Tema 2 Funciones(II). I). Continuidad.

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1 Unidad. Funciones (II).Continuidad Tema Funciones(II). I). Continuidad. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas 4. Teoremas de continuidad 4.1. Teorema de conservación del signo 4.. Teorema de Bolzano 4.3. Teorema de Darbou Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón 1

2 Unidad. Funciones (II).Continuidad 1. Definición de Continuidad Definición: una función f( es continua en un punto si en dicho punto se cumplen las siguientes tres condiciones: 1. Eiste lim f (. La función definida en, es decir Dom(f() 3. Los dos valores anteriores coinciden: lim f ( f( ). Ejemplo: 1) Dom(f()(-,3) [5, ) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) -3 lim f ( 3 f(3) 3 b) 1 lim f ( no eiste 1 c) 5 lim f ( no eiste 5 ) Dom(g()(-,) (,1] (,3) (3, ) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) lim g( no eiste b) 1 lim g( no 1 eiste c) lim g( no eiste d) 3 lim g( 3 pero g(3) no eiste ya que 3 Dom(g() Definición: una función f( es continua en un intervalo (a,b) si en todos los puntos del intervalo es continua. Esto ocurre cuando al dibujar la gráfica no levantamos el boli de la hoja para dibujarla En el ejemplo anterior f( continua en (-,-3), (-3,1), (1,3) y (5, ). La función g( en (-,), (,1), (,3) y (3, ). Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)

3 Unidad. Funciones (II).Continuidad. Tipos de discontinuidades Definición: una función f( es discontinua en un punto si no es continua en dicho punto. Eisten dos tipos de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable b) Discontinuidad no evitable Discontinuidad evitable: una función f( presenta una discontinuidad evitable en el punto si se cumple: 1. El límite de la función en eiste,. O no coincide con f( ) o bien la función no definida en. Ejemplos: lim f ( 4 f () 1. Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en, haciendo que en este punto la función tome el mismo valor que el límite f( lim g( pero Don(g(). Esta discontinuidad se evitaría si redefinimos la función e tal que en esta valga lo mismo que el límite: g( 1/ si si Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 3

4 Unidad. Funciones (II).Continuidad Discontinuidad no evitable: son las que cumplen que el límite en el punto o no eiste o es infinito. Pueden ser a su vez de tipos: 1) Salto finito en : los límites laterales no coinciden lim f ( lim f ( ) Salto infinito en : cuando los dos límites laterales en o al menos uno de ellos es o -. Ver actividades resueltas pág 37 y Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas. Las funciones elementales por lo general son continuas en todos los puntos del dominio. Las discontinuidades más importantes aparecen en funciones definidas a trozos, y en discontinuidades de salto infinito (cuando se anula el denominador). Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 4

5 Unidad. Funciones (II).Continuidad Veamos las operaciones de funciones continuas: sean f( y g( funciones continuas en 1) La función suma y resta (f ± g)( continua en ) La función producto (f g)( continua en 3) La función división (f/g)( continua en si g( ) 4) Si g( continua en y f( continua en g( ) entonces la función compuesta (f g)( continua en. 4. Teoremas de Continuidad Teorema de conservación del signo Teorema de conservación del signo: sea una función f( continua en el punto y tal que f( ), se cumple que en un entorno del punto la función conserva el signo, es decir si f( )> en un entorno de la función positiva, y si f( )< en un entorno de la función es negativa. Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano: si una función f( es continua en un intervalo [a,b] tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo (f(a) f(b)<), entonces eiste al menos un punto c (a,b) tal que f(c). Veámoslo gráficamente: a c b Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 5

