1. Espacio de funciones esencialmente acotadas

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1 AMARUN Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Teoría de la medida (Nivel 2). Lección n 6: Esacios de Lebesgue EPN, verano 2009 Todos los resultados anteriores ermiten el estudio de esacios funcionales bien definidos obtendremos esacios de Banach (esacios vectoriales normados y comletos) - qué más se uede edir?! estos esacios son fundamentales: son la base de muchos desarrollos osteriores! 1. Esacio de funciones esencialmente acotadas Definición 1 (Cota esencial) Sea (, A, µ) un esacio medido y sea f : K una función medible. Definimos la cota esencial de f or medio de la fórmula f L = su ess f(x) = ínf{c R + : µ({x : f(x) > c}) = 0}. x = Sirve ara medir la altura de las funciones. Proosición 1 Sea (, A, µ) un esacio medido y sean f, g : K dos funciones medibles. 1) se tiene en µ-c.t.. f(x) f L 2) Si existe C R + tq. µ-casi todo x : f(x) C = f L C. 3) Si g(x) f(x) en µ-casi todas artes = g L f L. 4) Si µ() < + = f(x) dµ(x) C f L en donde C = C(). Prueba. 1) & 2) Directamente de la definición. 3) Si g(x) f(x) en µ-casi todas artes = g(x) f(x) f L en µ-c.t.. = g L f L. 4) f(x) f L = f(x) dµ(x) f L dµ(x) = f L µ(). Definición 2 (Esacio L ) Sea (, A, µ) un esacio medido. Definimos el esacio de funciones esencialmente acotadas L (, A, µ, K) como el conjunto de funciones medibles f : K tales que ara algún c R, el conjunto {x : f(x) > c} es de µ-medida nula. L (, A, µ, K) = {f : K : f L < + }. (1) Cuando el contexto esté claro, notaremos L (, µ) o más simlemente L () ara designar este esacio. Ejemlo elemental: si A A entonces f(x) = 1 A (x) es esencialmente acotada ues f L 1. Proosición 2 El esacio de funciones esencialmente acotadas L (, A, µ, K) es un subesacio vectorial del conjunto de las funciones medibles M(, A, K). 1

2 Prueba. 1) Para todo escalar λ K y ara toda función f L (, A, µ, K) se tiene λf L (, A, µ, K): λf L = su ess λf(x) = λ su ess f(x) = λ f L. (2) x x 2) Si las funciones f y g ertenecen al esacio L (, A, µ, K), entonces la función suma f + g también ertenece al esacio L (, A, µ, K). Puesto que se tiene f f L y g g L µ-c.t.. odemos utilizar la desigualdad triangular ara obtener (f + g)(x) f(x) + g(x) f L + g L = f + g L = su ess (f + g)(x) f L + g L. x Observación 1 Atención: el esacio (L (, A, µ, K), L ) NO es un esacio normado. Se tiene f(x) 0 = f L = 0 ero la recíroca no es verdadera: ara todo conjunto A A de µ-medida nula se tiene que f(x) = 1 A (x) 0 ero f L = 0. Es necesario una ligera modificación: Definición 3 (Esacio L ) Sea (, A, µ) un esacio medido. Definimos el esacio L (, A, µ, K) como el conjunto de clases de funciones medibles [f] definidas sobre a valores en K tales que [f] L < +. Es decir L (, A, µ, K) = {f : K : f L < +, µ c.t..}. (3) La rincial consecuencia de trabajar µ-c.t.. es la caacidad de caturar la información más imortante de las funciones (en este caso la cota esencial) levantando el roblema de la searabilidad de la funcional L. En este sentido tenemos el resultado: Proosición 3 El esacio de clases de funciones (L (, A, µ, K), L ) es un esacio vectorial normado. Prueba. Razonando en µ-casi todas artes tenemos que todo reresentante [f] L (, A, µ, K) verifica λ[f] L = λ [f] L ara todo λ K, y que, ara todo ar de reresentantes [f], [g] ertenecientes al esacio L (, A, µ, K), se tiene la desigualdad triangular [f] + [g] L [f] L + [g] L. Debemos verificar que se tiene la equivalencia [f] L = 0 [f] = [0]. La imlicación f = 0 µ-c.t.. = f L = 0 es evidente y ara la recíroca vemos sin roblema que f L = 0 imlica f = 0 µ-c.t.. Asimilamos entonces esta función a la clase de la función nula [0] lo que nos ermite terminar comletamente la demostración. Dado que el esacio de Lebesgue (L (, A, µ, K), L ) es un esacio normado, disonemos de todas las roiedades de este tio de esacios; así, ara todo f, g L (, A, µ, K) tenemos con la fórmula d(f, g) = f g L la distancia inducida or la norma L y diremos entonces que una sucesión de funciones esencialmente acotadas (f n ) n N definidas sobre el esacio medido (, A, µ) a valores en K converge hacia una función f en el sentido de L (, A, µ, K) si lím n + f f n L = 0. 2

