Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Transcripción

1 Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Antonio Francisco Roldán Lóez de Hierro * onvocatoria de 2006 Las siguientes áginas contienen las soluciones de los ejercicios rouestos ara las ruebas de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas alicadas a las iencias Sociales II sobre Probabilidad. ada uno lleva un código como el siguiente: B-3, que signi ca ejercicio 3 de la oción B del modelo 4 de la convocatoria de Ejercicio Sean A y B dos sucesos tales que A = , (B) = y (A [ B) = : a) ( unto) Razone si A y B son indeendientes. b) ( unto) alcule A [ B. Solución : Es claro que (A) = A = Además (A \ B) = (A) + (B) (A [ B) = = 0 0 ; (A) (B) = = 0 0 : omo (A \ B) = (A) (B), los sucesos A y B son indeendientes. Por otro lado, alicando las leyes de De Morgan, se tiene que A [ B = (A \ B) = (A \ B) = 0 0 = 0 0 9: Ejercicio 2 Una urna contiene tres bolas azules y cuatro rojas. Se extraen al azar tres bolas sucesivamente con reemlazamiento. a) ( unto) alcule la robabilidad de que las tres sean del mismo color. b) ( unto) calcule la robabilidad de que dos sean azules y una roja. * Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - htt://

2 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Solución : Llamemos A i al suceso la i-ésima bola extraída es azul y R i al suceso la i-ésima bola extraída es roja. Dado que hay reemlazamiento, la extracción de las bolas es indeendiente de manera que la robabilidad de que salga un color no deende del color que haya salido en el exerimento anterior. Por tanto, (A i ) = Ai A i Ai = = 3 R i 7 ; (R Ri Ri i) = = = 4 A i R i 7 : ( tres bolas del mismo color ) = (A \ A 2 \ A 3 ) + (R \ R 2 \ R 3 ) = = (A ) A2 A A3 A \ A 2 + (R ) R2 R R3 = R \ R 2 = (A ) (A 2 ) (A 3 ) + (R ) (R 2 ) (R 3 ) = (A ) 3 + (R ) 3 = = = : Para que dos bolas sean azules y una roja, la roja uede ocuar una de las tres osiciones, or lo que ( dos azules y una roja ) = (R \ A 2 \ A 3 ) + (A \ R 2 \ A 3 ) + (A \ A 2 \ R 3 ) = = 3 (R ) (A ) 2 = = : Ejercicio 3 Laura tiene un dado con tres caras intadas de azul y las otras tres de rojo. María tiene otro dado con tres caras intadas de rojo, dos de verde y una de azul. ada una tira su dado una vez y observan el color. a) ( unto) Describa el esacio muestral asociado y las robabilidades de los sucesos elementales. b) ( unto) Si salen los dos colores iguales gana Laura; y si sale el color verde, gana María. alcule la robabilidad que tiene cada una de ganar. Solución : Llamemos A L y R L a los sucesos Laura tira su dado y sale azul o sale rojo, resectivamente. Igualmente, María tiene los sucesos R M, V M y A M, según si sale rojo, verde o azul. Las robabilidades son claras: (A L ) = (R L ) = 2 ; (R M) = 2 ; (V M) = 3 ; (A M) = 6 : Andalucía 2 Antonio Roldán

