Control #1 MA22A Cálculo en Varias Variables Semestre Otoño 2007 Profesor: Marcelo Leseigneur P. 04 de Abril de 2007 Capelle. = f x dx.

Transcripción

1 Universidad de Chile Depto. de Ingeniería Matemática Control # MAA Cálculo en Varias Variables Semestre Otoño 7 Profesor: Marcelo Leseigneur P. Fecha: Auiliar: Renzo Lüttges José Miguel Vera Thomas 4 de Abril de 7 Capelle Pregunta : Considere V = { f C⁰[,], R} el espacio de las funciones contínuas de [,] en R y la norma: f = f d. a) Pruebe que V, es un espacio vectorial normado. b) Demuestre que < f, g > = f g d es un producto interno. c) Considere la sucesión de funciones { f k } definida por: f k = { k / [,/ ] (/, // k ] (// k, ] i) Pruebe que f k es de Cauchy con. ii) Concluya que V, no es Banach. d) Considere ahora f = sup [,] f y g k una sucesión de Cauchy en V. Demuestre que V, es Banach, mostrando que g k es convergente con. Pregunta : Indicaciones: -Si una sucesión de funciones contínuas converge uniformemente, entonces lo hace a una continua. -Recuerde que R, es Banach. a) Para cada =, e y = y, y en R definimos: d, y = { y si = y y si y Verifique que d define una métrica en R, dibuje dos puntos del plano e indique en su gráfico la forma en que la distancia entre estos puntos es medida. Dibuje además la bola unitaria usando la métrica d.

2 b) Sea E = C [,], R. Para cada elemento f E definimos: N f = f f ' = sup f sup f ' [,] [,] N f = f f f ' = f sup f f ' [,] i. Muestre que N y N son normas en E. ii. Son las normas N y N equivalentes? Indicación: -Recuerde que dos normas a y b son equivalentes si eisten y mayores que cero tales que: a b b a E. c) Resuelva uno de los siguientes problemas: y i. Se define en R la métrica d, y= y decir las sucesiones de cauchy convergen.. Demostrar que R, d es completo, es ii. Sean A y B dos conjuntos no vacíos de puntos de R n. Se llama A+B al siguiente conjunto: A+B={a+b / a A, b B}. Pruebe que si A es abierto y B es cualquier conjunto, entonces A+B es abierto. iii. Sea X, d un espacio métrico.. Si A B X, pruebe que A ' B '.. Si A y B son subconjuntos de X, pruebe que A B ' = A' B '. Pregunta 3: a) Encuentre el límite de las siguientes funciones cuando, y,.. f, y = y ⁴ y⁴ ² (en función de R ). f, y = ³ y³ ² y²y⁴ 3. f 3, y = y² ³ y² ⁴ ⁴y⁴

3 b) Relacione las siguientes funciones con su correspondiente superficie, curvas de nivel y gráfico de densidad. (notar que mientras más blanco el color de la función en el gráfico de densidad, mayor es su valor). f, y = ²y² f, y = cosh y e y f 3, y = sen sen y f 4, y = ³ y³ ² A B C D I II III IV R S T U Tiempo 3 horas

4 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES - MAA Pauta Control Problema. Consideremos V = { f C ([, ],R) } el espacio de las funciones contínuas de [, ] en R y la norma: (a) Pruebe que (V, ) es e.v.n. f = f() d Sol. Hay que verificar dos cosas, que V es e.v y que es norma. Claramente suma de contínuas y ponderación por escalar, sigue siendo contínua. Probemos que es norma: f = f() d = Como f es contínua y es positiva, entonces la función tiene que ser la función nula, ya que si eiste un punto donde no vale, entonces eiste una vecindad de este punto donde la función es estrictamente positiva. Por lo tanto en ese pedazo hay área bajo la curva. Lo que sería una contradicción con que f =. La implicancia para el otro lado es directa. λf = λf() d = λ f() d = λ f() d = λ f f + g = f() + g() d f() + g() d = f() d + g() d f + g Por lo tanto (V, ) es e.v.n. (b) Demuestre que, es un producto interno. < f, g > = f() g()d Sol. < f + g, h >= [f() + g()] h()d = f() h()d + g() h()d =< f, h > + < g, h > < λf, g >= λf() g()d = λ f() g()d = λ < f, g > < f, g >= f() g()d = g() f()d =< g, f > < f, f >= f() f()d = f() d >, f. (Por continuidad de f) (c) Considere la sucesión {f k } V, definida por: [, ] f k () = k ( /) + (, + ] k ( +, ] k Pruebe que f k, con es de Cauchy. Concluya que (V, ) NO es Banach. Sol. f m f n = f m() f n () d = f m() f n ()d = m+ n+, si (m < n) Con esto la sucesión f k es de Cauchy.