3 Por ejemlo, sobre (, A, µ) un esacio medido, la sucesión de funciones a valores reales f n (x) = (1 1/n)1 A (x), determinada ara todo n 1 y ara un conjunto A -medible A tal que µ(a) > 0, converge hacia f(x) = 1 A (x) en el sentido de la norma L ues se tiene 1 A (1 1/n)1 A L = 1/n 1 A L = 1/n n + 0. Teorema 1 El esacio (L (, A, µ, K), L ) es un esacio de Banach. Demostración. Debemos verificar que toda sucesión de Cauchy que ertenece al esacio funcional L (, A, µ, K) es convergente en el sentido de la norma L. Sea ues (f n ) n N una sucesión de Cauchy arbitraria formada or funciones esencialmente acotadas. Se tiene entonces que ( k 1)( N k N)( n, m > N k ) : f n f m L 1/k Existe or lo tanto un conjunto A k de medida nula tal que f n (x) f m (x) 1/k ara todo x \ A k. (4) Si definimos el conjunto A = + k=1 A k, vemos sin mayor roblema que A es de µ-medida nula. Entonces, ara todo x \ A tenemos que la sucesión untual (f n (x)) n N es de Cauchy en K y or lo tanto converge, uesto que el esacio K es comleto, hacia un valor que notaremos f(x) y obtenemos de esta forma una función definida sobre \ A. Hacemos ahora tender m + en (4) ara obtener la estimación f n (x) f(x) 1/k ara todo x \ A lo que nos ermite afirmar que la función f es acotada sobre el conjunto \A. Para terminar, fijamos f(x) = 0 sobre A de manera que f está definida sobre todo. Por lo tanto esta función ertenece al esacio L (, A, µ, K) y se tiene f n f L 0. Hemos demostrado que toda sucesión de Cauchy de n + L (, A, µ, K) converge en el sentido de la norma L hacia una función esencialmente acotada: odemos concluir que el esacio L (, A, µ, K) es un esacio normado comleto lo que termina la demostración. 2. Esacios de funciones de otencia -eme integrables Definición 4 Sea 0 < < +. Para (, A, µ) un esacio medido y ara f : K una función medible escribimos ( 1/ f L = f(x) dµ(x)) con 0 < < +. (5) Proosición 4 Sea (, A, µ) un esacio medido y sean f, g : K dos funciones medibles. 1) Si g(x) f(x) en µ-casi todas artes, entonces g L f L. 2) Si µ() < + entonces 1 L < +. Prueba. El rimer unto se deduce del hecho que la función t t es creciente ara todo 0 < < + y de las roiedades de crecimiento de la integral mientras que el segundo unto es inmediato una vez que se observa que 1 L = µ() 1/. 3

4 Definición 5 (Esacio L ) Sea (, A, µ) un esacio medido y sea 0 < < + un arámetro real. El esacio de Lebesgue L (, A, µ, K) está definido como el conjunto de funciones medibles f : K cuyo módulo a la otencia -ésima es integrable, es decir: L (, A, µ, K) = {f : K : f L < + } (6) Ejemlo: consideramos la recta real dotada de su estructura boreliana, α, β > 0 dos arámetros reales y consideremos la función definida sobre R \ {0} a valores reales: f(x) = 1 x α si x 1, 1 x β si 0 < x < 1. Observamos fácilmente que si α > 1/ y β < 1/, entonces f ertenece al esacio de Lebesgue L (R, dx) con 0 < < + y se tiene f L = [2(α β)/(α 1)(1 β)] 1/ : f L = x β dx + x α dx { x <1} { x 1} = 2/(1 β) + 2/(α 1) = [2(α β)/(α 1)(1 β)]. Podemos ver directamente gracias a este ejemlo que si α y β toman otros valores, la función f que hemos definido no ertenecerá más al esacio de Lebesgue L (R, dx). = No existe or lo general ninguna relación de inclusión entre los esacios de Lebesgue L (, A, µ, K) y una equeña modificación de este razonamiento muestra que tamoco existe ninguna relación de inclusión entre L (, A, µ, K) y L (, A, µ, K). Proosición 5 Los esacios de Lebesgue L (, A, µ, K) con 0 < < + son subesacios vectoriales del conjunto de funciones medibles M(, A, K). (7) Lema 1 Sean a, b dos reales ositivos. Tenemos las dos desigualdades: 1) si 0 < < 1 entonces 2) si 1 < + entonces (a + b) a + b, (8) (a + b) 2 1 (a + b ). (9) Prueba de la roosición 5. Tenemos, ara todo arámetro 0 < < + y ara todo λ, las identidades siguientes ( λf L = 1/ ( λf(x) dµ(x)) = λ f(x) dµ(x)) 1/ = λ f L. (10) Sean las funciones f y g ertenecen al esacio L (, A, µ, K), entonces or la desigualdad triangular de y or el crecimiento de la función t t (válida ara todo 0 < < + ) obtenemos la estimación untual (f + g)(x) ( f(x) + g(x) ). Alicamos ahora las desigualdades (8) y (9) del lema anterior y obtenemos en función del valor de las mayoraciones (f + g)(x) f(x) + g(x) si 0 < < 1, (f + g)(x) 2 1 ( f(x) + g(x) ) si 1 < +. 4

