ESTALMAT ANDALUCIA ORIENTAL. Ley de reciprocidad cuadrática. Veteranos (5/mayo/2018)

Transcripción

1 ESTALMAT ANDALUCIA ORIENTAL Ley de recirocidad cuadrática Veteranos 5/mayo/ Ponentes: Pascual Jara Blas Torrecillas

2 .

3 . Resumen Ley de recirocidad cuadráticas y alicaciones a la aritmética de números enteros. Introducción Qué es la ley de recirocidad cuadrática y ara qué se utiliza?

4 3 1. Factorización de enteros La factorización de enteros ositivos es uno de los retos de la Matemática Moderna. Existe un método factorización, atriuido a Fermat, de números enteros ositivos imares, los ares son fácilmente factorizales. Primero oservamos que si n es un entero ositivo imar, sea n h + 1, entonces n h + 1 h, esto es, n es siemre una diferencia de dos cuadrados erfectos; llamamos a esta diferencia una diferencia imroia. Por otro lado todo número entero ositivo tiene una factorización imroia: la dada or n 1 n. El resultado sore factorización atriuido a Fermat estalece que diferencias de cuadrados erfectos roias determinan factorizaciones roias y viceversa. Proosición Sea n un entero ositivo imar. Son equivalentes: a n tiene una factorización roia. n es una diferencia roia de dos cuadrados erfectos. Demostración. n a, entonces Si a+ n+1 y a a. Si n tiene una factorización roia, existen a, Z, a > > 1 tales que n 1 a + a n, entonces a n y 1, lo que es una contradicción. a. Si n x y es una diferencia roia de cuadrados, entonces n x + yx y, si esta factorización es trivial, se tiene x y 1, x + y n, or lo que x n + 1, y n 1, lo que es una contradicción. La diferencia de cuadrados erfectos es roia si, y sólo si, la factorización es roia. Si n a y n a+ a, entonces n + a a+. Se trata entonces de tomar diversos valores de k y calcular n + k. Cuando éste es un cuadrado erfecto tomamos el mínimo de ellos, entonces tendremos n exresado como una diferencia de cuadrados, y or tanto una factorización que uede ser imroia. Si se tiene n + k h, lanteamos entonces el siguiente sistema, ara calcular a y ; se tiene a + h, a k. a h + k, h k, n a.

5 4 Alternativamente odemos tomar h el mínimo entre los que verifican n < h, y considerar la sucesión h n hasta encontrar un cuadrado erfecto. Oserva que se tiene h n, n + 1, n +,..., n. Ya que a, n, or tanto a+ < n. Si en ella aarece un cuadrado erfecto k, rocedemos como en el caso recedente. Ejemlo. 1.. Estudia si el número n es rimo, y si no lo es, calcular una factorización roia. Solución. Tenemos n Construimos la sucesión h n, ara h n 019. Para h 00 se tiene: h n k. Tenemos entonces k 9, y h 00. Es necesario resolver el sistema a + h a m cuya solución es: a 09 y 011, y or tanto }, esto es, a a 18 },. Símolo de Legendre Sea un entero rimo ositivo, ara cada a Z, rimo relativo con, se define el símolo de Legendre a como { a 1 si a es un cuadrado módulo 1 si a no es un cuadrado módulo Lema..1. Dado un entero rimo ositivo y enteros a,, rimos relativos con, se verifica: a 1. 3 Si a mod, entonces a. Lema... Pequeño teorema de Fermat Para cada entero rimo ositivo y cada entero a, rimo relativo con, se verifica a 1 1 mod. Demostración. Para el resultado es cierto. Suongamos que > y a > 0. Como a, la alicación f : {1,..., 1} {1,..., 1}, definida fx y tal que y ax mod es una

