La desigualdad de Minkowski de tipo débil y aplicaciones. Consuelo Ramírez Torreblanca

Transcripción

1 La desigualdad de Minkowski de tio débil y alicaciones Consuelo Ramírez Torreblanca

2 2 Sean (X, M, µ), (Y, N, ν) dos esacios de medida. Sea T un oerador que transforma funciones M-medibles en funciones N -medibles. 1. T es de tio fuerte (, q) con constante C si ( ( T f q q dν C f dµ ara toda función medible f. Y X 2. T es de tio débil (, q) con constante C si ( (ν({y Y : T f(y) > λ}) C q f dµ λ ara toda función medible f y todo λ >. X 3. T es de tio débil restringido (, q) con constante C si (ν({y Y : T χ E (y) > λ}) C q λ (µ(e) ara todo conjunto medible E X y todo λ >.

3 3 DESIGUALDAD INTEGRAL DE MINKOWSKI Sean (X, M, µ), (Y, N, ν) dos esacios de medida. Si 1, entonces f(, y)dν(y) ;dµ Y Y f(, y),dµ dν(y). APLICACIÓN: Dar condiciones suficientes ara que un oerador integral T f(x) = K(x, y)f(y)dy R n esté acotado en el esacio L. En efecto: ( T f K(, y) f(y) dy R n K(, y) dy R n f. Por tanto, si R n K(, y) dy < entonces T está acotado en L.

4 4 Es osible dar una desigualdad de Minkowski de tio débil cuya alicación ermita dar condiciones suficientes ara que el oerador integral T sea de tio débil (, )?.

5 5 DESIGUALDAD DE MINKOWSKI DE TIPO DÉBIL Sean (X, M, µ) e (Y, N, ν) esacios de medida σ-finitos. Sea f : X Y R medible en el esacio roducto. Sea > 1 y su exonente conjugado. Entonces f(x, )dµ(x) f(x, ), ;dν dµ(x)., ;dν X X

6 6 Si (X, M, µ) es un esacio de medida σ-finito y 1, donde L, (X) = {f : f, ;dµ < } f, ;dµ = su λ(µ{x X : f(x) > λ}. λ> T es de tio débil (, ) con constante C si y sólo si T f, C f ara toda f L. La función, ;dµ no es una norma. Si > 1, = f y definimos entonces, ;dµ 1, f es el reordenamiento decreciente de la función t f, ;dµ = su t 1 1 t> es una norma tal que f,, ;dµ, ;dµ, ;dµ y (L, (X),, ;dµ ) es un esacio de Banach de funciones.

7 7 Sea B la bola unidad cerrada de (L, (X)), el esacio asociado de L, (X). Entonces f(x, )dµ(x) = su h(y) f(x, y)dµ(x) dν(y) X, ;dν h B Y ( X ) su f(x, y)h(y) dν(y) dµ(x) h B ( X Y ) su f(x, y)h(y) dν(y) dµ(x) X h B Y = f(x, ), ;dνdµ(x). X Finalmente, las desigualdades, ;dν, ;dν, ;dν dan el resultado.

8 8 Con la desigualdad de Minkowski de tio débil, si > 1 la condición K(, y), dy < R n da el tio débil (, ) del oerador integral T. En efecto: ( T f, K(, y), f(y) dy K(, y), dy R n R n f.

9 9 APLICACIONES Hemos alicado la desigualdad de Minkowski de tio débil anterior ara: 1. Caracterizar desigualdades de tio débil con esos ara oeradores de Hardy modificados n-dimensionales y oeradores geométricos n-dimensionales. 2. Dar condiciones suficientes ara que determinados oeradores de convolución verifiquen desigualdades de tio débil mixto con esos. 3. Desarrollar un método de rotaciones de tio débil ara > 1.

10 1 DESIGUALDADES DE TIPO DÉBIL PARA OPERADORES DE HARDY EN DIMENSIÓN SUPERIOR A UNO x1 x2 xn T f(x 1, x 2,..., x n ) = h(x 1, x 2,..., x n )... f. Caracterizaremos la siguiente desigualdad: ( q u {(x 1,x 2,...,x n ) (, ) n :T f(x 1,x 2,...,x n )>λ} en el caso 1 < < q <. C λ (... f (x 1, x 2,..., x n )Π n i=1v i (x i )

11 11 ANTECEDENTES E. T. Sawyer, Weighted inequalities for the two-dimensional Hardy oerator, Studia Math. (1985). E. Sawyer caracterizó los ares de esos (u, v) ara los que se verifica la desigualdad de tio débil ( q R {(x,y) (, ) 2 x R : y f>λ} u C ( f v λ en el caso 1 < q <.

