Clasificación de Grupos Abelianos

Transcripción

1 Clasificación de Gruos Abelianos Rodrigo Peláez Asesor: Xavier Caicedo Universidad de Los Andes

2 Índice 1 Preliminares Algunos resultados de la Teoría de Gruos Abelianos Algunos resultados de la Lógica y la Teoría de Modelos Estructuras arcialmente isomorfas Equivalencia elemental y subestructuras elementales Lógica Infinitaria Estructuras κ-saturadas Teorema de Ulm 10 3 Clasificación elemental de los gruos abelianos de torsión 14 4 Clasificación elemental de los gruos abelianos La estructura de los Gruos Abelianos ω 1 -saturados El Teorema de Clasificación Elemental

3 AGRADECIMIENTOS Ver una luz desués de entender que se vive en la oscuridad; y volver a caer en la oscuridad en busca de otro destello que lleve a otro unto oaco; y así sucesivamente, hace que arender Matemáticas sea tan mágico. Dedico este trabajo con mucho amor a aquellos que han comartido conmigo la aventura de arender. A mi aá que me dio la osibilidad de ser humano y tomar este camino. A Juanca y Jeanqui que me abrieron las rimeras uertas al ensamiento matemático y al amor or esta discilina. A María, orque el amor es necesario ara seguir. A Eduardo y Camilo que me me han enseñado tanto con su dedicación y comromiso. A Xavier Caicedo, un gran maestro que admiro rofundamente y que ha marcado atrones firmes de mi ética matemática. A Alf, Jaime, Eliana, Guillermo, Germán, Pablo, Andrés. 3

4 Introducción La clasificación módulo isomorfismo de los gruos abelianos es un objetivo aún no alcanzado or los matemáticos, aunque se han logrado avances imortantes en dicho camo como la clasificación de los gruos abelianos finítamente generados, los gruos divisibles y los gruos abelianos enumerables de torsión; este último resultado, obtenido or Ulm en la rimera mitad del siglo XX. Sin embargo, ara la segunda mitad del siglo asado se logra una clasificación elemental de los gruos abelianos. Hacia finales de los cuarenta y comienzos de los cincuenta, Warszawa Szmielew se interesó en el roblema concerniente a la decibilidad de la Teoría de los Gruos Abelianos. En 1955 ublicó su artículo Elementary roerties of Abelian Grous, [S], en el cual consiguió con éxito dar una rueba de la decibilidad de la Teoría. Junto con esta resuesta, dados los resultados que obtuvo en el camino, Szmielew logró también describir a artir de algunas sentencias de la lógica de rimer orden, las distintas clases elementales de los Gruos Abelianos; estableció una clasificación, módulo equivalencia elemental, de dichos gruos. Más tarde, a comienzos de los años setenta, Paul C. Eklof y Edward R. Fischer retomaron los resultados de Szmielew desde un unto de vista de la Teoría de Modelos y en su artículo The Elementary Theory of Abelian Grous, [EyF], resentaron nuevas ruebas ara dichos untos entre otros. Su línea de trabajo se basó rincialmente en el estudio de la estructura (y la existencia) de los gruos abelianos saturados. En este trabajo se intenta reroducir, de manera detallada y rofunda, los resultados relacionados con la clasificación elemental de los gruos abelianos; consiguiendo entonces, una descrición de las extensiones comletas de dicha Teoría. En la rimera arte se resentan e introducen, a modo de un recorrido no muy rofundo, algunos resultados y concetos imortantes de la Teoría de Gruos Abelianos, la Lógica y la Teoría de Modelos, que se utilizan a lo largo del escrito. Seguídamente, se resenta una rueba detallada del Teorema de Clasificación de Ulm motivada or la noción del Back and Forth introducida en el caítulo revio. En el tercer caítulo se clasifican elementalmente los gruos abelianos de torsión siguiendo un camino sugerido or las nociones de la Lógica Infinitaria introducidas en los reliminares y orientadas hacia este objetivo en [B]. Finalmente, en el cuarto caítulo se llega al Teorema de Clasificación elemental de los gruos abelianos en dos asos siguiendo de cerca el contenido de la sección 1 de [EyF]. La rimera sección se enfoca en la rueba del teorema que describe la estructura de los gruos abelianos κ-saturados (κ no enumerable) en función de ciertos invariantes (Szmielew) definibles en la Lógica de rimer orden. En la segunda sección, sin usar la existencia de gruos abelianos saturados, se llega a la rueba del Teorema rincial haciendo antes un análisis muy útil de ciertas subestructuras elementales de los gruos abelianos κ-saturados. 4

5 1 Preliminares En este caítulo se hace un breve recuento de algunos resultados imortantes ara el desarrollo osterior del escrito y que or su carácter más general se resentan en la sección reliminar. En la rimera sección se revisan los teoremas referentes a la Teoría de Gruos y en la segunda los que conciernen a la Lógica y la Teoría de Modelos. 1.1 Algunos resultados de la Teoría de Gruos Abelianos Para la rofundización en el material resentado en este aartado se recomienda revisar las rimeras secciones de [K]. Si cada elemento g de un gruo abeliano G tiene orden finito n g (n g es el mínimo entero ositivo tal que n g g = 0), se dice que G es un gruo de torsión. Más allá, si ara cada g G, n g = m donde es un rimo fijo y m algún entero ositivo, se dice que G es un -gruo. Teorema 1. Todo gruo abeliano de torsión G es isomorfo a la suma directa de sus - subgruos. Ahora bien, un gruo G se dice divisible si ara cada g G y cada n Z +, existe un g n G tal que ng n = g. Ejemlo 2. El gruo aditivo de los racionales, (Q, +), es divisible. Ejemlo 3. Para cada rimo, el -gruo de Prüfer Z es divisible. Teniendo los dos anteriores ejemlos se uede enunciar el Teorema que clasifica los gruos divisibles módulo isomorfismo. Teorema 4. Todo gruo abeliano divisible es isomorfo a una suma directa de gruos donde cada uno de ellos es isomorfo a Q o a Z (ara varios rimos ) Es fácil ver que cada gruo abeliano G osee un único subgruo divisible maximal. Esto se logra simlemente considerando la unión M, no vacía (ues {0} G es divisible), de todos los subgruos divisibles de G, y verificando que efectivamente M es un subgruo divisible de G ya que todo elemento m M se escribe como la suma finita m = x x k, donde cada x i ertenece a algún subgruo divisible de G. Como cada x i es divisible or todo n, entonces su suma, m, también lo es. Los siguientes Teoremas exhiben la imortancia del subgruo divisible maximal ara entender la estructura de un gruo abeliano. Teorema 5. Todo subgruo divisible D de un gruo abeliano G es un sumando directo. Teorema 6. Todo gruo abeliano G tiene un único subgruo divisible maximal M, y G = M N donde N no tiene subgruos divisibles no triviales (es reducido). Finalmente, un subgruo S de un gruo abeliano G se dice uro en G, si ara todo entero ositivo n se cumle que ng S = ns. Nótese que todo subgruo divisibe D de un gruo abeliano G, es un subgruo uro. 1.2 Algunos resultados de la Lógica y la Teoría de Modelos Para la rofundización en el material resentado en este aartado se recomienda revisar [B] y los caítulos 2 y 3 de [CyK]. 5