6 5 iyección. Tenemos entonces 1 i1 i 1 i1 ia a 1 1 i1 i mod. Como 1 i1 i, se tiene a 1 1 mod. Para cada entero ositivo n definimos ϕn como el número de enteros 0 < k < n que son rimos relativos con n, y la llamamos la función totiente de Euler. Lema..3. La función totiente de Euler verifica las siguientes roiedades: 1 Si n, m son enteros ositivos rimos relativos, se verifica ϕnm ϕnϕm, Para cada entero rimo ositivo y cada entero ositivo n, se verifica ϕ n n n 1 n 1 1 n Para 1,..., t, enteros rimos ositivos y n 1,..., n t, enteros ositivos, se verifica ϕ n 1 1 nt t n nt 1 t 1 1 t 1 1 n 1 nt t t. Lema..4. Teorema de Euler Para cada entero ositivo n y cada entero a, rimo relativo con n, se verifica a ϕn 1 mod n. Demostración. La demostración uede ser similar al Pequeño teorema de Fermat. Lema..5. Lema de Wilson Para cada entero rimo ositivo se verifica 1! 1 mod. Demostración. Para el caso, 3 el resultado es cierto. Suongamos que > 3. Si es un entero rimo ositivo, ara cada 0 < a existe un único a {1,,..., 1} tal que aa 1 mod. Agruamos los elementos de {,..., } or arejas {a, a }, tenemos i i 1 mod, y or tanto 1! 1 i1 i 1 mod.

7 6 Lema..6. Recíroco del Teorema de Wilson Para cada entero ositivo n Z, n > 1, si n 1! 1 mod n, entonces n es rimo. Demostración. Si n no es rimo, existen a, Z, a, > 1, tales que n a; como a, 1!, resulta que n n 1!, or lo que, al reducir módulo n se tiene 0 1 mod n, lo que es una contradicción. Teorema..7. Criterio de Euler Si es un entero rimo ositivo imar y a es rimo relativo con, se verifica: a a 1 mod. Demostración. Si a 1, existe x F tal que x a mod, entonces a 1 x 1 x 1 1 mod. Si a 1 la ecuación X a 0 mod no tiene soluciones en Z; ara cada {1,..., 1} la ecuación X a 0 mod tiene una única solución en {1,..., 1}, llamémosla ; or la hiótesis se tiene, odemos entonces agruar los elementos de {1,..., 1} en ares {, }, de los que tenemos exactamente 1 1, su roducto es congruente con a, y or otro lado es congruente con 1! Por el Teorema de Wilson se tiene 1! 1 mod. Ver el Ejercicio Corolario..8. Sea un entero rimo ositivo, y a, enteros rimos relativos con, se tiene a a. Demostración. El caso en el que es ar es trivial. Para el caso de imar se tiene: a a 1 a 1 1 a.

8 7 Corolario..9. Si es un entero rimo ositivo imar, se verifica 1 es un residuo cuadrático si 1 mod 4, y 1 no es un residuo cuadrático si 3 mod Como consecuencia Este resultado uede alicarse a roar cuando un entero rimo ositivo es suma de dos cuadrados, y en general a determinar cuando un entero rimo divide a una exresión del tio x + ny, o equivalentemente, cuando n es un residuo cuadrático módulo. Teorema..10. Lema de Gauss Sea un entero rimo ositivo imar y a Z rimo relativo con, si se considera el conjunto {ha h 1,..., 1 } se tiene: 1 Al reducir módulo tenemos 1 elementos distintos. Sean y 1,..., y s los restos estrictamente menores que 1, y x 1,..., x t los restos mayores o iguales que 1, entonces x i y j mod ara todos i, j. 3 a 1 t. Demostración. 1. Si dos restos son iguales, existen h, k {1,..., 1 } tales que ha ka mod, or tanto h k, lo que es imosile.. Si x y, existen h, k {1,..., 1 } tales que ha ka mod, entonces h k lo que es imosile. 3. Por el aartado se tiene que {y 1,..., y s, x 1,..., x t } {1,..., 1 }, entonces tenemos las siguientes igualdades módulo : 1! y 1 y s x 1 x t 1 t y 1 y s x 1 x t 1 t aa 1 a 1t a 1 1! Podemos simlificar or 1! ya que no es congruente con 0. Como consecuencia a a a 1 t. Para cada número racional ositivo r llamamos [r] a la arte entera de r.

