El teorema de Frobenius

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1 Caítulo 2 El teorema de Frobenius Si en el lano indicamos en cada unto una dirección o velocidad la trayectoria de una artícula está totalmente condicionada una vez fijado el unto de artida. En términos analíticos la ecuación diferencial c t = F ct determina la curva solución c = ct al esecificar c0. Un camo de direcciones tangentes da lugar entonces a curvas, sin embargo las cosas se comlican en dimensiones sueriores. Por ejemlo, si en R 3 consideramos los camos de vectores X = + y, Y = + 2x ; una suerficie que los tenga como x z y z vectores tangentes 1, 2, se uede entender localmente como unas funciones x = xu,v, y = yu,v, z = zu,v, arametrizando la suerficie, tales que x/ u 1 y/ u = 0 z/ u y y x/ v y/ v = z/ v Las dos rimeras coordenadas de estas ecuaciones nos dicen que, salvo una traslación, x = u, y = v, or tanto odemos considerar que nuestra suerficie está arametrizada or x,y,zx,y, es decir, que es el grafo de una función. Las ecuaciones de las terceras coordenadas iden z x = y y z y = 2x que contradicen 2 z x y = 2 z y z. Desde el unto de vista geométrico siemre odemos ordenar a una ersona o a una artícula que en cada aso infinitesimal tome la dirección del vector indicado or un camo ero no odemos hacer lo mismo con suerficies indicando dos direcciones dos camos orque hay muchas formas de avanzar y no tienen or qué llevarnos coherentemente a los mismos untos. Si uno recuerda cómo se robaba la igualdad de las arciales cruzadas, que antes se ha violado, se emleaba que ara conectar x.

2 24 CAPÍTULO 2. EL TEOREMA DE FROBENIUS dos vértices ouestas de un rectángulo da igual ir or los lados que están encima de la diagonal que or los que están or debajo. La situación no es nueva desde el unto de vista analítico ues ya en cálculo de varias variables se vio que dada F : R 3 R 3 no siemre existe una función f tal que f = F. Cuando tal roblema tiene solución se dice que F es un camo conservativo y ello requiere rot F = 0. El teorema de Frobenius da las condiciones necesarias y suficientes ara que al esecificar unas direcciones, exista localmente una subvariedad cuyo esacio tangente esté generado or ellas Flujos de camos de vectores Comenzamos dando un nombre, osiblemente ya conocido, a las trayectorias obtenidas a artir de un camo de vectores. Definición: Sea c : I M una curva arametrizada con I un intervalo abierto y X un camo de vectores en M que se exresa como X = X i en cierta carta. Se x i dice que c es una curva integral de X si x i c t = X i ct. Muchas veces, con cierto abuso de notación, se define c t como un vector tangente resuoniendo la comosición con las funciones coordenadas ara así librarse de los sistemas de coordenadas locales [O N83, Ch.1] y oder escribir c t = X ct. El teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias asegura, como ya hemos notado, que fijado un unto hay localmente una única curva integral con c0 = y que si dos curvas integrales c 1 : I 1 M, c 2 : I 2 M cumlen c 1 t 0 = c 2 t 0 ara algún t 0 I 1 I 2 entonces coinciden en todo I 1 I 2. Recuérdese que ecuaciones diferenciales en R tan sencillas como x = x 2, x0 = 1 no tienen solución regular en todo R, ues xt = 1 t 1 exlota en t = 1. Entonces a veces I no se uede sustituir or R en la definición anterior. Dado M, se dice que c es unacurva integralmaximal conc0 = deuncamox sisudominiodedefinicióni esel mayor osible en el sentido de la inclusión. La teoría dice que en una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes regulares lo único que uede ir mal es que la solución exlote hacia el infinito. Más concretamente en cuanto se tiene una subsucesión convergente t n l de valores del arámetro t que se alica or c en una sucesión convergente, entonces c está definida en un entorno de l. En una variedad comacta no hay infinitos hacia los que escaar, ya que toda sucesión tiene una subsucesión convergente. Por tanto en variedades comactas las curvas integrales maximales tienen I = R. Definición: Se dice que un camo de vectores en una variedad es comleto si las curvas integrales maximales c = ct están definida ara todo t R.

