Algunas Aplicaciones de las Sumas de Gauss y Jacobi

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1 Algunas Alicaciones de las Sumas de Gauss y Jacobi Carlos Alejandro Fernández Sanz, Rita Roldán Inguanzo 9 de mayo de 2013 Resumen En la resente investigación se estudian dos herramientas altamente útiles en la teoría de números y esecialmente en la resolución de roblemas aditivos en cueros finitos: las sumas de Gauss y las sumas de Jacobi La teoría desarrollada se utiliza ara dar una condición suficiente de solubilidad ara ecuaciones diagonales sobre cueros finitos Igualmente se resentan nuevas demostraciones de teoremas conocidos así como se desarrollan algunas alicaciones y generalizaciones 1 Introducción Los orígenes de la teoría desarrollada en este trabajo se remontan a los trabajos de Carl Friedrich Gauss y Carl Gustav Jacobi Gauss introdujo en julio de 1801 en el aartado 356 de sus Disuisitiones Arithmeticae[1] las sumas ue llevan su nombre, mientras ue las sumas de Jacobi aarecen or rimera vez en una carta ue éste envía a Gauss el 8 de febrero de 1827 [2] Los caracteres fueron introducidos or Dirichlet en sus estudios sobre rimos en rogresiones aritméticas [3] Luego de los trabajos iniciales de Gauss, Jacobi y Dirichlet, muchos de los mejores matemáticos de los dos últimos siglos han hecho contribuciones a la teoría de las sumas de Gauss y de Jacobi Entre los más renombrados se encuentran A Cauchy , E Kummer , G Eisenstein , L Kronecker , H Hasse ,H Davenort, L J Mordell, L Strickelberger y A Weil En este trabajo se resentan dos alicaciones de las sumas de Gauss: la determinación de la extensiones ciclotómicas cuadráticas de Q y una demostración de la Ley de Recirocidad Cuadrática En lo referente a las sumas de Jacobi, estas se utilizan ara obtener una condición suficiente de solubilidad ara ecuaciones diagonales sobre cueros finitos Se resentan alicaciones de este resultado entre ellas una demostración de la Ley de Recirocidad Cuadrática, así como una demostración del conocido teorema de Fermat acerca de los rimos ue son reresentables como suma de dos cuadrados 2 Caracteres Los contenidos de las dos rimeras subsecciones de esta sección, así como los de la rimera arte de la sección 23 se ueden encontrar en lo libros [4], [5] y [6] Las demostraciones ue se muestran en [7] están basadas en las de la bibliografía salvo la del Teorema 21 Dado un gruo finito G se define: Definición 21 Caracter del gruo finito G es un homomorfismo χ : G C 1

2 Estas dos roiedades ermiten dotar de un estructura de gruo al conjunto Ĝ de todos los caracteres, mediante la oeración : Ĝ Ĝ Ĝ dada or χ 1 χ 2a = χ 1aχ 2a El caracter unidad se define como χ 0g = 1 ara todo g G De auí en lo adelante este caracter será referido como el caracter trivial El siguiente resultado se encuentra robado en [6] ara el caso en ue G es un gruo cíclico finito En [7] se da una demostración original del caso en ue G es un gruo abeliano Teorema 21 Para todo gruo finito G se cumle ue Ĝ = G Dado el gruo abeliano finito G = {a 0,, a 1} con 1 G = a 0 y su corresondiente gruo de caracteres Ĝ = {1 Ĝ = χ 0,, χ n 1} con 1Ĝ = χ 0, se define la matriz AG = α i,j n n; α i,j = χ ia j ara