un paso pevio, no tendía ningún sentido, po ejemplo, que digamos que un objeto está situado a 3 metos, si no indicamos a 3 metos de qué. Debemos po tanto empeza po defini el objeto, mateial o no, especto del cual se deteminaá la posición y se estudiaá el movimiento del cuepo, esto es lo que en física se conoce como sistema de efeencia. Un sistema de efeencia es un sistema de ejes coodenados, en geneal tes ejes, aunque con fecuencia nos bastaá con usa dos, o incluso uno. Z Y Y X X A la hoa de afonta el un poblema de cinemática, el pime paso debe se siempe da la situación y oientación de los ejes del sistema de efeencia (S.R.). No hay en pincipio limitación sobe la posición y oientación a escoge paa el S.R., y cada pesona puede escoge las que le paezca conveniente, aunque a la hoa de da las soluciones obtenidas, pobablemente debeá indica el S.R. utilizado pues las soluciones dependeán de él. Si hay sin embago algunos consejos útiles, que duante el pesente cuso seguiemos siempe que sea posible: Si el móvil estudiado se mueve sobe una línea ecta haemos coincidi uno de los ejes con dicha línea. Siempe que la natualeza del poblema planteado no lo desaconseje gavemente, oientaemos, en nuestos dibujos, la pate positiva del eje X hacia la deecha, y la del eje Y hacia aiba (tal como en el dibujo anteio). 9

12 Si hay en ealidad una limitación paa la oientación de los ejes en el S.R., cuando tatemos con tes ejes, estos deben se dextógios, sin embago como duante el pesente cuso no se van a utiliza estos S.R., dejaemos esa pecisión paa otos años. Vecto de posición es un vecto que une el oigen del sistema de efeencia con el objeto estudiado. Se epesenta como, y po se un vecto de paticula impotancia en física se le hace un hono especial, y sus componentes catesianas en luga de llamase x y y se llaman simplemente x e y. Y = x i + y j y j i x X Si el objeto estudiado se mueve el vecto de posición cambiaá con el tiempo, y evidentemente también sus componentes x e y. Se define tayectoia seguida po el objeto como el conjunto de puntos que ocupa el móvil a lo lago del tiempo. Estos puntos coinciden con los apuntados po el extemo del vecto de posición, es un conjunto infinito de puntos, y todos ellos foman una línea, en geneal cuva, esta línea es la tayectoia. Y Tayectoia X 2.- Velocidad Es esta la magnitud física encagada de medi lo ápidamente que cambia de posición un cuepo. Podemos hace una pimea apoximación a la velocidad definiendo una velocidad media, de foma muy intuitiva, como el cociente ente el espacio ecoido y el tiempo que se ha tadado en ecoelo. Esta magnitud no es, sin embago, la que deseamos, pues nosotos necesitamos una magnitud que nos mida lo ápidamente que cambia de posición un objeto en cada instante, y no po temino medio. Nos apoximaemos a nuesto objetivo a pati de la v media definida de la siguiente manea: si en luga de calcula la velocidad media en todo el ecoido, la calculamos en sólo una pequeña pate de él, la velocidad que obtenemos así, sin deja de se una media, seá mucho más apoximada a la velocidad eal que ha 10

13 llevado el objeto duante esa pequeña pate del ecoido. Cuanto más pequeño sea el tozo de ecoido escogido más apoximada seá la media calculada a la velocidad eal. Podemos defini entonces la velocidad instantánea como la velocidad media calculada en una pate del ecoido infinitamente pequeña. 1 S = 2 1 Y X vm S = t S v = lim t 0 t Esta ultima definición no es aún totalmente satisfactoia, ya que aunque popociona una medida de lo ápidamente que se desplaza el móvil, no dice absolutamente nada de la diección y sentido en que lo hace. Podemos aegla este defecto sin mas que sustitui en la ecuación S po, ya que como podemos apecia en el dibujo, si t tiende a ceo los puntos 1 y 2 se encuentan muy póximos, con lo cual S y se confunden (pácticamente se supeponen), y además tiene la diección y sentido apopiado. si t 0 entonces = S es tangente a la tayectoia tiene el sentido del movimiento En consecuencia, definiemos po fin, la velocidad mediante la siguiente expesión: La última expesión (la deivada) no la utilizaemos en el pesente cuso. 3.- Aceleación v = lim t 0 t d = dt Es la magnitud física encagada de medi lo ápidamente que cambia la velocidad de un cuepo. Seguiemos paa definila un método simila al utilizado paa defini la velocidad. 11