3 2.1. FLUJOS DE CAMPOS DE VECTORES 25 El siguiente conceto a introducir es la alicación corresondiente a caminar durante un tiemo t refijado or cada curva integral. La osibilidad de que I R imide hacer una definición global. Definición: SeaU unabiertodeunavariedadm yseac tlacurvaintegralmaximal de X con c 0 =. Si existe un intervalo abierto I 0 contenido en el dominio de todas las c con U, entonces ara cada t I se define el flujo local Φ t : U M como Φ t = c t. Pedimos la existencia de un I que contenga algo alrededor de cero orque deseamos hacer variar t. El teorema de deendencia continua de los arámetros ara ecuaciones diferenciales ordinarias asegura que tomando U suficientemente equeño alrededor de un unto dado siemre existe tal I y or tanto un flujo local véanse Th.7.3 y Th.7.5 en [Wal04, 1.7]. Además Φ t es C como función de y t. Lema Sea I como en la definición de flujo local. Si t 1,t 2,t 1 +t 2 I entonces Φ t1 Φ t2 = Φ t1 +t 2. Demostración: Sea t entre 0 y t 1, entonces también t,t+t 2 I. Por definición Φ t Φ t2 = c Φt2 t = c ct 2 t y Φ t+t2 = c t+t 2. Ambos resultados son curvas integrales que arten ara t = 0 del unto c t 2, or tanto deben coincidir y tomando t = t 1 se deduce el resultado. Proosición Si X es un camo de vectores comleto en M entonces ara cada t R su flujo Φ t : M M es un difeomorfismo y {Φ t } t R es un gruo abeliano con la comosición se dice que es un gruo uniaramétrico de difeomorfismos. Demostración: Por el Lema 2.1.1, Φ t Φ t = Φ t Φ t = Φ 0 = Id y or tanto Φ t es un difeomorfismo con función inversa Φ t. Por otro lado, la relación Φ t Φ s = Φ t+s ermite deducir las roiedades de gruo abeliano a artir de las de R,+. Un gruo uniaramétrico de difeomorfismos hereda de R una estructura de variedad y así es un tio esecial de gruo de Lie, un gruo que tiene estructura de variedad de tal modo que la oeración de gruo es comatible con la estructura diferenciable. Este conceto fue introducido or S. Lie y su idea clave fue estudiar estos gruos continuos, que en rinciio ueden ser muy comlicados, a través del esacio tangente en el elemento unidad dotado con una oeración roducto de vectores con roiedades eseciales, lo que se llama un álgebra de Lie. Según hemos visto, en las variedades comactas todos los camos de vectores son comletos, sin embargo hay muchos ejemlos no triviales de camos comletos en variedades no comactas or ejemlo, en cualquier gruo de Lie artiendo de un vector

4 26 CAPÍTULO 2. EL TEOREMA DE FROBENIUS en un unto y alicando todas las trnsformaciones del gruo se consigue siemre un camo de vectores comleto. Veamos uno muy sencillo en que el gruo uniaramétrico de difeomorfismos está relacionado con la adición de velocidades en relatividad esecial. Ejemlo: Consideremos M = 1,1 con la carta identidad y el camo de vectores X = 1 x 2. x Las curvas integrales x = xt vienen determinadas or x = 1 x 2. Integrando x /1 x 2 = 1 bajo la condición x0 = x 0 se obtiene tras algunos cálculos xt = x 0 1+e 2t +1 e 2t x 0 1 e 2t +1+e 2t. Si x 0 = 0 se tiene xt M ara todo t R, de hecho Im x = M. Entonces hay una sola curva integral salvo traslaciones del arámetro y como está definida en R, el camo de vectores es comleto. Se sigue Φ t x = x 1+e 2t +1 e 2t x x+tanht 1 e 2t = +1+e 2t 1+xtanht donde tanht = et e t e t +e t. La relación Φ t Φ s = Φ t+s en la que descansa la ley de gruo deende de la ley de adición tanht+s = tanht+tanhs/1+tanhttanhs. Intuitivamente arece claro que siemre con un cambio de coordenadas se ueden deformar las curvas integrales en el entorno de un unto ara que aunten en una dirección refijada. Visto de otro modo, siemre cambiando las coordenadas odemos conseguir que localmente un camo de vectores sea constante. La demostración consiste geométricamente en cortar un haz de curvas integrales con el lano la hiersuerficie que resulta al congelar todas las variables menos una y añadir como rimera variable el roio arámetro de las curvas integrales. Lema Dado un unto y un camo de vectores X con X 0, existe una carta U,φ con la cual X = 1. Demostración: Haremos la rueba en R n. El caso de variedades generales es similar comoniendo con las funciones coordenadas. Sea X = X i. Con una traslación y una x i alicación lineal se uede suoner que es el origen y que X =. x 1 Consideremos la función F y = f 1 y,f 2 y,...,f n y con y = y 1,...,y n definida en un entorno de como la solución de la ecuación diferencial { f i y = X i F y y F0,y 2,y 3,...,y n = 0,y 2,y 3,...,y n.