6 1.2.1 Estructuras arcialmente isomorfas Considérense dos estructuras A y B del mismo tio. Sea I un conjunto no vacío de isomorfismos entre subestructuras de A y B. Se dice que I tiene la roiedad del Back and Forth si ara cada f I y a A (res. b B), existe un g I que extiende a f y tal que a dom(g) (res. b rng(g)). Se dice que A y B son arcialmente isomorfas, A = B, si existe un conjunto de isomorfismos arciales I entre A y B con la roiedad del Back and Forth. El siguiente Teorema muestra el alcance de la noción anteriormente introducida cuando se trata de estructuras enumerables. Es de gran utilidad ara la rueba del Teorema de Ulm en el siguiente caítulo. Teorema 7. Si dos estructuras A y B del mismo tio son enumerables (o enumerablemente generadas), entonces A = B ssi A = B Equivalencia elemental y subestructuras elementales Dadas dos estructuras A y B asociadas al lenguaje L, se dice que A y B son elementalmente equivalentes, A B, ssi satisfacen las mismas sentencias sobre L (T h(a) = T h(b)). El siguiente teorema muestra cómo los roductos reservan la equivalencia elemental. Es de gran imortancia ara la clasificación elemental de los gruos abelianos de torsión en el tercer caítulo. Teorema 8. (Feferman-Vaught) Si I es un conjunto no vacío y (A i ) i I y (B i ) i I son dos familias de estructuras asociadas a un lenguaje L tales que ara cada i I, A i B i, entonces A i B i. i I i I A es subestructura elemental de B, A B, ssi A B (A es submodelo deb ) y ara cada fórmula φ sobre L con variables libres x 1, x 2,..., x n y cada a 1, a 2,..., a n A, se tiene que A φ[a 1, a 2,..., a n ] ssi B φ[a 1, a 2,..., a n ] Lema 9. (Tarski) A B si y sólo si A B y ara cada fórmula xφ(x, x 1,..., x n ) con variables libres x 1, x 2,..., x n y cada a 1, a 2,..., a n A, se tiene que si B xφ[a 1, a 2,..., a n ], entonces existe un a A tal que B φ[a, a 1, a 2,..., a n ] Corolario 10. Sean A y B dos estructuras asociadas al lenguaje L. Si ara cada a 1, a 2,..., a n A y b B, existe un automorfismo f de B tal que f(a i ) = a i i = 1,..., n y tal que f(b) A, entonces A B. Demostración. Sea xφ(x, x 1,..., x n ) una fórmula con variables libres x 1, x 2,..., x n. Suóngase que B xφ[a 1, a 2,..., a n ]. Sea b B tal que B φ[b, a 1, a 2,..., a n ]. Por hiótesis, existe un automorfismo f de B tal que f(a i ) = a i i = 1,..., n y tal que f(b) = a A. Nótese que Por el lema de Tarski, A B. B xφ[a 1, a 2,..., a n ] B φ[b, a 1, a 2,..., a n ] B φ[f(b), f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a n )] B φ[a, a 1, a 2,..., a n ] Una cadena elemental es una cadena de estructuras asociadas a un lenguaje L A 0 A 1... A β..., β < α (α un ordinal) tal que A γ A β, siemre que γ < β < α. Teorema 11. Sea A ξ, ξ < α, una cadena elemental de estructuras. Entonces A ξ ara todo ξ < α. A ξ ξ<α 6

7 1.2.3 Lógica Infinitaria Si L es un lenguaje usado en la lógica de rimer orden, L ω consiste en aumentar L añadiendo variables v α ara cada ordinal α. La clase de fórmulas sobre L ω es la clase más equeña Y que contiene a las fórmulas atómicas sobre L y es cerrada bajo: a) Si φ Y, entonces ( φ) Y. b) Si φ Y, entonces ( v α φ) y ( v α φ) ertenecen a Y. c) Si Φ es un subconjunto de Y, finito o infinito, entonces la conjunción Φ y la disyunción Φ ertenecen a Y. Ejemlo 12. Si G es un gruo abeliano y L es el lenguaje ara la Teoría de Gruos Abelianos con un símbolo de función binaria + y un símbolo de constante 0, entonces G es de torsión ssi G es un modelo de la sentencia sobre L ω x (nx = 0), donde nx = x + x x (n veces) n<ω Una medida imortante de la comlejidad de una fórmula de L ω es su rango cuantificacional. Si φ es una fórmula sobre L ω, el rango cuantificacional de φ, qr(φ), es un ordinal y está definido or inducción en la comlejidad de la fórmula, así: qr(φ) = 0, si φ es atómica qr( φ) = qr(φ) qr( v α φ) = qr( v α φ) = qr(φ) + 1 qr( Φ) = qr( Φ) = su{qr(φ) : φ Φ} Dadas dos estructuras A y B ara el lenguaje L, se escribe A ω B, si A y B son modelos de las mismas sentencias sobre L ω. Para un ordinal α, se escribe A α ω B, si ara cada sentencia φ sobre L ω tal que qr(φ) α, se tiene que A φ ssi B φ. Puede mostrarse que dadas dos estructuras A y B ara el lenguaje L, A B ssi A ω ω B. Un imortante Teorema que establece el vínculo entre la noción de estructuras arcialmente isomorfas ( = ) y equivalentes en L ω ( ω ) es el Teorema de Kar, robado or rimera vez en Finite quatifier equivalence, The Theory of Models (1965). Teorema 13. (Kar). Dadas dos estructuras A y B ara el lenguaje L, las siguientes son equivalentes: a) A ω B b) A = B c) Existe un conjunto I de isomorfismos arciales entre A y B con la roiedad del Back and Forth tal que todo f I tiene dominio y rango finitamente generado. En el tercer caítulo se utilizan fuertemente dos resultados imortantes que involucran de nuevo las nociones introducidas en este aartado. 7

8 1.2.4 Estructuras κ-saturadas Dada A una estructura asociada a un lenguaje L y un subconjunto X A, se escribe A X ara referirse a la estructura A distinguiendo los elementos de X. Su lenguaje asociado, L X, tiene nombres ara cada uno de estos elementos. Se dice que A es κ-saturada si ara todo subconjunto X A tal que X < κ se tiene que todo conjunto de fórmulas Γ(x) sobre L X consistente con T h(a X ) es realizado en A X. El siguiente lema se utuliza frecuentemente en las demostraciones de la rimera sección del caítulo cuarto; es or eso que se enuncia ara estructuras ω 1 -saturadas, rotagonistas en dicha arte del trabajo. Lema 14. Sea A una estructura ω 1 -saturada. Para todo subconjunto enumerable X A, cada tio Γ(x 1, x 2,... ) sobre L X con enumerables variables consistente con T h(a X ) es realizado en A X. Demostración. Sea Γ(x 1, x 2,... ) un tio sobre L X consistente con T h(a X ). Se construirá el subconjunto enumerable a 1, a 2,... A que realiza Γ en A X recursivamente. Para encontrar el rimer elemento, i) Primer aso. Sea Γ 1 (x 1 ) = { x 2 x 3...x kγ γ(x 1,...) : γ Γ}, donde n γ = máx{α : x α aarece libre en γ}. Es fácil verificar que Γ 1 (x 1 ) es consistente con T h(a X ), con lo cual, or hiótesis de ω 1 -saturación, existe a 1 A tal que A X Γ(a 1 ). Así, a 1 es entonces el rimer elemento del subconjunto enumerable que se quiere construir. Para elegir el n-ésimo elemento, ii) n-ésimo aso. Sea Γ n (a 1, a 2,..., a n 1, x n ) = { x n+1...x nγ γ(a 1, a 2,..., a n 1, x n,...) : γ Γ}, donde a 1, a 2,..., a n 1 son los elementos ya encontrados. Considérese X n = X {a 1, a 2,..., a n 1 }. Nótese que X n es aún enumerable. Es fácil ver también que Γ n (a 1, a 2,..., a n 1, x n ) es consistente con T h(a X n), con lo cual, or hiótesis de ω 1 - saturación, existe a n A tal que A X n Γ n (a n ). Esto quiere decir que a 1, a 2,..., a n 1, a n realiza Γ n (a 1, a 2,..., a n 1, x n ) en A X. Queda entonces construido el subconjunto deseado. Los dos siguientes lemas son de gran imortancia ara los resultados obtenidos en la segunda sección del cuarto caítulo. Lema 15. Para todo modelo A de una teoría sobre algún lenguaje L, existe una extensión elemental A A tal que ara todo subconjunto enumerable X A y todo 1-tio comleto con arámetros en X consistente con T h(a X ), Γ X (x), existe un a A tal que A Γ X (a ). Demostración. Sea { {X i } i I } la familia de todos los subconjuntos enumerables de A. Para cada i I, considérese Γ ji X i (x), la familia de todos los 1-tios comletos con arámetros j i J i en X i consistentes con T h(a Xi ) (es imortante notar que T h(a Xi ) Γ j i X i (x) ara todo j i J i ). Ahora bien, ara cada Γ j i X i (x) considérese un símbolo de constante c j i i c l k que no está en L A y tal que c j i i k si i k o j l. { Defínase } entonces los siguientes conjuntos de sentencias sobre el nuevo lenguaje L = L A c ji i Γ ji X i (c ji i ) = { y considérense entonces la teoría T = i I j i J i σ(c ji i j Γ i i I j i J i } ) : σ(x) Γji X i (x) X i (c ji i ). Nótese que cada Γji X i (c ji i ) es consistente (or la consistencia de Γ ji X i (x)). Al unir finitos de estos ara un X i fijo, se obtiene de igual 8