9 8 Proosición..11. Con la notación de lema de Gauss se tiene t 1 j1 [ ] ja + a mod. Demostración. Tenemos las relaciones 1 j j1 1 ja j1 1 [ ] ja + 1 j1 j j1 s y i + i1 Tenemos entonces módulo tenemos: a a 1 1 j1 j s y i + i1 1 t x h t h1 a 1 j1 j 1 [ 1 j1 ja 1 1 j1 j1 [ ja [ ja ] j1 j t x t. h t x h + h1 s y i. i1 + s i1 y i + t h1 x t t t h1 x h + s i1 y i ] t ] t De aquí se deduce la congruencia del enunciado. Corolario..1. Sea un entero rimo ositivo imar, se verifica Demostración. En la roosición anterior si tomamos a tenemos [ ] 1 j j1 0; todos son mayores que 0 y menores que 1.

10 9 3. Ley de recirocidad cuadrática Tenemos ahora el resultado fundamental de la teoría. Teorema Ley de recirocidad cuadrática Sean ahora, q rimos imares, distintos, se verifica: q 1 1 q 1. q Demostración. Consideramos q ; se tiene q 1 t, en donde t verifica t 1 j1 ] [ jq [ jq ] + q mod ; como q es un rimo imar, resulta t 1 j1 a mod. Análogamente, en el caso de q tenemos q 1 r, siendo r ] q 1 j1 mod. Tenemos or tanto la relación [ j q q 1 t 1 r 1 t+s 1 a+. q Se trata ahora de ver que se verifica a + 1 q 1. Consideramos, en una retícula semientera los untos O 0, 0, A, 0, B, q y C 0, q, y llamamos P al conjunto de untos de la retícula entera en el interior del rectángulo OABC. La diagonal de este rectángulo es OB, y son los untos x, y, de coordenadas enteras, que verifican y xq; oservamos que no hay untos en la diagonal, D, y en P. En efecto, si x, y D P, entonces x, lo que es imosile ya que 1 x 1. Tenemos que en P hay exactamente 1 q 1 untos. Vamos ahora a contar los untos de P calculando los untos que hay en cada uno de los triángulos OAB y OBC. Para contar los untos en OAB consideramos una recta [ vertical ] de ecuación X h, el número de untos en esta recta es {y Z h, y P, 1 y < qh } hq. Por tanto el número de untos en OAB es De la misma forma se tiene Tenemos or tanto la relación q [ ] q + [ ] q + + [ 1 q ] a. [ ] [ ] [ q ]. q q q q 1 a+ 1 1 q 1.

11 10 4. Símolo de Jacoi El símolo de Jacoi es una extensión del símolo de Legendre y se define ara a, Z, rimos relativos, con imar y 1 t una factorización en rimos, como sigue: y a 1 1. a t a i1 i, Lema Para a, Z imares se verifica: 1 a 1 a mod. a 1 8 a mod. Proosición. 4.. El símolo de Jacoi verifica las siguientes roiedades: 1 Coincide con el símolo de Legendre si es rimo. Si a 1, entonces a no es un residuo cuadrático módulo. El recíroco no es necesariamente cierto. 3 aa a a a a cuando aa y son rimos relativos. 4 a a 1 cuando a y son rimos relativos. 5 { si 1 mod si 3 mod 4. 6 { si ±1 mod si ±3 mod 8. 7 Si a y son enteros imares rimos relativos, se verifica a a 1 a 1 1. Demostración. 5. Suongamos que 1 ; tenemos