14 1 v 1 Y v v = v 2 v1 v 2 X v v 2 Empezamos po defini una aceleación media, que mide el cambio de la velocidad, po temino medio, en un cieto intevalo de tiempo t, v am = t puesto que esta apoximación en geneal no es satisfactoia, calculo la aceleación media en intevalos de tiempo cada vez más pequeños, y finalmente defino la aceleación instantánea, como la aceleación media calculada en un intevalo de tiempo infinitamente pequeño. a = lim a v = lim = t t m t 0 0 dv dt 4.- Movimiento ectilíneo unifome (M.R.U.) Es el movimiento de un cuepo que se mueve siguiendo una tayectoia ecta con velocidad constante. Resalta, que aunque no nos impote, hay en esta definición una edundancia, ya que si la velocidad, como vecto, es constante, la tayectoia necesaiamente ha de se ecta, con lo cual es innecesaio indicalo. Paa el estudio de este movimiento, y siguiendo el consejo dado anteiomente, situaemos el S.R. con uno de sus ejes, po ejemplo el X, coincidiendo con la tayectoia. Al hacelo así todos los vectoes elevantes paa el poblema quedaán situados sobe este eje. Y x i 0 = 0 = 0 = ( x x0) i = x i 12 v = vx i Puesto que la velocidad es constante, es evidente que el cálculo de la velocidad media daá siempe el mismo esultado, independientemente del intevalo de tiempo en el que la calculemos, y aún cuando el intevalo de tiempo tienda a ceo, es deci en este caso: v = vm = t X

15 despejando es esta expesión = v t, sustituyendo cada vecto po su valo en función de las componentes catesianas tendemos: ( x x0) i = vx i ( t t 0). En esta expesión podemos pescindi del vecto unitaio, lo cual equivale a deci que los dos vectoes que hay a ambos lados de la igualdad, sólo pueden se iguales si lo son sus componentes x (lo que multiplica a i ), también es innecesaio pecisa que se tata de la componente x de la velocidad, puesto que es la única existente (la componente y vale ceo), teniendo todo esto en cuenta la anteio expesión nos queda: x x 0 = v (t t 0 ) En esta expesión habá que tene en tene cuenta: x y x 0 son componentes del vecto de posición, o lo que es lo mismo, coodenadas del punto en el que se encuenta el móvil, po tanto seán positivas si el móvil se encuenta en la pate positiva del eje X (hacia la deecha), y negativas si se encuentan en la pate negativa del eje X (hacia la izquieda). v es la componente x del vecto velocidad, po tanto seá positivo si el móvil se desplaza hacia la deecha y negativo si lo hace hacia la izquieda. t y t 0 son espectivamente el instante (hoa) en el cual el móvil se encuenta en su posición final x, y el instante (hoa) en el que el móvil se encuenta en su posición inicial x 0. La difeencia ente ambos es el tiempo tanscuido. Es fecuente encontase la ecuación anteio escita de la foma: x x 0 = v t no hay una difeencia eal ente las dos expesiones, ya que en este último caso la t epesenta el tiempo que tanscue desde que el móvil pasa de la posición inicial a la final, po lo que coincide con el valo de t t 0 en la expesión anteio. Nosotos utilizaemos una u ota expesión indistintamente, según nos convenga. 5.- Gáficas x-t y v-t en el M.R.U. Las gáficas v-t y x-t son especialmente fáciles de dibuja en este caso, basta con tene en cuenta que puesto que la velocidad es constante, no cambia con el tiempo, con lo cual la gáfica v-t debe se una ecta hoizontal. 13

16 V v V t 0 t t v t 0 t t móvil desplazándose en el sentido positivo del eje X (hacia la deecha) móvil desplazándose en el sentido negativo del eje X (hacia la izquieda) Paa dibuja la gáfica x-t basta con dase cuenta de que la ecuación del M.R.U. implica una elación lineal ente x y t, con lo cual estas gáficas seán, efectivamente lineales: X X X x x 0 x=x 0 x 0 x t 0 t t Móvil desplazándose hacia la deecha (aumentando x) t o t t Móvil en eposo (x no cambia) t 0 t t Móvil desplazándose hacia la izquieda (disminuyendo x) 6.- Movimiento ectilíneo unifomemente aceleado (M.R.U.A.) Es el movimiento de un cuepo que se mueve siguiendo una tayectoia ecta con aceleación constante. Igual que hicimos en el M.R.U., al se la tayectoia ecta situaemos nuesto sistema de efeencia con uno de sus ejes coincidiendo con la tayectoia, entonces todos los vectoes que intevienen en el poblema quedan sobe dicho eje. Y x i v 0 = v0x i v = vx i 0 = 0 = 0 = ( x x0) i a = ax i = x i v = v X v 0 14