9 manera una teoría consistente ya que T h(a Xi ) Γ ji X i (c ji i ) ara cualquier j i 1. Análogamente, al unir dos de estos tios con arámetros en X 1 y X 2 resectivamente, se obtiene de nuevo una teoría consistente debido a que T h(a X1 X 2 ) Γ j i X i (c j i i ) ara i = 1, 2. Por comacidad, T es una teoría consistente y tiene entonces un modelo A. Cada elemento de A está identificado con una constante distinta de L, que a su vez denota un elemento distinto de A. Además nótese que T h(a A ) i T h(a Xi ) i Γ ji X i (c ji i ) T, con lo cual A T h(a X ), y entonces A A. Claramente A realiza cada uno de los tios Γ j i X i (x) (su resectivo c j i i lo hace). Se tiene entonces lo deseado. Lema 16. Para cualquier ar de modelos A y B de la misma teoría sobre un lenguaje L, existe un ar de extensiones elementales ω 1 -saturadas A A, B B tales que A = B. Demostración. Se construirán dos cadenas elementales A = A 0 A 1... A α..., B = B 0 B 1... B α... simultáneamente e inductivamente sobre los ordinales enumerables, así: 1. A 0 = A y B 0 = B. 2. Para α = β + 1, α ω 1, A a = A β y B α= B β; donde A β y B β se logran de la manera descrita en el lema Para α ω 1 un ordinal límite, A a = y B α = B β. A β β<α A = A ω1 es ω 1 -saturada. Sea X A un subconjunto enumerable de arámetros. Por construcción, X A α ara algún α < ω 1. Nótese que, también or construcción, A α+1 realiza todos los 1-tios con arámetros en X y or lo tanto A también los realiza. Análogamente B = B ω1 es también una estructura ω 1 -saturada. Por el Teorema de Cadenas Elementales (teorema 11), A A y B B. Se tiene entonces lo deseado. β<α 1 Aquí es imortante notar que si surge una contradiccion a artir de dos sentencias en las que aarecen dos constantes distintas, entonces surge una contradicción a artir de dos sentencias que no las mencionan. Por ser estos tios consistentes con T h(a Xi ), tal contradicción no uede surgir. 9

10 2 Teorema de Ulm En este caítulo se demuestra el Teorema de Ulm, que clasifica, módulo isomorfismo, los gruos abelianos enumerables de torsión. La demostración que aquí se resenta sigue la línea rouesta en la sección 11 de [K] aunque hace evidente la motivación que sugiere la noción de estructuras arcialmente isomorfas resentada en el caítulo anterior. Teorema 17. (Ulm) Dos gruos de torsión enumerables con los mismos invariantes de Ulm, son isomorfos. Antes de dar una rueba, algunas definiciones y observaciones. 1. Nótese que or el teorema 1 es suficiente robar la afirmación del teorema ara -gruos. 2. También es imortante notar que basta considerar -gruos reducidos (sin subgruos divisibles no triviales) ya que la estructura de los gruos divisibles está caracterizada or el teorema 4 y se tiene además que todo gruo abeliano se uede ver como la suma directa de su subgruo divisible maximal y un subgruo reducido (teorema 6). 3. Durante este caítulo, G será entonces un -gruo abeliano reducido enumerable de torsión. Pues bien, considérese la siguiente sucesión transfinita de subgruos de G, donde α es un ordinal: { ( α β G), si α = β + 1 G = β G, si α es un ordinal límite β<α Nótese que así se tiene una cadena descendente de subgruos de G que se estabiliza en cierto ordinal mínimo λ (ues toda cadena descendente de cardinales es estacionaria), la longitud de G. G > G >... > λ G = λ+1 G Ahora considérense los subgruos de G dados or: α G[] = P α G, donde P = {g G : g = 0} De nuevo se tiene una cadena descendente estacionaria de subgruos G[] > 2 G[] >... > λ G[] = λ+1 G[] Nótese que cada uno de los cocientes ( α G[]/ α+1 G[]) uede verse como un esacio vectorial sobre Z, y or lo tanto tendrán una resectiva dimensión vistos como tal. Se llamará el α ésimo invariante de Ulm a la dimensión de ( α G[]/ α+1 G[]). Es decir, el conjunto de los invariantes de Ulm de G uede verse como el rango de la función f : Ordinales Cardinales α dim ( α G[]/ α+1 G[] ) Definición 18. Se dice que g G tiene altura α si g α G ero g / α+1 G. Se denota h(g) a la altura de g. Nótese que todo elemento g de G tiene altura or lo menos nula ya que g 0 G = G. En el caso de la identidad, como 0 α G ara todo ordinal α, se escribe h(0) =, con la convención de que es mayor que cualquier ordinal, y se dice que tiene altura infinita. Con esta definición de altura es fácil verificar que se cumlen las siguientes: 10