5 Claramente el límite de f k es la función: { [, f() = ] (, ] La cuál no es contínua f / V, por lo tanto f k no converge en V. Con esto (V, ) no puede ser Banach. (d) Considere ahora f = sup [,] f() y g k suc. de Cauchy en V. La idea es probar que (V, ) es Banach. Por lo tanto pruebe que g k es convergente con. (Hint: Si una sucesión de funciones contínuas converge uniformemente, entonces converge a una función contínua. Además use el hecho que (R, ) es Banach.) Sol. Como g k es de Cauchy cumple que: ɛ > ; m, n > N g m g n < ɛ g m () g n () < ɛ; [, ] Como se cumple para el sup, es para todo. Como g m () es sucesión de Cauchy en R,, se tiene que converge (R es Banach con ). Con esto tenemos que g m converge puntualmente a una función g. Pero sabemos que g m () g n () g m () g(), n g m () g() < ɛ; [, ] g m g < ɛ Con esto g m converge uniformemente a g. Falta ver que g V, pero eso sale de la indicación. Límite uniforme de funciones contínuas es contínuo. g V Así (V, ) es un espacio de Banach.

6 P. a) () i Esclaroque < d( y, ) <, independientedelcaso ( ii) pdq d( y, ) = d( y, ) si d( y, ) = y = y = d( y, ) si d( y, ) = + y + y = + y + y = d( y, ) ( iii) pdq d( y, ) = = y = = y y y d( y, ) = y = y = = y d( y, ) = + y + y = = y = = y contradicción: casoinviable sededuced( y, ) = = y ( iv) separarencasos: seanyz,, \ y = y = z = y = z d( y, ) = y = z + z y z + z y = d( z, ) + d(, z y)

7 y = z y = z d( y, ) = + y + y = + y z + z + y + z + y + y z = y z + z + + z = d( z, ) + d(, z y) = y z d( y, ) = y + y + z + z + y + z + y z = d( z, ) + d(, z y) y z = y d( y, ) y y y z z + y + z + z y + z + z + z + y + z y = d( z, ) + d(, z y) b) ParalaNormaN ( f) () iesclaroque N ( f) ( sumadenormas) ( ii) pdq N ( cf) = cn ( f), cen\ N ( cf) = cf + cf = c( f + f ) = cn ( f) ( iii) pdq N ( f) = f = : N ( f) = f + f = f = f = sup f( ) = f( ) = : f( ) = f ( ) = f + f =

8 ( iv) pdqn ( f + g) N ( f) + N ( g) N ( f + g) = f + g + f + g f + g + f + g = N ( f) + N ( g) ParaN ( f) () iesclaroque N ( f) ( ii) pdq N ( cf) = cn ( f), cen\ enefecto: N ( cf) = cf() + sup cf( ) + cf ( ) ( iii) pdq N ( f) = f = = c f() + csup f( ) + f ( ) = cn ( f) : f( ) = f ( ) = f() = f() + sup f( ) + f ( ) = N ( f) = ( iv) pdqn ( f + g) N ( f) + N ( g) N ( f) = f() + sup f( ) + f ( ) = f() = f( ) + f ( ) = ( edo) f( ) = Aep( ) f() = f( ) = Notarque [,] f( ) + g ( ) + f ( ) + g'( ) f( ) + f ( ) + g ( ) + g'( ) en particularsetieneque: sup f( ) + f ( ) + sup g ( ) + g'( ) sup f( ) + g ( ) + f ( ) + g'( ) sup f( ) + f ( ) + sup g ( ) + g'( ) luegoseconcluyeque: f() + g() + sup f( ) + g ( ) + f ( ) + g'( ) N ( f + g) N ( f) + N ( g) f() + g() + sup f( ) + f ( ) + sup g ( ) + g'( )

9 sonlasnormasequivalentes? veamosque cen\ talque: N ( f) cn ( f) setiene: f() sup f( ) sup f( ) + sup f ( ) = N ( f) : f( ) + f ( ) f( ) + f ( ) sup f( ) + sup f ( ) en particular sup f( ) + f ( ) sup f( ) + sup f ( ) = N ( f) seconcluye: f() + sup f( ) + f ( ) N ( f) N ( f) N ( f) faltademostrar cen\ talque: N ( f) cn ( f) seag ( ): = f( ) + f ( ) () estaedotiene porsolucion: f( ) = Ae ( ) f ( ) = A ( e ) Ae ( ) reemplazandoen(): A ( ) = ge ( ) t A( ) = A() + gtedt () t f( ) = A() e + e gtedt () f() = A() porotra parte: t f( ) = f() e + e gtedt () t e f() + e gt () edt (*)