12 11 6. Suongamos que 1 ; tenemos: Suongamos que a q 1 q s y 1 t ; se tiene: a qi j rof a i,j j q j i,j 1 q i 1 j 1 1 q i 1 i,j j 1. Por otro lado se tiene i,j q i 1 j 1 j i q i 1 j 1 q 1 q s 1 j 1 a 1 j 1. La imortancia del símolo de Jacoi, con resecto al símolo de Legendre es la raidez de cálculo que éste ermite. Tenemos algunos resultados de interés que sólo vamos a enunciar. Proosición Sean a, enteros imares rimos relativos. 1 Si ω ±1, se tiene: Si ω 1 ±1 y ω ±1, se tiene: ω1 a ωa ω a 1 ωa 1 1. a 1 ω 1 a 1 ω 1 + ω 1 1 ω 1. En articular, si ω ±1, se tiene ω 1 1 ω 1. Vemos un método de calcular el símolo de Jacoi mediante la división euclídea. Teorema Teorema de Eisenstein Sean a y enteros imares, siendo ositivo. Se define: a 1 a, a, a 1 q 1 a + ω 1 a 3,... a n q n a n+1 + ω n a n+,

13 1 siendo 1 a > a 3 > > a n+ 1, los a i todos imares y ω i ±1. Se definen Entonces se tiene a 1 s. { 0 si ai+1 1 mod 4 ó ω s i i a i+ 1 mod 4, 1 si a i+1 3 mod 4 y ω i a i+ 3 mod 4, s n i1 s i. Demostración. Tenemos las relaciones: a a1 a ω1 a 3 a 1 ω 1 a 3 1 a 1 1 s 1 a a ω a 4 a 3 1 ω a 4 1 a s a3 a 4, a 3 an a n+1 ωnan+ a n+1 1 ωna n+ 1 a n+1 1 a 3 1 sn a n+1 1,, Por tanto a i 1 n 1 s i 1 s. Oserva que en general se tiene: ara j 1,..., n. a 1 s aj s j, a j+ 5. Ejercicios Ejercicio Pruea, usando residuos cuadráticos, que no es un número racional. Solución. Si odemos escriir a, con a, Z, entonces a, y tomando módulo 3, y ya que a, 0, resulta a a a, or lo que deería ser un residuo cuadrático módulo 3, lo cual no es cierto.

14 13 Ejercicio. 5.. Utilizando la ley de recirocidad cuadrática, determina Demostración Ejercicio Estudiar la ecuación cuadrática X ny, donde es un entero rimo ositivo y n es un entero. Solución. Tomando módulo tenemos la relación X ny 0, or lo que la ecuación tiene solución, módulo, si y sólo si, n es un residuo cuadrático módulo. Una vez otenida una solución módulo, el rolema es determinar una solución entera de la ecuación original. El Teorema de Dirichlet asegura que en cada sucesión aritmética a n a 0 + nr, con término inicial a 0 Z y razón r Z, si a 0 y r son rimos relativos, entonces existen infinitos valores de n tales que a n es un entero rimo. Veamos cómo la ley de recirocidad cuadrática ermite roar casos articulares del Teorema de Dirichlet. Ejercicio Sea fx Z[X] un olinomio no constante y P f { Z es rimo y fn ara algún n Z}, entonces P f es un conjunto infinito. Solución. Suongamos que P f { 1,..., t }. Si f0 0, consideramos ff0 1 t f0. Tenemos ff0 1 t n i1 c if0 1 t + f0 1 t k + 1, f0 f0 que es rimo relativo con 1,..., t, y or tanto P f { 1,..., t }. Ejercicio Existen infinitos números rimos.