11 1. h(x) < h(y) h(x + y) = h(x) 2. h(x) = h(y) h(x + y) h(x) 3. x 0 h(x) > h(x) Definición 19. Sea S G y g G. Se dice que g es roio con resecto a S si h(g) h(g + s), ara todo s S; es decir, si g tiene altura maximal en g + S. Antes de formular un lema imortante ara la demostración del teorema, se considerarán algunos gruos y un isomorfismo entre ellos. Sea S α = S α 1 ( α+2 G), donde S α = S α G y 1 ( α+2 G) = { g G : g α+2 G }. (observación: α+1 G 1 ( α+2 G)). Nótese que si x S α, entonces x α+2 G, y or tanto existe un y α+1 G tal que x = y. Además ara cualquier z α+1 G[] se tiene que (y + z) = y + z = y = x, es decir, tal elemento y está bien definido módulo α+1 G[]. Pues bien, nótese que (x y) P (ues (x y) = 0) y que (x y) α G (ues x S α α G, y α+1 G α G ), con lo cual se tiene que (x y) α G[]. Considérese entonces la función U : Sα α G[]/ α+1 G[] x (x y) + α+1 G[] Su buena definición se tiene de la buena definición de y módulo P α+1, y es relativamente sencillo ver que se trata de un homomorfismo. Dado que (x y) α G[], x S α y y α+1 G, nótese que: U(x) = 0 ssi (x y) α+1 G[] ssi ssi (x y) P y (x y) α+1 G x α+1 G ssi x S α+1 con lo cual se tiene que Ker(U) = S α+1, y or tanto que (S α/s α+1 ) Im(U). Teniendo estos elementos, se uede enunciar el Lema. Lema 20. Siendo U el homomorfismo anteriormente definido, las siguientes son equivalentes: a) El rango de U no es todo α G[]/ α+1 G[] b) Existe x α G[] con altura α roio con resecto a S. Demostración. a) b). Sea v α G[] tq. (v + α+1 G[]) / rng(u). Es claro que v no está en α+1 G[] ues si estuviera, (v + α+1 G[]) = α+1 G[] rng(u). Así, se tiene que h(v) = α. Falta mostrar que v es roio con resecto a S. Suóngase que no; en tal caso existiría un s S tal que h(s v) > α, con lo cual (s v) α+1 G y (s v) = t ara algún t α G. Así, s v = s = 2 t, es decir, s 1 ( α+2 G); y como s S α (ues (s v), v α G), se tiene entonces que s S α. Ahora bien, alicando U se tiene que U(s) = (s t) + α+1 G[] = v + α+1 G[], lo cual es una contradicción ya que or hiótesis (v + α+1 G[]) / rng(u). b) a). Sea v α G[] tal que h(v) = α y es roio con resecto a S. Suóngase que (v + α+1 G[]) rng(u). De esta forma, existiría un x S α y un y α+1 G tales que x = y y (x y) + α+1 G[] = v + α+1 G[]. Así, existriría un w α+1 G[] tal que (x y) = (v + w), con lo que h(x v) = h(w + y) > α (ues w α+1 G[], y α+1 G). Lo anterior contradice el hecho de que v fuera roio con resecto a S. 11

12 Ahora bien, con los elementos y observaciones anteriores, se uede reenunciar el Teorema de Ulm de la siguiente manera: Teorema 21. Dos -gruos enumerables reducidos G y H con los mismos invariantes de Ulm, son isomorfos. Demostración. El objetivo de la demostración es encontrar un conjunto de isomorfismos arciales entre G y H con la roiedad de Back and Forth. Con la enumerabilidad de ambas estructuras, or el teorema 7 quedaría comleta la rueba. Considérese I el conjunto de isomorfismos entre subgruos finitamente generados (subgruos finitos en este caso) de G y H que reservan alturas. I es no vacío ya que f : 0 G 0 H I. Pues bien, sean S y T dos subgruos finitos de G y H resectivamente y tales que existe un V I, V : S T. Sea x 1 G S. Nótese que como G es de torsión, existe un n Z + tal que n x 1 S ero n 1 x 1 / S. Pues bien, sea x 2 = n 1 x 1 y sea x (x 2 + S) (nótese que x + S = x 2 + S, x / S y x S) tal que h(x) h(x + s) s S y tal que si h(x) = h(x + s), entonces h(x) h(x+s). Sea h(x) = α y V (x) = z. De esta manera el objetivo se reduce a encontrar un w H T roio con resecto a T tal que h(w) = α y w = z. Teniendo este elemento, se extiende V al isomorfismo arcial V I, V :< S, x > < T, w > definido así: V (ax + s) = aw + V (s) (donde 0 a <, s S) 2. Es imortante notar que el elemento inicialmente escogido x 1 será caturado en finitos asos or la subestructura que se está extendiendo (simlemente al alicar sucesivamente el rocedimiento de extensión, se escoge como x 2 el rimero de derecha a izquierda de los elementos x 1, x 1, 2 x 1,.. n x 1 que no ertenezca aún a la subestructura); esto garantiza la roiedad del Back and Forth ara I. Así, el objetivo se limitará a encontrar dicho w. caso 1) h(z) = α + 1. En este caso, como h(0) > α + 1, entonces z 0 x 0.Sea w α H tal que w = z (existe ues z α+1 H). Nótese que h(w) α (ues w α H) y h(w) α ( ues h(w) < h(w) = h(z) = α + 1 or hiótesis). De esta forma, h(w) = α. Ahora bien, w / T, ues si w T, entonces w = V (y) ara algún y S. Así, h(x y) = α (orque x es roio con resecto a S y h(y) = h(w) = α), w = z = V (y) = V (y) = V (x) y entonces y = x; con lo cual h(x y) = h(0) > α + 1 = h(x), y se tendría una contradicción con la hiótesis de maximalidad de h(x). Sólo falta mostrar que w es roio con resecto a T. Suóngase que no lo es. Entonces existiría un t T tal que h(w + t) α + 1. Sea s S tal que V (s) = t. Como w / T, w + t 0, y entonces h(w + t) = h(x + s) α + 2, lo cual contradice de nuevo la maximalidad de h(x), ues h(x + s) = α (nótese que (h(w + t) α + 1) (h(w) = α) h(t) α + 1 h(s) α + 1 h(x + s) = α) y h(x + s) > α + 1 = h(x). caso 2) h(z) > α + 1. En este caso, h(x) > α + 1 y entonces x α+2 G. Así, x = y ara algún y α+1 G. Nótese que (x y) = 0, h(x) = α y y α+1 G, con lo cual (x y) α G[] y h(x y) = h(x) = α. Al ser x roio con resecto a S, (x y) también lo es. Pues bien, alicando el lema anterior, se tiene que: dim (Sα/S α+1 ) < dim ( α G[]/ α+1 G[] ) = 3 dim ( α H[]/ α+1 H[] ) 2 Nótese que todo elemento en < S, x > (el mínimo subgruo de G que contiene a S y x) se ecribe de manera única como ax + s ara algún 0 a < y algún s S. Para ver esto suóngase que a 1 x + s 1 = a 2 x + s 2 donde 0 a 1 a 2 < ; esto imlica que (a 1 a 2 )x = (s 2 s 1 ) S. Como ((a 1 a 2 ), ) = 1, entonces z 1 (a 1 a 2 ) + z 2 = 1 ara algunos z 1, z 2 Z, con lo cual, multilicando or x, se tiene que z 1 ((a 1 a 2 )x) + z 2 (x) = x. Como x S or hiótesis, se tiene entonces que x S, ero esto contradice la elección de x. Queda entonces verificada la buena definición de V. Para ver que V I basta ver que reserva alturas. Sea ax + s < S, x >; debido a que V I, x es roio con resecto a S y w es roio con resecto a T, i) si h(s) = h(v (s)) < h(x) = h(w), entonces h(ax + s) = h(s) = h(v (s)) = h(aw + V (s)) = h(v (ax + s)) ii) si h(s) = h(v (s)) h(x) = h(w), entonces h(x) = h(w) h(ax + s), h(aw + V (s)) h(x) = h(w), con lo cual h(ax + s) = h(aw + V (s)) = h(v (ax + s)). Lo anterior garantiza que V reserva alturas. 12

13 Y teniendo en cuenta que V conserva las alturas de los elementos, dim (T α/t α+1 ) = dim (S α/s α+1 ) < dim ( α H[]/ α+1 H[] ) Alicando una vez más el lema, existe un elemento w 1 α H[] tal que h(w 1 ) = α y es roio con resecto a T. Como h(z) > α + 1 or hiótesis, entonces existe w 2 α+1 H tal que w 2 = z. Ahora bien, considérese el elemento w = w 1 + w 2. Nótese que: 1. h(w) = h(w 1 ) = α, ues h(w 2 ) α w = (w 1 + w 2 ) = 0 + z = z 3. w es roio con resecto a T. Pues si no lo fuera, existiría un t T tal que h(w+t) > α, es decir, h(w 2 + (w 1 + t)) = h(w 1 + t) > α, lo cual contradice el hecho de que w 1 es roio con resecto a T. Tal w es el elemento deseado. 3 Es imortante notar que justo en este unto es donde se utiliza la hiótesis de que G y H tienen los mismos invariantes de Ulm. Nótese que la desigualdad estricta vale ya que al ser S finito, dim(s α/s α+1 ) es finita. 13