3 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Entonces el exerimento que consiste en lanzar los dos dados y mirar los colores que salen tiene como esacio muestral el roducto de estos dos esacios muestrales elementales: E = E L E M = fa L ; R L g fr M ; V M ; A M g : Si establecemos el criterio de que la rimera comonente corresonde al dado de Laura y la segunda al dado de María, odemos quitar los subíndices, quedando el esacio muestral E = f (A; R) ; (A; V ) ; (A; A) ; (R; R) ; (R; V ) ; (R; A) g : omo el color del dado de una es indeendiente del color del dado de la otra, tenemos la robabilidad (A; R) = (A L ) (R M ) = 2 2 = 4 : Así, multilicando, se calculan todas las robabilidades del esacio muestral, resultando (A; R) = 4 ; (A; V ) = 6 ; (A; A) = 2 ; (R; R) = 4 ; (R; V ) = 6 ; (A; A) = 2 : alculemos las robabilidades solicitadas: ( gana Laura ) = ( mismo color ) = (A; A) + (R; R) = = 3 ; ( gana María ) = ( sale verde ) = (A; V ) + (R; V ) = = 3 : Por tanto, el juego es equitativo. Ejercicio 4 De un estudio sobre accidentes de trá co se dedujeron los siguientes datos: En el 23 % de los casos no se llevaba uesto el cinturón de seguridad, en el 65 % no se resetaron los límites de velocidad ermitidos y en el 30 % de los casos se cumlían ambas normas, es decir, llevaban uesto el cinturón y resetaban los límites de velocidad. a) ( unto) alcule la robabilidad de que, en un accidente de trá co, no se haya cumlido alguna de las dos normas. b) ( unto) Razone si son indeendientes los sucesos llevar uesto el cinturón y resetar los límites de velocidad. Solución : Llamemos S al suceso en el momento del accidente, llevaba uesto el cinturón de seguridad y V al suceso en el momento del accidente, resetaba los límites de velocidad. Los datos del roblema nos dicen que S = ; V = ; (S \ L) = 0 0 3: Andalucía 3 Antonio Roldán

4 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II De aquí se deduce que (S) = S = , or lo que la robabilidad de no cumlir alguna de las dos normas es, alicando las leyes de De Morgan: ( no cumlir alguna norma ) = S [ V = (S \ V ) = (S \ L) = 0 0 7: Por otro lado, (S) (V ) = = ; mientras que (S \ L) = omo (S \ L) 6= (S) (V ), los sucesos llevar uesto el cinturón y resetar los límites de velocidad no son indeendientes. Ejercicio 5 En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con resaldo y 0 sin él. Entre las sillas sin resaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con resaldo hay 7 nuevas. a) ( unto) Tomada una silla al azar, cuál es la robabilidad de que sea nueva? b) ( unto) Si se coge una silla que no es nueva, cuál es la robabilidad de que no tenga resaldo? Solución : [con los teoremas de robabilidad] Llamemos R al suceso elegida una silla al azar, ésta tiene resaldo y N al suceso elegida una silla al azar, ésta es nueva. omo hay 30 sillas con resaldo en una clase de 40, se sabe que (R) = = 3 4 ; R = 4 : De entre las sillas sin resaldo, que son 0, hay 3 que son nuevas, or lo que N R = 30 N ; R = 7 0 : Igualmente, de entre las sillas con resaldo, que son 30, hay 7 que son nuevas, or lo que N = 730 N R ; = 23 R 30 : Entonces el teorema de la robabilidad total nos dice que la robabilidad de tomar una silla nueva al azar es (N) = (R) N + R N R R = = 4 : Por otro lado, ara calcular la robabilidad de que una silla que no es nueva no tenga resaldo es N R N = R \ N R (N = ) (N) R = = 7 30 : Andalucía 4 Antonio Roldán

5 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Solución : [con una tabla de contingencia] Podemos resumir la información que nos da el roblema en la siguiente tabla de contingencia, que comletamos fácilmente N N R 7 30 R ) N N R R Así, la robabilidad de elegir una silla nueva al azar es (N) = número de sillas nuevas número total de sillas = 0 40 = 4 ; y si hemos tomado una silla que no es nueva, la robabilidad de que no tenga resaldo es R N = número de sillas sin resaldo y no nuevas número de sillas que no son nuevas = 7 30 : Este segundo método no requiere de ningún teorema, sino del sentido común. Ejercicio 6 Sean los sucesos A y B indeendientes. La robabilidad de que ocurra el suceso B es Sabemos también que (A=B) = a) ( unto) alcule la robabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos. b) ( unto) alcule la robabilidad de que ocurra el suceso A ero no el B. Solución : omo los sucesos son indeendientes, se sabe que A (A) = = 0 0 3; (A \ B) = (A) (B) = = 0 0 8: B Entonces la robabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos es (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) = = : Por otro lado, la robabilidad de que ocurra A ero no B es A B A \ B = (A) (A \ B) = = 0 0 2: Andalucía 5 Antonio Roldán