17 Puesto que la aceleación es constante, la aceleación media, calculada en cualquie intevalo de tiempo, daá siempe el mismo esultado, aún cuando el intevalo de tiempo tienda a ceo, es deci, en este caso: v a = am = t desaollando los incementos y despejando v v 0 = a ( t t 0), integando esta 1 2 ecuación (cosa que haemos oto año) obtenemos: 0 = v 0 ( t t 0) + a ( t t 0) 2 expesamos ahoa cada vecto en función de sus componentes catesianas, eliminamos el vecto unitaio, que apaece en todas las expesiones, y los innecesaios subíndices x, pues ya se sabe que todos los vectoes están sobe el eje X, y nos queda: v = v 0 + a (t t 0 ) x x 0 = v 0 (t t 0 ) + ½ a (t t 0 ) 2 Combinando estas dos ecuaciones se puede obtene una 3ª en la que se han eliminado los tiempos, ésta es: téngase en cuenta que ésta última no ves 2 = una v 2 0 nueva + 2 a (x ecuación, x 0 ) sino una combinación de las anteioes, luego no puede petendese utiliza estas ecuaciones paa esolve un sistema con tes incógnitas. Igual que se hizo con el M.R.U. puede, si así se pefiee, sustitui t t 0, instante final menos inicial, po tiempo tanscuido, t, con lo que las ecuaciones anteioes se eescibián de la foma: v = v 0 + a t x x 0 = v 0 t + ½ a t 2 v 2 = v a (x x 0 ) Tanto en este caso, como en el del M.R.U. es costumbe hace coincidi con la tayectoia el eje X si ésta es hoizontal, o el eje Y si la tayectoia es vetical, en este segundo caso, las ecuaciones que se obtienen son exactamente las mismas, peo sustituyendo las x s po y s. 7.- Gáficas x-t, v-t y a-t en el M.R.U.A. Empezaemos po la gáfica a-t, la más sencilla. Si suponemos el móvil desplazándose hacia la deecha, entonces una aceleación positiva (hacia la deecha), implica que el móvil incementa su velocidad cada unidad de tiempo en una cantidad igual a la aceleación. Una aceleación negativa implicaá, po el contaio, una disminución de la velocidad. 15

18 a a a t 0 t t t 0 t t a Aceleación positiva: velocidad aumentando Aceleación negativa: Velocidad disminuyendo Si po el contaio, el móvil estuviese desplazándose hacia la izquieda (v negativa), una aceleación positiva implicaía una disminución de la velocidad (en módulo) y vicevesa. Paa dibuja las gáficas v-t, obsevamos que según la 1ª ecuación del M.R.U.A., hay una elación lineal ente velocidad y tiempo, con lo cual las coespondientes gáficas seán también lineales. V v V v v 0 v 0 t 0 t t Móvil desplazándose hacia la deecha (v positiva) velocidad aumentando (a positiva) t Móvil desplazándose hacia la deecha (v positiva) velocidad disminuyendo (a negativa) En cuanto a las gáficas x-t paa dibujalas obsevaemos que la 2ª ecuación del M.R.U.A. que elaciona posición y tiempo, es una ecuación de 2º gado, con lo que las coespondientes gáficas han de se paábolas. 16