14 3 Clasificación elemental de los gruos abelianos de torsión En este caítulo se enuncia y demuestra un Teorema que clasifica, módulo equivalencia elemental, los gruos abelianos de torsión. Se sigue una línea motivada or la sección 6 de [K] basándose en los concetos introducidos en la sección de Lógica Infinitaria del rimer caítulo. El siguiente teorema es una formulación más fina del teorema de Kar (teorema 13 ) que establece una caracterización de la noción α ω ara un ordinal α en términos de roiedades de Back and Forth y que es de gran utilidad ara la demostración del teorema de clasificación ara los gruos abelianos de torsión. Teorema 22. Para cualquier ar de estructuras A y B asociadas al lenguaje L y ara cualquier ordinal α, las siguientes son equivalentes: 1. A α ω B 2. Existe una sucesión I 0 I 1... I β... I α, donde, ara cada β α, I β es un conjunto no vacío de isomorfismos arciales entre subestructuras finítamente generadas de A y B, y tales que si β + 1 α y f I β+1, entonces ara cada a A (b B) existe un g I β con f g y a dom(g) (res. b rng(g)). Siendo G un -gruo abeliano de torsión y U G (α) su α-ésimo invariante de Ulm, se define ( UG (α) si U Û G (α) = G (α) es finito de lo contrario Con los comentarios hechos en la sección de Lógica Infinitaria y teniendo en cuenta el teorema 1 y el Teorema de Feferman y Vaught (teorema 8), uede enunciarse entonces el teorema de clasificación de la siguiente manera. Teorema 23. (Clasificación elemental de los Gruos Abelianos de Torsión) Sean G y H dos -gruos abelianos. ÛG(α) = ÛH(α) ara todo α < ω 2 si y sólamente si G ω ω H. Demostración. Suóngase que ÛG(α) = ÛH(α) ara todo α < ω 2. Sea I β, β ω, el conjunto de isomorfismos arciales entre subestructuras finítamente generadas de G y H (subgruos finitos) que reservan las alturas estríctamente menores que ωβ. Es decir, f I β ssi fes un isomorfismo entre un subgruo finito S de G y un subgruo finito T de H tal que ara todo x S, se tiene que: h G (x) < ωβ h G (x) = h H (f(x)), y h G (x) ωβ h H (f(x)) ωβ Nótese que con el teorema anterior, basta mostrar que si β + 1 α, f I β+1 y a G (b H), entonces existe un g I β tal que f g y a dom(g) (res. b rng(g)). Esta rueba está detalladamente escrita en [B] (teorema 5) y utiliza básicamente los concetos tratados en la rueba del Teorema de Ulm. Ahora bien, suóngase que G ω ω H. Considérense las siguientes formulas en L ω : 14

15 1. φ n (x) := y( n y = x) (x = 0), ara cada n. Nótese que esta fórmula exresa x n G y su rango cuantificacional es qr(φ n (x)) = 1. ( ) 2. φ ω+n (x) := y φ n (y) ( n y = x). Esta fórmula exresa x ω+n G y su n<ω rango cuantificacional es qr(φ ω+n (x)) = 2. Pues bien, nótese que cualquier ordinal κ, ω κ < ω 2 uede escribirse de la forma κ = nω +m, donde n, m N y n 1. Así, teniendo las anteriores, se uede definir recursivamente la fórmula φ κ (x) : = y(φ nω (y) ( m y = x)), donde φ nω (x) : = φ (n 1)ω+l (nótese que qr(φ nω (x)) = n) l<ω Nótese que la fómula φ κ (x) exresa x κ G y tiene rango cuantificacional qr(φ κ (x)) = n + 1. Considérese ahora la fórmula θ κ,n := x 1... x n (φ κ (x 1 )... φ κ (x n ) ( x 1 = 0)... ( x n = 0) ( )) φ κ+1 (σ(x 1,..., x n )) σ Σ n donde Σ n es el conjunto de las ( n 1) osibles combinaciones lineales no nulas de los elementos x 1,..., x n vistos como elementos de un esacio vectorial sobre Z. De esta forma, la sentencia θ κ,n (κ < ω 2 ) exresa existen n elementos en κ G[] indeendientes módulo κ+1 G[] y tiene rango cuantificacional qr(θ κ,n ) = qr(φ κ (x)) + n < ω. Ahora bien, la sentencia β κ,n := θ κ,n θ κ,n+1 exresa ÛG(κ) = n y su rango cuatificacional es qr(β κ,n ) = qr(θ κ,n+1 ) < ω, es decir, β κ,n L ω ω. Finalmente, ara exresar en L ω ω el hecho ÛG(κ) =, basta considerar la teoría enumerable T κ Sent(L ω ω) dada or T κ = {θ κ,n : n ω} Por hiótesis se tiene que G = β κ,n ssi H = β κ,n y G = T κ ssi H = T κ, con lo cual ÛG(α) = ÛH(α) ara todo α < ω 2 como se deseaba. 15

16 4 Clasificación elemental de los gruos abelianos En este caítulo se dará una rueba al teorema rincial de este escrito que clasifica, módulo equivalencia elemental, los gruos abelianos. La línea de estudio que se sigue es la resentada en la sección 1 de [EyF]. Un rimer aso consiste en caracterizar la estructura de los gruos abelianos κ-saturados ara algún cardinal κ, es decir, aquellos gruos que satisfacen todos los tios en menos que κ variables consistentes sobre cualquier subconjunto de arámetros de tamaño menor que κ. Este aso se desarrolla en la rimera sección y su imortancia radica en que dicha estructura queda determinada or algunos invariantes que son definibles en la lógica de rimer orden or sentencias o conjuntos enumerables de sentencias. Una vez mostrado entonces el teorema que describe la estructura de los gruos κ-saturados módulo isomorfismo, se llega al teroema de clasificación elemental de los gruos abelianos en la segunda sección or un camino basado en resultados de la Teoría de Modelos. 4.1 La estructura de los Gruos Abelianos ω 1 -saturados Inicialmente se estudiará la estructura de unos gruos conocidos como ω 1 -ecuacionalmente comactos. Definición 24. Un gruo G se dice ω 1 -ecuacionalmente comacto si cualquier sistema enumerable de ecuaciones (en cualquier número de incógnitas) con arámetros de G que sea finítamente soluble en G, es soluble en G. Nótese que si un gruo abeliano G es κ-saturado con κ un cardinal no enumerable, G es ω 1 -ecuacionalmente comacto. Estos gruos son también conocidos como algebráicamente comactos (Teorema 38.1 en [F]). G es algebráicamente comacto si es un sumando directo de todo gruo que lo contiene como un subgruo uro. Así, or el Teorema 5, todo gruo divisible es ω 1 -ecuacionalmente comacto. Lema 25. Sea G un gruo ω 1 -ecuacionalemente comacto. Sea G d su subgruo divisible maximal y D el conjunto de todos los elementos de G que son divisibles or cualquier entero 0. Entonces G d = D. Demostración. Claramente D es un subgruo de G y G d D. Sólo basta mostrar que D es divisible. Pues bien, sea g D y n N. Considérese el sistema de ecuaciones S = {my m = x : m N} {nx = g}. Es finitamente soluble. Sea S = {m i y mi = x : i = 1, 2,..., l} {nx = g} un subsistema finito de S ; or hiótesis nm 1 m 2...m l z = g ara algún z G, así que considerando x = m 1 m 2...m l z se tiene lo deseado. Ahora considérese G r el subgruo reducido de G tal que G = G r G d. Para cada rimo se define una semi-norma en G r así: g = n si n divide a g ero n+1 no; y g = 0 si n divide a g ara todo n N. Con estas semi-normas, se define g = g 2 que cumle: 1. g = 0 g = 0. Si g = 0, g = 0 ara todo rimo, con lo cual g es divisible or todo n N; es decir, g G r G d = {0}. 2. g 1 + g 2 g 1 + g 2. Más aún, g 1 + g 2 máx{ g 1, g 2 }. Nótese que ara todo rimo se tiene que: (a) Si g 1 > g 2, entonces g 1 + g 2 = g 1, con lo cual g 1 + g 2 máx{ g 1, g 2 }. Análogamente si g 1 < g 2. (b) Si g 1 = g 2, entonces g 1 + g 2 g 1, con lo cual g 1 + g 2 máx{ g 1, g 2 }. 16