5 Integramos con resecto a la medida µ y utilizando las roiedades de la integral obtenemos f + g L f L + g L si 0 < < 1, (11) f + g L 2 1 ( f L + g L ) si 1 < +. Alicamos una vez más el lema 1 a la arte derecha de estas mayoraciones ara obtener f + g L 2 1/ 1 ( f L + g L ) si 0 < < 1, (12) f + g L 2 1 1/ ( f L + g L ) si 1 < +, (13) lo que significa que la función suma f + g ertenece al esacio L (, A, µ, K) ara todo 0 < < +. Proosición 6 (Desigualdad de Minkowski) Sea 1 < + un índice real y sean dos funciones f, g : K ertenecientes al esacio L (, A, µ, K). Tenemos entonces la desigualdad f + g L f L + g L (14) Prueba. Observamos ara emezar que si f o g son nulas en µ-casi todas artes no hay nada que demostrar, de manera que odemos suoner sin érdida de generalidad que f 0 y g 0 en µ-casi todas artes. Definimos las cantidades A(x) = f(x)/ f L y B(x) = g(x)/ g L de tal forma que A L = 1 y B L = 1. Notando τ = f L /( f L + g L ) de manera que τ ]0, 1[ odemos entonces escribir (f + g)(x) = ( f L + g L ) τa(x) + (1 τ)b(x). Utilizando la desigualdad triangular del módulo y utilizando la convexidad de la función t válida cuando 1 < +, tenemos (f + g)(x) ( f L + g L ) (τ A(x) + (1 τ) B(x) ). Integramos ahora esta exresión y obtenemos (f + g)(x) dµ(x) ( f L + g L ), lo que nos ermite deducir el resultado deseado extrayendo la raíz -ésima de esta exresión. Corolario 1 Sea (f n ) n N una sucesión de funciones definidas sobre a valores en K ertenecientes al esacio L (, A, µ, K) con 1 < +. Tenemos entonces la estimación f n f n L n N L n N Corolario 2 Los esacios (L (, A, µ, K), L ) con 1 < + son esacios vectoriales semi-normados. 5

6 Normabilidad, convergencia y comletitud Definición 6 (Esacio L ) Sea 0 < < + un índice real. El esacio de Lebesgue L (, A, µ, K), notado L (, µ) o L () si no hay ambigüedad osible, está definido como el conjunto de clases de funciones medibles [f] cuyo módulo a la otencia -ésima es integrable. L (, A, µ, K) = {f : K : f L < +, µ c.t..}. (15) Es decir L (, A, µ, K) = L (, A, µ, K)/R µ. El rimer resultado que exonemos refleja la estructura vectorial de estos esacios de funciones. Proosición 7 Para todo 0 < < +, los esacios L (, A, µ, K) son subesacios vectoriales del conjunto de funciones medibles M(, A, K). Prueba. La verificación sigue básicamente las mismas líneas detalladas en la demostración de la roosición 5 ues todos los argumentos exuestos se mantienen si se razona en µ-casi todas artes y se utiliza los reresentantes de las clases de funciones. Teorema 2 (Normabilidad) Sea 1 < + un arámetro real, entonces los esacios de Lebesgue (L (, A, µ, K), L ) son esacios normados. Demostración. Debemos comrobar que la funcional L verifica los tres axiomas de norma; teniendo en cuenta los resultados de las áginas anteriores esta comrobación es directa y no resenta ninguna dificultad. Vemos en efecto que la imlicación f = 0 µ-c.t.. = f L = 0 es evidente or la fórmula (10) mientras que la imlicación recíroca f L = 0 = f = 0 µ-c.t.. se deduce del corolario del folleto. Finalmente la homogeneidad de la funcional L está dada or la exresión (10) y la desigualdad triangular está dada or la desigualdad de Minkowski (14). = Los esacios L (, A, µ, K) son esacios métricos con la distancia inducida or la norma d(f, g) = f g L y disonemos de todas las roiedades ara este tio de esacios. Diremos entonces que una sucesión de funciones (f n ) n N definidas sobre a valores en K ertenecientes al esacio L (, A, µ, K) converge en el sentido de L hacia una función f si lím n + f f n L = 0. Teorema 3 (Riesz-Fischer) Si 1 < + entonces los esacios (L (, A, µ, K), L ) son esacios de Banach. Demostración. Debemos verificar que toda sucesión de Cauchy converge en el sentido de la norma del esacio L (, A, µ, K) hacia una función que ertenece al esacio L (, A, µ, K). Sea (f n ) n N una sucesión de Cauchy en L (, A, µ, K). Por definición existe entonces una subsucesión (f nk ) k 1 tal que Definamos las dos funciones siguientes: g m (x) = f nk+1 f nk L 1, ara todo k 1. (16) 2k m f nk+1 (x) f nk (x) y g(x) = k=1 6 + k=1 f nk+1 (x) f nk (x).