12 12 Teorema. Sean, q R con 1 < < q <. Sea u una función no negativa en (, ) n y sean v 1, v 2,, v n funciones no negativas en (, ). Sean s 1, s 2,..., s n (1, ). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Existe C > tal que la desigualdad ( C λ u {(x 1,x 2,...,x n ) (, ) n :T f(x 1,x 2,...,x n )>λ} (... q f (x 1, x 2,..., x n )Π n i=1v i (x i ) se verifica ara toda función ositiva f y todo λ >. (ii) B s1,s 2,...,s n (, q, u, v 1, v 2,..., v n, h) <, donde B s1,s 2,...,s n (, q, u, v 1, v 2,..., v n, h) = su Π n i=1v i (t i ) si 1 χ Π n i=1 (t i, )hπ n i=1v i (x i ) s i q, ;u (t 1,t 2,...,t n ) (, ) n y V i (x i ) = xi v 1 i. Más aún, si C es la mejor constante en la desigualdad de tio débil, entonces ( ) 1 n s B s1,s 2,...,s n i n ( ( ) 1 C C,q B s1,s i=1 s i + 1 s 2,...,s n. s i 1 i=1 i

13 13 Alicaremos el siguiente lema, que es una consecuencia sencilla de la desigualdad de Minkowski de tio débil. Lemma 1. Sea 1 < < q < y sean g, f, u funciones no negativas en (, ) n. Entonces ( x1 x2 xn g(x 1, x 2,..., x n )... f q, ;u D,q... f(t 1, t 2,..., t n ) χ Π n i=1 (t i, )g q, ;udt 1 dt 2... dt n.

14 14 (i) (ii) La condición (ii) se obtiene alicando la desigualdad de tio débil a la función g definida or: g = n (( i=1 s i ) V i (t i ) s i v i (x i χ (,ti)(x i ) + V i (x i ) s i v i (x i χ (ti, )(x i )).

15 15 (ii) (i) Sean g >, λ > y O λ = {x (, ) n : h(x) x1 x2 xn... g 1 Π n i=1 v 1 i > λ}. Si x O λ, la desigualdad de Hölder da λ < h(x) ( x1 x2... xn gπ n i=1v s i 1 i n i=1 V i (x i ) s i ( 1 s i.

16 16 Entonces, or la desigualdad de Minkowski de tio débil n-dimensional y la definición de B s1,s 2,,s n, tenemos ( ) 1 q ( x1 x2 xn λ u h(x)... gπ n i=1v s n ( ) 1 i 1 i V i (x i ) s i 1 O λ s i=1 i n ( 1 C,q s i=1 i ( g(t 1, t 2,..., t n )Π n i=1v i (t i ) si 1 hπ n i=1χ (ti, )V i (x i ) si q, ;udt 1 dt 2 dt n (, ) n n ( ( 1 C,q B s1,s 2,...,s n... g, s i i=1 que es equivalente a (i). q, ;u

17 OPERADOR DE MEDIAS GEOMÉTRICAS N-DIMENSIONAL ( 1 G n f(x 1, x 2,..., x n ) = ex x 1 x 2 x n ANTECEDENTES x1 x2 xn )... log f A. Wedestig, Weighted inequalities for the Sawyer two-dimensional Hardy oerator and its limiting geometric mean oerator, J. Inequalities Al. (25). 17

18 18 Theorem 1. Sean < < q <. Sea u una función no negativa en (, ) n y sea v una función ositiva en (, ) n. Sean s 1, s 2,..., s n > 1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Existe C > tal que la desigualdad ( ( u {(x 1,x 2,...,x n ) (, ) n :G n f(x 1,x 2,...,x n )>λ} q C λ se verifica ara toda función ositiva f y todo λ >. (ii) B ex,s1,s 2,...,s n (, q, u, v) <, donde B ex,s1,s 2,...,s n = B ex,s1,s 2,...,s n i=1 su Π n i=1ti (t 1,t 2,...,t n ) (, ) n s i 1... χ Π n i=1 (t i, )wπ n s i i=1xi f v q, ;u y w = G n (v 1 ). Más aún, si C es la mejor constante de la desigualdad de tio débil, entonces n ( ) 1 + e s i 1 C Π n s i 1 i=1 e s i 1 C,q B ex,s1,s 2,...,s n.

