APUNTES DE MATEMÁTICAS

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicente Adsuara Ucedo

2 TEMA 4: LA RECTA 4. Ecuación ectorial de la recta Una recta queda determinada por un punto A y un ector libre no nulo paralelo a ella que se llama ector de dirección de la recta. y A X ( x, y ) r x x Vamos a obtener la relación ectorial que caracteriza a todos los puntos de la recta r. Si X (x, y) es un punto cualquiera de la recta r, el ector AX tiene la dirección de y en consecuencia son linealmente dependientes, es decir son proporcionales, luego: AX t, t R Según la figura: OX OA+ AX es decir OX OA+ t OX Si a es el ector de posición del punto A y x es el ector de posición del punto X: x a + t que es la ecuación ectorial de la recta r. Ejemplo: La ecuación de la recta r que pasa por el punto (, -) y tiene por ector (, 3) es: (x, y) (, -) + t (, 3) 8

3 4. Ecuaciones Paramétricas y en forma continua de una recta De la ecuación ectorial de la recta r: (x, y) (x, y ) + t (, ) (x, y) (x + t, y + t ) es decir: x x + t y y + t que son las ecuaciones paramétricas de la recta. El escalar t R se llama parámetro, y para cada alor de t se obtiene un punto distinto de la recta. Ejemplo: Calculemos las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A (, -3) y tiene por ector de dirección al ector MN, siendo M (0, 5) y N (-, 3). Las componentes MN son: (- 0, 3 5) (-, -), por lo que las ecuaciones paramétricas de la recta serán: x t y -3 t 4.3 Ecuación en forma continua de una recta En las ecuaciones paramétricas de la recta se puede eliminar el parámetro t despejando en cada una de ellas e igualando las expresiones resultantes: x x y y que es la ecuación de la recta en forma continua. Para expresar esta ecuación solo necesitamos conocer un punto que dé la recta A (x, y ) y un ector paralelo a ella (, ). Ejemplo: 9

4 La ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto (3, 5) y tiene por ector de dirección (-, 3) es: 4.4 Ecuación general de una recta De la ecuación en forma continua de la recta: x x y y, con 0 y 0 se obtienen las siguientes expresiones: x 3 5 y 3 (x x ) (y y ) x - x y - y x - y + y - x en la que llamando: A, B - y C y - x, resulta: A x + B y + C 0 que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. La única condición restrictia es A y B no pueden ser cero al mismo tiempo ya que el ector (0, 0) no define ninguna dirección. En todos los casos el ector de dirección de la recta endrá dado por: ( ) ( B A),, Ejemplo: Dada la ecuación de la recta en forma general: x 3y + 5 0, amos a escribirla en las formas: ectorial, paramétrica y continua: El ector de dirección será: (3, ) 30

5 Necesitamos encontrar ahora un punto que pertenezca a la recta : si a x le damos el alor obtenemos para y el alor 3, luego el punto A (, 3) pertenece a la recta y por tanto la ecuación ectorial será: ( x, y ) (, 3 ) + t ( 3, ), t R Las ecuaciones paramétricas: x + 3t y 3+ t Y la ecuación continua: x y 3 3 Ejemplo: Determina la ecuación general de una recta sabiendo que esta determinada por el punto A (, 5) y por el ector de componentes (-, ). La ecuación ectorial será: (x, y) (, 5) + t(-, ) Las ecuaciones. Paramétricas: x t y 5+ t La ecuación continua: x 5 y Operando: x 4 -y + 5 x + y 9 0 3

6 4.5 Recta que pasa por dos puntos. Pendiente de una recta Sean dos puntos A (x, y ) y B (x, y ) de una recta r. A B Entonces AB es un ector de dirección de la recta: AB (, ) (x x, y y ) Y sustituyendo estas componentes en la ecuación continua de la recta, resulta: x x x x y y y y que es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ejemplo: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A (, 3) y B (, -5). x y x + 8 y 8x + y 0 3