10 como [,] e e e, setiene: (*) f() + e gt () dt f() + e sup gt () dt f() + e(sup f() t + f ()) t dt en ( f) t en particular:sup f( ) en ( f) () porotrolado: f ( ) = f( ) f ( ) f( ) f( ) f ( ) + f( ) de() y(3): sup f ( ) sup f( ) f ( ) + sup f( ) f() + sup f( ) f ( ) + sup f( ) ( + en ) ( f) (3) N ( f) (+ ) en ( f) esdecir, sonequivalentes.

11 Universidad de Chile Depto. de Ingeniería Matemática Pauta Problema c) MAA Cálculo en Varias Variables Semestre Otoño 7 Profesor: Marcelo Leseigneur P. Fecha: Auiliar: Renzo Lüttges José Miguel Vera Thomas Capelle 6 de Abril de 7 Pregunta : c) Resuelva uno de los siguientes problemas: y i. Se define en R la métrica d, y= y decir las sucesiones de cauchy convergen.. Demostrar que R, d es completo, es Solución: Sea k una sucesión de Cauchy con la métrica d. Para demostrar que converge veremos que es de Cauchy en R,. pdq, N ; n, m N n m. Sea. definimos =. Puesto que k es de Cauchy con d, n m N ; n, mn n m lo cual implica que n, mn n m Luego k es de Cauchy en R,, por lo tanto es convergente y R, d es completo. =. ii. Sean A y B dos conjuntos no vacíos de puntos de R n. Se llama A+B al siguiente conjunto: A+B={a+b / a A, b B}. Pruebe que si A es abierto y B es cualquier conjunto, entonces A+B es abierto. Solución: Sea b B, definimos el conjunto C b = { R n ; = b ; para algún A}. Veamos que C b es abierto. Sea C b e y B, r a donde r a es tal que B b,r a A. Sabemos que r a eiste pues b A y A es abierto. Tenemos entonces y tal que y r a y b b r a y b b r a luego y b B b, r a A, con lo cual y b A, de donde se tiene que y bb = y C b. Con esto C b es abierto. Finalmente escribimos A+B como A B = C b b B

12 iii. Sea X, d un espacio métrico. Solución:. Si A B X, pruebe que A ' B '.. Si A y B son subconjuntos de X, pruebe que A B ' = A' B '..Sea A', esto es B ', A. Pero A B, luego B ', B, con lo cual B '.. Sea A B', esto es: B ', A B {B ', A } {B ', B }. A' B ' A' B '.

13 Universidad de Chile Depto. de Ingeniería Matemática Pauta Pregunta 3 MAA Cálculo en Varias Variables Semestre Otoño 7 Profesor: Marcelo Leseigneur P. Auiliar: Renzo Lüttges José Miguel Vera Thomas Capelle Pregunta 3: Fecha: a) Encuentre el límite de las siguientes funciones cuando, y,. 6 de Abril de 7. f, y = y ⁴ y⁴ ² Solución: (en función de R ) y f, y = ⁴y⁴² y y⁴² Luego si 4 4 ² y⁴ ² y⁴ ² y⁴ 4 = ²y⁴ 4 ² y⁴ y f es continua. Ahora bien, para tenemos, tomando =m y² : f m y², y = m y. Epresión que para = y tomando lim y m² y⁴m² Si la epresión diverge al tomar lim. Luego f no es continua. y depende de m.. f, y = Solución: ³ y³ ² y²y⁴ ³ cos³ sen³ f, = ² ⁴ cos⁴ = cos³ sen³ cos³ sen³ ² cos⁴ luego f continua. 3. f 3, y = Solución: y² ³ f, y = ⁴ y⁴ Luego lim, y, y² ³ y² ⁴ ⁴y⁴ 3 ⁴ y⁴ 3/ 4 y ⁴y⁴ / 4 f, y =. ⁴ y⁴ 4 ⁴y⁴ ⁴y⁴ 3 4 = ⁴y⁴ 4 =, y 4

14 b) Relacione las siguientes funciones con su correspondiente superficie, curvas de nivel y gráfico de densidad. (notar que mientras más blanco el color de la función en el gráfico de densidad, mayor es su valor). f, y = ²y² f, y = cosh y e y C II U A IV S f 3, y = sen sen y f 4, y = ³ y³ ² D III T B I R