5 2.2. EL CORCHETE DE LIE Y LA DERIVADA DE LIE 27 A esar del uso de derivadas arciales, es una ecuación diferencial ordinaria ues sólo se deriva con resecto a y 1. Por la teoría general, F C en un entorno del origen. Nótese que 2.1 no es más que la ecuación de las curvas integrales que arten del unto 0,y 2,y 3,...,y n. En términos del flujo, F y = Φ y1 0,y 2,y 3,...,y n. f Por la rimera ecuación de 2.1 y nuestra hiótesis, i = δ y 1, i mientras que la 1 segunda ecuación asegura fi = δ i y j j ara j 2. Entonces DF es la matriz identidad y el teorema de la función inversa asegura que F define un cambio de coordenadas. Utilicemos el sistema de coordenadas y 1,...,y n con x i = f i y, es decir, y = F 1 x. Se tiene y = xi 1 y 1 x = Xi F y i x = X i y or tanto en este nuevo sistema de coordenadas X = El corchete de Lie y la derivada de Lie Recordemos que según la definición abstracta moderna, los vectores en variedades son oeradores que actúan sobre funciones como una suerte de derivadas. Entonces tiene sentido considerar la comosición XY de dos camos de vectores X e Y, aunque el resultado no sea un camo de vectores. El análogo de la diferencia entre las derivadas arciales cruzadas es el conmutador de los oeradores y éste resulta ser un objeto imortante, que en nuestro contexto y en el de las álgebras de Lie recibe un nombre esecial. Definición: Dado un ar de camos de vectores X e Y se define su corchete de Lie [X,Y] como el oerador que actúa sobre f C como [X,Y]f = X Yf Y Xf. Ejemlo: Para los camos X = x +y z, Y = y +2x z en R3 se tiene [X,Y]f = x +y f z y +2x f z y +2x f z x +y f z = 2 f x y +y 2 f z y +2 f z +2x 2 f f x z +2xy 2 z 2 Entonces [X,Y] = z. 2 f y x + f z +y 2 f y z +2x 2 f z z +2xy 2 f z 2 = f z. No es difícil ver que la cancelación de las derivadas segundas no es casual. Ocurre en todoslosejemlosyentonces elresultadoesdenuevo uncamodevectores. Aunqueesto

6 28 CAPÍTULO 2. EL TEOREMA DE FROBENIUS no sea muy rofundo, lo enunciamos ara resaltar su imortancia. Además la exresión obtenida es más conveniente ara cálculos exlícitos que la definición directa. Proosición Dados dos camos de vectores X = X i i e Y = Y i i, su corchete de Lie es también un camo de vectores que actúa como [X,Y]f = XY j j YX j j f Demostración: Lo más ráido es escribir el ejemlo anterior en general. Llamando x 1,...,x n a las funciones coordenadas: [X,Y]f = X i Y j f Y i X j f, x i x j x i x j y derivando los roductos [X,Y]f = X i Y j f x i x j +Xi Y j 2 f f x i x j Yi Xj x i x j Yi X j 2 f x i x j. Por la igualdad de las derivadas arciales cruzadas, se obtiene la fórmula del enunciado. Esto rueba que [X,Y] es un camo de vectores, ues es combinación lineal de i. El corchete de Lie se comorta bien con resecto a las alicaciones lineales inducidas en el esacio tangente or funciones entre variedades. Proosición Sean M y N variedades y f : M N. Para cada ar de camos de vectores X e Y en M, se tiene [dfx,dfy] f = df [X,Y] ara todo M. Demostración: Por la definición de la alicación tangente, si g : N R dfxg f = dfx f g = df X g = X g f. Alicando esta relación reetidas veces [dfx,dfy] f g = dfx f dfyg dfy f dfxg = X dfyg f Y dfxg f = X Yg f Y Xg f y esto es [X,Y] g f o equivalentemente df [X,Y] alicado a g. Definición: Dado un ar de camos de vectores X e Y se define la derivada de Lie de Y a lo largo de X en un unto como F 0 donde Ft = dφ t Y Φt y Φt es el flujo local de X. Normalmente se suele denotar mediante L X Y.

