Pauta Control 1 - MA2A1 Agosto a) Estudiar si las siguientes denen una norma en R 2 : 3) (x, y) = x + 3

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1 Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Matemática Pauta Control 1 - MA2A1 Agosto 2008 Profesor: Marcelo Leseigneur Auxiliares: Cristopher Hermosilla y Javier Orrego 1. a) Estudiar si las siguientes denen una norma en R 2 : 1) (x, y) = 4x 2 + y 2 2) (x, y) = x + y 3) (x, y) = x + 3 x 3 + y 3 4) (x, y) = (x y) 2 + y 2 Notemos que si denimos x = L( x) 2 con 2 la norma 2 en R 2 y L una función lineal de R 2 en R 2 tal que L( x) = 0 si y sólo si x = 0 (es decir, que sea inyectiva), entonces es una norma, en efecto: x = 0 L( x) 2 = 0 L( x) = 0 x = 0 λ x = L(λ x) 2 = λl( x) 2 = λ L( x) 2 = λ x x + y = L( x + y) 2 = L( x) + L( y) 2 L( x) 2 + L( y) 2 = x + y 1) Sí es norma, basta denir L(x, y) = (2x, y) que cumple las propiedades de la parte anterior. 2) No es norma pues si λ 0 o λ 1 se tiene λ(x, y) = λx + λy = λ x + y λ x + y = λ (x, y) 3) No es norma, pues no cumple la desigualdad triángular, un contraejemplo se tiene tomando x = (1, 1) y y = (1, 1) x + y = (2, 0) = 4 3, = = (1, 1) + (1, 1) = x + y 4) Sí es norma, basta denir L(x, y) = (x y, y) que lineal inyectiva. 1

2 b) Demostrar que el conjunto C = {(x, y) R 2 : x + y < 1} no es convexo. (hacer un dibujo de este conjunto). Deducir de ello que: No es una norma en R 2. Qué condición falla?? (x, y) = ( x + y ) 2 NOTA: Si E es un espacio vectorial y A E se dice convexo si se cumple que x, y A λ [0, 1] se tiene λx + (1 λ)y A Primero notemos que podemos escribir C como C{(x, y) R 2 : (x, y) < 1} con la función denida en el enunciado. El dibujo del conjunto C está dado por la gura 1. Figura 1: Dibujo de C Para ver que C no es convexo, bastará dar un contraejemplo,un caso posible es tomando x = ( 9 10, 0) y y = (0, 9 10 ) y ver que 1 2 x y / C. Ahora bien como C no es convexo x, y C λ (0, 1) tal que λ x + (1 λ) y / C, es decir Supongamos que es norma, claramente λ x + (1 λ) y 1 t u = t u u = 0 u = 0 Supongamos ademas que cumple la desigualdad triangular, entonces en particular se tiene que: λ x + (1 λ) y λ x + (1 λ) y = λ x + (1 λ) y como x, y C x, y < 1 eso implica que λ x + (1 λ) y < λ + (1 λ) = 1 lo que es una contradicción. Por lo tanto no es una norma pues no cumple la desigualdad triangular. 2

3 2. Para cada una de las siguientes proposiciones determine su valor de verdad. Si es verdadera debe probarla y si es falsa debe dar un contraejemplo. a) para los números x 1,..., x n, y 1,..., y n y z 1,..., z n se cumple: ( x i y i z i ) 4 ( x 4 i )( yi 2 ) 2 ( zi 4 ) Recordemos la desigualdad de Cauchy-schwartz: a i b i n a 2 n i b 2 i ( a i b i ) 2 ( a 2 i )( b 2 i ) luego tomando a i = y i y b i = x i z i tenemos: Ahora tomando a i = x 2 i y b i = z 2 i ( x i y i z i ) 4 ( x 2 i zi 2 ) 2 ( yi 2 ) 2 tenemos el resultado, luego la armación es cierta. b) Con la métrica discreta en R n se cumple que los únicos subconjunto que son abiertos y cerrados a la vez son el espacio completo, el conjunto vacío y los singletón {x} x R n Sabemos que y R n son abiertos y cerrados, veamos que {x} es abierto y cerrado x R n. ABIERTO: Sea x R n, bastará tomar r (0, 1) con lo cual B(x, r) = {x} {x} CERRADO: Sea x R n, veamos que {x} c es abierto, notemos que {x} c = {y}, como por lo anterior {y} es abierto y R n, se concluye que {x} es cerrado. y R n /{x} Luego {x} es abierto y cerrado x R n, pero con esto, dados u, v R n distintos, el conjunto {u, v} es abierto y cerrado a la vez pues es unión nita de cerrados y de abiertos. Luego la proposición es falsa. c) Si el punto x 0 R n es punto de acumulación del subconjunto S R n, entonces todo conjunto abierto que contiene a x 0 posee innitos puntos de S Supongamos R n con la norma, como x 0 S existe una sucesión {x n } n 1 S tal que x n x o y además n 1 x n x 0. Luego ɛ > 0 n 0 N tal que n n 0, 0 < x n x 0 < ɛ, es decir, n n 0 se cumple x n B (x 0, ɛ). Por lo tanto la armación es cierta. d ) Si A, B R n con A abierto, B cualquiera y x 0 R n entonces A+B = {x+y R n : x A, y B} es abierto, pero A + {x 0 } no es abierto ni cerrado. Sea z A + B,por lo tanto x A, y B tales que z = x + y. Como A es abierto, r > 0 tal que B(x, r) A pero esto implica que B(x + y, r) A + {y}, es decir, B(z, r) A + {y}. Notemos que A + B lo podemos escribir como: A + B = A + {y} y B por lo tanto B(z, r) A + {y} A + B. Luego A + B es abierto, pero por lo anterior vemos que el conjunto A + {x 0 } también es abierto, por lo que la armación es falsa. 3