6 Unidad. Funciones (II).Continuidad Ejercicio: encontrar un intervalo donde la función f( decir f( ) corte al eje, es Tenemos que la función es continua en R-{3}. Busquemos un intervalo (que no contenga 3 tal que el signo de sus etremos sea diferente. [,1] f() 1/3> f(1)-1/< luego c (,1) : f(c). Veamos la función: Teorema de Darbou El teorema de Darbou es un corolario del teorema de Bolzano: Teorema de Darbou: sea f( una función continua en un intervalo [a,b] se cumple que para todo valor M [f(a), f(b)] eiste un valor c (a,b) tal que f(c)m. Demostración: sea g(f(-m, que será continua en [a,b] por las propiedades de la continuidad, y tal que g(a) g(b)< luego eiste c: g(c)f(c)-m f(c)m. f(b) Mf(c) f(a) a c b Ejercicio: Decir un intervalo de donde la función f( -3 valga 5. Esta función es continua en R, luego podemos aplicar el teorema de Darbou. Tenemos que buscar un intervalo [a,b] tal que 5 comprendido entre f(a) y f(b). Sea [1,3] se cumple f(1)3 y f(3)9 luego como 5 (f(),f(3)) eiste c (,3) tal que f(c)5 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 6

7 Unidad. Funciones (II).Continuidad Ejercicios Ver actividades resueltas de las páginas 35, 37 y Pag 48 5 a) f( 5 si si El valor absoluto es continuo en todos los puntos, luego el único punto donde la función f( puede no ser continua es en, punto donde la función cambia de epresión analítica: lim f ( lim5 o o lim 5 lim 5 4 o o lim 5 lim 5 6 o o no eiste, salto finito b) Es una función definida a trozos, donde cada uno de ellos es un polinomio, así que el único punto que puede no se continua es, donde cambia de epresión analítica: lim 1 3 lim g( lim además f()3. Luego g( continua en R. c) Es una función a trozos, uno de ellos es una fracción algebraica, así que que en los puntos donde se anule el denominador puede no ser continua. Como coincide el punto donde se anula el denominador con el cambio de epresión analítica (3) sólo hay que estudiar la continuidad en este punto. Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 7

8 Unidad. Funciones (II).Continuidad 9 lim h( lim es continua en R ( 3)( 3) lim 3 ( 3) lim( 3) 6f(3)6 la función h( 3 d) Es una función definida a trozos, donde cada uno de ellos es un polinomio, así que el único punto que puede no se continua es -1, donde cambia de epresión analítica: lim l( 3 1 lim l( 1 lim l( lim salto finito. Así l( continua en R-{-1}. No eiste, luego no es continua en -1, de. Pag 48 a) Es una función definida a trozos, cada uno de ellos son epresiones trigonométricas, continuas en R, luego el único punto donde puede presentar discontinuidad es en π/, donde la función cambia de epresión analítica. lim f ( lim k cos( k 1 π π lim f ( π lim f ( lim sen(3 1 π π luego la función continua si k eiste si k. Además f(π/)-1, b) Es una función definida a trozos, uno de ellos es una fracción algebraica que puede no ser continua en los puntos donde se anual el denominador (). Como este punto coincide con el punto donde la función cambia de epresión analítica es el único punto donde g( puede no ser continua. 4 4 lim lim g( lim el límite no eiste, así que 4 lim indiferentemente del valor de k la función g( no es continua en c) Es una función definida a trozos, cada uno de ellos son polinomios y valores absolutos, continuas en R, luego el único punto donde puede presentar discontinuidad es en, donde la función cambia de epresión analítica. lim 1 1 limk( 3 lim 1 1 1, luego será continua si k()k1 k1 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 8