7 2.2. EL CORCHETE DE LIE Y LA DERIVADA DE LIE 29 Aquí F 0 se entiende naturalmente como el límite del cociente incremental. Lo que mide la derivada de Lie es la variación de Y al moverse or una curva integral de X orque F0 = Y y Fǫ es el resultado de trasladar el vector Y Φǫ. Según V.I. Arnold la derivada de Lie es la derivada del escador orque es la derivada velocidad que mediría un escador en una barca siguiendo el flujo del río. Proosición Sean X e Y camos de vectores en una variedad y sea Φ t el flujo local de X en un entorno de un unto, entonces L X Y = [X,Y]. Demostración: Suongamos X 0. Según el Lema odemos suoner que trabajamos en una carta U,φ = x 1,...,x n tal que X = / x 1, or tanto el flujo, en coordenadas locales, alica x 1,x 2,...,x n en x 1 +t,x 2,...,x n y su matriz jacobiana es la identidad. Así ues, Y = Y i i imlica, con la notación de la definición anterior, Ft = Y i x 1 +t,x 2,...,x n i. Por consiguiente F 0 = 1 Y i i que coincide con [X,Y]. Si X = 0 ero X no es idénticamente nulo en un entorno de, entonces un argumento de continuidad sobre [X,Y] y F 0 rueba el resultado. Por otra arte, si X es nulo en todo un entorno de, el resultado es trivial las curvas integrales son constantes. El corchete de Lie cuantifica de alguna forma la conmutatividad de los flujos locales. A este resecto, recuérdese la relación mencionada al comienzo del caítulo, entre la coincidencia de las arciales cruzadas y la indeendencia del camino. Proosición Sean Φ t y Ψ s flujos locales de los camos vectoriales X e Y, resectivamente, en el entorno de un unto. Se cumle Φ t Ψ s = Ψ s Φ t si y sólo si [X,Y] = 0. Demostración: Sabemos que [X,Y] = 0 significa que la función F de la definición anterior es constante en t y como Φ 0 es la identidad, [X,Y] = 0 equivale a Y = dφ t Y Φt con variable. El flujo de Y es ψs, or tanto basta comrobar que Φ t Ψ s Φ t es el flujo de dφ t YΦt ara terminar la rueba, ya que el Lema asegura que Φ t es la inversa de Φ t. Consideremos una carta U,φ = x 1,x 2,...,x n y digamos que en ella la matriz de dφ t que es la jacobiana de φ Φ t φ 1 tiene elementos a i j y que las comonentes de d Y son Y i. Por la definición de flujo, ds x i Ψ s = Y i Ψ s. Sea c s = Φ t Ψ s Φ t, entonces or la regla de la cadena d x ds i c s = d x i Φ t φ 1 φ Ψ s Φ t = a i j ds Y j Ψ s Φ t = a i j Y j Φ t c s. En definitiva, hemos robado que x i c s coincide con la i-ésima comonente de dφ t Y Φtc s o equivalentemente que Φ t Ψ s Φ t es el flujo de dφ t Y Φt.