todos i, j = 1,, n Lema 21 Sea og = n el orden del gruo G y χ una caracter de G Entonces og, si χ = χ 0 χa = 0, si χ χ 0 a G Lema 22 Los caracteres cumlen la siguiente relación de ortogonalidad χ 1 og, si a i = a j a i χa j = 0, en otro caso χ Ĝ Corolario 21 Los caracteres satisfacen la relación og, si a = 1 G χa = 0, en otro caso χ Ĝ 21 Caracteres sobre cueros finitos Sea un número rimo Se denota or F r se omite el suraíndice Teorema 22 UF r es cíclico de orden r 1 Corolario 22 Sea a un generador de UF r, entonces el caracter λ tal ue es un generador de ÛF r al cuero de r elementos y or UF r a su gruo de unidades En el caso r = 1 λa = e 2πi r 1 22 Residuos Definición 22 Se conoce como residuo n-ésimo en F r en F r al elemento a UF r, tal ue la ecuación x n a tiene solución Todos los resultados de esta subsección aarecen en la bibliografía ara el caso en ue n es un divisor de r 1 En [7] se demuestran ara el caso general Definición 23 Para a, z F r y k N se define A k a = {g F r : g k = a} 2

3 Lema 23 Sea d = mcdn, r 1 Entonces N r x n = 1 = N r x d = 1 Teorema 23 Sea d = mcdn, r 1 Entonces N r x n = a = N r x d = a Corolario 23 Sea χ un caracter de orden d = mcdn, r 1 Entonces 3 Sumas de Gauss La suma introducida or Gauss en 1801 es k 1 n=0 d 1 N r x n = a = χ j a En su estudio sobre rimos en rogresiones aritméticas Dirichlet [3] introdujo la suma j=0 e 2πimn2 k, la cual es conocida en la actualidad como suma de Gauss cuadrática k 1 G χ = χne 2πim n k, n=0 la cual también es llamada suma de Gauss, ues coincide con la suma de Gauss cuadrática en el caso de ue χ sea un caracter de orden 2 y k un rimo ue no divide a m Los resultados ue se resentan en están sección están demostrados en el caítulo 2 de [7] Las demostraciones allí recogidas son versiones simlificadas de las ue aarecen en [6] y [8] 31 Diferentes tio de sumas de Gauss Se debe recordar ue F r sobre F es un cuero de característica y se uede considerar como un esacio vectorial de dimensión r Definición 31 Se llama traza de a F r sobre F al valor Teorema 31 tr es una alicación lineal de F r en F Definición 32 función exonencial Para a F r Esta función satisface ea + b = ea eb r 1 tra = a j j=0 2πi tra se define ea = e Considérese el gruo de los caracteres de UF r Para la teoría ue se desarrollará a continuación, es conveniente extender el dominio de definición de los caracteres a todo F r, de modo ue χ0 = 0 ara todo caracter diferente del caracter trivial y χ 00 = 1 Definición 33 Se denomina suma de Gauss de b F r Si b = 1, se escribe simlemente G rχ G rb, χ = Si r = 1, se omite el subíndice se escribe G 1b, χ = Gb, χ Si b = r = 1, sencillamente se escribe Gχ con resecto al caracter χ a a F r χa eab Teorema 32 Sea χ χ 0 y b 0 Entonces G rb, χ = χ 1 b G rχ 3

