ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre INDUCCION MATEMATICA

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1 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre INDUCCION MATEMATICA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción 1

2 Principio de la buena ordenación Todo subconjunto no vacío de IN tiene un elemento menor que los restantes. Es decir, si S IN, S φ, entonces existe p S tal que r S : p r. TEOREMA: Principio de inducción matemática Sean S IN y p IN tales que p S k S (k + 1) S Entonces S contiene a todos los naturales mayores o iguales que p, es decir: k IN, k p : k S 2

3 DEMOSTRACION Por el método de contradicción: ( H T ) P P Supongamos que existe k IN, k > p, tal que k S, y definamos: G := {m IN : m > p m S} Es claro que G φ ya que k G. Luego, por el principio de la buena ordenación, existe r G tal que r m m G. Notar que r > p y r S. Así, como r es el menor elemento de G, se deduce que r 1 G, lo cual implica dos posibilidades: ( r 1 p ) ( r 1 S ). Si r 1 p, entonces r p + 1, y puesto que r > p, se deduce que r = p + 1. Así, como p S, se concluye por hipótesis que r = p + 1 S, lo cual contradice el hecho que r S. Si r 1 S, entonces por hipótesis nuevamente se deduce que r = (r 1) + 1 S, lo cual contradice el hecho que r S. 3

4 EJEMPLO Pruebe que: Solución n IN, 8 n es divisible por 7. Sea S = { n IN : 8 n es divisible por 7 } Si n = 1 8 n = = 7 = S Hipótesis de Inducción: Supongamos que k S, es decir, 8 k es divisible por 7. 4

5 Tesis de Inducción: Probemos que k + 1 S, es decir, 8 k }{{} 8 k +6 es divisible por 7. 8 k + 6 = 8 k = 8 k = 8 (8 k 1 + 6) }{{} es divisible por 7, por Hip. de Inducción + 6 ( 8 + 1) }{{} 7 es divisible por 7 k + 1 S. Luego S = IN 5

6 Factorial y Coeficiente Binomial Dado k IN, se define el factorial de k, denotado por k!, como sigue Además, se define 0! = 1. 1! = 1 y k 2 : k! = k (k 1)! Sean k, n IN {0} tales que k n. Se define el coeficiente binomial de n y k, y se denota n k, al número: n k = n! k! (n k)! 6

7 Propiedades de los Coeficientes Binomiales Sean k, n IN {0} tales que k < n. Entonces, se tiene: n 0 = n n = 1 n 1 = n n k n k = + n n k n k + 1 = n + 1 k + 1 7

8 El Operador Sumatoria Dados n números reales indexados como a 1, a 2,...,a n, se define la sumatoria de ellos, y se denota a k, a: k=1 k=1 a k = a 1 + a a n 1 + a n EJEMPLOS k 2 = (n 1) 2 + n 2 k=1 (2k 1) = (2n 3) + (2n 1) k=1 3 k = n n k=0 8

9 Propiedades del Operador Sumatoria a i = j=1 a j y a i = i=0 n+1 a = a + a + + a + a = na c a i = c (a i + b i ) = m j=1 b j a i 1 = a i (c constante) a i + a i = b i ( m n ) a i j=1 b j n+2 i=2 a i 2 = n+k i=k (a i+1 a i ) = a n+1 a 1 (propiedad telescópica) a i k 9

10 EJEMPLO Demuestre que n IN, n 2 : k (k!) = (n + 1)! 2! k=2 SOLUCION { } Sea S := n IN : n 2 k (k!) = (n + 1)! 2! k=2 2 S? 2 En vista que k (k!) = 2(2!) = 4 y (2 + 1)! 2! = 4, se concluye que 2 S. k=2 Hipótesis de Inducción: supongamos que r S, es decir, r k (k!) = (r + 1)! 2! k=2 10

11 Tesis de Inducción: probemos que r + 1 S. r+1 k=2 k (k!) = r k (k!) + (r + 1) (r + 1)! k=2 (prop. de sumatorias) = (r + 1)! 2! + (r + 1) (r + 1)! (hip. de inducción) = (r + 1)! (1 + r + 1) 2! = (r + 2)! 2! r + 1 S, y así, por el principio de Inducción Matemática, concluye la demostración. 11

12 TEOREMA DEL BINOMIO Sean a, b R {0}, y sea n IN. Entonces: (a + b) n = n k a n k b k k=0 Algunas observaciones El desarrollo de (a + b) n consta de n + 1 términos. La suma de los exponentes de a y b en cada término es n. Los coeficientes de los términos equidistantes del centro son iguales. El término que ocupa el lugar k + 1 está dado por t k+1 = n k a n k b k 12