6 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Ejercicio 7 Una enfermedad afecta al 5 % de la oblación. Se alica una rueba diagnóstica ara detectar dicha enfermedad, obteniéndose el siguiente resultado: Alicada a ersonas que adecen la enfermedad se obtiene un 96 % de resultados ositivos, y alicada a ersonas que no la adecen se obtiene un 2 % de resultados ositivos. Elegida una ersona, al alzar, y alicada la rueba: a) ( unto) uál es la robabilidad de que se obtenga una resultado ositivo? b) ( unto) Si se obtiene un resultado ositivo, cuál es la robabilidad de que esta ersona no adezca la enfermedad? Solución : Llamemos E al suceso elegido un individuo al azar, éste adece la enfermedad y llamemos + y a los sucesos elegido un individuo al azar, éste ha dado ositivo (resect., negativo) en la rueba. Las robabilidades que nos da el enunciado son las siguientes E E 0 98 La robabilidad de obtener un resultado ositivo es, según el teorema de la robabilidad total: ( ) + (+) = (E) + ( E ) ( ) + E E = = = Por otro lado, la robabilidad de que el individuo no tenga la enfermedad si ha dado ositivo en la rueba es ( E + ) = ( E ) ( + E ) (+) = Ejercicio 8 Una urna A contiene diez bolas numeradas del al 0, y otra urna B contiene ocho bolas numeradas del al 8. Se escoge una urna al azar y se saca un bola. a) ( unto) uál es la robabilidad de que la bola extraída tenga el número 2? b) ( unto) Si el número de la bola extraída es imar, cuál es la robabilidad de que roceda de la urna B? Solución : Llamemos y a los sucesos se elige al azar la urna A (resect., B) y ara cada número k entre y 0, denotamos or S k el suceso la bola extraída lleva el número k. Andalucía 6 Antonio Roldán

7 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II omo el enunciado no indica otra cosa, suonemos que las urnas tienen la misma robabilidad de ser elegidas, or lo que ( ) = ( ) = =2. Igualmente, cada número dentro de la urna se selecciona al azar, or lo que 8 >< >: Sk Sk = 0 ; k 0; = 8 ; k 8; Entonces, según el teorema de la robabilidad total, la robabilidad de sacar un 2 es: S2 S2 (S 2 ) = ( ) + ( ) = = 9 80 : Sea ahora Im el suceso salir un número imar. Dado que ambas urnas contienen la misma roorción de números ares que de imares (la mitad), sabemos que Im Im = = 2 : Por eso, la robabilidad de obtener un número imar es Im Im (Im) = ( ) + ( ) = = 2 : Entonces, si el número extraído ha resultado ser imar, la robabilidad de que rovenga de la urna B es UB = Im ( ) Im (Im) = = 2 : Ejercicio 9 Se disone de dos urnas, A y B. En la urna A hay diez bolas, numeradas del al 0 y en la urna B hay 3 bolas, numeradas del al 3. Se lanza una moneda, si sale cara se extrae una bola de la urna A y si sale cruz se extrae de la urna B. a) (0 5 untos) alcule la robabilidad de obtener cara y un cinco. b) (0 5 untos) Halle la robabilidad de obtener un 6. c) ( unto) alcule la robabilidad de obtener un 3. Solución : Llamemos c y + a los sucesos salir cara y salir cruz en la moneda, y será los sucesos elegir la urna A y elegir la urna B, y ara cada k 2 f; 2; : : : ; 0g, llamemos S k al suceso salir el número k en la bola extraída. El enunciado dice que se elige la urna A si sale Andalucía 7 Antonio Roldán