7 Por la estimación (16), la desigualdad de Minkowski muestra que g m L 1 ara todo m 1. Alicando el corolario 1 obtenemos que g L 1 y en articular, or el corolario 3.2.9, que la función suma g es acotada en µ-c.t.. y de esto se deduce que la serie f n1 (x) + + k=1 es absolutamente convergente en K ara µ-casi todo x. Cuando la suma (17) converge untualmente sobre K definimos f(x) = f n1 (x) + (f nk+1 (x) f nk (x)) (17) + k=1 (f nk+1 (x) f nk (x)) y fijamos f(x) = 0 sobre el conjunto restante que es de medida nula. Dado que se tiene f n1 (x) + N (f nk+1 (x) f nk (x)) = f nn (x), k=1 vemos entonces que se tiene la convergencia untual f(x) = lím f n k (x) µ-c.t.. y hemos or lo tanto encontrado k + una función f que es el límite simle µ-c.t.. de la sucesión (f nk ) k 1. Nos falta demostrar que esta función f es el límite de (f nk ) k 1 en el sentido de la convergencia de L (, A, µ, K). Para ello vemos que ara todo ε > 0 existe N N tal que ara todo n, m > N se tiene f n f m L ε, ues la sucesión (f n ) n N es de Cauchy. Para todo m > N odemos alicar el lema de Fatou a la sucesión de funciones ϕ nk = f nk f m ara escribir f(x) f m (x) dµ(x) lím f nk (x) f m (x) dµ(x) ε k + Esto imlica que la función f f m ertenece al esacio L (, A, µ, K) de donde se deduce (utilizando la identidad f = f f m + f m ) que la función f ertenece al esacio L (, A, µ, K) y a artir de esta estimación se concluye que f m tiende hacia f en el sentido de L (, A, µ, K), es decir f f m L 0. m + Proosición 8 (Proiedad de Fatou) Sea (, A, µ) un esacio medido, sea L (, A, µ, K) un esacio de Lebesgue con 1 < + y sea (f n ) n N una sucesión de funciones de L (, A, µ, K) que converge en µ-c.t.. hacia f y tal que su f n L < +. Entonces f L (, A, µ, K) y se tiene la estimación n N f L lím ínf n + f n L Prueba. No es muy difícil ver que si f n f en µ-c.t.. entonces se tiene f n f en µ-c.t.., lo que nos ermite alicar el lema de Fatou ara obtener f L = lím ínf f n(x) dµ(x) lím ínf f n (x) dµ(x) = lím ínf f n n + n + n + L De donde se obtiene el segundo unto de la roosición. Dado que lím ínf f n L su f n L < + se tiene que n + n N f L (, A, µ, K), terminando así la demostración. 7