4 Teorema 33 Sea χ χ 0 y a 0 Entonces G ra, χ G ra, χ 1 = χ 1 r G ra, χ = χ 1 G ra, χ 1 G ra, χ = r/2 G ra, χ = G ra, χ A continuación se define otro tio de suma de Gauss sobre F r Definición 34 Se denomina suma de Gauss de orden k a g rb, k = a eba k Para esta suma se utilizan los siguientes convenios de notación: Si b = 1, se escribe g rk en vez de g r1, k Si r = 1, se omite el subíndices y se escribe simlemente gb, k El siguiente teorema muestra la relación ue existe entre los dos tios de sumas de Gauss ue se han definido El mismo es una generalización de la ecuación 114 de [8], la cual solo considera el caso k r 1 Teorema 34 Sean d = mcdk, r 1 > 1, χ un caracter de orden d y b UF r, entonces d 1 g rb, k = G rb, χ j j=1 A continuación se define el último tio de suma de Gauss aradójicamente estas fueron las sumas ue utilizó Gauss y or las cuales comenzó toda la teoría Definición 35 Se llama suma de Gauss cuadrática en el anillo Z k a Lema 31 Sea rimo y m Z, entonces k 1 2πim n2 gm, k = e k n=0 gm, = g 1m, 2 donde 0 m 1 y m m mód Definición 36 El Símbolo de Legendre es la función : F { 1, 0, 1}, definida or a = 1, si Nx 2 = a 1 0, si a = 0 1, si Nx 2 = a = 0 El siguiente lema resenta una roiedad básica del símbolo de Legendre Una demostración de este resultado se uede consultar en [9] Lema 32 Para todo a F es Teorema 35 a a 1 2 mód, restringido a UF, es un caracter de orden 2 Teorema 36 Si m no es divisible or y m es tal ue 0 m 1 y m m mód, entonces G m m, = gm, = g 1, 4

5 Teorema 37 Proiedad multilicativa Sean a, b, t N tales ue a y b son rimos relativos Entonces Lema 33 g 2 1, = gtb, a gta, b = gt, ab Teorema 38 Si m es un número imar, entonces g1, m = i m 12 4 m En [7] se dedica una sección entera a obtener este resultado La demostración ue allí se exone es uramente analítica, a diferencia del estilo del resto de las demostraciones ue aarecen en la tesis No solo la belleza ha sido la razón de tal decisión, sino también la técnica en si misma como método de demostración El método consiste en encontrar una función meromorfa f tal ue sus residuos coincidan con los sumandos de la suma en cuestión en este caso se toma f = e2πiz2 Luego se debe encontrar una región de integración ue incluya a los residuos y e 2πiz 1 ue ermita calcular la integral de f sobre su frontera De este modo, al alicar el Teorema de los Residuos se obtendrá el valor de la suma 4 Sumas de Jacobi En todas las definiciones de esta sección se considera ue todos los caracteres están definidos sobre el cuero finito F r Definición 41 Se llama suma de Jacobi asociada a los caracteres χ y λ a Jχ, λ = Definición 42 Las Sumas de Jacobi generalizadas son Jχ 1,, χ r = J 0χ 1,, χ r = u+v=1 u 1 ++u r=1 u 1 ++u r=0 χuλv χ 1u 1 χ ru r, χ 1u 1 χ ru r A continuación se enuncian varios resultados relacionados con las sumas de Jacobi generalizadas, los cuales serán necesarios ara la sección de alicaciones Las demostraciones de estos resultados se ueden encontrar en el caítulo 10 de [8] Teorema 41 Si los caracteres χ 1,, χ s son todos triviales entonces Si algunos, ero no todos los χ i son triviales, entonces Teorema 42 Sean χ 1,, χ s caracteres de F r Entonces Jχ 1,, χ s = r s 1 Jχ 1,, χ s = 0 1 Si todos los χ i son triviales, entonces J 0χ 1,, χ s = r s 1 2 Si todos los χ i son no triviales, ero el roducto de ellos es trivial, entonces J 0χ 1,, χ s = r 1Jχ 1,, χ s En cualuier otro caso se tiene J 0χ 1,, χ s = 0 Teorema 43 Si todos los χ i son no triviales, ero el roducto de ellos es trivial, entonces J 0χ 1,, χ s = χ s 1 r 1Jχ 1,, χ s 1 5