8 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II cara, y la urna B si sale cruz, or lo que hay una igualdad de sucesos, c = y + =, siendo ambos sucesos equirobables: ( ) = ( ) = =2. Por otro lado, tenemos las robabilidades: 8 Sk >< = 0 ; k 0; Sk >: = 3 ; k 3; Por tanto, la robabilidad de sacar cara y un cinco es (c \ S 5 ) = ( \ S 5 ) = ( ) S5 = 2 0 = 20 : Dado que el seis sólo uede salir en la rimera urna, sabemos que (S 6 = ) = 0, y así el teorema de la robabilidad total nos garantiza que la robabilidad de salir un seis es S6 S6 (S 6 ) = ( ) + ( ) = = 20 : La cuestión es distinta a la hora de salir un tres, ya que este número sí está en la urna B, ero el argumento es el mismo: (S 3 ) = ( ) S3 S3 + ( ) = = 3 60 : Ejercicio 0 Se conocen los siguientes datos de un gruo de ersonas, relativos al consumo de un determinado roducto: onsume No consume Hombre 0 30 Mujer 25 2 Se elige en ese gruo una ersona al azar. alcule la robabilidad de que: a) (0 5 untos) Sea mujer. b) (0 75 untos) Habiendo consumido el roducto, se trate de una mujer. c) (0 75 untos) Sea mujer y no consuma el roducto. Solución : omletamos la tabla anterior con las sumas totales hasta obtener una tabla de contingencia: onsume No consume Total Hombre Mujer Total Andalucía 8 Antonio Roldán

9 Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Llamemos M al suceso elegida una ersona al azar, ésta resulta ser mujer y o al suceso elegida una ersona al azar, ésta consume el roducto. Entonces la robabilidad de ser mujer es: (M) = número total de mujeres número total de ersonas = : La robabilidad de ser mujer sabiendo que consume el roducto es: M (M \ o) número total de mujeres que consumen = = o (o) número total de ersonas que consumen = = 5 7 : Finalmente, la robabilidad de encontrar una mujer que no consuma es: M \ o = número total de mujeres que no consumen número total de ersonas = 2 77 : Ejercicio En un esacio muestral se tienen dos sucesos indeendientes, A y B. Se sabe que (A \ B) = y (A=B) = a) ( unto) alcule las robabilidades de A y de B. b) ( unto) alcule la robabilidad de que no ocurra ninguno de esos dos sucesos. Solución : omo los sucesos son indeendientes, se sabe que (A) = (A=B) = y además (A \ B) = (A) (B) ) (B) = (A \ B) (A) = = 00 6: La robabilidad de que no ocurra ninguno de esos dos sucesos, utilizando las leyes de De Morgan, es A \ B = (A [ B) = (A [ B) = [ (A) + (B) (A \ B) ] = = = : Nota Hay otra forma de concluir el segundo aartado del ejercicio anterior, recordando que dos sucesos A y B son indeendientes si, y sólo si, sus comlementarios, A y B, son indeendientes. omo en el ejercicio anterior A y B lo son, entonces sus comlementarios veri can que A \ B = A B = = ; lo que coincide con el resultado obtenido anteriormente. Andalucía 9 Antonio Roldán

10 Selectividad Matemáticas Alicadas a las iencias Sociales II Ejercicio 2 En una emresa, el 65 % de la lantilla son hombres; de ellos, el 80 % usan el ordenador. Se sabe que el 83 5 % de la lantilla usa el ordenador. a) ( unto) alcule la robabilidad de que una ersona de la emresa, elegida al azar, sea un hombre que no utiliza el ordenador. b) ( unto) Seleccionada una mujer de esa emresa, al azar, calcule la robabilidad de que utilice el ordenador. Solución : Llamemos H y M a los sucesos elegida una ersona al azar, ésta resulta ser un hombre o ser una mujer. Igualmente, llamemos O al suceso elegida una ersona al azar, ésta utiliza el ordenador. Las robabilidades que nos indica el enunciado se resumen así: ( ) O (H) = 0 65, = 0 8, (O) = H De aquí, (M) = 0 35 y ( O /H ) = 0 2. Entonces la robabilidad de que una ersona de la emresa, elegida al azar, sea un hombre que no utiliza el ordenador es ( H O ) ( ) O = (H) = = 0 3. H Llamemos ahora x = (O/M) a la robabilidad de que una mujer utilice el ordenador. Tenemos el siguiente diagrama: 0 8 O H x O M Entonces tenemos, según el teorema de la robabilidad total: ( ) ( ) O O (O) = (H) + (M) = x. H M De aquí se deduce que la robabilidad de que, elegida una mujer, ésta utilice el ordenador, es x = (O/M) = 0 9. x O O Andalucía 0 Antonio Roldán