Límites y continuidad

Transcripción

1 Límites y continuidad Una sucesión en A C es una función que asocia a cada i N un punto a i A, y se le denota como {a i }. La sucesión {a i } es acotada si existe un real r tal que a i r para toda i. La sucesión {a i } converge a un punto a C y escribimos a i a, si para cada ɛ > 0 existe n N tal que a i a < ɛ para todo i n (es decir, si la distancia entre a i y a se hace eventualmente mas pequeña que cualquier número positivo). Observar que si una sucesión {a i } converge a un complejo a entonces la sucesión es acotada, y toda cota para {a i } es una cota para a. Además, a i a si y solo si Re a i Re a y Im a i Im a ya que un complejo es pequeño si y solo si sus partes real e imaginaria son pequeñas. Lema. Si {a i } y {b i } son sucesiones, a i a y b i b entonces: a i + b i a + b a i b i ab /b i /b siempre que b 0 a i /b i a/b siempre que b 0 La demostración se basa en las siguientes desigualdades: (a i + b i ) (a + b) a i a + b i b a i b i ab = (a i b i aib + a i b ab a i b i b + a a i b a b i b + a a i b para i grande. b i b = bb i b b i bb b b i para i grande, si b 0. Si a i a y b i b entonces a i a y b i b se aproximan a 0, asi que estas cantidades multiplicadas por constantes como a o b o bb y sumadas tambien se aproximan a 0, por lo que los lados derechos de las desigualdades se aproximan a 0, asi que los lados iquierdos tambien deben aproximarse a 0.

2 Límites y continuidad de funciones Dada una función f : A C C decimos que lim a f() = b si para cada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que a < δ implica f() b < ɛ. Lema. lim a f() = b si y solo si para cada sucesión {a i } en A, a i a implica f(a i ) b. Demostración. Si lim a f() = b, entonces para cada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que a < δ implica f() b < ɛ. Si a i a entonces hay un n tal que a i a < δ para i n, asi que f( i ) b < ɛ para toda i n, asi que f( i ) b. Por otro lado, si lim a f() b entonces existe un ɛ > 0 tal que para toda n hay un n A con n a < /n y f( n ) f(a) > ɛ. Asi que n a pero f( n ) f(a). lim 3 + = = 5 lim + = 3 ya que + lim a = a a si a 0 lim 0 = ( )(+) = + para no existe: es un complejo unitario en la direccion de, y puede aproximarse a 0 en muchas direcciones distintas. Decimos que una función f : A C C es continua en un punto a A si para cada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que a < δ implica f() f(a) < ɛ Decimos que f es continua si es continua en todos los puntos de A. Corolario. La función f : A C C es continua en el punto a si y solamente si para toda sucesión en A, a i a implica que f(a i ) f(a).

3 Ejemplo: La funcion identidad I() = es continua en todos los puntos de C, ya que a i a implica a i a. Las funciones constantes c() = son continuas ya que c c. Corolario. Si f y g son funciones continuas entonces f + g y fg son continuas. Además /g y f/g son continuas en todos los puntos donde g 0. La demostración se sigue de los lemas anteriores: Si f y g son continuas entonces a i a implica f(a i ) f(a) y g(a i ) g(a) para cada a, por lo tanto: f(a i ) + g(a i ) f(a) + g(a) asi que (f + g)(a i ) (f + g)(a) f(a i )g(a i ) f(a)g(a) asi que fg(a i ) fg(a) f(a i )/g(a i ) f(a)/g(a) si g(a) 0, asi que f/g(a i ) f/g(a) siempre que g(a) 0. Los polinomios complejos son funciones continuas en todo C, ya que se obtienen multiplicando y sumando las funciones Id() = y las constantes c() = a que son continuas. Las funciones racionales, que son los cocientes de polinomios P ()/Q(), son continuas en todos los puntos donde están definidas (donde Q() 0). Pregunta: Como mostrarías que e es continua? Lema. La composición de funciones continuas es una función continua. Demostración. Si f es continua en a entonces a i a implica que f(a i ) f(a). Si g es continua en f(a) entonces f(a i ) f(a) implica que g(f(a i )) g(f(a)). Ejemplo. Si e es continua entonces cos() = ei +e i y sen() = ei e i son continuas; y g() = sin5 +e + 7 e sen es continua en todo C ya que e nunca es 0. Limites infinitos y la esfera de Riemann Diremos que una sucesión {a i } converge a infinito (a i ) si para cada número real r existe n tal que a i > r para todo i n. 3

4 Diremos que el límite de una función f en el punto a es infinito (lim a f() = ) si a i a implica que f(a i ). Diremos que el límite en el infinito de f es b (lim f() = b) si a i implica que f(a i ) b. lim 0 = lim lim ya que < /n implica / > n = 0 ya que > n implica / < /n no existe, ya que es complejo unitario en la dirección de y podemos aproximarnos a en muchas direcciones distintas. lim = lim +/ 3+4/ = 3 lim = = Si al plano complejo le añadimos el punto al infinito ( ) obtenemos el plano extendido C. El plano extendido tiene la forma de una esfera, llamada la esfera de Riemann, o S. La correspondencia entre los puntos del plano extendido y los puntos de la esfera unitaria en R 3 se obtiene proyectando los puntos de la esfera hacia el plano desde el polo norte: Esta es la proyección estereográfica p : S {N} C, donde N es el polo norte de S ). Observar que una sucesión de puntos a i en C converge a un punto en C si y solo si las imagenes de los a i en la esfera convergen a un punto distinto de N, y que a i si y solo si las imagenes de los a i en la esfera convergen a N. 4

5 Muchas funciones continuas de C a C, y aún algunas funciones que no estan definidas en todo C, pueden extenderse a funciones continuas de C a C : lo único que necesitamos es que los límites en C existan. Como para cada polinomio complejo P () se tiene que lim P () =, entonces cada polinomio define una función continua P : C C haciendo P ( ) =. Como la función I() = / cumple que lim 0 I() = y que lim I() = 0 entonces la función / se extiende a una función continua de C en C haciendo I(0) = 0 = y I( ) = = 0. La función f() = puede extenderse a una función continua de C C si definimos f( 3 4 ) = y f( ) = 3. Se puede mostrar que esta función extendida es biyectiva, viendo que para cada w C existe un único C tal que w = Problemas. Para cuales valores complejos de la sucesión a n () = n converge? Y la sucesión b n () = n n? Y la sucesión c n () = n n?. Demuestra que lim 0 / no existe (muestra que para cada complejo unitario u hay sucesiones a i 0 tales que a i /ā i u, y que hay sucesiones a i 0 de modo que a i /ā i no converge a ningún complejo). 3. Calcula los límites de la función f() = Existen los siguientes límites? en los puntos = 0,,, 3, lim e? lim e /? lim 0 sen()? lim sen()? 5. Muestra que si f() es continua y f(a) 0 entonces existe una vecindad de a en la que /f() es continua. 6. Geométricamente, que hacen las funciones f() = n en la esfera de Riemann? Y la función /? 7. Muestra que si f() = a+b c+d y ad bc 0 entonces lim f existe y f se extiende a una función continua y biyectiva de C C. 5