15 14 Solución. Basta considerar el olinomio fx X + 1. Ejercicio Para cada n existen infinitos números rimos verificando 1 mod n. Solución. Si n el resultado es cierto. Si n 3, consideramos el olinomio ciclotómico ϕ n X y el olinomio gx X 1X 1 X n 1 1. Tenemos que ϕ n X y gx son rimos relativos, ya que no tienen raíces comunes en ninguna extensión de Q. Existen olinomios ax, X Q[X] tales que 1 axϕ n X+xgX. Si d es el mínimo común múltilo de los denominadores de ax y X, entonces d daxϕ n X + dxgx. Como P ϕn es infinito, existe P ϕn tal que > d, y existe x Z tal que ϕ n x, or lo tanto x n 1 mod. Tenemos que x k 1 si k < n, ya que en caso contrario se tendría gx 0, y or tanto d daxϕ n x + dxgx 0, lo que es una contradicción. Como consecuencia x tiene orden n en Z, esto es, n 1, y or tanto 1 mod n Ejercicio Existen infinitos números rimos verificando 3 mod 8. Solución. Se considera el olinomio fx X +. Si fn, entonces es un residuo cuadrático módulo, luego 1. Tenemos Esto significa que 1 mod 8 ó 3 mod 8. Veamos que hay infinitos números rimos de éstos que no son congruentes con 1 módulo 8. Suongamos que hay un número finito todos son imares Entonces f 1 t 6 mod 8. Como consecuencia hay infinitos números rimos verificando 1 y 1 mod 8, y or tanto hay infinitos números rimos verificando 3 mod 8. Existen infinitos números rimos verificando 4 mod 5. Solución. Se considera el olinomio fx X 5. Si fn, entonces 5 1. Tenemos , de aquí se tiene mod 5. Por tanto ±1 mod 5 Si sólo hay un número finito de estos números rimos no congruentes con 1 módulo 5, y distintos de 5, sean éstos 1,..., t. Se verifica f 1 t 1 t 5 y f 1 t 4 1 t 5.

16 15 Si amos con congruentes con 1 módulo 5, se tiene 1 t t 1 t mod 5, lo que es imosile, luego f 1 t 1 mod 5 ó f 1 t 1 mod 5, y or tanto hay infinitos números rimos verificando 1 4 mod 5. Ejercicio Determina el valor de 3, ara cada entero rimo ositivo. Solución. Podemos suoner que > 3, los otros casos son triviales. Tenemos Como consecuencia tenemos Por el Teorema Chino del Resto tenemos: { 4 1 y 3 1. { 4 3 y y y y y y y Por lo tanto { 3 1 si ±1 mod 1. 1 si ±5 mod Ejercicio Existen infinitos números rimos verificando 11 mod 1. Solución. Se considera el olinomio fx 3X 1, or tanto ara cada P f existe x Z tal que 3x 1 mod, y or tanto 3 x 3 mod, esto es, 3 es un residuo cuadrático módulo. Como consecuencia 1 3, y se tiene ±1 mod 1. Vamos a ver que hay infinitos números rimos verificando esta condición y 3 mod 4. Si sólo hay un número finito 1,..., t, entonces se tiene f 1 t 3 mod 4 y es rimo relativo con los 1,..., t, or tanto hay infinitos números rimos verificando 3 1 y 3 mod 4, or tanto mod 3, esto es, 3 1. Luego existen infinitos números rimos verificando 11 mod 1.

17 16 Ejercicio Criterio de Euler Demostrar que ara todo m Z, verificando m 0 mod, son equivalentes: a La congruencia X m m 1 1 mod. mod tiene solución. Ref.: 5141e 084 Solución. Traducido a F tenemos que roar la equivalencia de los siguientes enunciados ara m 0: a m es un cuadrado en F, esto es, el olinomio X m tiene una raíz en F. m 1 1, esto es, m es una raíz 1 de la unidad. a. Suongamos que existe x F tal que x m, entonces m 1 x 1 x 1 1. a. Consideramos un generador g del gruo F, entonces m g j, ara j {0,..., 1}, entonces 1 m 1 g j 1, y or tanto 1 divide a i 1, esto es, j deer ser ar, y tenemos m g j. Pascual Jara. Deartamento de Álgera. Universidad de Granada Blas Torrecillas. Deartamento de Matemáticas. Universidad de Almería.