13 DEMOSTRACION DEL TEOREMA DEL BINOMIO Dado n IN consideremos la proposición: p(n) : (a + b) n = n k k=0 a n k b k. Entonces, se define el subconjunto de IN dado por: S := { n IN : p(n) es verdadera }. 1 S. En efecto, p(1) es claramente verdadera. HIPOTESIS DE INDUCCION Sea m IN tal que m S, es decir, (a+b) m = TESIS DE INDUCCION m + 1 S, es decir, (a + b) m+1 = m+1 k=0 m k=0 m + 1 k m k a m k b k. a m+1 k b k. 13

14 DEMOSTRACION DE LA TESIS DE INDUCCION (a + b) m+1 = (a + b) (a + b) m = a (a + b) m + b (a + b) m Luego, de acuerdo a la Hipótesis de Inducción y a propiedades del = a m+1 + operador sumatoria y de los coeficientes binomiales, se sigue que = m m m a m+1 k b k + m a m k b k+1 k=0 k k=0 k m m m a m+1 k b k + m a m+1 k b k + b m+1 k k=1 k 1 = m a m+1 + m + 1 a m+1 k b k + b m+1 k=1 k = m+1 m + 1 a m+1 k b k, k k=1 k=0 lo cual prueba que (m + 1) S. 14

15 EJEMPLO Considere el desarrollo de: ( 2x 3 y y2 x ) 45 a) Encuentrre las potencias de y en los términos centrales. b) Encuentre, si existe, el término independiente de x. 15

16 SOLUCION a) T k+1 = 45 ( ) 2x 3 45 k ( y 2 k y x T 23 = 45 ( ) 2x ( y 2 22 y x ) 22 ) k = ( y 1) 23 ( y 2 ) 22 = y = y 21 T 24 = 45 ( ) 2x ( y 2 23 y x ) 23 = ( y 1) 22 ( y 2 ) 23 = y = y 24 Las potencias de y en los términos centrales son 21 y

17 SOLUCION b) T k+1 = 45 k ( ) 2x 3 45 k ( y 2 y x ) k = ( x 3) 45 k ( x 1 ) k = x 0 = 135 3k k = 0 = 4k = 135 = k = 135 IN {0} 4 No existe el término independiente de x. 17

18 PROGRESION ARITMETICA Sean a 1, d R números dados. Se llama PROGRESION ARITMETICA (PA) con término inicial (primer término) a 1 y diferencia común d a la sucesión de números a 1, a 2,...,a n,..., donde n 2 : a n = a n 1 + d Notar que n IN : a n = a 1 + (n 1) d (demostración por inducción). La suma de los n primeros términos de una Progresión Aritmética con primer término a 1 y diferencia común d, está dada por a k = n 2 (2a 1 + (n 1)d) = n 2 (a 1 + a n ) n IN k=1 (demostración por inducción). 18

19 PROGRESION GEOMETRICA Sean a 1, r R números dados. Se llama PROGRESION GEOMETRICA (PG) con término inicial a 1 y razón (cuociente) común r a la sucesión de números a 1, a 2,...,a n,..., donde n 2 : a n = r a n 1 Notar que n IN : a n = r n 1 a 1 (demostración por inducción). La suma de los n primeros términos de una Progresión Geométrica con primer término a 1 y razón común r, está dada por k=1 a k = a 1 ( 1 r n 1 r ) n IN r 1 (demostración por inducción). 19

20 EJEMPLO Una persona lee un libro de tal manera que cada día aumenta en 4 el número de páginas que leyó el día anterior, es decir, si el día k-ésimo leyó a k páginas el día siguiente leerá a k + 4 páginas. Si después de 18 días ha leído los 21/55 del libro, y 6 días más tarde le faltaban únicamente los 19/55 del libro, cuántas páginas tiene el libro? 20

21 SOLUCION Sea P el número total de páginas que tiene el libro en cuestión. Denotando por a k la cantidad de páginas que lee el alumno en el k-ésimo día, del enunciado se rescata que a k+1 = a k + 4, k = 1, 2, 3,..., lo cual nos dice que {a 1, a 2, a 3,...} define una progresión aritmética de diferencia común d = 4 y primer elemento a 1. Además, del enunciado se pueden extraer la siguiente información: 18 k=1 24 k=1 a k = P 2 a 1 + (17)(4) = P (i) a k = P 2 a 1 + (23)(4) = 3 55 P (ii) De (ii) (i) se tiene (4)(23 17) = (9 7)P P = 1980 páginas. 21

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