Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº Cátedra de Matemática

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº 6-0- TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 Parte I Intervalos. Límite de una función: definición, teoremas, límites laterales, límites infinitos, límites al infinito. Continuidad de una función en un punto. Ejercicio Nº : a) Definir entorno simétrico de un punto a y radio δ: E (a, δ) b) Definir entorno reducido de un punto a y radio δ : E* (a, δ) Ejercicio Nº : Definir el límite de f() cuando tiende a a. Ejercicio Nº : Suponiendo que k es una constante y P() es un polinomio y que: lím f() L y lím g() M Enunciar (sin demostrar) los siguientes teoremas: a) lím k b) lím c) lím k f() d) lím (f() ± g()) e) lím (f().g()) f) lím (f()/g()) g) lím (f()) n h) lím P() Ejercicio Nº 4: Calcular los siguientes límites: a) lím 0 b) 5 lím c) 7 lím 7 lím d) lím lím lím e) lím lím lím f) lím g) lím h) lím[ ( ) ] i) lím j) lím 9 k) lím l) lím m) lím n) lím o) ( ) 4 lím 5 7 p) lím 4 7

2 Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº q) lím r) lím h s) lím t) lím h 0 h u) lím t 0 t t Ejercicio Nº 5: Graficar las siguientes funciones y calcular los límites indicados: si < a) f ( ) si i) lím f() ; ii) lím f() ; iii) lím f() si < b) c) 0 si < 0 g ( ) i) lím g() ; ii) lím g() ; iii) lím g() si 0 t 4 si t 4 f (t) i) lím f(t) ; ii) lím f(t) ; iii) lím f(t) 4 t si - 4 t Ejercicio Nº 6: Calcular los límites laterales y el límite para 0 en las funciones a) valor absoluto de b) signo de Ejercicio Nº 7: Calcular los límites indicados a) f() i) lím f() ; ii) lím f() ; iii) lím f() 4 b) g() i) lím g() ; ii) lím g() ; iii) lím g() 9 c) f(t) i) lím f(t) ; ii) lím f(t) ; iii) lím f(t) ( 4) Ejercicio Nº 8: Calcular los límites al infinito indicados a) lím 7 b) lím 8 c) lím Ejercicio Nº 9: Definir el número e

3 Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº 6-0- Parte II Ejercicio Nº 0: Qué condiciones debe cumplir una función f() para ser continua en un punto de abscisa a? Ejercicio Nº : Demostrar que la función y es continua en 0. Ejercicio Nº : Graficar las siguientes funciones; observar en qué valores de la variable independiente se presentan saltos y demostrar utilizando la definición que la función es discontinua en esos valores. a) f() 6 b) f() c) f() si < si - si > d) h() si - si - e) f() 4 si < 4 si 4 - si > Ejercicio Nº : Qué condiciones debe cumplir una función discontinua en un punto a para que la discontinuidad sea evitable en dicho punto a y qué condiciones para que la discontinuidad sea esencial? Ejercicio Nº 4: Para las funciones discontinuas del Ejercicio, determinar si la discontinuidad es evitable o esencial. En caso de ser evitable, redefinir f(a) de manera que la discontinuidad pueda salvarse. Parte III Contenidos: Derivada. Definición. Interpretación geométrica. Derivabilidad y continuidad. Derivada de la función compuesta. Derivada logarítmica. Derivada de las funciones trigonométricas inversas. Derivadas sucesivas. Derivadas parciales Ejercicio Nº 5: Definir la derivada de una función f() en un punto de abscisa a. Ejercicio Nº 6: Interpretar geométricamente la derivada de una función f() en un punto de abscisa a.

4 Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº 6-0- Ejercicio Nº 7: Utilizando la definición de derivada de una función, verificar que: f() f () a) c 0 b) c) d) Ejercicio Nº 8: Construir una tabla con las funciones más utilizadas y sus derivadas. Ejercicio Nº 9: Utilizando las reglas y tablas, hallar las derivadas de las siguientes funciones: a) f() b) f() c) f() / d) f() 4 e) f() / Ejercicio Nº 0: Hallar la derivada de las siguientes funciones: a) y 5 - b) y (a b) c) y 5 e) y a b a b d) y 4-5 f) y ln sen g) y e h) y ( ) sen i) y tg j) y sen k) y tg ln l) y sen cos 4

5 Facultad de Ciencias Naturales y Museo Trabajo Práctico Nº 6-0- Ejercicio Nº : Derivar las siguientes funciones compuestas: a) y ln cos b) y sen c) y cos d) y e e) y sen f) y ln( ) g) y tg (e ) h) y ln (ln ()) i) y ( ) sen j) y sen k) y sen cos Ejercicio Nº : Utilizando el método de la derivada logarítmica demostrar los siguientes teoremas: f() Ejercicio Nº : Utilizando el método de la derivada logarítmica, calcular las derivadas de las siguientes funciones: f () a) e e b) a a ln a c) n n n- a) y b) y sen c) y (/) d) y sen Ejercicio Nº 4: Hallar las derivadas primera y segunda de las siguientes funciones: a) f() sen b) g(t) t t c) h(y) y e y d) f(t) 4 cos t 4 Ejercicio Nº 5: a) Dada V(r,h) π r h (volumen de un cono) Hallar r y h b) Dada V(r,h) π r h (volumen del cilindro) Hallar y r h Ejercicio Nº 6: Dada T(,y,z) y 4z Hallar T T T, y y z 5