19 19 DESIGUALDADES DE TIPO DÉBIL MIXTO CON PESOS PARA CONVOLUCIONES ( q w {x:g(x) T f(x) >λ} ( C λ f v T es un oerador que actúa sobre funciones medibles. Las funciones g, w y v son medibles y no negativas.

20 2 ANTECEDENTES 1. K. F. Andersen y B. Muckenhout, Weighted weak tye Hardy inequalities with alications to Hilbert transforms and maximal functions, Studia Math. (1982). 2. E. T. Sawyer, A weighted weak tye inequality for the maximal function, Proc. Amer. Math. Soc. (1985). 3. K. F. Andersen, Weighted inequalities for convolutions, Proc. Amer. Math. Soc. (1995). 4. F. J. Martín-Reyes, P. Ortega Salvador y M. D. Sarrión Gavilán, Boundedness of oerators of Hardy tye in Λ,q saces and weighted mixed inequalities for singular integral oerators, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (1997). 5. D. Cruz-Uribe, J. M. Martell y C. Pérez, Weighted weaktye inequalities and a conjecture of Sawyer, Int. Math. Res. Not. (25).

21 21 OPERADORES DE CONVOLUCIÓN EN (, ) Consideremos el oerador de convolución T definido sobre funciones medibles no negativas en (, ) or ( ) x f(y) T f(x) = K y y dy, donde K es una función no negativa, decreciente, continua or la derecha en (, ) y tal que lim t K(t) =.

22 22 Teorema. Sean y q con 1 < y 1 < q <. Sean w, v y g funciones medibles no negativas definidas en (, ). Suongamos que g es monótona si q <. Sea ϕ 1 ϕ 1 (g,w,v) la función definida en (, ) or { ϕ 1 sus> χ (g,w,v)(t) = (,st) g q, ;w y 1 χ (s, ) (y)v 1 (y) ;v si q Φ t r, ;w si q <, donde 1 r = 1 q 1 y Φ t (x) = su <c<x<d< inf y (c,d) g(y) ( d c ) ( 1 w d t v(y y dy Sea Λ K la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a la función K. Si B 1 = entonces existe C,q > tal que ( w {x (, ):g(x)t f(x)>λ} ϕ 1 (t)dλ K <, q C,q B 1 λ ( ara todo λ > y toda función f medible no negativa. f v.

23 23 De acuerdo con Andersen ( donde T f(x) = = f(y) ( x y, ) dλ K (t) A t f(x)dλ K (t), A t f(x) = ) x t dy y = f(y) dy y. ( x t ) f(y) dy dλ K (t) y Como B 1 <, ϕ 1 es finita en casi todo unto resecto de la medida Λ K, lo cual imlica que los oeradores A t verifican ga t f q, ;w C,q ϕ 1 (t) f ;v ara casi todo t (resecto de la medida Λ K ).

24 24 Entonces, la desigualdad de Minkowski de tio débil nos da gt f q, ;w = g( ) A t f( )dλ K (t) q ga t f q, ;w dλ K (t) ( q, ;w ) q C,q ϕ 1 (t)dλ K (t) f ;v = q C,q B 1 f ;v.

25 25 OPERADORES DE CONVOLUCIÓN EN R Consideremos ahora el oerador T definido sobre funciones no negativas en R or T f(x) = K( x y )f(y)dy, R donde K es una función definida en (, ), no negativa, decreciente, continua or la derecha y tal que lim t K(t) =.

