La medición de la velocidad de la luz por Röemer. Observación de la luna Io de Júpiter

Transcripción

1 La medición de la velocidad de la luz po Röeme. Obsevación de la luna Io de Júpite En 1676 Ole Chistensen Röeme (5 de septiembe de 1644, Åhus - 19 de septiembe de 1710, Copenhague) ealizó la pimea estimación cuantitativa de la velocidad de la luz como esultado de sus detalladas obsevacnes mediante telescop del movimiento del satélite Ío de Júpite. Aunque su cálculo d un valo infe al eal, ello fue debido a que el valo de la unidad astonómica que se manejaba en la época ea eóneo (140 millones de kilómetos), ya que el método que empleó fue muy peciso. Compendió la posibilidad de medi el tiempo de la evolución de Ío debido a sus movimientos de entada y salida en la somba de Júpite a intevalos egulaes. Röeme obsevó que Ío gia alededo de Júpite cada 4,5 h (1,769 días) apoximadamente, cuando la Tiea esta más ceca de Júpite (situación de oposición). También obsevó que, cuando la Tiea y Júpite se mueven sepaándose, la salida de Ío fuea de la poyección de la somba comenzaía pogesivamente más tade de lo pedicho. Las obsevacnes detalladas mostaban que estas señales de salida necesitaban más tiempo en llega a la Tiea, ya que la Tiea y Júpite se sepaaban cada vez más. Pensó, po consiguiente, que esta difeencia de tiempo utilizada po la luz paa llega a la Tiea podía se utilizada paa establece su velocidad. Notó Röeme también que 6 meses después, las entadas de Ío en la poyección de la somba de Júpite ocuían con mayo fecuencia ya que la Tiea y Júpite se acecaban uno a oto. Con base a estas obsevacnes, Røme estimó que la luz tadaía unos min en cuza el diámeto de la óbita de la Tiea (es deci, el doble de la unidad astonómica); ahoa sabemos que la medida coecta es de unos 16 min y 40 s. El tabajo de Röeme tiene la tascendencia de habe sido la pimea vez que se midió matemáticamente la velocidad de la luz. El paso de Io po la somba de Júpite De los cuato satélites galileanos, Io, Ganímedes, Euopa y Calisto, es el pimeo el que obita más póximo al gigante gaseoso, con un ad med obital dado po 8 = 4,16.10 m, y un movimiento que se desaolla en el mismo plano en el que se mueve Júpite en su óbita alededo del Sol. El planeta Júpite, tiene, en su obita alededo del Sol, un ad obital apoximado dado po j = 5, 03UA, y un pedo P J = 11, 86 años. El ad del planeta es de R j =71398 km. Su masa es M 7 = 1, kg Nuesto planeta, la Tiea, tiene asimismo un ad obital de 1 UA y un pedo de 365, días ( = 1 UA, P = 365, días ). T T 1

2 Con estos datos podemos detemina la velocidad, pedo, etc. de Io en su movimiento alededo de Júpite: Si es M la masa de Júpite, la velocidad de Io se obtiene de foma inmediata: v M. m m v = v = G GM, y esto nos pemite obtene su pedo obital: π π (4,16.10 ) P = = π = π = 15748,4segs = 1, 769dias 11 P v GM 6,67.10 = La luz incidente del Sol sobe la esfea del planeta Júpite poyecta una somba que es atavesada po Io en su óbita alededo del planeta. El ancho de esta somba coincide con el diámeto del planeta y el ángulo ϕ que abaca puede calculase fácilmente: 7 R j R j 7, tgϕ = ϕ = actg = actg = 0, ,16.10 Podemos detemina el tiempo t que tada Io en atavesa la somba, mediante una popoción con el pedo obital de Io: t P ϕ P 1, = t = ϕ =..0,1678 = 8164 s = 136,07 min =,7hoas π π π Distancia ente la Tiea y Júpite: Puesto que nuesto planeta dista del Sol una unidad astonómica, mientas que Júpite dista del Sol 5,03 unidades astonómicas, esulta que la meno distancia ente la Tiea y Júpite coesponde a la situación en la que Júpite se encuenta en oposición, ya que en este caso tal distancia seá d TJ = 5,03 1 = 4, 03UA. La