17 3. g = g, claramente. Así, define una norma ara los elementos de G r y or lo tanto induce una métrica dada or d(g 1, g 2 ) = g 1 g 2. El siguiente lema muestra que toda sucesión de Cauchy con resecto a converge en G r. Lema 26. G r es comleto bajo la métrica inducida or. Demostración. Basta mostrar que toda sucesión de Cauchy con resecto a converge ara todo rimo 4. Pues bien, sea {g n } n<ω una sucesión de Cauchy en G r (es decir, ara cada r > 0 y cada rimo existe un N,r tal que si n, m N,r, g n g m < r ). Se quiere encontrar un x tal que ara cada rimo y cada r > 0, g n x < r ara todo n N,r, es decir, un x tal que (g n x) sea divisible or r+1. Nótese que basta encontrar un x tal que g N,r x < r ; ues como g n g N,r < r ara todo n N,r, se tiene que (g n g N,r ) = r+1 z 1 y (g N,r x) = r+1 z 2 ara algunos z 1, z 2 G r. Esto imlica que (g n x) = r+1 (z 1 + z 2 ) como se quiere. Considérese entonces el sistema de ecuaciones S = { r+1 y,r = g N,r x : rimo, r N }. Sea S = { r i+1 i y i,r i = g Ni,r i x : i = 1, 2,..., n} un subsistema finito de S. Sea M = máx{n i r i : i = 1,..., n}. Nótese que g M es tal que ri+1 i z i,r i = g Ni,r i g M (i = 1,..., n) ara algunos z i,r i G r, con lo cual S es finítamente soluble en G r. Por hiótesis (G es ω 1 -ecuacionalmente comacto), S es soluble en G (las soluciones estarán en G r ) y G r es entonces comleto. Considérese ahora el subconjunto Ḡ comuesto or los elementos de G r que son divisibles or todos los enteros que son rimos relativos a, es decir, Ḡ = {g G r : g q = 0 ara todo rimo q }. Sea g Ḡ y q un rimo. Considérese el sistema S = {q i y i = x : q i Pr, q i } {qx = g}. Por un argumento análogo al utilizado en la rueba del rimer lema, S es finítamente soluble en Ḡ y or lo tanto soluble en Ḡ (ues G es ω 1 -ecuacionalmente comacto). De esta forma, Ḡ uede verse como un Z -módulo (Z = { m n : (n, ) = 1}). La toología inducida or en Ḡ se llama la toología -ádica, y los submódulos n Ḡ (los elementos divisibles or, es decir, los que están a una -distancia menor que (n 1) ) forman un sistema de vecindades de 0. Nótese también que en Ḡ, es una norma, ues si g Ḡ, g = 2 g. Proosición 27. Ḡ es cerrado en G r y or lo tanto comleto en su métrica -ádica. Demostración. Sea x G r un unto límite de Ḡ. Entonces ara todo r > 0 y ara todo rimo t, existe un g Ḡ tal que x g t < t r. Nótese que ara todo rimo q se cumle x q g q x g q x q + g q ; ero g q = 0 ya que g Ḡ. Así que x q < q r ara todo r > 0 y todo rimo q ; es decir, x q = 0. Esto imlica que x Ḡ y que Ḡ es cerrado al contener sus untos límites. Lema 28. Sea G ω 1 -ecuacionalmente comacto. Para cualquier rimo y cualquier g G r, existe un único g Ḡ tal que g g = 0. 4 Nótese que ara cada rimo, 2 g 2. Como n 2 y 1 n 2 converge a 2, se n n tiene que 2 converge y entonces 2 g converge uniformemente a g (Ver Rudin, W. Princiles of Mathematical Analysis, Teorema 7.10.). De esta manera (Teorema 7.11.), si se tiene una sucesión de Cauchy {g i } i ω G r que converge a g, lím lím i P Esto verifica la afirmación. P 2 g i g = lím P lím i P 2 g i g. 17

18 Demostración. La unicidad está dada or el hecho de que si g, 1 g 2 Ḡ son tales que g 1 g = 0 = g g 2, entonces g 1 g 2 g 1 g + g g 2 = 0; y como se comorta como una norma en Ḡ, g 1 = g. 2 Para robar la existencia, considérese el sistema S = { n y n = g x : n < ω} {my m = x : (m, ) = 1}. Sea S = { n i y ni = g x : i = 1,..., k} {m j y mj = x : (m j, ) = 1, j = 1,...l} un subsistema finito de S. Por definición del subsistema existen s, t Z tales que s( n1 n2... n k ) + t(m 1 m 2...m l ) = 1. Pues bien, considérese x = t(m 1 m 2...m l )g y nótese que es una solución ara S, ya que es divisible or cada m j y g x = s( n1 n2... n k ). Por hiótesis, al ser finitamente soluble, S es soluble y se tiene la existencia de g. Lema 29. Si G es ω 1 -ecuacionalmente comacto, G r es isomorfo al roducto directo Ḡ Demostración. Defínase f : G r Ḡ or f(g) = (g 1, g 2,...) donde cada g i es tal que g g i i = 0. La buena definición viene dada or la existencia y unicidad de los g í s mostrada en el lema anterior. Para ver que f es un homomorfismo, sean g 1, g 2 G r. Por hiótesis, ara cada, existen unos únicos g, 1 g, 2 g 3 Ḡ tales que g 1 g 1 = g 2 g 2 = (g 1 + g 2 ) g 3 = 0. Pues bien, nótese que (g 1 + g 2 ) (g 1 + g) 2 g 1 g 1 + g 2 g 2 = 0, con lo cual g 1 + g 2 = g. 3 Para ver que f es inyectiva, suóngase que (g 1, g 2,...) = f(g 1 ) = f(g 2 ); entonces ara cada rimo, g 1 g 2 = (g 1 g ) + (g g 2 ) g 1 g + g 2 g = 0, con lo cual g 1 g 2 = 0, es decir, g 1 = g 2. Para ver que f es sobreyectiva, sea (g 1, g 2,...) Ḡ. Considérese la sucesión en G r dada or (s n ) n<ω = n g i. Nótese que es de Cauchy ues ara cualquier rimo y cualquieras m n tales que m, n >, se tiene que s n s m = n g i m g i = n g i i=m n g i = 0. Ahora bien, sea g Gr el límite de (s n ) n<ω (G r es comleto). Se quiere ver i=m que f(g) = (g 1, g 2,...) (es decir, que g g i i = 0 ara cada i ). Para esto, nótese que or ser g límite, dados cualquier rimo k y cualquier r > 0, existe un n r > k tal que ara todo m > n r, r k > g s m k = m g g i k g g k k g 1 k... g k 1 k g k+1 k... g m k = g g k k, con lo cual g g k k = 0 como se quería. Así, f es un isomorfismo. Hasta ahora se tiene entonces que si G es un gruo ω 1 -ecuacionalmente comacto, G es isomorfo a la suma directa de un gruo divisible maximal G d y un roducto directo de Z -módulos comletos Ḡ, G = G d Ḡ. Seguidamente, el interés se centrará en estudiar la estructura de dichos Z -módulos y ara esto se introducirá la noción de sumbódulo básico que facilita el análisis. Definición 30. Sea A un Z -módulo. Se dice que B A es un submódulo básico de A si: 1. B es una suma directa de Z -módulos cíclicos. 18