19 X x X x X x 0 x o t t 0 t Móvil alejándose hacia la deecha, peo cada vez más despacio (v positiva, a negativa, fenando) x 0 t 0 t Móvil alejándose hacia la deecha, cada vez más depisa (v positiva, a positiva, aceleando) t x t 0 t Móvil acecándose desde la deecha, cada vez más despacio (v negativa, a positiva, fenando) t 8.- Movimientos no ectilíneos Paece bastante intuitivo que las ecuaciones obtenidas paa el M.R.U. y paa el M.R.U.A. han de pode adaptase al caso de movimientos con velocidad constante (en módulo), o con velocidad (en módulo) vaiando unifomemente, peo con tayectoia no ectilínea. Esta adaptación efectivamente, puede hacese, peo no está libe de algunas complicaciones bastante notables, po lo que no la haemos de momento. Simplemente, cuando afontemos un poblema con movimiento no ectilíneo, supondemos que estiamos la caetea, lo cual no daá ninguna ventaja a los ladones paa escapa de la policía, ni haá que adelantemos o etasemos nuesta hoa de llegada del viaje. En definitiva, todas las magnitudes inteesantes paa la esolución de nuesto poblema seguián siendo las mismas, sea la tayectoia ectilínea o no. PROBLEMAS 1.- Dos coches con velocidades 72 Km/h y 90 Km/h, sepaados inicialmente 90 m, se diigen uno hacia el oto. Calcula la distancia que los sepaa al cabo de: 1 s, 2 s, 3 s, y 4 s. sol: 45 m; 0 m; 45 m; 90 m. 2.- De un cuce de caeteas pependiculaes salen dos coches, uno a 15 m/s y oto a 20 m/s. Calculas la distancia que los sepaa al cabo de: 1 s, 2 s, 3 s y 4 s. sol: 25 m; 50 m; 75 m; 100 m. 3- Un coche de ladones sale del banco a 120 Km/h. 0,5 h mas tade sale en su pesecución un coche de policías a 150 Km/h. Calcula el tiempo que tadan en alcanza a los ladones y el punto en que los alcanzan. sol: 2 h; 300 Km. 17

20 4.- Un ten viajando a 72 Km/h ebasa a un obsevado quieto en el andén. En ese momento un pasajeo hace oda una pelota en la diección del movimiento del ten con velocidad 10 m/s. Calcula, especto del obsevado, la velocidad de la pelota y su posición al cabo de 0,5 s si: a) La pelota se lanza en el mismo sentido de avance del ten. b) La pelota se lanza en sentido contaio. sol: 30 m/s, 15 m; 10 m/s, 5 m. 5.- Un nadado petende cuza un ío de 30 m de ancho nadando a 1 m/s diectamente hacia la oilla opuesta. Si el ío tiene una coiente de 18 Km/h, calcula: a) La velocidad del nadado especto de la oilla. b) Tiempo en alcanza la oilla opuesta. c) Distancia total ecoida po el nadado. sol: 5,1 m/s; 30 s; 153 m. 6.- Un ten enta en una estación con velocidad 64 Km/h. Cuál es el valo de la deceleación si desde que se aplican los fenos hasta que el ten se detiene ecoe aún 150 m. Sol: -1,05 m/s Un coche se diige a velocidad constante de 90 Km/h hacia una paed. Cuando se encuenta a 100 m de ella, el conducto toca el claxon. A qué distancia de la paed se encuenta cuando oye su eco? Dato: v s = 340 m/s sol: 86,3 m 8.- Con qué velocidad se debe lanza una pieda hacia aiba si se desea que suba hasta 45 m de altua?. En qué instante se encontaá la pieda a 40 m de altua y que velocidad llevaá entonces?. Cuánto tiempo tada la pieda en volve a cae al suelo?. sol: 30 m/s ; 2 s y 4 s ; 10 m/s y -10 m/s ; 6 s 9.- Desde un globo que se encuenta a 10 m de altua y subiendo con velocidad 18 Km/h se deja cae una pieda. Calcula el tiempo que tadaá en llega al suelo y la velocidad con la que se estellaá conta éste. sol: 2 s ; -15 m/s 10.- Un ciclista al sali acelea a 0,1 m/s 2 duante 2 min, después mantiene su velocidad constante duante 5 min, momento en el que pincha, pemanece 5 min epaando el pinchazo y decide volve a su casa, paa lo que acelea a 0,1 m/s 2 duante 1 min, manteniendo la velocidad constante el esto del camino. Calcula la distancia total ecoida po el ciclista y el tiempo que ha estado fuea de casa. Calcula todos los datos que necesites paa ello y dibuja las gáficas x-t, v-t y a-t coespondientes al movimiento del ciclista. sol: 8640 m ; 29.5 min 11.- Desde una toe de 45 m de altua se deja cae una pieda. Calcula el tiempo que tada en llega al suelo y la velocidad en Km/h con la que se estellaá conta éste. Supón que a 24 m de altua está la base de una ventana de 1 m de alto; una pesona que estuviese miando hacia la ventana duante cuánto tiempo veía pasa la pieda?. sol: 3 s; 108 Km/h; 0,05 s 18