8 Proosición 9 (Versión L del T.C.D. de Lebesgue) Sea L (, A, µ, K) un esacio de Lebesgue con 1 < + y sea (f n ) n N una sucesión de funciones de L (, A, µ, K) que converge en µ-casi todas artes hacia f. 1) Si existe una función g L (, A, µ, K) tal que f n (x) g(x) en µ-casi todas artes, entonces se tiene que f f n L 0. n + 2) Si f n L n + f L, entonces f f n L 0. n + (lema de Scheffé) Prueba. La rimera aserción es la variante en los esacios L del teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Consideremos ues la sucesión de funciones ϕ n (x) = f(x) f n (x) 0. Observando que ϕ n(x) = µ c.t.. f(x) f n (x) ( f(x) + f n (x) ) 2 1 g (x), odemos alicar el T.C.D.L. lo que nos ermite concluir que f f n L 0 ues, or hiótesis, n + g (x) es una función integrable. Para el segundo unto vamos a alicar el lema de Fatou a la sucesión de funciones f n (x) + f(x) f n (x) f(x) 2 2 que convergen en µ-casi todas artes hacia f(x). Obtenemos entonces que f(x) f n (x) + f(x) dµ(x) lím ínf f n (x) f(x) n Como or hiótesis tenemos f n L n + f L odemos escribir f L f L lím su n + f n (x) f(x) 2 dµ(x). dµ(x). Deducimos entonces que lím su f n f L 0 de donde se obtiene que f f n + n L 0. n + Proosición 10 Para toda función f L (R n, Bor(R n ), λ n, K) con 0 < < +, ara todo a R n y todo α > 0 tenemos τ a (f) L = f L y δ α [f] L = α n/ f L. Prueba. La verificación es inmediata. Verificamos la segunda identidad δ α [f] L = f(αx) dx = α n R n f(x) dx = α n f L. R n 3. Desigualdades de Hölder y alicaciones Definición 7 (Conjugados armónicos) Sean y q dos reales ertenecientes al intervalo ]1, + [. Diremos que y q son conjugados armónicos entre sí si verifican la igualdad: q = 1, es decir q = 1. (18) Si = 1 notaremos su índice conjugado q = + y de forma similar si = + escribiremos q = 1. 8

9 Observemos que si ]0, 1[ también odemos hablar de su conjugado armónico q y ara determinarlo basta resolver la ecuación (18), ero en este caso se tiene q < 0. Teorema 4 (Desigualdad de Hölder) Sean y q dos números reales ertenecientes al intervalo ]1, + [ tales que q = 1 y sean f, g : K dos funciones ertenecientes a los esacios L (, A, µ, K) y L q (, A, µ, K) resectivamente. Entonces tenemos la estimación: ( f(x)g(x) dµ(x) ) 1/ ( 1/q f(x) dµ(x) g(x) dµ(x)) q. (19) Se obtiene la igualdad en la mayoración anterior si y solo si existen dos constantes c 1 y c 2 tales que c 1 f(x) = c 2 g(x) q en µ-casi todas artes. En el caso = 1 y q = + tenemos la desigualdad ( f(x)g(x) dµ(x) ) ( f(x) dµ(x) su ess g(x) x ). (20) Discutamos la hiótesis exigida sobre los índices y q: consideramos = R n dotado de la medida de Lebesgue y la dilatación δ α [f]. Bajo las hiótesis del teorema 4 si reemlazamos las funciones f, g or δ α [f] y δ α [g] con α > 0 en la desigualdad (19) obtenemos: δ α [f]δ α [g] L 1 δ α [f] L δ α [g] L q Alicando la roiedad homogénea de los esacios de Lebesgue exlicitada en la roosición 10 tenemos α n fg L 1 α n/ n/q f L g L q. Vemos entonces que si no se tiene la relación 1 = 1/ + 1/q es osible, haciendo variar el arámetro α, invalidar la desigualdad de Hölder: es suficiente ara ello, si 1/ + 1/q > 1, hacer tender α + y, si 1/ + 1/q < 1, hacer tender α 0. Este equeño razonamiento exlica y justifica lenamente la relación existente entre los arámetros y q. Lema 2 Sean a, b dos números reales estríctamente ositivos. Si los índices, q son conjugados armónicos, entonces ab a + bq q. (21) Se obtiene la igualdad en la fórmula anterior si y solo si a = b q. Prueba del lema. Aliquemos a la arte izquierda de la fórmula (21) la función logaritmo, obtenemos la identidad ln (ab) = ln(a) + ln(b) = 1 ln (a ) + 1 q ln (bq ). (22) Dado que q = 1 odemos utilizar la concavidad del logaritmo ara escribir 1 ln (a ) + 1 ( 1 q ln (bq ) ln a + 1 ) q bq. (23) Dado que la función logaritmo es creciente, juntando (22) y (23), terminamos la verificación de la desigualdad (21). Para comrobar el caso de igualdad de esta estimación es suficiente utilizar la identidad a = b q e inyectarla en la arte derecha de la exresión (21). Para la recíroca, basta resolver la ecuación bx 1 x 1 q bq = 0 ara obtener x = b q/. 9