9 Unidad. Funciones (II).Continuidad si > 3 e) Este ejemplo no está en el libro: m ( 3 k si 3 4 Es una función definida a trozos, cada uno de ellos son fracciones algebraicas, que pueden no ser continuas en los puntos donde se anulan el denominador. En la primera de ellas ocurre en, pero como esa epresión analítica sólo para >3, nuca tomará ese valor. La segunda se anula para 4, pero como la epresión definida para 3 nunca tomará ese valor. Así que sólo hay que estudiar la continuidad en 3, donde la función cambia de epresión analítica: 3 lim k 6 k 3 limm( 4 El límite eiste si k17. Además con este valor 3 11 lim m(3)11 y por tanto continua en 3 y en todo R. 5. Pag 48 a) El dominio de la función f( -65 y su continuidad es todo R, ya que el valor absoluto de f( es continuo en los mismos puntos que sea continua f( y f( es un polinomio. b) g ( 4 4. El dominio de una función de una raíz cuadrada son todos los puntos donde el radicando es positivo. Como g( definida a partir de suma de tres funciones, el dominio será la intersección de los tres dominios. Veamos uno a uno por separado: 4 Dom[-4, ) 4 Dom(-,4] DomR Dom(g() [-4, ) (-,4] R[-4,4] En los puntos del dominio la función es continua, pues el límite de la función coincide con el valor en el punto. 6. Pag 48 e si a) f ( a b si < 1, es una función definida a trozos, y cada trozo es 1 ln( si 1 continua en su dominio de definición, pues el único que no es continua en todo R es 1 ln(, pero si 1 es continua pues >. Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 9

10 Unidad. Funciones (II).Continuidad Tendremos que ver la continuidad en y 1 para asegurar que la función f( continua en todo R. lim f ( lim e 1 lim f ( lim f ( a b b lim El límite eiste si b, además para este valor de b f() y por tanto la función será continua 1 lim f ( lim(1 lu( ) lim f ( El límite eiste si a1, además para 1 lim f ( lim a a 1 1 este valor de a f(a)1 y por tanto la función será continua 7. Pag 49 Estudiemos la continuidad de las funciones f( y g( 1 si [,1) f( si [1, ) g( 1 si si [,) [, ) Fácilmente se puede comprobar que f( continua en todo dominio de definición [, ), y g( continua en todos los puntos de definición menos en donde las derivadas laterales no coinciden, es decir [,) (, ). a) (fg)( por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) b) (f g)( por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) c) (f/g)( por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) ya que g( no se anula para ningún valor de 9. Pag 49. Tipos de discontinuidades 4 a) f( será continua en R menos en los puntos donde se anula el denominador es decir y, por tanto, Dom(f(). Veamos el límite en estos puntos para discernir el tipo de discontinuidad. Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

11 Unidad. Funciones (II).Continuidad 4 4 lim 4 4 a) lim inf salto inito en 4 4 lim 4 ( )( ) 4 b) lim lim evitable ( ) si b) g( tanto - como e - son continuas para todo R, luego la única e si > posible discontinuidad ocurre en. lim g( lim e 1 lim g( lim g( lim Discontinuidad de salto finito. e) (No viene en el libro) Evitable si f ( lim f ( lime 1 f () e si 11. Pag 49. Estudiar discontinuidad de f( ln( sen( π f ( 1 si si si si < < < 4 4 Función definida a trozos y en cada uno de ellos la función es continua en su dominio de definición (ln(- es continua si <). Veamos la continuidad en los puntos donde cambia la epresión analítica: lim f ( sen( π ) - Salto finito: lim f ( lim f ( ln() Continua lim f ( f ( 4 Salto finito: lim f ( lim f ( 4 lim f ( Pag 5. Teorema de Bolzano a) sen(cos( solución en [-π,π]: Definimos f( sen(cos(- que es continua en R y por tanto en [-π,π]. f(-π)-1π>, f(π)1-π<. Cumple Bolzano (continua y f(a) f(b)<) c (-π,π): f(c), es decir la ecuación solución en este entorno. Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 11