21 V(m/s) La gáfica adjunta epesenta el movimiento de un cuepo que pate del oigen de coodenadas. Calcula su posición a los 8 s y dibuja la gáfica a-t coespondiente. sol: 90 m. t(s) Desde una ventana situada a 25 m de altua se lanza una pieda veticalmente hacia aiba con velocidad 72 Km/h. Calcula : a) La altua máxima hasta la que subiá. b) El tiempo que tadaá en llega al suelo y la velocidad con la que se estellaá conta éste. sol: 45 m; 5 s, -30 m/s Un gifo que se encuenta a 80 cm del suelo esta goteando a azón de una gota cada 0,2 s. Calcula la distancia que sepaa las gotas en el momento en que la pimea llega al suelo. Sol: 60 cm y 20 cm Una pesona coe a 8 m/s hacia un autobús. Cuando se encuenta a 40 m de éste el autobús aanca con aceleación 1 m/s 2. Alcanzaá al autobús?. Sugeencia: Supón que sí le alcanza y calcula el instante en que lo haá. sol: NO Calcula la pofundidad de un pozo si desde que se deja cae una pieda hasta que se la oye golpea conta el fondo pasan 3 s. Dato: v sonido = 340 m/s. Sol: 41,4 m Un atón se diige hacia un ama de casa con velocidad 6 m/s. Cuando se encuenta a 5 m de ella la muje aanca huyendo del atón con aceleación 2 m/s 2. Cuánto tiempo tada el atón en alcanza a la muje?. Con qué aceleación mínima hubiea debido aanca el ama de casa paa no se alcanzada?. Sol: 1s ; 3,6 m/s Sujeto mediante una cueda al techo de un ascenso y a 1.5 m del suelo de éste hay un objeto. Cuando el ascenso aanca con aceleación 2 m/s 2 la cueda se ompe. Cuanto tiempo tada el objeto en golpea conta el suelo?. Sol: 0,5 s Desde lo alto de una toe de 50 m de altua se deja cae una pieda y simultáneamente se lanza ota veticalmente hacia aiba desde su base con velocidad 20 m/s. Calcula la altua a la que se cuzan las piedas, el tiempo que tadan en cuzase y la velocidad de cada una en ese momento. Sol: 18,75m ; 2.5 s; -25 m/s, -5 m/s. 19

22 DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL Dinámica es la pate de la física que estudia el efecto que, sobe el movimiento de los cuepos, tienen las fuezas. Punto mateial es un objeto sin dimensiones (tamaño ceo) peo con masa. El motivo de defini y estudia el punto mateial es el de simplifica, si el objeto estudiado no tiene dimensiones no se veá afectado de otaciones, y no seá necesaio estudia éstas, que quedaán paa un tema de Dinámica de Rotación en años futuos. La limitación puesta en este tema no es excesiva, ya que en la páctica, todo lo que aquí estudiemos es válido paa objetos extensos, con la única condición de que no oten. 1.- Leyes de Newton Toda la dinámica clásica (pevia a Einstein) se basa en las leyes de la dinámica que Newton fomuló en el siglo XVII. Hay además una cuata ley de Newton, que también veemos en este tema, peo que se estudia po sepaado, pues en luga de se una ley geneal sobe dinámica, estudia una fueza paticula. Estas tes leyes de Newton son en ealidad pincipios, pues son indemostables, son sencillas y son la base sobe la que sobe la que sustenta la dinámica, y buena pate de la Física en geneal. Todas ellas tienen en consecuencia un sobenombe que hace efeencia a su condición de pincipio. 1ª Ley de Newton o Pincipio de Inecia. Toda patícula libe se mueve con M.R.U. Patícula libe es aquella que no está sometida a ninguna fueza, o bien la suma de las fuezas aplicadas a ella es ceo. Resalta que una patícula que se mueve con velocidad constantemente igual a ceo (no se mueve) es un caso paticula del M.R.U. y po tanto está incluida en la 1ª ley. En una teminología más vulga, podíamos enuncia la 1ª ley diciendo que, si a una patícula no le hacemos nada, seguiá igual, si estaba quieta seguiá quieta, y si se estaba moviendo seguiá moviéndose en línea ecta y con velocidad constante. Esta ley, que hoy puede paece evidente y sencilla, no lo ha sido siempe, y de hecho hubiese sido categóicamente echazada po los antiguos giegos, que pensaban que: si a un objeto en movimiento no se le hace nada, se paaá al cabo de cieto tiempo. Esta objeción, y otas paecidas que se pueden hace, son debidas a la dificultad paa estudia en la natualeza una patícula ealmente libe, en paticula, desvinculada de la fueza de ozamiento, que es la que confundía a los antiguos giegos. 20