8 30 CAPÍTULO 2. EL TEOREMA DE FROBENIUS Ejemlo: Ya sabíamos que los camos X = +y, Y = + 2x en x z y z R3 tenían corchete de Lie no nulo. Comrobemos que sus flujos no conmutan. Las curvas integrales de X resonden a las ecuaciones diferenciales x t = 1, y t = 0, z t = y cuya solución es xt = t + x 0, yt = y 0, zt = y 0 t + z 0. Así ues el flujo local es Φ t x,y,z = t+x,y,yt+z. De la misma forma las curvas integrales de Y vienen dadas or xs = x 0, ys = s + y 0, zs = 2x 0 s + z 0, dando lugar al flujo Ψ s x,y,z = x,s+y,2xs+z. De aquí { Φ t Ψ s x,y,z = t+x,s+y,st+yt+2xs+z Ψ s Φ t x,y,z = t+x,s+y,2st+yt+2xs+z que tienen terceras coordenadasdistintas. Geométricamente, ara t 0 0,Φ t0 0 yψ t0 0 recorren t 0 unidades en los ejes x e y, y Ψ t Φt0 0 y Φ t Ψt0 0 son dos rectas que se cruzan cuando t varía. Esta imosibilidad de cerrar el cuadrilátero imlica la no conmutatividad Condiciones de integrabilidad Retomando los comentarios al comienzo del caítulo, si en cada unto nos dicen en qué dirección dirigirnos, el camino quedará determinado. Asignar un módulo a esa dirección sólo cambiará la velocidad a la que recorremos dicho camino. En términos matemáticos, mutlilicar or una constante no nula en cada unto or una función los vectores de un camo tiene el efecto de rearametrizar las curvas integrales. Siguiendo la filosofía de considerar objetos geométricos sin referencia a coordenadas o arametrizaciones articulares, ara definir subvariedades de una variedad M que sean tangentesacamosdevectores, debemosfijarnosenlossubesacios vectorialesdet M que generan, más que en los roios camos en sí. Esto lleva al conceto de distribución, un nombre, or cierto, no muy afortunado. Definición: Sea M una variedad n-dimensional. Una distribución de dimensión k es una forma de asignar a cada M un subesacio k dimensional T M, de forma que en un entorno U venga generado or camos de vectores {X 1,X 2,...,X k }. La definición arece reetitiva. Insistir sobre los camos de vectores or suuesto C es sólo una forma de imedir que la asignación sea en cierto modo discontinua o oco regular. Se dice que los camos X 1,X 2,...,X k, como en la definición anterior, conforman una base local de. No es osible en general tomar una misma base local válida ara todo M. Por ejemlo, el teorema de la bola de elo [Hir76] [Mun75] dice, con este lenguaje, que no se uede elegir U = S 2 ara ninguna distribución de dimensión 1 en S 2.

9 2.3. CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD 31 Dada una distribución el análogo de las curvas integrales será ahora una subvariedad cuyo esacio tangente en cada unto coincida con. Éste es un buen lugar ara recordar qué es una subvariedad. Esencialmente es una variedad N dentro de otra M. En términos matemáticos, edimos que la inclusión i : N M sea una inmersión, es decir, que las estructuras diferenciales sean coherentes. Se odría generalizar el conceto cambiando i or cualquier inmersión inyectiva. Definición: Sea N una subvariedad de M con i : N M la inclusión. Se dice que N es una subvariedad integral de una distribución en M si di T N = ara todo N. Nota: Algunos autores [Boo75] sólo iden di T N ero, al menos en nuestro contexto, esta generalidad no tiene recomensa véase [War83, 1.58]. El ejemlo del rinciio del caítulo y las exlicaciones que le siguen sugieren que hay distribuciones que tiene subvariedades integrales y otras que no. Las del rimer tio se recogen en la siguiente definición de manera indirecta. Definición: Se dice que una distribución de dimensión k es comletamente integrable si ara cada unto existe una carta U,φ con la cual { 1, 2,..., k } es una base local de. Lema Una distribución en M es comletamente integrable si y sólo si ara cada M hay alguna subvariedad integral de con N. Demostración: Con la notación de la definición anterior, si es comletamente integrable y φ = x 1,x 2,...,x n, consideremos 2.2 N = { q M : x k+1 q = x k+1,...,x n q = x n }. Entonces N es una subvariedad integral de, ues di i = i. Por otro lado, si N es una variedad integral de entonces siemre existe un cambio de coordenadas que ermite escribirla en la forma 2.2 [O N83, Ch.1.28] esto es el teorema de la inmersión y or tanto ara todo N se tiene que { 1, 2,..., k } es una base local de. El teorema de Frobenius establece bajo qué condiciones una distribución es comletamente integrable. En al demostración se atisbará que tras un cambio de coordenadas son similares a la exigida en la Proosición Tras la relación entre flujos y corchetes, la siguiente definición debería traer a la memoria las arciales cruzadas que aarecieron en la discusión inicial. Definición: Se dice que una distribución de dimensión k es involutiva si ara cada base local {X 1,X 2,...,X k } existen funciones c k ij tales que [X i,x j ] = c r ij X r ara 1 i,j k.