6 Corolario 41 Con las mismas hiótesis del teorema, se tiene Jχ 1,, χ s = χ s 1Jχ 1,, χ s 1 Teorema 44 Fórmula de reducción Sean χ 1,, χ s s 2 caracteres no triviales, entonces 1 Si χ 1 χ s 1 es trivial, entonces Jχ 1,, χ s = r Jχ 1,, χ s 1 2 Si χ 1 χ s 1 es no trivial, entonces Jχ 1,, χ s = Jχ 1 χ s 1, χ s Jχ 1 χ s 1 Teorema 45 Sean χ 1,, χ s s 2 caracteres no triviales, entonces 1 Si χ 1 χ s es no trivial, entonces 2 Si χ 1 χ s es trivial, entonces Corolario 42 Con las mismas hiótesis del teorema: Jχ 1,, χ s = 1 Si χ 1 χ s es no trivial, entonces Jχ 1,, χ s = rs Si χ 1 χ s es trivial, entonces Jχ 1,, χ s = rs 2 2 Grχ1 Grχs G sχ 1 χ s Grχ1 Grχs Jχ 1,, χ s = r El siguiente resultado está demostrado en [7] y constituye una eueña generalización del Teorema 833 de [6], el cual se obtiene como corolario La idea de la demostración es hacer inducción sobre k y alicar el rimer unto del Teorema 45 Teorema 46 Sea χ un caracter de orden n n > 2 y k un entero menor ue n y mayor ue 1 Entonces Corolario 43 Sea χ un caracter de orden n > 2 Entonces G rχ k G r χ k = J χ, χ J χ, χ k 1 G rχ n = χ 1 r Jχ, χ Jχ, χ n 2 5 Alicaciones 51 Subcueros cuadráticos de los cueros ciclotómicos En esta sección se resenta una sencilla alicación de las sumas de Gauss a la Teoría de Galois La demostración de los resultados de la Teoría de Galois ue su utilizan en esta demostración se ueden encontrar en [10] Sea ζ = e 2ii De la Teoría de Galois se sabe ue Q ζ es una extensión de Galois de Q de grado 1 y su gruo de Galois es isomorfo al gruo cíclico de 1 elementos Por tanto, al alicarle el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois a Qζ se obtiene Teorema 51 Sea k un divisor de 1, entonces existe un único subcuero F, intermedio entre Q y Qζ, tal ue [F : Q] = k Corolario 51 Existe un único subcuero F, intermedio entre Q y Qζ, tal ue [F : Q] = 2 A este cuero se le denomina subcuero cuadrático de Qζ El siguiente resultado es una alicación del teorema del elemento rimitivo al cuero F ue se obtuvo en el teorema anterior 6

7 Teorema 52 Existe α Qα tal ue F = Qα Nótese ue el Teorema 51 imlica ue α es un número algerbaico sobre Q de grado 2, luego, es raíz de un olinomio de la forma x 2 s, donde s Q ero no es un cuadrado A artir del Teorema 36 se tiene ue g1, Qζ y del Lema 33 se deduce ue g 2 1, Q, luego Teorema 53 F = Q g1, 52 Primos como sumas de dos cuadrados Teorema 54 Sea un número rimo imar Entonces 1mod 4 si y solo si se escribe como suma de dos cuadrados Demostración: Si 1mod 4 entonces 4 1, luego, existe en F, un caracter χ de orden 4 La imagen de este caracter es un subgruo de orden 4 de C El único subgruo de orden 4 de C es el de las raíces de la unidad de orden 4, or tanto, χu {1, 1, i, i}, ara todo u en UF Luego, Jχ, χ = χuχv Z [i] u+v=1 Nótese ue esto imlica la existencia de enteros a y b tales ue Jχ, χ = a + i b Al ser χ un caracter de orden 4, se tiene ue χ χ = χ 2 χ 0, or tanto, es alicable el Corolario 42 De este modo Elevando al cuadrado, se obtiene = a 2 + b 2 Jχ, χ = a 2 + b 2 = 1/2 Recírocamente, si es un rimo imar tal ue = a 2 + b 2, entonces a y b tienen aridades ouestas Sin érdida de generalidad, suongamos ue a es imar y b es ar, entonces existen t, s Z, tales ue a = 2t + 1 y b = 2s Luego, = a 2 + b 2 = 2t s 2 = 4t 2 + 4t s 2 = 