19 2. B es uro en A, es decir, ara todo n N se cumle que ( n A) B = n B (nótese que basta decirlo ara el rimo ya que se trata de Z -módulos) 3. A/B es divisible. (Esto equivale a la densidad de B en A con resecto a la toología -ádica, ya que es divisible ssi ara todo a A y todo n N existen algunos b B y a A tales que a n a = b, es decir, a b n ) El objetivo consiste ahora en mostrar que Ḡ es el comletado (en la toología -ádica) de un submódulo básico G = Z (αn) n Z(β), y que los α n s y β son invariantes de Ḡ; n ω esto último garantiza la unicidad del submódulo básico módulo isomorfismo. Para verificar su existencia, se introduce un conceto y se rueban algunos lemas útiles. Definición 31. Se dice que un subconjunto {x i } i I de un Z -módulo A es uramente indeendiente si es indeendiente (es decir, n i x i = 0 imlica que n i x i = 0 ara todo i I i I y ara todo n i Z ) y el submódulo generado or él es uro en A. Nótese que como Ḡ no tiene elementos de -altura infinita, existe un x Ḡ tal que x no es divisible or y or lo tanto or ninguna de sus otencias. Pues bien, considérese el submódulo generado or este elemento < x >= { m n x : m n Z }. Suóngase que existe algún m n x < x > que es divisible or s en Ḡ ara algún s Z +. Como x no es divisible or, entonces m n x = s m 1 m1 m1 n x = s n x. Nótese que n x < x >, y or lo tanto se tiene que ara todo s Z +, s Ḡ < x >= s < x >. Con esta observación, se tiene la uridad de < x > y or lo tanto se garantiza la existencia de un sumbódulo cíclico uro no trivial de Ḡ. Es fácil ver que ser úramente indeendiente se reserva bajo uniones de cadenas, con lo cual, alicando el lema de Zorn, se tiene que existe un subconjunto {x i } i I de Ḡ maximal con dicha roiedad. Con los dos siguientes lemas se verificará que el submódulo generado or tal subconjunto es un sumbódulo básico de Ḡ. Lema 32. Sea A un Z -módulo comleto sin elementos de altura infinita. Sea {x i } i I un subconjunto de A maximal úramente indeendiente. El submódulo B generado or {x i } i I, es un submódulo básico de A. Más aún, A es el comletado de B en la toología -ádica. Demostración. La uridad y la estructura deseada de B se tienen or construcción. Basta robar la densidad de B en A en la toología -ádica (lo que equivale a la divisibilidad de A/B, como se notó anteriormente) ara obtener lo deseado. Pues bien, suóngase que que existe un x A B. Por hiótesis, x tiene altura finita (dígase n) y or lo tanto x = n y ara algún y que no es divisible or. Claramente y A B. Nótese que el submódulo generado or y es uro en A (or la observación hecha ara garantizar la existencia de un submódulo cíclico uro no trivial de Ḡ) y que {x i } i I {y} sigue siendo un subconjunto uramente indeendiente (ues de no serlo, y estaría en el generado or {x i } i I, B). Esto contradice la maximalidad de {x i } i I, con lo cual se tiene que B = A como se quería. Con lo anterior se garantiza entonces que Ḡ es el comletado (en la toología -ádica) de Z (αn) n un submódulo básico G = Z(β), ya que el Z -submódulo generado or cada x n ω {x i } i I es isomorfo a Z n si el orden de x es n, o isomorfo a una coia de los -ádicos, Z, si x tiene orden infinito. Para tener la unicidad de los α n s y β, rimero algunas observaciones imortantes: 1. Nótese que or la estructura de G (sumas directas) se tiene que su n-ésimo invariante de Ulm, U G (n) = dim( n G []/ n+1 G []), coincide con el número de sumandos directos de orden mayor que n menos el número de sumandos directos de orden mayor 19

20 que n+1 ; es decir, U G (n) indica el número de sumandos directos de orden n+1, o número de coias de Z n+1 en su descomosición. Así, se concluye que ara todo n, α n = U G (n 1). 2. Nótese que si T es el sumbódulo de torsión de Ḡ, G /((G T ) + G ) uede verse como un Z -esacio vectorial (es or esto imortante incluir G en el cociente) cuya dimensión es recisamente β. Proosición 33. Para todo n, n G []/ n+1 G [] = n Ḡ []/ n+1 Ḡ []. Demostración. Antes de dar la rueba, nótese lo siguiente: 1. Por la divisibilidad de Ḡ/G (ues G es un submódulo básico de Ḡ), se tiene que Ḡ = G +Ḡ, ya que ara todo g Ḡ existe algún g 1 Ḡ y algún g 2 G tales que g g 1 = g 2. Así, ara cualquier n, n Ḡ = n G + n+1 Ḡ. 2. Ḡ [] = G [] + Ḡ []. Claramente G [] + Ḡ[] Ḡ[] ues G [] Ḡ[] y Ḡ[] Ḡ[]. Para la otra inclusión, sea g Ḡ[]. Por la anterior observación, g = g 1 + g 2 ara algunos g 1 G, g 2 Ḡ. Nótese que (g 1 + g 2 ) = g g 2 = 0, con lo cual g 1 = 2 g 2. Por la uridad de G en Ḡ, g 1 = 2 g 3 ara algún g 3 G. Tómese x = g 1 + g 3 y y = (g 2 g 3 ). Nótese que i) g = x + y, ii) x G [] y iii) y Ḡ[]. Así se tiene la igualdad y ara cualquier n, n Ḡ [] = n G [] + n+1 Ḡ []. 3. n+1 G [] = n G [] n+1 Ḡ []. Claramente n+1 G [] n G [] n+1 Ḡ [], ues n+1 G [] n G [] y n+1 G [] n+1 Ḡ []. Para la otra inclusión, sea g n G [] n+1 Ḡ []. Nótese que g = n g 1 = n+1 g 2 ara algunos g 1 G y g 2 Ḡ. Por la uridad de G en Ḡ, n g 1 = n+1 g 3 ara algún g 3 G. Así, x = n+1 g 3 n+1 G [], y se tiene la igualdad. Ahora bien, or la segunda observación, se tiene que n Ḡ []/ n+1 Ḡ [] = ( n G [] + n+1 Ḡ [])/ n+1 Ḡ []. Por el segundo teorema del isomorfismo, ( n G [] + n+1 Ḡ [])/ n+1 Ḡ [] = n G []/( n G [] n+1 Ḡ []). Finalmente, or la tercera observación, n G []/( n G [] n+1 Ḡ []) = n G []/ n+1 G [], con lo cual n Ḡ []/ n+1 Ḡ [] = n G []/ n+1 G [] como se quería. Proosición 34. Si T es el sumbódulo de torsión de Ḡ, entonces G /((G T ) + G ) = Ḡ /(T + Ḡ). Demostración. Por la rimera observación del lema anterior, Ḡ = G + Ḡ y claramente Ḡ = G + Ḡ + T. Así, Ḡ /(T + Ḡ) = (G + (T + Ḡ))/(T + Ḡ). Por el segundo teorema del isomorfismo, (G +(T +Ḡ))/(T +Ḡ) = G /(G (T +Ḡ)). Por la uridad de G en Ḡ, G (T + Ḡ) = 5 (G T ) + (G Ḡ) = (G T ) + G, con lo cual Ḡ /(T + Ḡ) = G /((G T ) + G ) como se quería. 5 Claramente G (T +G ) (G T )+(G G ). Para robar la otra contenencia, sea g G (T +G ). Si g tiene orden finito, g (G T ) y no hay nada que robar. De la otra forma, si g = t + g 1 ara algunos t T y g 1 G, entonces existe un n tal que n g = n+1 g 1. Por la uridad de G en G, existe un g 2 G tal que n g = n+1 g 2. Pues bien, escríbase g como g = t + g 2 donde t = (g g 2 ). Nótese que se tiene entonces lo deseado. 20