10 Podemos suoner sin érdida de generalidad que ninguna de las funciones f, g es nula en µ-casi todas artes ues en esto caso no hay nada que demostrar. Suongamos ara emezar que se tiene 1 <, q < +. Queremos alicar el lema anterior y ara ello notamos a = f(x) f y b = g(x) L g de manera a obtener la exresión L q f(x) g(x) 1 f(x) f L g L q f + 1 g(x) q L q g q. (24) L q Integrando con resecto a la medida µ ambas artes de la fórmula anterior obtenemos 1 f(x) g(x) q dµ(x) 1 f L g L q + 1 q. de donde se deduce sin roblema la desigualdad buscada. El caso = 1 y q = + es dejado como ejercicio al lector y el caso de igualdad se deduce del lema Relaciones de inclusión entre los esacios de Lebesgue Proosición 11 Sean (E, E ) y (F, F ) dos esacios funcionales de Banach definidos sobre el mismo esacio medido (, A, µ). Si E F entonces la inyección es continua, lo que notaremos E F, y además existe una constante universal C > 0 tal que ara todo f E se tenga la estimación f F C f E. (25) Prueba. Procedemos or el absurdo suoniendo que se tiene la inclusión E F ero que no se tiene la mayoración f F C f E. En este caso existe una sucesión de funciones, que odemos suoner ositivas, con f n E 1, y tales que f n F > n 3 ara todo n N. (26) Dado que el esacio E es un esacio de Banach tenemos que la suma n N n 2 f n converge en el sentido de E hacia una función f E. Como or hiótesis el conjunto E es subconjunto de F se tiene que f ertenece también al esacio F. Esto es imosible ues se tiene or definición 0 n 2 f n f de forma que, utilizando (26), se obtiene n n 2 f n F f F ara todo n N. De esta contradicción deducimos que se tiene la estimación (25) con alguna constante C indeendiente de la función f. Esto muestra también que la alicación inclusión de E en F es continua. Observación 2 La conclusión de este resultado uede interretarse de esta manera: cuanto mayor sea el esacio funcional, en el sentido en que contiene más funciones, menor será su norma. Teorema 5 (Relaciones de Inclusión) Sea (, A, µ) un esacio medido, σ-finito y no-atómico, tal que µ() < +. Sean, q dos reales tales que 1 < < q < +. Entonces tenemos las inclusiones estrictas entre esacios de Lebesgue: L (, A, µ, K) L q (, A, µ, K) L (, A, µ, K) L 1 (, A, µ, K). (27) Demostración. 1. Suongamos rimero que se tiene 1 < q < +. Tenemos entonces que f L = f(x) 1 (x)dµ(x). 10

11 Alicamos la desigualdad de Hölder (19) al roducto de las funciones f y 1 de manera a obtener ( f(x) 1 (x)dµ(x) q ) 1/α ( ) 1/β 1 (x) α dµ(x) f(x) β dµ(x) en donde hemos fijado α = q y β = q de forma que se tiene evidentemente 1/α + 1/β = 1. Luego, uesto que la cantidad µ() es finita obtenemos f L µ() 1/α ( ) /q f(x) q dµ(x) finalmente, extrayendo la raíz -ésima en ambos lados de la mayoración anterior escribimos f L µ() 1/ 1/q f L q lo que nos ermite concluir que toda función que ertenece al esacio L q (, A, µ, K) ertenece al esacio L (, A, µ, K) siemre y cuando 1 < q < +. Es decir que tenemos la inclusión decreciente de esacios L q L. 2. En la segunda etaa suonemos que 1 q < + y vamos a verificar que ara toda función esencialmente acotada se tiene f L q µ() 1/q f L. Para ello utilizamos la desigualdad (20): f q L = f(x) q 1 q (x)dµ(x) µ() f q L de donde se obtiene directamente el resultado deseado: L L q. Con esto hemos demostrado las inclusiones (27) entre los esacios de Lebesgue y que estas inclusiones son continuas (gracias a la roosición 11). Veamos ara terminar que estas relaciones son estrictas. Como el esacio medido (, A, µ) es σ-finito, existe una sucesión disjunta de conjuntos medibles (A n ) n N tal que = n N A n y tal que µ(a n ) < +. Como este esacio es no-atómico odemos suoner que se tiene ara todo n 0 < µ(a n ) 2 n. Definimos entonces la función f(x) = n N µ(a n) 1/q 1 An (x) de manera que f L = n N µ(a n) 1 /q < +, de donde se deduce que f L y que f / L q. En el caso cuando la medida del conjunto de base sea finita, este resultado nos indica que los esacios de Lebesgue L con 1 + forman una sucesión estrictamente decreciente de esacios siguiendo el índice. 5. Desigualdad de Jensen y alicaciones Sea I = (a, b) un intervalo de la recta real con a < b +. Una función ϕ : I R es convexa si ϕ(τa + (1 τ)b) τϕ(a) + (1 τ)ϕ(b) ara todo a, b I con τ [0, 1]. Indiquemos algunas roiedades con el lema siguiente. Lema 3 Si ϕ : I R es una función convexa entonces 1) ara todo unto t en el interior de I existe una recta que asa or el unto (t, ϕ(t)) que siemre está or debajo del grafo de ϕ. 2) ϕ es continua en el interior de I. 11