4 e) Sea {x k } k N una sucesión de Cauchy en (E, d) un espacio métrico. Si {x k } k N posee una subsucesión convergente a x entonces lím x k = x. k Sea {x ki } i N una subsucesión de {x k } k N que converge a x, luego d(x ki, x ) 0 Ahora bien, como la sucesión es de Cauchy tenemos que luego nalmente tenemos que d(x k, x ki ) 0 d(x k, x ) d(x k, x ki ) + d(x ki, x ) 0 lím k x k = x. por lo tanto la armación es cierta. f ) Sea (R n, ) espacio vectorial normado real, entonces se cumple que si A y B son dos subconjuntos cualquiera de R n, F r(a) F r(b) F r(a B), y además A F r(b) F r(a B). Dotemos R n de la norma euclideana para facilitar las cosas. La armación es falsa pues basta tomar A, B conjuntos abierto tales que A B = pero con A B, por ejemplo tomemos A = B(0, 1) y B = B(2e i, 1) con e i un vector canónico de la base de R n, luego A B = pero A B = {e i } con lo cual F r(a) F r(b) = {e i } F r(a B) = lo cual es imposible. 4

5 3. a) Hallar las supercies de nivel, de valor α = 1, 0, 1 de la función de 3 variables: f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 Existen varias formas de visualizar las supercies, una es escribir primero la ecuación: x 2 + y 2 z 2 = α = z = ± x 2 + y 2 α Con esto vemos que para las supercies de nivel se pueden interpretar como un paraboloide o un cono reejado por el plano XY, con lo cual tenemos las siguientes guras: Figura 2: α = 1 5

6 Figura 3: α = 0 Figura 4: α = 1 6

7 b) Para cada una de las siguientes funciones ( del 1) al 6) ) dada por una fórmula se pide encontrar la tabla de números; o bien la curva de nivel o gráco correspondiente ( de i) a ix) ). Puede ocurrir que una fórmula no tenga ninguna representación o bien más de una. Justique brevemente su elección: 1) f(x, y) = x 2 y 2 2) f(x, y) = 6 2x + 3y 3) f(x, y) = 1 x 2 y 2 1 4) f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 5) f(x, y) = 6 2x 3y 6) f(x, y) = x 2 + y 2 1) iii) y viii) pues corresponde a un punto silla y además se anula cuando x = y también se considera el hecho que los valores son fáciles de calcular. 2) iv) pues es un plano (por lo tanto sus curvas de nivel son rectas paralelas) y haciendo haciendo z = 0 obtenemos la ecuación de una recta de pendiente positiva 3) vii) pues corresponde a la ecuación de una esfera de centro 0 y radio 1, x 2 + y 2 + z 2 = 1 pero tomando z 0 4) ii) pues la tabla es simétrica con respecto a x e y y además los valores son faciles de calcular y calzan. 5) v) y vi) pues es un plano que intersecta los ejes en tales puntos y además haciendo z = 0 obtenemos la ecuación de una recta de pendiente negativa 6) i) y ix) pues corresponde a un cono (se puede ver con el hecho que está formado de innitos círculos centrados en el eje z), la tabla corresponde pues se anula en (0, 0) y además cuando una de las coordenas es 0 y la otra 1 ( 2) la función vale 1 (2). 7

8 Figura 5: pregunta 3.b 8