4t 2 + t + s Entonces 1mod 4 Qed 53 La ecuación a 1 x m a s x ms s = b, A continuación se considera la ecuación con a i UF r y b F r a 1x m a sx ms s = b, A las ecuaciones de este tio se les llaman ecuaciones diagonales Para simlificar la notación se denota or N al número de soluciones de la ecuación anterior y se escribirá F r en vez de F r El resultado rincial de esta subsección Teorema 55 fue demostrado en el año 1949 or André Weil Tanto en el trabajo original de Weil [11] como en la bibliografía consultada al resecto [6], [8], [12], las demostraciones arten de la exresión s N = N r x d i = u i, donde u 1,,u s U i=1 U = {x 1,, x s F s r : a1x1 + + anxs = b} La rimera arte de la sección 33 de [7] está dedicada a demostrar este resultado La idea de esta demostración consiste en 7

8 1 Definir el conjunto S = {x 1,, x s F s r : a1xm a nx ms s = b} 2 Para cada u 1,, u s U definir los conjuntos A u1,,u s = s k=1 Am u k k 3 Probar ue S = u 1,,u s U A u1,,u s A continuación se enuncia el resultado fundamental Teorema 55 Sean χ i caracteres de órdenes d i = mcdm i, r 1, entonces ara b 0 se tiene y ara b = 0 se tiene d 1 1 N = r s 1 + j 1 =1 d s 1 j s=1 d 1 1 N = r s 1 r 1 j 1 =1 χ j 1 ba 1 1 χ js ba 1 s Jχ j 1 1,, χ js s, d s 1 j s=1 χ j 1 a 1 1 χ js a 1 s Jχ j 1 1,, χ js s y la última suma se realiza sobre todos los enteros tales ue χ j 1 1 χ js s es trivial Se denota or td 1,, d s a la cantidad de s-tulas j 1,, j s, con 1 j i d i 1 tales ue A artir del Teorema 55 se obtienen los siguientes resultados i j i d i Z Teorema 56 Sean d i = mcdm i, r 1, entonces se tienen las siguientes acotaciones: Si b 0 N rs 1 d 1 1 d s r td 1,, d s rs 1 2 Si b = 0 N rs 1 td 1,, d s r 1 rs 2 2 Corolario 52 Sean s > 1 y d i = mcdm i, r 1 tales ue r > { } d 1 1 d s 1 1 r 2 s 1 2 t d 1,, d s Entonces la ecuación a 1x m a sx ms s = b tiene solución ara todo b F r y ara cualuier elección de los a i tal ue a i 0 ara todo i Si se considera s = 2 en el Corolario 52 se obtiene ue si r > { 2, d 1 1 d r 2 t d 1, d 2} entonces la ecuación a 1x m a 2x m 2 2 = b tiene solución ara cualesuiera sean a 1, a 2 UF r y b F r Teorema 57 td 1, d 2 = mcdd 1, d 2 1 Luego, se ha obtenido el siguiente resultado, el cual es una generalización del Teorema 1084 de [8] dicho teorema se obtiene haciendo r = 1 Teorema 58 Sean d i = mcdm i, r 1 tales ue r > { 2 d 1 1 d r 2 mcdd 1, d 2} Entonces la ecuación a 1x m a 2x m 2 2 = b tiene solución ara todo b en F r y ara cualesuiera sean los a i UF r 8

9 Corolario 53 Sea d = mcdm, r 1 tal ue r > d 1 4 Entonces la ecuación a 1x m 1 + a 2x m 2 = b tiene solución ara todo b de F r y cualuier elección de los a i en UF r A artir del Corolario 53 los siguientes resultados son directos Vale decir ue estos corolarios generalizan los teoremas 1085 y 1086 de [8] los cuales se obtienen haciendo r = 1 Corolario 54 La ecuación a 1x a 2x 2 2 = b tiene solución en F r ara todo b en F r y ara cualesuiera sean los a 1 y a 2 en UF r Corolario 55 Sean un número rimo, a 1 y a 2 dos unidades de F r Entonces 1 Si > 7, la ecuación a 1x a 2x 3 2 = b tiene solución en F r ara todo b 2 Si 2 < 7 y r es mayor ue 1, entonces la ecuación a 1x a 2x 3 2 = b tiene solución en F r ara