12 Proosición 12 Sea (, A, µ) un esacio robabilizado (es decir tal que µ() = 1) y sea f una función del esacio L 1 (, A, µ, R). 1) Si I = (a, b) es un intervalo de R tal que f(x) I ara µ-casi todo x, entonces fdµ I. 2) Si f(x) c en µ-casi todas artes ara algún real c y si fdµ = c, entonces f = c en µ-casi todas artes. Prueba. Vamos a emezar suoniendo que f(x) a en µ-casi todas artes ara algún real a. Definimos entonces los conjuntos A = {x : f(x) > a} y A n = {x : f(x) > a + 1/n} ara todo entero n 1, de manera que se tienen las inclusiones crecientes de conjuntos A 1 A n y la identidad A = n 1 A n, de donde se deduce que lím µ(a n) = µ(a). (28) n + Por la roiedad de crecimiento de la integral y or el hecho estamos trabajando sobre un esacio robabilizado tenemos que f(x)dµ(x) a. Dado que se tiene la mayoración f(x) a1 \A n (x) + (a + 1/n)1 An (x) odemos escribir, ara todo n 1: f(x)dµ(x) aµ( \ A n ) + (a + 1/n)µ(A n ) = a + 1 n µ(a n). Entonces si f(x) > a en µ-casi todas artes, se tiene µ(a n ) > 0 ara algún entero n 1 y or lo tanto f(x)dµ(x) > a. Por otro lado si f(x)dµ(x) = a entonces µ(a n) = 0 ara todo n 1 y entonces, utilizando (28), obtenemos µ(a) = 0, de donde se deduce que f = a en µ-casi todas artes. Tomando a = c obtenemos la segunda arte de la roosición y un argumento similar muestra que si f(x) b µ-casi todas artes entonces f(x)dµ(x) b y si f(x) < b µ-casi todas artes entonces f(x)dµ(x) < b, de donde se obtiene la rimera arte. Teorema 6 (Desigualdad de Jensen) Sea (, A, µ) un esacio medido tal que µ() = 1 y sea I R un intervalo de la forma (a, b). Si ϕ : I R es una función convexa y si f L 1 (, A, µ, R) es una función tal que f(x) I ara µ-casi todo x, entonces f(x)dµ(x) I, ϕ(f) es µ-integrable y se tiene la desigualdad ( ) ϕ f(x)dµ(x) ϕ(f)(x)dµ(x). Demostración. Fijemos t = f(x)dµ(x), tenemos entonces or la roosición 12 que t I. Sabemos además or el lema 3 que existe un real α tal que ϕ(u) ϕ(t) + α(u t) ara todo u I uesto que ϕ es convexa sobre I. Deducimos entonces la mayoración ϕ(f)(x) ϕ(t) + α(f(x) t) ara µ-casi todo x. Integrando esta desigualdad y utilizando el hecho que µ() = 1 obtenemos ( ) ϕ(f)(x)dµ(x) ϕ(t) + α(f(x) t) = ϕ(t) + α f(x)dµ(x) αt = ϕ f(x)dµ(x) lo que nos ermite terminar la demostración. 12