26 26 Teorema. Sean y q tales que 1 < y 1 < q <. Sean w, v y g funciones medibles no negativas definidas en R. Suongamos que g es monótona si q <. Sea ϕ 2 la función definida en (, ) or { A(t) si q ϕ 2 (t) = Ψ t r, ;w si q <, donde 1 = 1 1, A(t) está definida or r q A(t) = y Ψ t es la función definida en R or Si Ψ t (x) = su χ (x,y) g q, ;w χ (y t,x+t) v 1,v x<y;y t x+t su inf g(y) {c x d;d t c+t} y (c,d) B 2 = entonces existe C,q > tal que ( w {x R:g(x)T f(x)>λ} ( d ϕ 2 (t)dλ K <, c q C,q B 2 λ ( c+t w v 1. d t ( ara todo λ > y toda función f medible no negativa. f v R

27 27 MÉTODO DE ROTACIONES DE TIPO DÉBIL PARA > 1 Sea T un oerador unidimensional. Sea n > 1 y sea f : R n R. Si u S n 1 y x u definimos f x u : R R or: Si x R n definimos T u f(x) or donde x = tu + x siendo x u. f x u (t) = f(tu + x). T u f(x) = T (f x u )(t), Sea Ω L 1 (S n 1 ) y T Ω el oerador n-dimensional definido or T Ω f(x) = Ω(u)T u f(x)dσ(u), S n 1 donde σ es la medida de Lebesgue normalizada en S n 1. Teorema. Sea 1 y sea T un oerador unidimensional de tio fuerte (, ) con constante C. Sea n > 1 y Ω L 1 (S n 1 ). Entonces T Ω es de tio fuerte (, ) con constante C Ω 1.

28 28 Teorema. Sea > 1 y sea T un oerador unidimensional de tio débil (res. tio débil restringido) (, ) con constante C. Sea n > 1 y Ω L 1 (S n 1 ). Entonces T Ω es de tio débil (res. tio débil restringido) (, ) con constante C Ω 1.

29 29 Primero demostramos que los oeradores T u son de tio débil (, ) con constante C usando que T es de tio débil (, ) con constante C. {x R n : T u f(x) > λ} = ( ) = χ {(t,x): Tu f(t,x) >λ}(t, x)dt dx = L u R( ) C f x λ u (t) dt dx = C f. R λ R n L u R n χ {x R n : T u f(x) >λ}(x)dx L u ( χ {t R: T (f x u )(t) >λ}(t)dt R Por último alicamos la desigualdad de Minkowski de tio débil y el tio débil (, ) uniforme de los oeradores T u. T Ω f, = Ω(u)T u f( )dσ(u) Ω(u) T u f, dσ(u) S n 1, S n 1 C f S n 1 Ω(u) dσ(u) = C Ω 1 f. Si T es de tio débil restringido (, ), la demostración es similar, teniendo en cuenta que si E es un subconjunto medible de R n entonces (χ E ) x u = χ E x u, donde E x u = {t R : tu + x E}. ) dx

30 3 UNA APLICACIÓN El método de rotaciones de tio débil ara > 1 ermite obtener resultados que no se ueden obtener con el método de rotaciones de tio fuerte. Si T es un oerador unidimensional que es de tio débil o tio débil restringido (, ), > 1, y no es de tio fuerte (, ), entonces el oerador T Ω, es de tio débil o tio débil restringido (, ) alicando el método de rotaciones de tio débil, ero este resultado no se uede obtener con el método de rotaciones de tio fuerte.

31 Consideremos el oerador maximal de convolución ( ) ( α 1 x y M α,β,h f(x) = su f(y) + h log β R> h n R n R B(x,hR) 1 x y R donde 1 < α <, β y h es un número tal que < h < 1 y ϕ(t) = t α log β ( 1 t ) decrece en (, h). Cambiando a coordenadas olares, vemos que ( 1 Rh ( ρ ) ( ) ) α M α,β,h f(x) su f(x + ρu) S n 1 R> Rh R + h log β 1 ρ + h dρ dσ(u) R = T u f(x)dσ(u), S n 1 donde T es el oerador maximal de convolución definido or 1 Rh ( ) α ( ) t 1 T g(s) = su g(s + t) R> Rh R + h log β t + h dt. R + h ) 31 dy,

32 32 A. L. Bernardis y F. J. Martín-Reyes han demostrado que si α β, entonces T es de tio débil restringido ( 1, 1 ) y no es de tio débil 1+α 1+α ( 1, 1 ). 1+α 1+α Entonces, alicando el Teorema anterior, obtenemos inmediatamente el siguiente resultado: Teorema. Sea 1 < α < y β con α β. Entonces M α,β,h es de tio débil restringido ( 1, 1 ). 1+α 1+α