todo b 3 Si = 2 y r es mayor ue 2, entonces la ecuación a 1x a 2x 3 2 = b tiene solución en F r ara todo b 54 La Ley de Recirocidad Cuadrática A continuación se muestran dos demostraciones de la Ley de Recirocidad Cuadrática, una mediante las sumas de Gauss y la otra utilizando las sumas de Jacobi Teorema 59 Ley de Recirocidad Cuadrática Sean y rimos imares distintos Entonces = Demostración: Alicando el Teorema 37 con a =, b = y t = 1 así como el Teorema 36 se obtiene g 1, = g, g, = g 1, g 1, Haciendo uso del Teorema 38 se deduce i 12 4 = i = i 12 4 i 12 4 A artir de auí es fácil deducir el resultado Qed Para la demostración utilizando las Sumas de Jacbi se utilizan algunos lemas intermedios, los cuales están demostrados en la tesis El rimero de ellos Lema 51 es una alicación del Teorema 55 En lo ue sigue se denotará or χ al caracter cuadrático Salvo ue se indiue lo contrario, siembre ue se escriba Jχ,, χ se entenderá ue la suma de Jacobi en cuestión tiene comonentes Lema 51 G χ +1 = J χ,, χ, donde J tiene comonentes Lema 52 Gχ 2 = Lema = J χ,, χ Lema 54 Jχ,, χ χ mod Teorema 510 Ley de Recirocidad Cuadrática Sean y rimos imares distintos Entonces =

10 Demostración: Tomando congruencias módulo en 53 se obtiene Por el Lema 32 se tiene ue luego, mód, mód mód Tanto el miembro izuierdo como el miembro derecho de la congruencia anterior tienen módulo 1, or tanto, son menores ue, al ser diferente de 2, esto imlica ue son iguales, or tanto = = Qed 6 Conclusiones En este trabajo se ha exuesto la teoría más básica de las sumas de Gauss y Jacobi, así como la de los caracteres sobre cueros finitos Muchas de las demostraciones se han simlificado y alguna de ellas son originales También se han ofrecido algunas generalizaciones Mediante alicaciones, se ha mostrado la utilidad de las sumas de Gauss y de Jacobi en la Teoría de Números y en el Álgebra Esecíficamente, las sumas de Jacobi se han utilizado ara obtener una condición suficiente de solubilidad ara ecuaciones diagonales sobre cueros finitos También se ha mostrado un método interesante ara calcular sumas Referencias [1] C F Gauss 1801 Disuisitiones Arithmeticae [2] C G Jacobi, 1827Brief an Gauss wom 8 Februar 1827 [Comlete works: vol 7, ] [3] P G L Dirichlet, 1840Rechearches sur diverses alications de l anlyse infinitesimale a la theorie des nombres, J Reine Angew Math Número [Comlete works: vol 1, ] [4] T Aostol 1979 Introduction to Analytic Number Theory,, Sringer-Verlag, New York [5] R Ayoub 1963 An Introduction to the Analytic Theory of Numbers, American Mathematical Society, Providence [6] K Ireland, M Rosen 1990 A Classical Introduction to Modern Number Theory, Sringer-Verlag, New York [7] C Fernández 2013 Sumas de Gauss y Jcaboi, [Tesis de Licenciatura] [8] B Berndt, R Evans, K Williams 1998 Gauss and Jacobi Sums, John Willey and Sons, Inc [9] I M Vinográdov, 1977 Fundamentos de la Teoría de los números, Mirr, Moscú [10] JP Escofier 2001 Galois Theory, Sringer-Verlag, New York [11] A Weil, 1949Number of solutions of euations in finite fields, Bulletin of the American Mathematical Society Vol [Comlete works: vol 1, ] [12] Z I Borevich, I R Shafarevich 1966Number Theory, Academic Press, New York 10