13 6. Esacios de sucesiones Definición 8 (Esacios l ) Sea = N o Z, sea 0 < < + un real y sea a = (a n ) n una sucesión a valores en K. Diremos que la sucesión a = (a n ) n es de otencia -eme sumable si la siguiente cantidad es finita. ( ) 1/ a l = a n. (29) Definimos entonces el esacio de sucesiones -eme sumables a valores en K con la exresión n l (, K) = {(a n ) n : a l < + }. Demos un ejemlo de sucesión que ertenece a estos esacios. Fijemos = Z y definamos a n = { 1/ n 2/ si n 0, 1 sino. El lector verificará sin roblema que (a n ) n Z l (Z) ara todo 0 < < + ; en cambio si consideramos la sucesión (b n ) n Z definida de forma similar, ero fijando b n = 1/ n 1/ si n 0, se tiene que (b n ) n Z / l (Z). En el caso cuando = +, el esacio corresondiente está dado or la siguiente definición. Definición 9 (Esacios l ) Una sucesión a = (a n ) n a valores en K es acotada si a l = su a n < +. (30) n Caracterizamos el esacio de sucesiones acotadas a valores en K con la fórmula l (, K) = {(a n ) n : a l < + }. Un ejemlo sencillo de sucesión que ertenece a este esacio está dado or la sucesión a n = ( 1) n ara todo n. Notemos que esta sucesión no ertenece a ningún esacio l con 0 < < +, lo que uede dar una rimera idea de las inclusiones entre estos esacios; daremos los enunciados recisos un oco más adelante. Proosición 13 Sea 0 < < + un real. Los esacios de sucesiones l (, K) y l (, K) son esacios vectoriales. Proosición 14 (Desigualdad de Hölder discreta) Sea 1 + un real y q su conjugado armónico, entonces tenemos la desigualdad de Hölder ara todas las sucesiones (a n ) n l (, K) y (b n ) n l q (, K): a n b n a l b l q. (31) n Proosición 15 (Desigualdad de Minkowski discreta) Sean (a n ) n y (b n ) n dos sucesiones ertenecientes al esacio l (, K) con 1 +, entonces se tiene la desigualdad: a + b l a l + b l. (32) Prueba. De la misma forma que en la roosición 14 tratamos solamente el caso 1 < < + y dejamos los casos límites al lector. Escribimos entonces: a n + b n = a n + b n a n + b n 1 a n a n + b n 1 + b n a n + b n 1. Sumando con resecto a n y alicando la desigualdad de Hölder en la arte derecha de esta exresión 13

14 obtenemos la mayoración n de donde se deduce el resultado deseado. a n + b n a n a n + b n 1 + n n ( a l + b l ) a + b 1 l b n a n + b n 1 Teorema 7 Si 1 + los esacios l (, K) son esacios de Banach Proiedades de inclusión de los esacios l Definición 10 (Esacio c 0 ) Sea = N o Z y sea a = (a n ) n una sucesión a valores en K. Diremos que esta sucesión se anula en el infinito o que tiende a cero al infinito si se tiene lím a n = 0. n + Notaremos c 0 (, K) el conjunto formado or estas sucesiones. Evidentemente toda función nula a artir de un cierto rango ertenece a este esacio mientras que la sucesión constante a n = 1 ara todo n no ertenece a este esacio de sucesiones. Proosición 16 El esacio de sucesiones c 0 (, K) es un esacio vectorial de Banach dotado de la norma l. Contrariamente al teorema de inclusión 5 exuesto en la ágina 10 se tienen relaciones de inclusión generales entre los esacios de sucesiones como nos lo indica el teorema a continuación. Teorema 8 (Relaciones de inclusión) Sea = N o Z. Tenemos las inclusiones estrictas de esacios siguiente: l 1 () l () l q () c 0 () l (). (33) Demostración. Sea a = (a n ) n una sucesión no idénticamente nula. 1. Mostremos que se tiene la inclusión c 0 (, K) l (, K). Dado que la cantidad l es una norma ara estos dos esacios se tiene inmediatamente que si a c 0 (, K) entonces a l (, K); sin embargo no se tiene la recíroca ues la sucesión constante a n = 1 ara todo n ertenece al esacio l (, K) ero no se anula al infinito. 2. Mostremos ahora que ara todo 1 < + se tiene la mayoración a l a l (34) y que todos los esacios l (, K) están contenidos estrictamente en el esacio c 0 (, K). En efecto, si la sucesión (a n ) n es tal que ( n a n ) 1/ < + entonces se tiene que an 0; n + además la estimación a l = su a n n a n = a l muestra que todos los esacios l (, K) están n incluidos en c 0 (, K). Para verificar que esta inclusión es estricta consideramos la sucesión a n = n 1/ si n 0 y a 0 = 1: tenemos entonces que a c 0 (, K) ero a / l (, K). 14

15 3. Finalmente, sean y q dos reales tales que 1 < q < +. Verifiquemos que se tiene la desigualdad a l q a l ara toda sucesión a = (a n ) n l (, K). Para ello utilizamos la desigualdad de Hölder ara escribir Como se tiene su n (su n a q l q a n q ) (q )/q a q l a q l q = n a n q a n su n n a q a n. (35) n a n q = (su a n q ) (q )/q, or la estimación (34) odemos escribir la mayoración n e inyectamos esta estimación en la exresión (35) de manera que se tiene a q l q a l es decir a l q a l de donde se deduce la estimación deseada. Para comrobar que esta inclusión es estricta utilizamos el mismo ejemlo anterior con la sucesión a n = n 1/ si n 0 y a 0 = 1: vemos que (a n ) n l q (, K) ues q > ero (a n ) n / l (, K). Este teorema nos dice que existe una diferencia notable al nivel de las inclusiones entre los esacios L y l. 15