7 Se define la pendiente de una recta como el cociente de la segunda componente de un ector de dirección de la recta entre la primera, siendo esta última distinta de cero. Se denota con la letra m: m, con. 0 Si 0, la recta es paralela al eje OY y no tiene pendiente. Si la recta iene dada por su ecuación general: Ax + By + C 0, entonces un ector de dirección es (-B, A) y por tanto su pendiente es: A m B La pendiente de una recta no depende del ector de dirección elegido para su determinación, sino que tiene siempre un alor constante. 4.6 Ecuación punto-pendiente de una recta De la forma continua de la ecuación de una recta: x x y y, se obtiene: y y ( x ) y como m, resulta: x y y m (x x ) Que es la ecuación punto pendiente de la recta. Así pues una recta queda determinada cuando se conocen un punto de ella y su pendiente. Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 5) y tiene pendiente /3. y 5 /3 (x ) de donde: 33

8 3y 5 x, luego x 3y Ecuación explícita de la recta Despejando y en la ecuación punto-pendiente: y mx -mx + y, llamando b y mx : y mx + b que es la ecuación explícita de la recta. El término independiente b es la ordenada correspondiente a x 0, por lo que se le llama ordenada en el origen de la recta y mide la distancia del origen al punto donde la recta corta al eje OY. Ejemplos: a) Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación general es: x + 3 y Solución: x y x +, de donde m y b b) Escribir la ecuación explícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: x 3 t y 5 + t x y 5 Solución: x 4 3y + 5, por tanto: 3 9 y x

9 c) Encuentra un ector de dirección de la recta y 3x 5 Solución: La pendiente es m 3, luego los posibles ectores son: (, 3), (, 6), (3, 9), etc. 4.8 Ecuación segmentaria o canónica de una recta La ecuación segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que esta determina sobre los ejes de coordenadas: a se llama abcisa en el origen de la recta b se llama ordenada en el origen de la recta ( 0, b ) b a ( a, 0 ) La ecuación de la recta que pasa por los puntos: (a, 0) y (0, b) es: x x x x y y y y x a y b 0 a b 0 x a a y b x a + y b x y, es decir + a b con a, b 0 Que es la ecuación segmentaria de la recta. Los alores de a y b se pueden obtener fácilmente de la ecuación general: 35

10 Si hacemos y 0 resulta x a Si hacemos x 0 resulta y b Una recta carece de forma segmentaria en los siguientes casos: Caso : Recta paralela al eje X y b Caso : Recta paralela al eje Y x a 36

11 Caso 3: Recta que pasa por el origen y m x En los casos y, como ya se ha isto tampoco existe forma continua. Recordemos además que en el caso la pendiente es cero, y en el caso no hay pendiente. EJERCICIOS RESUELTOS: ) Hallar la ecuación segmentaria de la recta que pasa por P (-, ) y tiene por ector de dirección a (3, -4). Solución: x + 3t De las ecuaciones paramétricas: y 4t x + y se obtiene la forma continua: 3 4 y de ésta la ecuación general: 4 x 8 3y 3 4x + 3y Entonces, si y0, x-5/4 a, y si x 0, y -5/3 b, luego la ecuación será: x y + 5/ 4 5/ 3 37

12 x y ) Dada la recta r en forma canónica: + 5 escribir la ecuación general y la ecuación ectorial de r. Solución: 5x y -0 5x y (ecuación general). (-, 0) es un punto de r, y el ector de dirección (-B, A) (, 5), luego: (x, y) (-, 0) + t(, 5) es la ecuación ectorial. 4.9 Incidencia de puntos y rectas Sean un punto P (x, y ) y una recta r : Ax + By + C 0 del plano afín: El punto P es incidente con la recta r, o el punto P pertenece a la recta r, o la recta r pasa por el punto P, cuando las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la recta. Es decir: Si P r Ax + By + C 0 Si P r A x + B y + C 0 La sustitución de las coordenadas del punto puede hacerse en cualquiera de las formas de la ecuación de la recta. 4.0 Condición de alineación de tres puntos Se dice que tres puntos distintos del plano P (x, y ), Q (x,y ) y R (x 3, y 3 ) están alineados cuando los tres pertenecen a una misma recta. 38