3 mayo distancia coesponde al caso en el que Júpite esté en conjunción, situación en la que tal distancia seía d TJ = 5, = 6, 03UA La distancia, d, ente ambos astos, es, po consiguiente, 4,03UA d 6, 03UA Situación de los planetas Tiea y Júpite med año después de la situación de oposición: Med año después de la situación en la que la distancia es mínima (oposición) la Tiea ha ecoido la mitad de su pedo obital, esto es, se ha desplazado ecoiendo un ángulo de 180º, mientas que Júpite, cuyo pedo es mucho más lago, habá ecoido un ángulo φ, meno, que podemos detemina de manea sencilla, como la popoción ente 0,5 años y 11,86 años que es el pedo de tiempo en el que el planeta gaseoso ecoe 360º: 0,5 11,86 φ 360.0,5 = φ = = 15,18º ,86 Duante todo este tiempo, que emplea Júpite en movese dento de su óbita un ángulo de 15,18º y la Tiea un ángulo de 180º, un obsevado situado en nuesto planeta veía a Io sugi desde la somba de Júpite, aunque no le veía en el momento de su entada en la zona de somba, pues se lo impide la posición intemedia de Júpite. 3

4 Si bien en la situación inicial de oposición el pedo de Io obsevado es de 15748,4 segundos, a medida que la Tiea se va alejando de Júpite el obsevado que mide los instantes en que Io suge desde la somba de Júpite en sus sucesivas óbitas alededo del planeta obseva que la difeencia de tiempos va aumentando, esto es, que cada vez tada más dicha luna en sugi de la somba poyectada po el planeta, de modo que cuando ha pasado el med año en el que la Tiea ha ecoido los 180º y Júpite los 15,8º, se llega a constata un etaso global con especto al pedo inicial de Io en la situación de oposición, de unos 990 segundos. Si esos 990 segundos de etaso se deben a que al alejase cada vez más la Tiea la luz tada más en llega, bastaá enconta la distancia ente la Tiea y Júpite en este momento paa pode calcula la velocidad de la luz, pues si encontamos que la distancia ente ambos planetas en la fase de oposición ea la mínima, 4,03 UA, y ahoa encontamos que la distancia es d, la velocidad de la luz se calculaía como el cociente de dividi la vaiación de distancia po la vaiación de tiempo: 4,03 c = d 990 Veamos, po consiguiente, cómo calcula la distancia ente ambos planetas cuando ha pasado med año desde la situación de oposición. Distancia Tiea-Júpite med año después de la situación de oposición: En el tiángulo Tiea-Sol-Júpite se conocen dos lados y el ángulo compendido ente ambos lados: lado Tiea-Sol, TS=1 UA, lado Sol-Júpite, SJ=5,03 UA, ángulo δ compendido = suplementa de φ. Aplicando a dicho tiángulo el teoema del coseno, podemos halla la distancia d ente la Tiea y Júpite: d = TS + SJ TS. SJ.cosδ y obtenemos: d = 1 + 5,03.5,03.cos(164,8) = 8, ,406.0,96590 = 38,1160 esultando que es d = 6, 174 UA 4

5 El cálculo de la velocidad de la luz: Seá, como hemos indicado antes: d,03 6,174 4,03 1,971 1, c = = = UA/ s = km/ s =, km/ s (se ha edondeado el valo de la unidad astonómica en 150 millones de kilómetos 1 UA= kms) Documentación ecomendada: - Medida de la velocidad de la luz. Pocedimiento de Röeme ( - Wikipedia, velocidad de la luz ( 5