12 Unidad. Funciones (II).Continuidad b) 3sen(e - cos( en algún valor de. Definimos f(e - cos(-3sen( que es continua en R. f()1> f(π/)-3<. Cumple Bolzano (continua y f(a) f(b)<) c (,π/): f(c), es decir la ecuación solución en este entorno. 14. Pag 5. No contradice Bolzano pues cotag( no es continua en π [3π/4, 5π/4] 15. Pag 5. Demostrar f( 3-8 corta al eje OX en (,). se puede decir lo 3 mismo de? 1 f( continua en (,) y f()>, f()-6< luego por Bolzano c (,): f(c) 3 No podemos decir lo mismo de, pues en 1 (,) no es continua Pag 5. Sólo es cierto si f( es continua en el intervalo 17. Pag 5. No contradice Bolzano pues en - (-3,-1) no es continua. 6. Pag 51. Dominio y discontinuidad de f(ln((/ ) Pasos: 1) continuidad de (/ R-{} ) Al ser un logaritmo (/ >: Como siempre positivo tenemos que ver el cuando (>, esto ocurre en elintervalo (-, ) - - De esta forma el dominio será (-, ) menos el punto Dom(f() (,-) (, ). En todos los puntos del dominio la función es continua pues el límite eiste y coincide con el valor de la función en el punto. 8. Pag 51. Hallar a y b para que f( cumpla Bolzano en [-π,π] cos( si π f ( a si < < 1 Para que cumpla Bolzano tenemos que obligar a la b si 1 π función a que sea continua en [-π,π]: : lim lim f ( lim f ( cos( ) f ( a 1 a a1 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

13 Unidad. Funciones (II).Continuidad lim f ( : lim f ( b b 1 lim f ( b 1 1 Si a1 y b la función es continua, vamos ahora que cumple la segunda condición: f(-π)-1< f(π)1/π> Luego cumple Bolzano c (-π,π): f(c) Busquemos el valor c: a) Veamos si c [-π,] cos(c) c-π/ b) Veamos si c [,1] 1 no solución c) Veamos si c [1,π] / no solución 31. Pag 51 a) π e solución en (,1) definimos f(π -e, continua en [,1] y además f()1-e< y f(1)π-e> b) φ e solución en (,1) definimos f( φ -e, continua en [,1] pero f()1-e< y f(1) φ-e< luego no podemos asegurar que corte el eje OX. Ejercicios de la P.A.U. Junio de 4.Prueba A C-: f(g( h(f(-g( con h(e -1/. Se cumple que h( es continua para > (no se anula el denominador). Veamos si cumple Bolzano: h(.1)e.1-1< ; h(1)e-1> Luego cumple Bolzano c (.1,1): h(c) Junio de 5.Prueba B Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 13

14 Unidad. Funciones (II).Continuidad C-3 f α si 1 1 e β si ( / Continua si lim f ( f () β α α lim α α 1/ 1/ lim f ( lim ( ind) 1 e 1 e 1/ 1 e 1 e 1/ α α lim 1/ 1/ 1 e 1 e eista el límite α. Si α lim f (. Por lo tanto como ha de ser igual a f()β β α α 1 Para que Junio de 7.Prueba A C-4 Si f( y g( se cortan en algún punto f(g( sen(1/. Para poder 1 aplicar Bolzano pasamos 1/ al otro miembro sen ( h(. Ahora 1443 h( podemos aplicar Bolzano a h( en el intervalo marcado (π,5π/): 1) Continua en [π,5π/] ya que h( continua en todos los reales menos en el, y [π,5π/]. ) h(π)sen(π)-1/(π)-1/(π)< h(5π/)sen(5π/)-1/(5π/)1-/(5π)> Luego al cumplir Bolzano sabemos que eiste un punto c (π,5π/) tal que h(c), y por tanto en este punto se cumple la igualdad f(c)g(c), cortándose las dos gráficas Junio de 7.Prueba B PR- (b) ce -c 4. Si modificamos la igualdad 14 e 43 4 tendremos que la ecuación solución si eiste un punto c tal que f(,es decir si podemos aplica Bolzano 1) Continua en R, luego podemos tomar cualquier intervalo para aplicar Bolzano ) busquemos el intervalo f()1-4<. Si tomamos 4, como e - siempre positivo se obtenemos el otro etremo del intervalo: f(4)4e -4-4>. Luego cumple Bolzano en [.4] eiste c (,4) tal que f(c), y por tanto ce -c 4 solución en (,4). f ( Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 14