10 32 CAPÍTULO 2. EL TEOREMA DE FROBENIUS Nótese que se ha emleado el convenio de sumación y se debe sobreentender un sumatorio en 1 r k. En cada entorno, basta comrobar la condición anterior ara una base local, ues gracias a la Porosición 2.2.2, or cambios de coordenadas los vectores y los corchetes de Lie se transforman linealmente de la misma forma y or tanto la relación lineal de la definición anterior se transforma en otra similar. Teorema teorema de Frobenius Una distribución es involutiva si y sólo si es comletamente integrable. Para robar este resultado seguimos aquí esencialmente los asos de [Lun92]. Searamos rimero un caso fácil. Proosición Sea una distribución que en cierta carta admite una base del tio { 1, 2,... k,x}. Si es involutiva entonces es comletamente integrable Demostración: Escribamos X = a a a n n. Se uede suoner a 1 = a 2 = = a k = 0 orque en otro caso basta restar a X el vector a a a k k que es combinación lineal de los rimeros elementos de la base. En un entorno de un unto alguna de las otras coordenadas de X es no nula, quizá intercambiando las variables, digamos que es a k+1. Dividiendo entre esta coordenada se uede suoner X = k+1 +a k+2 k+2 + +a n n. Por hiótesis, [ i,x], 1 i k, y la articular forma de X imlica que [ i,x] = 0 y que las funciones a k+2,...,a n no deenden de las k rimeras funciones coordenadas. Por el Lema 2.1.3, existe un cambio de coordenadas tal que X = k+1, de hecho este cambio se uede elegir dejando las rimeras k variables invariantesues no artician en X, nótese que en 2.1 si X i = 0 y el resto de los X j no deenden de i-ésima coordenada, entonces f i y = y i. Con ello hemos conseguido la base { 1, 2,... k, k+1 } buscada. El lan de la demostración del teorema de Frobenius es emlear inducción y el aso de k a k +1 sólo requerirá utilizar la versión fácil dada or la Proosición Demostración del teorema de Frobenius: Claramente, si una distribución es comletamenteintegrableentoncesesinvolutiva,orque[ i, j ] = 0.Nosconcentramosentonces en la imlicación directa. Como hemos sugerido, rocedemos or inducción en la dimensión k de la distribución. Para k = 1 basta alicar el Lema Sea de dimensión k+1, con una base dada or los vectores X j = a j i j con 1 i k +1. Al ser linealmente indeendientes siemre odemos suoner, quizá intercambiando los nombres de las variables, que la matriz A = a j i es no singular. Sean 1 i,j k+1 bj i los elementos de A 1, entonces Y i = b j i X j, 1 i k + 1, constituyen una base de. Además Y i = i + n j=k+2 cj i j ara ciertos c j i, donde n es la dimensión de la variedad.

11 2.3. CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD 33 La condición [Y i,y j ] imlica [Y i,y j ] = 0, orque en [Y i,y j ] no aarece i con 1 i k +1. La distribución generada or {Y 1,Y 2,...,Y k } es or tanto involutiva y la hiótesis de inducción ermite encontrar un cambio de coordenadas de forma que esté generada or { 1, 2,..., k }. La rueba se termina alicando la Proosition a la base de dada or { 1, 2,..., k,y k+1 }. Ejemlo: Volviendo una vez más al ejemlo inicial, sabemos que ara X = +y, x z Y = + 2x se cumle [X,Y] =. Claramente [X,Y] no está en el subesacio y z z generado or X e Y, or consiguiente el teorema de Frobenius asegura que no existe ninguna subvariedad de R 3 que tenga a X e Y como vectores tangentes en cada unto.