21 Con esto se tiene entonces que ara todo n, α n = U G (n 1) = U Ḡ (n 1) y β = dim(g /((G T ) + G )) = dim(ḡ/(t + Ḡ)), lo cual caracteriza comletamente la estructura de Ḡ. Volviendo a la estructura del gruo ω 1 -ecuacionalmente comacto G, se tiene hasta ahora que G = Ḡ G d donde cada G = Z(β). n ω Una vez caracterizada la estructura de cada Ḡ, el estudio se centrará en encontrar las relaciones entre dichos invariantes y algunos invariantes (definibles) de G r = Ḡ y de G = G r G d, además de analizar el comortamiento de cada α,n y β cuando G es un gruo κ-saturado. Lema 35. Sea G = G r G d = comacto. i) Para todo n y todo rimo, n ω Z (α,n) n Z (α,n) n Z(β ) G d un gruo ω 1 -ecuacionalmente α,n = dim ( n 1 G []/ n G [] ) = dim ( n 1 Ḡ []/ n Ḡ [] ) = dim( n 1 G[]/ n G[]) ii) Para todo n y todo rimo, si G es κ-saturado y α,n es infinito, α,n κ. Demostración. i) α,n = dim ( n 1 G []/ n G [] ) = dim ( n 1 Ḡ []/ n Ḡ [] ) ya fue robado. Ahora bien, nótese que como G = G r G d, entonces dim( n 1 G[]/ n G[]) = dim( n 1 G r []/ n G r []) + dim( n 1 G d []/ n G d []); ero n G d = G d ara todo n (or la divisibilidad de G d ), con lo cual dim( n 1 G d []/ n G d []) = 0 y or lo tanto dim( n 1 G[]/ n G[]) = dim( n 1 G r []/ n G r []). Pero nótese que G r = Ḡ, así dim( n 1 G r []/ n G r []) = q dim ( n 1 Ḡ q []/ n Ḡ q [] ) = dim ( n 1 Ḡ []/ n Ḡ [] ), ues dim ( n 1 Ḡ q []/ n Ḡ q [] ) = 0 ara todo n y todo rimo q, ya que en este caso n Ḡ q = Ḡq. Con esto se tiene que dim( n 1 G[]/ n G[]) = dim ( n 1 Ḡ []/ n Ḡ [] ) como se quería. ii) Fíjese un rimo y un n. Sea {x ν : ν < κ} un conjunto de κ variables libres. Considérese el conjunto de fórmulas F = { y( n 1 y = x ν ) (x ν = 0) : ν < κ} { y [ n+1 y = 0 ( n y = σ(x ν1,..., x νt )) ] : t N, σ Σ t, ν i ν j si i j } 6 donde Σ t es el conjunto de las ( t 1) osibles combinaciones lineales no nulas de los elementos x 1,..., x t vistos como elementos de un esacio vectorial sobre Z. Nótese que F dice que existen or lo menos κ elementos en n 1 G[] indeendientes módulo n G[]. F es finitamente satisfacible ues or hiótesis α,n es infinito. Por la κ-saturación de G, se tiene que G F y entonces se tiene que α,n κ ara todo n y todo rimo. Teniendo claridad sobre los α,n s, se estudiará cuidadosamente β ara cada rimo. Nótese que si en la roosición 34, T es el subgruo de torsión de G, el resultado obtenido es 6 Es imortante notar que cuando se define este último conjunto de fórmulas se consideran, ara cada t, todas las osibles t-tulas (con sus comonentes distintas), sin imortar el orden, que se ueden conseguir a artir de las κ variables libres disonibles; esto ara garantizar la indeendencia. La misma anotación es ertinente ara los lemas osteriores análogos a éste concernientes a β, γ (ara un rimo ) y δ. 21

22 β = dim(g /((G T ) + G )) = dim(ḡ/((ḡ T ) + Ḡ)). Considerando la royección canónica π : G r = Ḡ q Ḡ y el eimorfismo q ε : G r Ḡ/((Ḡ T ) + Ḡ) dado or ε(g) = π (g) + ((Ḡ T ) + Ḡ), uede verse que Ker(ε) = (G r T ) + G r, ues ara todo rimo q, Ḡq = Ḡq. Así, G r /((G r T ) + G r ) = Ḡ/((Ḡ T ) + Ḡ). De manera análoga, considerando la royección canónica π r : G = G r G d G r y observando que G d = G d, se concluye que G/(T + G) = G r /((G r T ) + G r ). Nótese que ara todo k 0, al multilicar or se tiene que k G/( k T + k+1 G) = k+1 G/( k+1 T + k+2 G), con lo cual se tiene que β = dim( k G/( k T + k+1 G)). Nótese también que si ara algún k, k T = k+1 T, entonces k T + k+1 G = k+1 T + k+1 G = k+1 G, con lo cual β = dim( k G/ k+1 G). La siguiente roosición rovee información muy útil acerca de este evento. Proosición 36. Sea G un gruo y T su subgruo de torsión; k T = k+1 T si y sólamente si ara todo n k, dim( n T []/ n+1 T []) = 0 Demostración. La imlicación de izquierda a derecha es clara. Para la otra dirección, suóngase que k T k+1 T. Como T = T q uede verse como la suma directa de sus q- q comonentes (Teorema 1), suoner que k T k+1 T equivale a suoner que k T k+1 T, ya que ara todo rimo q, T q = T q. Pues bien, sea x k T k+1 T con orden minimal, dígase n. Nótese que n 1 x ( k+n 1 T [] k+n T []), ues en caso de que no, entonces n 1 x = k+n g ara algún g G tal que n 1 (x k+1 g) = 0; así, (x k+1 g) k T k+1 T y tendría orden n 1, lo que contradice la minimalidad del orden de x. De esta forma, dim( k+n 1 T []/ k+n T []) > 0 Con el siguiente lema quedará claro el comortamiento de los β s cuando G es un gruo κ- saturado, ero antes se mostrará una roosición que ayuda a comrender el comortamiento de dim( k G/ k+1 G) con relación a otras dimensiones imortantes. Proosición 37. Para todo k 0, dim( k G/ k+1 G) dim( k+1 G/ k+2 G) + dim( k G[]/ k+1 G[]) Demostración. Basta robar que ara todo r 0, dim( k+1 G/ k+2 G) + dim( k G[]/ k+1 G[]) r dim( k G/ k+1 G) r Pues bien, suóngase que existen x 1, x 2,..., x n G tales que k+1 x 1,..., k+1 x n k+1 G son indeendientes módulo k+2 G y y 1, y 2,..., y m G tales que k y 1,..., k y m k G[] son indeendientes módulo k+1 G[], donde m+n r. Claramente k x 1,..., k x n, k y 1,..., k y m son elementos de k G; se mostrará que son indeendientes módulo k+1 G. Suóngase que n m α i ( k x i ) + β j ( k y j ) 0 ( mod k+1 ) j=1 7 ara algunos α í s y β j s. Nótese que ( n m n ) α i ( k x i ) + β j ( k y j ) = α i ( k+1 x i ) 0 ( mod k+2 ), j=1 7 En este escrito, (mod k ) equivale a ser divisible or k. 22