13 La recta que pasa por P y Q será: x x x x y y y y Si el punto R también pertenece a esta recta deberá satisfacerla: x x 3 x x y y 3 y y, con x x, y y También podemos analizar el tema de tres puntos alineados: P, Q y R diciendo que lo estarán si los ectores: PQ y QR tienen la misma dirección, es decir sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Veamos si los puntos P (, 3), Q (-, -3) y R (3, 7) están alineados. La recta PQ: x y x + 6-3y + 9 6x 3y x y + 0 Y sustituyendo las coordenadas de R: es decir las coordenadas de R satisfacen la ecuación de la recta PQ, por tanto los tres puntos están alineados. De otra forma: PQ (-, -3 3) (-3, -6) QR (3, 7 3) (, 4) Que son ectores paralelos ya que sus componentes son proporcionales: Haz de rectas Sea un punto P (x, y ) del plano: 39

14 El conjunto de rectas del plano que pasan por el punto P se llama haz de rectas de értice P. Todas las rectas que pasan por el punto P (x, y ) se pueden escribir en la forma punto-pendiente, a excepción, como ya se sabe, de la recta ertical x x 0, que no tiene pendiente. Por tanto: Haz de rectas de értice P: { y y m( x x ) m R} { x x 0}, Es decir, al ariar m en R se obtienen todas las rectas del haz menos una. Así, el haz de rectas de értice P (3, 5) es el conjunto formado por la recta y3, paralela al eje y, y todas las demás que pasan por P con cualquier alor real de la pendiente: Haz de P { y 5 m( x 3 ), m R} { x 3} EJERCICOS RESUELTOS ) Hallar la ecuación de todas las rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C 0 Solución: Cualquier recta paralela a r: A x + B y + C 0 debe cumplir que su ector de dirección tenga unas componentes proporcionales a las del ector de dirección de la recta r, es decir: A B A B Si además guarda también proporcionalidad con los términos independientes, entonces las rectas son coincidentes. Luego el haz formado por todas las rectas paralelas a r tendrá por ecuación: Ax + By + k 0, k R ) Hallar la ecuación del conjunto de rectas paralelas a la recta: x

15 Solución: x + 3y + k 0, k R 3) Hallar la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta 5x + y 0 y determinar la recta del haz que pasa por el punto P (, -). Solución: Haz de rectas paralelas: 5 x + y + k 0, k R Y la que pasa por (, -) deberá satisfacer la ecuación anterior: 5 + k 0 k -3 luego la recta buscada será: 5x + y 3 0 4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (3, 5) y es paralela a la recta: x 3y Solución: La recta paralela pedida es : x 3y + k 0, k R Si además debe pasar por el punto P: k k 0 k 9 Luego la recta que cumple las dos condiciones será: x 3y ) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y es paralela a la recta t. r: x + t y t s: x + 3y 5 0 t: x y + 3 Solución: Escribamos la recta en forma general: x y + x y + 4 x y 5 0 4

16 El punto de intersección de r y s aparecerá al resoler el sistema formado por r y s: ( y + 5) x y 5 0 x y y 5 0 x + 3y 5 0 4y y 5 0 7y -5, y -5/7 x (-5/7) + 5, x 5/7 La recta t en forma general es: -3x + y 6 3x y Luego la ecuación de todas las rectas paralelas a t: 3x y + k 0, k R Como debe pasar por el punto ( 5/7, - 5/7 ): 3 5/7 (-5/7) + k 0 75/7 + 0/7 + k k 0 k - 85/7 Por tanto la ecuación buscada será: 3x y 85/7 0 x 4y